高中数学必修一 指数与指数函数
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
人教A版高中数学必修一 《指数函数》指数函数与对数函数PPT(第1课时指数函数的概念、图象及性质)
5．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2x－1 4；(2)y＝23 －|x|.
解：(1)要使函数有意义，则 x－4≠0，解得 x≠4.
1
所以函数 y＝2x－4的定义域为{x|x≠4}． 因为x－1 4≠0，所以 2x－1 4≠1，即函数 y＝2x－1 4的值域为{y|y>0，且 y≠1}．
(2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得 x＝0. 所以函数 y＝23 －|x|的定义域为{x|x＝0}． 因为 x＝0，所以23 －|x|＝230＝1，即函数 y＝23 －|x|的值域为{y|y＝ 1}．
本部分内容讲解结束
问题导学 预习教材 P111－P118，并思考以下问题： 1．指数函数的概念是什么？ 2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数 y＝ax(a>1)和 y＝ ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？
1．指数函数的概念 一般地，函数 y＝__a_x__ (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是____自_变__量___．
指数函数的图象
根据函数 f(x)＝12x的图象，画出函数 g(x)＝12|x|的图象， 并借助图象，写出这个函数的一些重要性质．
【解】
g(x)＝12|x
|＝12x（x≥0），其图象如图． 2x（x<0），
由图象可知，函数 g(x)的定义域为 R，值域是(0，1]， 图象关于 y 轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)．
■名师点拨 指数函数解析式的 3 个特征
(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
第8课时 指数运算性质及指数函数知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝mn a .指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；2152.530.064-0⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦（） 知识点二 指数函数一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x；④y ＝13x-；⑤y ＝13x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)函数f (x )＝1＋a x －2(a >0，且a ≠1)恒过定点________.(3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图像？并画出相应图像.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.例5 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).例6 判断f (x )＝2213x x⎛⎫ ⎪⎝⎭－的单调性，并求其值域.反思感悟研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相反.跟踪训练6 求函数y ＝223x x a ＋－的单调区间.课后作业1.化简238的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝12()x －(x >0) B.1263=y y (y <0) C.33441=xx ⎛⎫⎪⎝⎭－(x >0) D.133=x x －(x ≠0) 3.式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( ) A.a B.1a6 C.5a 6 D.6a 5 4.计算124－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.5.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x6.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1 D.a ≥127.函数f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <08.函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点_________________________________. 9.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________. 10.下列各式中成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫m n 7＝177n m B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝34()x y + D.39＝3311.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43 12.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32 C.x ＝1 D.x ＝213.函数f (x )＝2112x ⎛⎫⎪⎝⎭－的递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1) 14.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝2x ，y ＝3x的图像(如图)分别是________.(用序号作答)15.设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________.16.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 17.已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数18.计算：⎝⎛⎭⎫2590.5－⎝⎛⎭⎫27813-－⎝⎛⎭⎫－780＋160.25＝__________________________________.19.已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 20.已知函数f (x )＝4x －14x ＋1.(1)解不等式f (x )<13；(2)求函数f (x )的值域.能力提升 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第3章 指数运算与指数函数 1 指数幂的拓展
②0的任意正实数指数幂都等于0;
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义.
探究一 求分数指数幂
【例 1】 计算:(1)
;(2)
.
解:(1)由负分数指数幂的定义,得
设 b=
即
,由定义,得 b2=
b= (b>0),所以
§1
指数幂的拓展
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一、分数指数幂
【问题思考】
1.观察下列各式,你能得出什么结论?
( ) =22= .
( ) =44= .
(1) =
(2) =
提示:通过观察题中两式可以得出,当根式的被开方数的指数
能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
A.
(2)计算:2
解析:(1)
).
B.
=
-
=
C.
.
=
.
-
(2)由负分数指数幂的定义,可得 2 =
设
b=2 ,则
答案:(1)C
b3=272=所以
(2)
.
-
b=9.故 2 =
.
D.
二、无理数指数幂
【问题思考】
1.无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来
【例2】 将下列分数指数幂与根式进行互化:(式中字母均为
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
高一必修一指数概念知识点
高一必修一指数概念知识点指数在数学中是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍高一必修一中的指数概念知识点，并对其相关概念、性质以及应用进行详细解释。
一、指数的基本概念指数是数学中表示乘方运算的一种方法。
它由底数和指数两部分组成，用幂次表示。
例如，a^n就表示a的n次方，其中a是底数，n是指数。
指数是表示进行连乘的次数，可以是自然数、整数、有理数、无理数等。
二、指数的运算法则1.相同底数幂的乘法：当两个数的底数相同，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
2.相同底数幂的除法：当两个数的底数相同，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
3.幂的乘法：底数相同，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
4.幂的除法：底数相同，指数相除，即(a^m) / (a^n) = a^(m-n)。
5.幂的乘方：指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
三、指数的特殊情况1.任何数的0次方等于1，即a^0=1 (a ≠ 0)。
2.任何数的1次方等于自身，即a^1=a。
3.指数为负数时，可以转换为倒数，即a^(-n)=1/(a^n)，其中a ≠ 0。
四、指数的性质和规律1.底数为正数且大于1的指数逐渐增大时，幂的值也逐渐增大；底数为正数且在0和1之间时，幂的值逐渐减小。
2.任何数的正整数次方都是正数。
3.指数为偶数时，底数的正负不影响幂的值，结果始终为正数；指数为奇数时，底数的正负决定幂的值的正负。
4.指数运算中，连乘法则适用于连续的乘方运算，例如a^m^m^...^m即为a^(m^k)，其中k为连乘的次数。
五、指数的应用指数在数学和实际问题中有着广泛的应用，如在金融领域，利率计算、复利计算等都与指数概念有关；在科学领域，指数函数、指数增长等概念也是建立在指数的基础上；在生活中，指数概念也存在于各种增长模式中，如人口增长、病毒传染等。
六、本章小结本章介绍了指数的基本概念，包括指数的定义、运算法则、特殊情况，以及指数的性质和应用。
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
必修1第二章指数和指数函数教案(7个课时)
(2)5x 4,5y 2,则52xy _______
练 2、用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）
7
(1) 3 a2 a3
(2) 3 a8 3 a15
不
解：(1)原式=a
7 2
1 3
31
a 23
7
a6
1
a2
2
a3;
练
(2)原式=a
(
8 ) 3
1 2
15 1
讲
an
1 an
(a 0)
5
观察归纳，讲授新课
观察以下式子，并总结出规律： a ＞0
10
① 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4 )2 a4 a2
12
③ 4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
10
④ 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
a3 2
45
a 3 2
7
a6.
不
讲
7
教学内容
第3课 （单元）
主题
分数指数幂及其性质 2
1 课时
1、理解分数指数幂的概念；
教
知识 与技能
2、掌握分数指数幂和根式之间的互化；
3、掌握分数指数幂的运算性质.
学
过 程 从整数指数幂到分数指数幂，再推广到无理指数幂，将指数范围扩充到实数，
目 与方法 进而学习分数指数幂以及指数幂的性质.
图象特征函数性质轴正负方向无限延伸函数的定义域为r图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为r自左向右图象逐渐上升自左向右图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1学习目标
高中数学必修一指数运算与指数函数
• 指数函数的定义表达式� = �� 中，�� 前的系
数必须是1。自变量x在指数的位置上。
• 比如� = 2�� , � = �� + 1, � = ��+1 等，都不
是指数函数；
• 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，
如� = �−� (� > 0且� ≠ 1) ，因为它可以化为
�
1
期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝
五、比较幂值得大小
• 底数相同：利用函数的单调性进行比较；
• 指数相同：
• 方法一：可转化为底数相同进行比较；
• 方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在
同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如
下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按
逆时针方向由小变大。
• 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
合函数；
• ④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复
合函数，不是指数函数；
• ⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；
• ⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，
故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；
• ⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
1 �
1
1
�=
，其中 > 0，且 ≠ 1 。
�
�
�
四、指数函数的图像和性质
四、指数函数的图像和性质
• 特别提醒：
• 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的
关系有如下规律：
• 在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；
在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变.
人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数
2.1.2 指数函数及其性质（1）三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程（一）新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】：（1）这两个关系式是否构成函数？我们发现：在两个关系式中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。
（2）这是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？我们发现： 函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上。
底数是常数，指数是自变量。
结论：函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. （引入新课，书写课题）（二）概念讲解指数函数的概念：一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①xa 前面的系数为：1 ②a 的取值范围：a ＞0，a ≠1③指数只含x2：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？①当0=a ，ⅰ若0>x ，则00=xⅱ若0≤x ，则x0无意义，如：21-=x ，则010102121===-y 无意义。
高中数学必修一第四章知识点归纳
高中数学必修一第四章知识点归纳全文共5篇示例，供读者参考高中数学必修一第四章知识点归纳篇1指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为r.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质【函数的应用】1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高中数学必修一第四章知识点归纳篇2(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(a,b不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.高中数学必修一第四章知识点归纳篇3对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
高中数学必修一(人教版)《4.2.1 指数函数的概念》课件
[答案] B
[方法技巧] 判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备， 则该函数就不是指数函数．
【对点练清】
1．下列函数是指数函数的是
A．y＝π2x C．y＝2x－1
B．y＝(－8)x D．y＝x2
[方法技巧] 实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型： 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1 ＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型： 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1 －p)x(x∈N)． (3)指数型函数： 把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用 的函数模型．
[典例1] 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量 x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数， 故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)的解析式及 f(－1)的值．
[解析] (1)指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14，可 得 a－2＝14，解得 a＝2，函数的解析式为 y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
03-第三节 指数函数高中数学必修一北师大版
−2 + 1, < 0
如图1所示,则由图象易得 ∈ 0,1 .
（2）若曲线 = 2 − 1与直线 = 有两个公共点，则实数的取值范围
0, +∞
是________；
【解析】 作出曲线 = 2 − 1,如图2所示,则由图象易得 ∈ 0, +∞ .
（3）若曲线 = 2 + 1与直线 = 没有公共点，则实数的取值范围是
示,故 的图象不过第一象限. （【另解】也可由函数 = 2 − 3+1单调
递减且其图象过定点 0, −1 和 −1,1 知 的图象不过第一象限）故选A.
8.函数① = ；② = ；③ = ；④ =
的图象如图所示，，，，分别是下列四个
以函数 = − 的图象一定经过第二、三、四象限.故选D.
变式已知函数 = −3 + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过点 , ，
则函数 = − +1 的图象不经过( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 在函数 = −3 + 1( > 0且 ≠ 1)中,当
5
数： ，
4
1 1
3， ， 中的一个，则，，，的值分
3 2
别是( C )
5
A. ，
4
1 1
3， ，
3 2
B.
5 1 1
3， ， ，
4 2 3
1 1
C. ， ，
2 3
5
3，
4
1 1 5
D. ， ， ，
3 2 4
3
【解析】 直线 = 1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为,,,,
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数、对数函数知识点考点内容典型题整数和有理指数幂的运算a 0＝1(a≠0)；a－n＝1a n(a≠0, n∈N*)amn＝n a m (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1)(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1)当n∈N*时，(n a)n＝a当为奇数时，n a n＝a当为偶数时，n a n＝│a│＝a (a≥0)－a (a＜0)运算律：a m a n＝a m + n(a m)n＝a m n(ab)n＝a n b n1.计算: 2－1×6423＝ .2. 224282＝；333363＝ .3343427＝；39336＝ .3.︒--++-45sin2)12()12(014.指数函数的概念、图象与性质1、解析式：y＝a x(a＞0，且a≠1)2、图象：3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质：①定义域:R ，即(－∞，＋∞)值域:R+ , 即(0，＋∞)②图象与y轴相交于点(0,1).③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时,在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)当a＞1时，图象向左与x轴无限接近；当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接近.⑤奇偶性：非奇非偶函数.5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值.6.求下列函数的定义域:①22xy-=；②2415-=-xy.7.比较下列各组数的大小:①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 ,②0.30.4 0.40.3, 233 322.③(23)－12,(23)－13,(12)－128.求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的最大值.9.函数xay)2(-=在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围( )A.a＜3B.cC.a＞3D.2＜a＜310.函数xay)1(2-=在(-∞,+∞)上是减函数，则a适合的条件是( )A.|a|＞1B.|a|＞2C.a＞2D.1＜|a|＜2知识点内容典型题对数的概念定义：设a＞0且a≠1，若a的b次幂为N，即a b＝N，则b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b.(a叫做底数，N叫做真数，式子log a N叫做对数式.)a b＝N log a N＝b(a＞0且a≠1)当a＝10时，x10log简记为lg x,称为常用对数；当a＝e(e≈2.718…)时，x elog简记为ln x，称为自然对数.11.把5.09017.0=x化为对数式为 .12.把lg x＝0.35化为指数式为 .13.把ln x＝2.1化为指数式为 .14. log3 x＝－21,则x＝ .15.已知：8a=9，2b=5，求log9125．对数运算的法则设a＞0,b＞0,a≠1,b≠1,M＞0,N＞0①a b＝N log a N＝b②负数和零没有对数；③log a1＝0，log a a＝1④N aa log＝N ,Na Na=log⑤alog(M·N)＝alog M＋alog N⑥alogNM＝alog M－alog N⑦alog nM＝n alog M⑨换底公式：blog N＝bNaaloglog换底公式的推论:alog b＝a blog1( alog b·blog a＝1 )logab =loga nb nloga mb n=nmlogab16.5log8log251log932⋅＝ .17.若x＝log a3，则a3x－a－3xa x－a－x的值是.18.计算2log49＝ .19.计算下列各式:①16log91log42log2)81(383log21322⋅⋅+⋅－②)243log81log27log9log3(log693216842)32(log++++③2.1lg1000lg8lg27lg-+④⎪⎭⎫⎝⎛++36log43log32loglog4212220.已知lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg x＋lg y＋lg2则yx＝ .21.已知：log1227=a，求log616的值．22.已知p=3log8,q=5log3,则lg5=( )A.53qp+B.qppq++31C.pqpq313+D.22qp+知识点内容典型题对数函数的概念及性质1.解析式：y＝log a x(a＞0，且a≠1)2.图象:y＝log a x与y＝a x(a＞0,a≠1)互为反函数,故二者图象关于直线y＝x对称.(如下图)3. y＝log a x(a＞0,且a≠1)性质：①定义域：R＋，即(0,＋∞)值域：R，即(-∞,+∞)；②过x轴上的定点(1,0)；③单调性：a＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；0＜a＜1时，在(0,+∞)上是减函数④极值:在(0,＋∞)上无最大(小)值，a＞1,图象在左下方与y轴无限接近；0＜a＜1,图象在左上方与y轴无限接近.⑤奇偶性:非奇非偶.23.函数y＝lg x的定义域为 .24.函数y＝log13(x－1)的定义域是25.求函数y＝log 2 (x2－4x－5)的定义域.26.对满足m＞n的任意两个非零实数，下列不等式恒成立的是（）A.m＞nB.lg(m2 ) ＞lg(n2 )C.m4＞n4D.(12)m＜(12)n27.比较各组数的大小：①log120.2log120.21，lg1.1 lg1.11②7.06,67.0,6log7.0从小到大为③ log89 log98 ,④ log25 log75⑤ log35 log6428.已知f(x)的图象与g(x)＝(14)x的图象关于直线y＝x对称，则f (x)＝ .指数和对数不等式基本思路：利用指数、对数函数的图象(实质是判断利用函数的增减性),把原不等式转化为一元一次(或二次)不等式(组).①a f(x)＞a g(x) (a＞0，a≠1)型若a＞1，f(x)＞g(x)若0＜a＜1，f(x)＜g(x)②log a f(x)＞log a g(x) (a＞0，a≠1)型若a＞1，f(x)＞g(x)若0＜a＜1，f(x)＜g(x)29.解不等式：123.0++xx＞xx5223.0+-30.若3log2a-＜0，则a的取值范围是 .31.若32loga＜1，则a的取值范围是 .32.解不等式：log12(x2－4x－5)＜log12(x2＋1)33.解不等式：log x(2x＋1)＞log x2。
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指数与指数函数练习
一、选择题： 1、若R a ∈,*
1N n n ∈>且则下列各式中正确的是（ ）
A 、25
a =
B 、10
=a C 、2
2a a
n n
= D 、3
21213)()(a a =
2、下列各式中错误的是（ ）
A 、2552222⨯=
B 、13
1()
327
-
= C = D 、2311
()84
-=
3．下列各式中成立的一项
（ ）
A ．71
7
7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．43
433)(y x y x +=+ D ．
33
39=
4．化简)3
1
()3)((656131
212132b a b a b a ÷-的结果
（ ）
A ．a 6
B ．a -
C ．a 9-
D ．2
9a
5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
，则下列等式中不正确的是
（ ）
A ．f (x +y )=f(x )·f (y )
B ．)
()
(y f x f y x f =-）
（ C ． )()]
([)(Q n x f nx f n
∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n
n n
6．函数2
1
)
2()5(--+-=x x y 的定义城是
（ ）
A ．}2,5|{≠≠x x x
B ．}2|{>x x
C ．}5|{>x x
D ．}552|{><<x x x 或 7．下列函数中是指数函数的是( )
12+=x y A 、 2x y B =、 x y C -=3、 x y D 23⋅=、
8．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax
=的图象只可能是
（ ）
9、若指数函数x
a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于
（ ）
A ．
251+ B ． 2
5
1+- C ．
25
1± D ． 2
1
5± 10、已知1
()3x f x a
+=-的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）
A 、（0,3）
B 、(-1,2)
C 、(-1,3)
D 、(3,-1)
11、如果指数函数x
a x f )1()(2-=在R x ∈上是减函数,则a 的取值范围是( )
A. |a|>1
B. |a|<2
C. |a|>2
D. 1<|a|<2
12、已知函数11()2
x
y =，22x
y =，31(
)10
x
y =,410x y =则下列函数图象正确的是（
13、下列关系式中正确的是 （ ）
3
2
3131
2121.21232.5.1⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛<<-B A
C .32
31
31
32
21212.212125.15.1⎪
⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<--D 14、已知1)21
()21(21<<<a b ，则（ ）
A 、1>>b a
B 、10<<<a b
C 、1>>a b
D 、10<<<b a 15．当[]1,1-∈x 时函数23)(-=x
x f 的值域是（ ）
[]
[]1,0.35,1.1,1.1,35.D C B A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
16．函数x
a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.
21 B.2 C.4 D.4
1 17．已知2
)(x
x e e x f --=，则下列正确的（ ）A ．奇函数B 非奇非偶函数C 既是奇函数又是偶函数D ．偶函数
二、解答题：15、求下列函数的定义域①2
3
-=x y ②x
y 121⎪⎭
⎫ ⎝⎛=③1
23
+=x y ④x y 21-=
16、比较下列各题中两个数的大小①35
.27.1,7
.1②2.01.08.0,8.0--③1.33.09.0,7.1④2
13
23
143,2,34⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
17、证明函数
1101
10)(-+=x
x x f 在),0(+∞上是减函数.。