椭圆的定义与标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
椭圆及其标准方程
例： ( 1 ) 已知 F ， F 是两定点， F F 6 ，动点 M 满足 1 2 1 2
线段 MF MF 6 ，则动点的轨迹为 ___ 1 2
(2 ) 已知 A （ -1 ,0 ）， B ( 1 ,0 ), M 是一个动点 M 到 AB 两点的距离之和为 6 ，
椭圆 则 M 的轨迹为 ______
3 2 2
+
2 5 +2 2
+
3 2 2
+
2 5 -2 =2 2
10.即
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6
反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.
“神五”飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地 球半径为R公里，飞船的近地点距地球地面200公里，远 地点距地球地面350公里，则飞船的椭圆轨道的标准方程 为——
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
·
· F
1
·
F2
一、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于定长 (2a)（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16
【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及标准方程
5、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 3 5 则其离心率e=__________
点 6、 P是椭圆
x2 a2 y2
(±a,0) b2 1上的动点，当P的坐标为时，
(0, ±b) a P到原点O的最大距离为；当P的坐标为时，
b P到原点O的最小距离为-------------；设F1 （c,0),则当P的 坐标为 (-a,0) 时， 的最大值为 a+c ；则当P的 PF
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
练习2 给定B、C两点，且 BC 8，△ABC 的周长为18。建立合适的坐标系，求动点A 的轨迹方程？
y A
AB AC 10
x
B (-4, 0)
O
C (4, 0)
x y 1 y 0 25 9
2
2
题型三
椭圆定义的应用
2 2
例3
x y 已知椭圆 2 2 （a>b>0）, 1 a b F1 ,F2是它的焦点，AB是过F1的 直线与椭圆交于A、B两点，求 ABF2的周长。
a 2 b2 c 2
B1F1 B1F2 B2 F1 B2 F2 a
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
c 椭圆的焦距与长轴长的比e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 0<e<1
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。
它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。
椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。
椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。
椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。
2.椭圆的中心是两个焦点的中点。
3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。
4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。
离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。
5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。
假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。
椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。
标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。
假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。
则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。
由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。
根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。
由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆的长轴的两端点称为椭圆的顶点，椭圆的中点称为椭圆的中心。
接下来，我们来看一下椭圆的标准公式。
设椭圆的中心为原点O(0,0)，椭圆的长轴与x轴重合，短轴与y轴重合，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b（a>b>0）。
椭圆上任意一点P(x,y)，则有。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
这就是椭圆的标准方程。
在这个方程中，a表示椭圆长轴的长度，b表示椭圆短轴的长度。
通过这个方程，我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标，也可以方便地画出椭圆的图形。
椭圆的标准公式还可以写成参数方程的形式。
设椭圆的中心为原点O(0,0)，椭圆的长轴与x轴重合，短轴与y轴重合，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b（a>b>0）。
椭圆上任意一点P(x,y)，则有。
x = acosθ。
y = bsinθ。
其中θ为椭圆上点P的极坐标角。
通过这个参数方程，我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标。
除了标准公式，椭圆还有一些重要的性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴的长度。
离心率描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆就越扁平。
其次是椭圆的焦点方程。
设椭圆的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，则椭圆上任意一点P(x,y)满足PF1+PF2=2a，即√(x+c)^2 + y^2 + √(x-c)^2 + y^2 = 2a。
最后是椭圆的直径方程。
椭圆的直径方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1与x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1的交点为椭圆的端点。
综上所述，椭圆的标准公式是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，通过这个公式我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标，也可以方便地画出椭圆的图形。
椭圆的定义及标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
椭圆及标准方程
一、椭圆定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于∣F 1F 2∣）的点的轨迹叫椭圆.两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②常数要大于 ∣F 1F 2∣的条件，常数小于轨迹为无轨迹等于∣F 1F 2∣时为一条线段.二、椭圆的标准方程：由椭圆定义，椭圆就是集合P =｛M ∣∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ｝因为∣MF 1∣=22)(y c x ++∣MF 2∣=22)(y c x +- 所以得：22)(y c x +++22)(y c x +-=2a整理得：（a 2－c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2－c 2).由椭圆的定义可知：2a ＞2c ，即a ＞c ，故a 2－c 2＞0.令a 2－c 2=b 2，其中b ＞0，代入上式整理得：)0(12222>>=+b a by a x 形式一：)0(12222>>=+b a by a x 说明：此方程表示的椭圆焦点在x 轴上，焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），其中c 2=a 2－b 2形式二：)0(12222>>=+babxay说明：①此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.②两种形式中，总有a>b>0；③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；④a、b、c始终满足c2=a2－b2；⑤遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，推导（用幻灯片给出）：如图8—2，建立直角坐标系x O y，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.三、例题讲解：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25,23 ( .例2 已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.例4 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.。
椭圆的定义与标准方程 ppt课件
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1F ||P2F |2 a
由于 |P 1 | F (x c )2 y 2 ,|P 2 | F (x c )2 y 2
得方程
(xc)2y2(xc)2y22a
（问题：下面怎样化简？）
15
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
又因为c=2,所以 （b3）2 =用a待2 -定c2系=1数0法-4确=定6a.、b的值，
因 此 ， 所 求 椭 圆 的 写标 出准 椭方 圆程 的为 标准方程.
x2 +y2 =1.
24
102 62
变 式 引 申 ： 求 焦 点 在 y 轴 上 ， 且 经 过 点 A (1 ,1 )、 B (0 ,-1 )的 3 3 2
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴18上。
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
5
引例：
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它 的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么 图形？
圆的定义：平面内到
定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆
(xa)2(yb)2r2
7
探究：
若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉 紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢？
(椭圆及其标准方程)
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆
x2 2 y 1 的标准方程为__________ __ 16
（2）满足a=4,c= 15 ，焦点在Y轴上的椭圆 2 y 2 x 1 的标准方程为____________ 16
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
x y 1 答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
x y 1 144 169
2 2
2
2
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
x y 2 1 2 m m 1
2
2
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
O
F2 (c,0)
X
x2 y2 2 1 (a>b>0) 2 a b
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。2(0 , c) X O F1(0,-c)
2 2
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
X
x y y x 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 椭圆的标准方程的再认识：
1 2
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
Y
M (x,y)
F1 (-c,0)
O
F2 (c,0)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面 内到两定点F1、F2距离之 X 和为定值2a（2a>2c)的动 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
椭圆的定义与标准方程(二)课件
当2a<2c时:
无轨迹
Y
♦椭圆的标准方程的特点：
Y M M O F2 (c,0) X
F2(0 , c)
F1 (-c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 y2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 共同点：（1）椭圆的标准方程表示的图像一定是 焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方 和，右边是1. （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
(5) 3x 2 2 y 2 1
(6) (x-2)2+y2 + (x+2)2+y2 = 16
x2 y2 (3) 2 2 1 m m 1
x2 y2 (7 ) 1 24 k 16 k
当a为定值时，椭圆的形 状与c的变化关系是 c越大，椭圆越扁 c越小，椭圆越圆
求满足下列条件的椭圆的标准方程
不同点：焦点在x轴上的椭圆x 2 项分母较大. 焦点在y轴上的椭圆 y2 项分母较大.
下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
x y (1) 1 16 16
x2 y2 ( 2) 1 25 16
2
2
(4)9 x 2 25 y 2 225 0
焦点三角形问题
x2 2 已知椭圆 +y =1的两焦点是F1、F2，P为椭圆上的任意一点 4 （1）求 PF1 PF2 的最大值 （2）若F1PF2=60° ,求 PF1F2的面积
轨迹问题
动圆C与定圆
C1 : x 2 ( y 4) 2 64
内切和定圆
01.椭圆的定义、标准方程(讲解1)
(ⅱ)具有某共同特征的椭圆求标准方程时，可根据它们的共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其它条件确 定方程，如例 2(1)． (ⅲ)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； x² y² y² x² ②设方程：根据上述判断设方程a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)或a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)，当焦点位置不确定时，可设为 mx² ＋ny² ＝1 (m＞0，n＞0，m≠n)，如例 2(2)． ③找关系：根据已知条件，建立方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
1
椭圆的定义、标准方程
[讲解 1]
∴(PF1＋PF2)² －2PF1· PF2＝4c² ， ∴2PF1· PF2＝4a² －4c² ＝4b² ． 1 1 ∴S△PF1F2＝2PF1· PF2＝2×2b² ＝b² ＝9， ∴ b＝3．
∴PF1· PF2＝2b² ．
★考向 2 求椭圆的标准方程 〔例 2〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： x² y² (1) 与椭圆 4 ＋ 3 ＝1 有相同的离心率且经过点(2,－ 3)； (2) 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5, 3，过 P 且与长轴垂直的直 线恰过椭圆的一个焦点； 3 5 (3) 经过两点(－2, 2)，( 3, 5)．
〔点拨〕本题主要考查椭圆标准方程的求法，解题的关键是正确选择椭圆标准方程的形式，利用待定系数 法求解．在求椭圆标准方程时应注意椭圆的焦点位置是否确定，焦点位置未确定的可设统一方程式分类讨 论，以免漏解． x² y² y² x² 〔解析〕(1)由题意，设所求椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝t1 或 4 ＋ 3 ＝t2 (t1, t2＞0)， (－ 3)² 2² 25 2² (－ 3)² ∵椭圆过点(2,－ 3)， ∴t1＝ 4 ＋ 3 ＝2，或 t2＝ 4 ＋ 3 ＝12． x² y² y² x² 故所求椭圆的方程为 8 ＋ 6 ＝1 或25＋25＝1． 3 4 x² y² y² x² (2)由于焦点的位置不确定，∴设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1 (a＞b＞0)或 ＋ ＝1 (a＞b＞0)， a² b² a² b²
椭圆的定义和标准方程
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆及其标准方程
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
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通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论.
4. 重点与难点：
重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.
难点：椭圆标准方程的建立和推导.
三、学习者特征分析
使学生掌握椭圆方程的推导过程，学习求轨迹方程的一般方法。
应用方程,
实际演练
例1.求下列椭圆的焦点坐标以及椭圆上每一点到两焦点距离的和.
(1)
(2)
(3)
例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10.
（2） .
例3. 若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则k的范围.
请学生列举生活中椭圆的例子.
思考
从实际情境出发，激发学生的探究热情和学习兴趣。
实验探索,
建构新知
1.玻璃杯装半杯水,适度倾斜,观察水面是个什么形状
2. 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆
1、学生的知识经验较为丰富，高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
3、学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
四、教学策略选择与设计
引导发现法、探索讨论法
1、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义.
2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性.
课堂训练,
反思调节
A.(±5，0) B.(0，±5)
C.(0，±12)D.(±12，0)
3．已知椭圆方程为 ，则这个椭圆的焦距为（ ）
C.
4． 是定点，且 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A.椭圆B.直线C.圆D.线段
学生练习
使学生巩固当天所学知识。
小结
标准方程
+ =1
+ =1
图形
a,b,c关系
结论：
（1）当d>|F1F2|时，是椭圆；
（2）当d=|F1F2|时，是线段；
（3）当d<|F1F2|轨迹不存在.
由问题启发学生进行思考讨论，学生完成并回答。教师总结让学生进一步理解椭圆定义
通过师生探索交流、讨论解决问题方法，揭示知识间的内在联系，对学生的思维进行启迪，方法及时的点拨，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。
课题
椭圆的定义与标准方程
科目
数学
教学对象
高二学生
主备人
课时
1课时
授课类型
新授课
一、教学内容分析
椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例.本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终.
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力.
设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野.
2、如果方程
表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）
A.（0，+∞）B.（0，2）
C.（1，+∞）D.（0，1）
学生思考、完成并回答
使学生巩固当天所学知识。
课堂训练,
反思调节
1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
2.椭圆 的焦点坐标是（ ）
学生练习
使学生巩固当天所学知识。
分析：
（1）轨迹上的点是怎么来的
（2）在这个运动过程中，什么是不变的
答：两个定点，绳长
即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上的点与两个定点距离之和不变）
由问题启发学生进行思考讨论，通过实践画出椭圆，发现椭圆的特征
结合情境对话进一步理解众数、中位数、平均数的意义；
学生探索交流、总结已学知识，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。
椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力.
学生思考、教师点拨、讲解例题
通过例题讲解，使学生加深对知识的理解，完善知识结构，提高学生分析、类比等能力。为今后双曲线、抛物线的学习打好基础。
引导利用所学定义求解。是学生灵活运用了所学知识，培养了学生思维的灵活性和深刻性。
变式
观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。
1、把上面的方程变为
,那么结果将如何呢
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在 轴上（选取方式不同，调换 轴）焦点则变成 ,只要将方程 中的 调换，即可得
，也是椭圆的标准方程
理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在 与 这两个标准方程中，都有 的要求，如方程 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式 类比，如 中，由于 ，所以在 轴上的“截距”更大，因而焦点在 轴上(即看 分母的大小)
引导发现法和探索讨论法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性.
五、教学环境及资源准备
专门为本课设计的多媒体课件
六、教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
设置情景，引出课题
问题：2008年9月28日上午9时，“神州七号”载人飞船顺利升空，实现多人航天天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州七号”飞船的运行轨道是什么多媒体展示“神州六七号”运行轨道图片和视频．
小组讨论,
定义形成
先让学生回顾圆的定义，然后小组合作讨论,形成椭圆定义: 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
椭圆定义的再认识
问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c呢
（1）当d=2c时，轨迹是什么（2）当d<2c时，轨迹又是什么
焦点坐标
焦点位置
在x轴上
在y轴上
学生活动:回顾本节课内容
设计意图:通过小结，有利于学生构建完整的知识体系，养成良好学习的习惯。
作业
68页 习题3-1 A组 1、2、4
板书设计
椭圆的定义与标准方程
1、椭圆的定义例1 例3练习
2、标准方程例2
（1）焦点在 轴上
（2）焦点在 轴上
二、教学目标
1.知识与技能目标：
学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.
2.过程与方法目标：
通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.
方程推导,
学会建系
取过焦点 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴
设 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是 （ ）.
则 ，又设M与 距离之和等于 ( )（常数）
，
，
化简，得
，
由定义 ,
令 代入，得
师生共同探究
使学生掌握椭圆方程的推导过程，学习求轨迹方程的一般方法。
方程推导,
学会建系
，
两边同除 得
此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程 其中