浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告

数学与应用数学

浅谈伴随矩阵的性质及其应用

一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义

矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等.

矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A

). 现今不仅专业研究伴随矩阵

的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义.

正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

乘积矩阵的伴随矩阵的性质, 并提出了自伴随矩阵的定义及其性质, 归纳了伴随矩阵较强的继承性; 郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系, 探讨了伴随矩阵的性质, 并且将伴随矩阵推广到了m重; 徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质, 得到了一些有意义的结果, 使伴随矩阵的内涵更加丰富. 上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的, 对于A

m 矩阵的伴随矩阵的定义与一些性不为方阵的情况又有许多种性质. 贾美娥提出了关于n

质的证明. 这一主张的提出, 更加完善了伴随矩阵的性质. 伴随矩阵的性质还有很多, 在此不一一举例.

尽管前人的研究很多, 但是目前对伴随矩阵的性质还没有一套完整的证明. 在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 但是在后继的课程的学习中经常用伴随矩阵来解决很多问题, 为此我们常常不知所措. 为了解决更多的问题, 有必要探讨它的性质及其一些应用. 本文将对伴随矩阵的性质和应用进行探讨, 这不仅有利于教师的教学, 还有助于学生的学习, 以便我们更得心应手地运用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题及拓宽它在各领域中的应用.

二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:

研究的基本内容: 本文主要研究伴随矩阵的性质及其各领域上的应用.

拟解决的主要问题: 证明伴随矩阵的性质和探究它的应用, 并作推广.

三、研究步骤、方法及措施:

研究步骤: 1. 明确任务, 查阅相关资料, 做好笔记.

2. 在老师指导下, 撰写开题报告, 翻译英文资料, 撰写文献综述.

4. 上交开题报告、文献综述、英文资料; 确定整个论文的思路, 列出论文提纲.

5. 确定论文提纲, 撰写毕业论文.

6. 上交论文初稿.

7. 反复修改论文.

8. 论文定稿.

方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同学研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.

四、参考文献:

[1]R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.

[2]蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.

[3]杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2004, (3):20~25.

[4]王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.

[5]郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3):55~60.

[6]徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.

m 矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17.

[7]贾美娥. 关于n

[8]北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 9.

[9]韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.

[10]刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.

[11]肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3):48~49.

[12]吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.

[13] C. M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journal

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[14]苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31: 61.