分式的定义及分式有意义的条件
分式的概念与分式有意义的条件
智力大冲浪
第一关
第二关
第三关
1. 2.
形当分如母不—的BA等式于子0叫时分,分式式. 有意义（. （））
3. 当分式的值等于0时,分式无意义.（ ）
4. 当分子等于0时,分式的值等于0. （ ）
× ×√ ×
恭喜你们过关! 请进入下一关。
1.下列四个代数式中，分式为（ B ）
2x 5
1
x8
A. 7 B. 3x C. 8
∴4x－1≠0
4x ≠1
x ≠1/4 答：当x ≠1/4时，分式
x有 1意义。 4x 1
当Ｘ取什么值时，分式 x 1 4x 1
的值为零？
解：①要使分式的值为0，则Ｘ+1=0 ∴Ｘ = －１
此时分母4Ｘ－1≠0
∴当ｘ= －１时，分式的值是零。
5 800 x 200 y
16
1000
11
b
a a 100
400 x y 24
这些式子有什么 共同特征？
你能一对般前面地得，到的如果5A,B表11示两个整式， 并 做分且80B式01x中0。0其20含0中0有yA字是a母分b11，060式那的么x分a式4子y0子0，24B是叫分—AB
式的这五分个母式子。按照分母的不同特征分成两类吗？
判断下列式子中哪些是分式?
A.
2 —x—2
B.
1 —x—2+—2— C.
—x—12-—1—
D. —x—1+—1—
恭喜你们过关! 请进入下一关。
1.当x＝__3__时，分式—x—+2— 无意义。 x-3
2.当x,y满足关系__x_≠_y__时,分式
x y x y
有意义.
分式知识点归纳
分式知识点归纳一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子＄＼frac{A}｛B}＄就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。
如果分母 B 的值为 0，那么分式＄＼frac{A}｛B}＄就没有意义。
例如，＄＼frac{x}｛y}＄是一个分式，其中 x 是分子，y 是分母；而＄＼frac{5}｛3}＄就不是分式，因为它的分母 3 是一个常数，不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄B ＼neq 0$ 时，分式有意义。
例如，对于分式＄＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＄，要使其有意义，则＄x2 ＼neq 0$，即＄x ＼neq 2$。
三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄A ＝ 0$ 且＄B ＼neq 0$ 时，分式的值为 0。
例如，若分式＄＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＄的值为 0，则＄x^2 1 ＝0$ 且＄x ＋ 1 ＼neq 0$。
由＄x^2 1 ＝ 0$ 可得＄x ＝＼pm 1$，又因为＄x ＋ 1 ＼neq 0$，所以＄x ＼neq 1$，因此＄x ＝ 1$ 时，该分式的值为 0。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼times C}｛B ＼times C}＄，＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼div C}｛B ＼div C}＄（＄C ＼neq 0$）例如，＄＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼frac{2x}｛2y}＄，＄＼frac{3a}｛5b} ＝＼frac{3a ＼div 3}｛5b ＼div 3} ＝＼frac{a}｛＼frac{5}｛3}b}＄五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式(分式的概念、性质及计算)
学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即 B ≠0 。
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当A ＝0且B ≠0时，0AB =。
【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( )⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
()0A A M A MM B B M B M ÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。
为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
【例2】 ⑴化简222a b a ab -+的结果为( )分 式⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )3．分式的加、减、乘、除、乘方运算分式的乘法 a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a d b d b c b c ⋅÷=⋅=⋅分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减 a b a bc c c ±±=异分母分式相加减 acadbc ad bcb d bd bd bd ±±=±=0指数幂 01(0)a a =≠ 负整数指数幂 1p p a a -= (a ≠0，且p 为正整数)【例3】 化简22226211296x x x x x x x x -++++÷--+-思想方法吐血大总结：1．分式是否有意义、何时值为零以及基本性质都和分数相近。
分式的定义和有意义的条件
分式的定义和有意义的条件一、分式的定义和有意义的条件1、分式的概念一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。
2、分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。
即当$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
3、分式的值为0的条件当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$\frac{A}{B}=0$。
4、分式的基本性质（1）分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。
（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。
② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。
③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。
分式有意义、无意义、分式值为0的条件
导入新课
回顾思考
什么是分式？
分式有意义、无意义、值为零的条件
问题引导
f
问题1
分式
在什么条件下无意义，在什么条件下有意义？ g
当g=0时， 分式 f 2 要使 f =0，分子、分母满足什么条件？ g
当 f =0且g≠0时，分式 f 的值为零. g
分式有意 义、无意 义、值为 零的条件
有意义 无意义 值为零
分母不等于零
分母等于零 分子等于零且 分母不等于零
课后思考
练一练
1. 当x取什么值时，分式 x 2 的值会有以下情况：
2x 3
（1）有意义；（2）等于0？
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时， 它顺流航行100千米所用的时间，与逆流航行60千米 所用的时间相等，已知江水的流速为v千米/时， （1）可列方程为 ________ ;
课堂小结
八年级数学上册分式知识点
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
分式的概念与分式有意义的条件
分式的概念与分式有意义的条件分式是数学中一个重要的概念，它由分子和分母组成，用斜杠"/"或横线"-"表示两者的关系。
分式可以表示两个数的比值，常用于解决问题中的比例、比率、百分比、碰撞问题等。
分式的形式通常为：\(\dfrac{a}{b}\) 或 \(a/b\)其中，a为分子，b为分母。
分子和分母均可以是整数、分数或代数式。
分式有意义的条件包括：1. 分母不能为0：由于除数不能为0，分式的分母必须为非零数。
当分母为0时，分式的数值就没有意义，因此分母必须满足\(b\neq0\)的条件。
2.分母不能为分数：分式的分母不应该是分数，因为这样会导致分式难以化简和计算，并且会增加问题的复杂性。
3.分子和分母应该具有相同的单位：在一些问题中，分子和分母表示的是同一物理量的不同测量值。
在这种情况下，分子和分母应该具有相同的单位，以确保比率的一致性。
4.分子和分母应该为整数：在一些情况下，分式的分子和分母可以是分数或代数式，但在常见的问题中，一般要求分子和分母都是整数，以方便计算和解决问题。
5.分式应当合理存在：分式不能出现不合理的数值，如负数开方、分母含有根号等情况。
在实际问题中，分式所代表的比率或比例应当存在，不能出现意义上的不合理的情况。
分式在实际问题中的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面以几个实例来说明分式的应用：1.比例问题：分式经常用于解决比例问题，如甲乙丙三个人的年龄比例为3:4:5，且他们的年龄相加为144岁，求甲的年龄。
分子表示甲的年龄，分母表示甲的年龄与整个年龄之间的比例关系。
2.比率问题：分式常用于表示两个相似量之间的比率，如速度与时间的比值，体积与面积的比值等。
分子表示比例中较大的值，分母表示较小的值，比值可以通过分式计算或比例解题方法求解。
3.百分比问题：分式可以用于表示百分比、利率、比率等问题，如计算折扣价格、计算商品的增长率等。
分子表示所占的部分，分母表示总量，分式的值可以通过计算得到。
分式概念及意义
分式概念及意义分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
八年级下册数学的分式知识点整理
八年级下册数学的分式知识点整理八年级下册数学的分式知识点整理在平时的学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺精心整理的八年级下册数学的分式知识点整理，欢迎大家分享。
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的`条件：分式AB =0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 (其中A、B、C是整式 )，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
分式知识点归纳
《分式》知识点归纳一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0④分式值为正或大于0：分子分母同号?⑤分式值为负或小于0：分子分母异号?⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
（3）注意：在应用分式的基本性质时，要注意同乘或同除的整式不为O 这个限制条件和隐含条件分母不为0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.3、“两大类三类型”通分“两大类”指的是：一是分母是单项式；二是分母是多项式“两大类”下的“三类型”：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型1）“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积；2）“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母；3）“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，也应包括相同的因式4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
数学中分式的定义是什么
数学中分式的定义是什么定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式fraction。
其中A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
如是分式，还有也是分式。
要使分式有意义，则y 不等于0.注意掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：1分式的分母中必须含有字母。
2分母的值不能为零。
若分母的值为零，则分式无意义。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式有意义的条件1分式有意义条件：分母不为02分式无意义条件：分母为0;3分式值为0条件：分子为0且分母不为0;4分式值为正负数条件：同号得正，异号得负。
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：，A,B,C为整式，且B、C≠0。
2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
3.分式的约分步骤：1如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同;同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。
6.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。
7.分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。
分式有意义的条件
分式有意义的条件一、引言分式是代数中的一种运算形式，通常用分子和分母表示。
在数学中，分式广泛应用于代数表达式的化简、方程的求解以及解析几何等领域。
在实际生活中，我们也可以发现许多分式的应用，比如用分数表示家庭开销占总收入的比例、用比率表示物品的价格、用百分比表示考试分数等。
二、分式的基本概念分式是指两个整式的商，分为真分式和假分式两种情况。
真分式的分子次数小于分母次数，假分式的分子次数大于等于分母次数。
分式还可以进一步化简，即将分子和分母的公因式约去，得到最简分式。
三、分式的应用1.比例在很多实际问题中，可以用比例关系表示，而比例就可以转化为分式。
比如描述两种物品的价格比、人口比例等。
2.百分比百分比是一种特殊的分式表示方法，分子是百分数，分母是100。
百分比在日常生活中经常用来表示数据的比较和增减。
3.分数运算运用分式进行四则运算是学习分数的基础。
加、减、乘、除分式可以帮助我们解决实际问题。
4.代数式的运算在化简代数式的过程中，常常会涉及到分式的加减乘除，需要熟练掌握分式运算的规则。
四、分式有意义的条件分式在数学和现实生活中都有广泛的应用，但是要让分式有意义，需要满足一定的条件： 1. 分母不为零当分母为零时，分式的值无意义，因为数学运算中除数不能为零。
因此，在使用分式时，分母不可以为零。
2.分子和分母互质为了得到最简分式，分子和分母应该互质，即两者没有除1以外的公因数。
这样可以避免分式的冗余和不必要的复杂性。
3.分数形式表示有些问题中，整式可以转化为分数形式表示更为方便和直观。
比如在几何问题中，可以用分数表示线段的比例关系。
五、结论分式作为一种常见的数学表达形式，具有重要的应用意义。
通过对分式的概念和应用展开讨论，可以更好地理解分式在数学中的作用和意义。
要让分式有意义，需要注意分母不为零、分子和分母互质以及适当选择分数形式表示等条件，这样才能更好地利用分式解决问题。
以上就是关于分式有意义的条件的探讨，希望对读者有所启发和帮助。
分式的概念与基本性质
分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开．分式有意义的条件两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】 在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【考点】分式的基本概念【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母，由此可知1t,2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，323a a a +为分式．(2)x x +，5a ,2m ，3x-为整式．【答案】1t，1x -，24x x +,21321x x x +--,3a 为分式(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．【例2】 代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ）A.1个B.1个 C 。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
分式
分式概念总汇1、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
2、分式有意义、无意义，分式的值为零的条件（1）分式有意义的条件是分式的分母不为0；（2）分式无意义的条件是分式的分母为零；（3）分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
说明：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：分式的定义及分式有意义的条件复习：3223yx?yxyx?2：幂的运算：1 2、3、22?y9xy?4x?4因式分解：
1、提公因式法新课
1 2、表示两个相除，且除式中含有的代数式叫做分、公式法：
式。
请写出三个分式。
练习：
2、下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？75aa?a?= 化简；
1.22?4?4xa?2xx?31b3x?2yab,,,,,,,,.2）下列计算错误的是（
?2xa?1?5aabx722????3a???a?a A.、因为除数不能为零，所以
分式中字母的取值不能3使分母为零，否则分式就没有意义了。
当分母的值为22????4a???a?a B. 时，分式无意义；当分母的值不为时，分式有意义。
1123????5a???a?a C. 无意义；4、当时，
分式有意义；当时，分式xxx?x11?33????6aa???a? D.无有意义；当时，分式当时，分式8??84x4x意义；5442 3.aa??2a?a?a计算：1x?x?1无当时，分式有意义；当时，分式1?2x?12x
意义；4）、下列计算正确的是（2x?有意义；当时，分式当时，分式??2????
??23??2?x363n?mmnmm?? D.C.无意义；???? 42824m?3m32xx?1? B.A.m?m?m
2x?1x?????3332abb??a?x 1）、计算：（5?x?2b当无意义，则。
时，分式
b?x2
5、当分式同时满足条件①②时，分式值为零。
234449x?3（）（－））（a?2+a2a的值为零；
6、当时，分式2x?
x2当时，分式的值为零。
338244（））（－（－））（2b?3ab2a+2?3x
6 分解因式。
1x?22423y?x8?y10xyx2 1、对于分式例53x?x?
①当取什么数时，分式有意义x取什么数时，分式的值为零？②当2??1?,?x1y?4x25?③当时，分式的值分别是多少？
1 / 5
程之比为。
ma元，箱子与苹果的总质量为、一箱苹果售价3n kgkg）。
问每千），其中箱子的质量为（（、甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而2例当？多少元苹果的售价是克aa b ﹥千MM，乙每时行行。
已知甲每时行，千5.n?0,m?10,a?15.2时，每千克苹果的售价b小时出发，那么甲追上乙需要多少。
如果乙提前1是多少元？5b?,a?6时，求甲追上乙所需的时间。
时间？当
qqpb）吨，每天用煤﹥（14、某厂的仓库里有煤,?5,b?5a有意义吗？它所思考：若取分式
p吨煤吨，若从现在开始，每天节省1吨煤，则b?a表示的实际情境是什么？可多用多少天？
巩固提高
1、下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
2223??4x?bxa?2xa31?xab34?2y1v,,,,,,,,,／时，甲、乙两地的路已知汽车的速度为M5千、
?5?a2a?15a?b7x3x s M程为。
千t整式。
，从甲地到乙地需M①该汽车行驶时的路程是千分式。
行驶时；1?2x a／时，那么从甲②如果该汽车的速度加快M千、对于分式24?3x地到乙地需行驶时，加快后比加快前少用时。
x?
①当取什么数时，分式有意义y?x),0x?y?0,(2x?3x试求的值。
6、若②当取什么数时，分式的值为零？y?x1,??x1时，分式的值分别是多少？③当
x?3x2x的值为、若式子 10的值为零，则。
1?x?0,1,时，分别求分式当的值。
、1)3(x?)(x?1 2x?2
二：分式的基本性质约分复习：分数的基本性质：一辆汽车和一辆自行车分别从甲、乙两地同时出、2（同理）分式的基本性质：v／时，M发，相向而行。
已知汽车的速度为千1例填空vaa），甲、﹥／时（千M0﹥自行车的速度为2)(x3s?。
M乙两地的路程是千①
22x?x?x2①经过，汽车与自行车相遇。
t时，汽车行驶的路程与自行车行驶的路②经过2 / 5
()2y2ab?a?b2a2??①②
22x?)?23(x)ab(()yx?2b?ab?ba??③②
22yx?yx?2)(bab?21x??193x?④不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各项2.
2)(x?3x的系数化为整数。
1ba?不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中各例23?①2项的系数都化为整数。
b2a?51?yx
b20.?0.03a3??①②1b50.08a?0.
yx?2x b5?0..02a的不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中3.?②
ba?70.最高次项的系数都是正数。
2x1?2x??①x2?3?
利用分式的基本性质给出分式的符号法则：分式本身、分子、分母三个符号中，同时改变其3x?1?3x??中任意两个，分式的值不变。
②2x?2
aa??aa ?????b?b?b?b
4.用分式表示下列各式的商，并约分：不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首22)(6ab4ab?①.
项的符号变为正号a??ay?x?））（1（2）（3??ba?b?y??x332)?(2mnl?4mn②把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
化简下列分式
222)xx(3?x)?(x?c?8ab③①2b?12a
24?4a?a②24a??22)x2?x6??9x(?)(④2xyx?③2xy?x
年持续增长，每年到20035.某市的生产总值从2000练习巩固
p年该市的生产总值与年的增长率都为2003。
求练习：若的和比 1.填空。
之总生两年、2001年2002这年产值8?p个有效数﹪，求这个比值是多少（结果保留23 / 5
练习：字）？．当取何值时，下列分式有意义：1x 13|?6|x分式定义及有关题型
2题型一：考查分式的定义．填空：中式下列代数()b?①1a?3a(a?3) 22y?x1a?bx?yx. ，是分式的有：,,,x?y,?yx2x?y?ba?m?2n1?②题型二：考查分式有意义的条件2)(mn?m2当有何值时，下列分式有意义x)(y34x?23x（2）（3）4）（1）（?③
224x?2x5x51x?2x?1x6?()axy14）（5?④13?|x|
223?x xy4ax2y x题型三：考查分式的值为0的条件2aa?⑤0.
取何值时，下列分式的值为当x2)(aba?1x?2x|?| （2）（1）23x?4x?2?aaa?1?⑥23xx?2?（3）)c(265x?x?题型四：考查分式的值为正、负的条件
3.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中最高4 1）当为何值时，分式为正；（x x8?次项的系数都是正数。
m x?5为负；（2）当为何值时，分式?x；①22)3?(x?1m1?
x?22. 为何值时，分式（3）当为非负数n?1x?3?x②3nn??
题型五：化简求值题y112x?3xy?2.
1、已知：，求的值5??21a??yxy?x?2xy?；③a?5
出②转化，代示提：整体入，①xyy?3x?11. ?2x5?6x?yx?④
2x?3?4x
4.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各项的系数化为整数。
0.01?0.2x?①；03x?0.0.5112.
、已知：2的值，求2x???x2x2x30.x?152.
3、，求若的值0x|)3x(|1??y?2???②y?4x21?x20.44 / 5
①该商场3月份和4月份的销售额分别是多少？
②该商场4月份的销售额与2月和 3月这两个月的销售额之和的比值是多少？
4．约分
3x①2zx6
a?b②22a?b
2?2xx?1③2x?x
3x?6④2?4x?4x
y?x⑤22x?y
2?10xx2⑥2x?10x?25
2?6aa?9⑦2?9a
3443baab4?3⑧3344b4a?3ab6.某商场今年2月份到4月份的销售额持续下降，每x。
设该商场2月份的销售额为月下降的百分率都是a元。
5 / 5。