波函数的统计解释
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波函数及其统计解释
§1、 波函数及其统计解释 1. de Broglie 假说（1923）先回忆Planck 的“光量子假说”： E h p h νλ=⎧⎨=⎩ 换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k =k 是波矢量, 2k πλ=是由波动性决定粒子性。
在Planck-Einstein 的光量子论以及Bohr 的原子的量子论的成功与失败的启发下，de Broglie 提出物质波假设。
de Broglie 假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：ω=E /,k p =/,注意到： 2ωπν=及2k πλ=时，上面二式变形为：E h ν= h p λ=称为de Broglie 关系。
是由粒子性决定波动性。
它适用于自由粒子和平面波之间的关系。
平面波是()(){},exp r t A i t k r ψω=--⋅，将de Broglie 关系代入得：()(){},exp r t A i Et p r ψ=--⋅，这称为de Broglie 波（是复数波）。
对质量为μ的非相对论粒子：22 E p p μ=⇒=所以h p λ==≈≈近似适用于电子，E 的单位是电子伏特（eV ），λ的单位是埃（Å，即1010-m ）。
数量级：E =150 eV 时，λ=1 Å（晶格常数的量级）。
2. 电子衍射实验波动性的体现就是衍射、干涉等等。
通过观察这些现象还可以测量波长。
戴维逊--革末 (Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707)当可变电子束（30-600eV ）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度ϕ(或πϕ-)方向有强的反射（即有较多电子被接收），而ϕ满足sin a nh p ϕ=。
若取h p λ=，则上式与Bragg 光栅衍射公式相同（sin a n ϕλ=）。
它证明了电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长为h p λ=。
Davidsson-Germer 电子衍射实验（1927）的结果证实了电子确实有波动性，而且波长与de Broglie 的预言完全一致。
§1.6 波函数的统计解释 量子力学课件
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可 以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定
单位换算：
1ev～12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ（频率表能量）
~8.00c0m1（波长）
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一，是研究微观粒 子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便 以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可 以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定
单位换算：
1ev～12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ（频率表能量）
~8.00c0m1（波长）
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一，是研究微观粒 子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便 以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
波函数的统计解释
有关实验：
子弹 水波 光波
｝｛ 双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对 值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根 本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动 等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢？
子弹 水波 光波
｝｛ 双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对 值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根 本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动 等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢？
波函数及其统计诠释
或 ψ∗(x, y, z,t)ψ(x, y, z,t)dxdydz
概率密度表示为 ρ(x, y, z, t) = ψ ∗ (x, y, z, t)ψ (x, y, z, t)
2. 波函数是单值的、连续的和有限的。
3
3. 波函数允许包含一个任意的常数因子
了同一波个函量数子ψ态(rv，,t对) 和于空Aψ间(r任v, t意) (两A是点常rvi 数和)描rvj 述有
§2-6 波函数及其统计诠释 一、经典物理学中的波函数
微观粒子的运动状态称为量子态， 用
波函数 ψ (rv, t) 来描述的，这个波函数所
反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。 (量子力学的基本假设之一)
二、在量子力学中波函数的统计意义
1926年玻恩指出：德布罗意波或波函数 ψ (rv,t) 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空 间的概率分布的概率波。 在统计意义下波函数具有下面的性质：
系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加为
∑ ψ(rv, t) =c1ψ1(rv, t)+c2ψ2(rv, t)+⋅⋅⋅ = ciψi (rv, t) i 也是这个系统的一个可能的量子态 5
1. 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有 直接物理意义的, 具有直接物理意义的是的模的 平方，它代表了粒子出现的概率。
2
微观粒子的概率波的波函数表示为
ψ(rv,t) =ψ(x, y,z,t)
那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元dxdydz内 粒子出现的概率正比于
ψ(x, y, z,t) 2 dxdydz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ψ ( rvi , t ) 2 ψ ( rvj , t ) 2
=
Aψ ( rvi , t ) 2 Aψ ( rvj , t ) 2
概率密度表示为 ρ(x, y, z, t) = ψ ∗ (x, y, z, t)ψ (x, y, z, t)
2. 波函数是单值的、连续的和有限的。
3
3. 波函数允许包含一个任意的常数因子
了同一波个函量数子ψ态(rv，,t对) 和于空Aψ间(r任v, t意) (两A是点常rvi 数和)描rvj 述有
§2-6 波函数及其统计诠释 一、经典物理学中的波函数
微观粒子的运动状态称为量子态， 用
波函数 ψ (rv, t) 来描述的，这个波函数所
反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。 (量子力学的基本假设之一)
二、在量子力学中波函数的统计意义
1926年玻恩指出：德布罗意波或波函数 ψ (rv,t) 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空 间的概率分布的概率波。 在统计意义下波函数具有下面的性质：
系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加为
∑ ψ(rv, t) =c1ψ1(rv, t)+c2ψ2(rv, t)+⋅⋅⋅ = ciψi (rv, t) i 也是这个系统的一个可能的量子态 5
1. 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有 直接物理意义的, 具有直接物理意义的是的模的 平方，它代表了粒子出现的概率。
2
微观粒子的概率波的波函数表示为
ψ(rv,t) =ψ(x, y,z,t)
那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元dxdydz内 粒子出现的概率正比于
ψ(x, y, z,t) 2 dxdydz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ψ ( rvi , t ) 2 ψ ( rvj , t ) 2
=
Aψ ( rvi , t ) 2 Aψ ( rvj , t ) 2
波函数的统计解释
01
02
03
概率幅
波函数描述了一个量子系 统在特定状态下的概率幅， 即系统处于某个状态的可 能性。
概率分布
通过平方模长计算，可以 得到系统处于某个状态的 概率分布，即波函数的模 长的平方。
叠加态
当一个量子系统同时处于 多个状态时，波函数描述 了系统在各个状态下的概 率分布。
波函数的期望值和方差
期望值
通过波函数，可以描述量子纠缠现 象，以及量子纠缠在信息传递和处 理中的应用。
量子密钥分发
波函数可以用于实现量子密钥分发， 提高通信安全性。
05 结论
对波函数统计解释的理解
波函数是描述微观粒子状态的函 数，它包含了粒子的所有信息。
波函数的统计解释认为，在多次 测量中，波函数的描述是有效的， 但在单次测量中，无法确定粒子
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感谢您的观看
通过将波函数与可观测量 算符进行内积运算，可以 得到该可观测量在量子系 统中的期望值。
方差
方差描述了量子系统可观 测量的不确定性，即测量 结果偏离期望值的程度。
测量误差
由于量子系统的波动性， 测量误差与方差有关，方 差越大，测量误差越大。
波函数的测量问题
测量过程
测量不确定性
当对一个量子系统进行测量时，系统 会与测量仪器发生相互作用，导致波 函数发生塌缩。
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联 ，使得它们的状态是相互依赖的。
波函数可以用来描述纠缠态，即多个粒子之间的关联状态。例如，两个自旋处于 纠缠态的粒子，一个粒子的自旋状态改变，另一个粒子的自旋状态也会立即改变 。
04 波函数的统计解释的应用
在原子和分子物理中的应用
第一讲 波函数及其统计诠释
E h
h
p
自由粒子平面波函数
Ψ
(
x,t )
i
0e
2π h
(
Et
px )
3、波函数的统计意义 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的
概率正比于该时刻、该地点波函数模的平方。
——玻恩的统计解释
(1954年玻恩获诺贝尔物理学奖)
在空间一很小区域(以体积元dV=dx dy dz表征)
出现粒子的概率为： 2 dV dV
解:（1）由归一化条件得:
a A2 sin2 ( x a)dx 1 0
A 2 a
（2）粒子的概率密度为:
2 2 sin2 x
aa
在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：
a 2 2 dx 2 a 2 sin2 xdx 1
0
a0
a2
（3）概率最大的位置应满足
d (x)2 dx 0
第三章
主要内容：
量子物理基础
§3-1 波函数及其统计诠释 §3-2 薛定谔方程 ＊§3-3 氢原子量子理论简介 ＊§3-4 电子的自旋和原子的壳层结构
§3.1 波函数及其统计诠释
一、波函数及其统计解释
1、波函数 由于微观粒子具有波粒二象性，其位置与动
量不能同时确定。 所以已无法用经典物理方法去 描述其运动状态。用波函数来描述微观粒子的运 动。
2 x k， k 0，1， 2， 3，
a
因0<x<a, 故得
x a 粒子出现的概率最大。 2
微观粒子的运动状态称为量子态，用波函数
(r ,
t)来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动
性，就是德布罗意波。
(1) 经典的波与波函数
波函数及其统计解释
上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
波函数及其统计解释
5
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
12-6波函数及其统计解释
电磁波
E(x,t)
E0
cos
2π
(t
x
)
H
( x, t )
H
0
cos 2π
(t
x
)
经典波为实函数
i 2π( t x )
y(x, t) Re[ Ae
]
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释
2）自由粒子平面波函数
自由粒子能量 E 和动量
p
是确定的，其德布罗
意频率和波长均不变 ，可认为它是一平面单色波 .
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子
的概率为
Ψ 2 dV ΨΨ*dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
2
Ψ dV 1
第十二章 量子物理
波函数
i2π( t x )
(x,t) 0e
微观粒子的波粒二象性
E
h
h
p
i 2π (Et px)
Ψ (x,t) 0e h
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释 二、波函数的统计解释 德布罗意波又称为概率波.
波函数的统计意义:在空间某处波函数绝对值的二 次方 2与粒子在该处单位体积中出现的概率成正 比.
12-6 波函数及其统计解释
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887~1961）奥 地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔 方程为基础的波动力学,并建 立了量子力学的近似方法 .
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释
一、自由粒子的波函数
1）经典的波与波函数
波函数及其统计解释资料课件
特点
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
量子力学波函数的统计解释
波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
（2） 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维
空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等
波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子
的运动速度。
3
§2.1 波函数的统计解释（续3）
必须注意
称为几率密度(概率密度)
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概 概波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各 点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一 切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）
设粒子状态由波函数 (r , t) 描述，波的强度是
(r ,t) 2 *(r ,t)(r ,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的概率
dW (r ,t) C2 (r ,t) 2 d
这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运
动的一种统计规律性，波函数 r,t 有时也称为概率幅。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个
原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是 经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它 是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
波函数
2
Ψ = EΨ
(2) )
方程( ) h 代入 方程(2)得:
8
2m 令 ω = 2mE
解为: 解为:
ψ
dψ + 2 = ωψ 0 2 dx (x) = A cos ( ωx + )
由边值条件: 由边值条件: ψ (0) =ψ (a) = 0
= ±π cos =0,
波函数为: 波函数为: 2
ψ (x) = A sin ωx
Ψ
2
dV = Ψ (x,y,z,t) dz dy dz
2
Ψ (x,y,z,t) . Ψ *(x,y,z,t) dzdydz =
粒子在 t 时刻,在 时刻, (x,y,z) 处单位体积出现 的几率, 几率密度为 的几率,即几率密度为:
Ψ
2
Ψ .Ψ * =
这就是玻恩对波函数的统计解释 . 这就是玻恩对波函数的统计解释
Ψ ( x ,t ) = o e Ψ
h ( Et
i
px )
其中波函数模的平方为: 其中波函数模的平方为: 2 .Ψ * Ψ =Ψ = Ψo e
i (Et-px) h
. Ψo e
+ i (Et-px)
h
Ψ o2 =
统计解释:电子的衍射实验为例 统计解释:电子的衍射实验为例:
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验: 一个一个电子依次入射双缝的衍射实验:
h Ψ = i Ψ h 2 2m
2 2
2. 粒子是在有势力场中 在有势力场中粒子的总能量为: 在有势力场中粒子的总能量为: p2 E = 2m + U (x,t ) 2 p2 Ψ Ψ = i EΨ = h 2Ψ x 2 h t 2 2 h Ψ +U(x,t ) = i h Ψ ∴ Ψ 2 2m x t 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 三维运动粒子的薛定谔方程: 三维运动粒子的薛定谔方程: 2 2 2 2 h Ψ Ψ Ψ U Ψ + + Ψ =i h t + 2 2 2 2m x y z
8.7.1 波函数及其统计解释
1925年，薛定谔在德布罗意假设的基础上提出， 用物质波的波函数来描述微观粒子运动状态,就像用电 磁波描述光子的运动一样。
微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程
波函数
薛定谔方程
波函数及其统计解释
一、波函数
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。
1、一维自由粒子的波函数
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
y Acos 2 (vt x )
i 2 (vt x )
也可用复数形式表示： y Ae
波的强度： I A2 y 2 y * y
波函数及其统计解释
一、波函数
1、一维自由粒子的波函数
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒子，其物 质波的波函数相当于单色平面简谐波，类比可写成：
波函数及其统计解释
要确定一个宏观物体(质点)的运动状态，可以同时
指 程出（它F在某m一a 时）刻就的是位描置述和宏速观度物(或体动运量动)的，普牛遍顿方运程动。方
对微观粒子而言，由于微观粒子具有波粒二象性， 经典力学描述质点运动的方法已不再适用，那么微观粒 子的运动状态如何描述呢？微观粒子的运动基本方程又 是什么呢？
二 、波函数的统计意义
若粒子只在一维空间（设沿x 轴）运动：
概率密度： w Ψ (x,t) 2 Ψ (x,t)Ψ *(x, t)
粒子出现在 x～ x + dx 区间内概率：
dW Ψ (x,t) 2 dx
粒子出现在 x1～ x2 区间内概率：
W x2 Ψ ( x, t ) 2 dx x1
波函数及其统计解释
i2 (vt x )
Ψ (x,t) 0e
i 2 (Et px)
微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程
波函数
薛定谔方程
波函数及其统计解释
一、波函数
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。
1、一维自由粒子的波函数
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
y Acos 2 (vt x )
i 2 (vt x )
也可用复数形式表示： y Ae
波的强度： I A2 y 2 y * y
波函数及其统计解释
一、波函数
1、一维自由粒子的波函数
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒子，其物 质波的波函数相当于单色平面简谐波，类比可写成：
波函数及其统计解释
要确定一个宏观物体(质点)的运动状态，可以同时
指 程出（它F在某m一a 时）刻就的是位描置述和宏速观度物(或体动运量动)的，普牛遍顿方运程动。方
对微观粒子而言，由于微观粒子具有波粒二象性， 经典力学描述质点运动的方法已不再适用，那么微观粒 子的运动状态如何描述呢？微观粒子的运动基本方程又 是什么呢？
二 、波函数的统计意义
若粒子只在一维空间（设沿x 轴）运动：
概率密度： w Ψ (x,t) 2 Ψ (x,t)Ψ *(x, t)
粒子出现在 x～ x + dx 区间内概率：
dW Ψ (x,t) 2 dx
粒子出现在 x1～ x2 区间内概率：
W x2 Ψ ( x, t ) 2 dx x1
波函数及其统计解释
i2 (vt x )
Ψ (x,t) 0e
i 2 (Et px)
波函数的统计解释
波函数的统计解释
在波函数的统计解释中，波函数的平方（ψ^2）被解释为找到某个特
定状态的概率。
换句话说，ψ^2描述了一个量子系统存在于某个特定状
态的可能性。
以一个粒子的波函数为例，假设该粒子的波函数为ψ(某)，描述了
位置某上粒子的状态。
则ψ(某)^2表示在位置某上找到该粒子的概率。
这意味着在测量时，粒子出现在位置某的概率正比于ψ(某)^2、这类似
于经典物理中的概率分布函数。
波函数的统计解释还可以扩展到描述多个粒子系统。
例如，对于一个
由两个粒子组成的体系，波函数可以写为ψ(某1,某2)，其中某1和某2
分别表示第一个和第二个粒子的位置。
则ψ(某1,某2)^2表示在位置(某1,某2)同时找到这两个粒子的概率。
需要注意的是，波函数的统计解释是概率性的，并不意味着该粒子一
定会出现在波函数ψ(某)^2所描述的某个位置。
测量时，粒子只会选择
一个位置出现，但在模拟大量实验的统计平均下，粒子出现在该位置的概
率就是ψ(某)^2。
值得一提的是，波函数的统计解释并不适用于所有的量子物理现象。
在一些特殊情况下，例如量子叠加态和量子纠缠态，波函数的统计解释可
能不足以完全描述系统的行为。
这些情况涉及到更复杂的概念，如量子态
的叠加和观测等。
总而言之，波函数的统计解释是量子力学中描述量子系统状态和行为
的重要概念。
它通过平方波函数得到一个量子系统在某个状态的概率分布。
这一解释提供了量子力学研究和实验预测的基础，为我们更好地理解量子世界提供了工具。
波函数及薛定谔方程
即：
Ψ dV = 1 ∫∫∫
2
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、 波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一 满足的条件
四 薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛定谔方程的建立 、一维自由粒子薛定谔 薛定 薛定谔方程是量子力学基本假设之一， 薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明 以一维自由粒子为例
2 mE 2mE = k2 2 ℏ
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
d Φ 2 +k Φ =0 2 dx
2
（2）确定常数 A、ϕ ） 势阱无限深 ~ 阱外无粒子
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
Φ (a) = 0
（x≤0 x≥a） 由波函数连续性 连续性， 由波函数连续性， 边界条件 ： Φ (0) = 0 ϕ=0 Asinϕ = 0 Asinka =0
－费曼－ 费曼－
玻恩（ 的波函数统计解释: 玻恩（M..Born)的波函数统计解释 的波函数统计解释
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率， 成正比。 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 内概率： 出现在 dV 内概率：
dW = Ψ ( r , t ) dV
2
dV=dx dy dz 概率密度： 概率密度： w = dW = Ψ ( r , t ) 2 = ΨΨ
用指数形式表示： 用指数形式表示： 波的强度
x
y = Ae
I∝A
−i 2π ( vt − )
λ
)
x
λ
取复数实部
大学物理教程12.2 波函数及统计解释
粒子在空间各点的概率总和应为 l
(r , t ) (r , t )dV 1
*
(x,t)
—( 全空间)
第12章 量子力学
x
12-2 波函数及统计解释
3
单值
从而保证概率密度——|ψ(r)|2在任意时刻t 都是 确定的单值
4 连续
波函数满足的微分方程为二阶的（见后），要 求波函数的一阶导数连续，波函数本身必须连续。 总之，波函数应满足的条件： 单值、有限、连续和归一
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
三 不确定性关系 1 位置和动量不确定关系 按照（经典）波动理论，约束在空间某区域内 的波不可能是单色的——不可能具有唯一的波长— —唯一动量。
这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域 的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动 量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。
“粒子在某时的能量”；
这样的说法违背了不确定性原理；
不确定关系对测量或观测精度提出了限制。
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
例
设氢原子在第一激发态的寿命为10-8 s，由不
确定关系求能级宽度和原子谱线自然宽度。
解：E t
2
E1
E 2t
1107 eV
(5) “波动性”与“粒子性”的联系——玻恩统计解 释。
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
说明
3
关于量子力学的争论
•
以玻尔为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩 的哥本哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的， 必然性是偶然性的平均表现。
以爱因斯坦为首，包括薛定谔、德布罗意 学派：自然规律根本上是决定论的。“上帝肯 定不是用掷骰子来决定电子应如何运动的！”
(r , t ) (r , t )dV 1
*
(x,t)
—( 全空间)
第12章 量子力学
x
12-2 波函数及统计解释
3
单值
从而保证概率密度——|ψ(r)|2在任意时刻t 都是 确定的单值
4 连续
波函数满足的微分方程为二阶的（见后），要 求波函数的一阶导数连续，波函数本身必须连续。 总之，波函数应满足的条件： 单值、有限、连续和归一
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
三 不确定性关系 1 位置和动量不确定关系 按照（经典）波动理论，约束在空间某区域内 的波不可能是单色的——不可能具有唯一的波长— —唯一动量。
这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域 的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动 量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。
“粒子在某时的能量”；
这样的说法违背了不确定性原理；
不确定关系对测量或观测精度提出了限制。
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
例
设氢原子在第一激发态的寿命为10-8 s，由不
确定关系求能级宽度和原子谱线自然宽度。
解：E t
2
E1
E 2t
1107 eV
(5) “波动性”与“粒子性”的联系——玻恩统计解 释。
第12章 量子力学
12-2 波函数及统计解释
说明
3
关于量子力学的争论
•
以玻尔为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩 的哥本哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的， 必然性是偶然性的平均表现。
以爱因斯坦为首，包括薛定谔、德布罗意 学派：自然规律根本上是决定论的。“上帝肯 定不是用掷骰子来决定电子应如何运动的！”
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
返回
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
返回
状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
返回
描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，
22.6波函数及其统计解释
双缝 齐开时的声波为 ( A1 + A2 )e 声强为
iω t
I 12 = A1 + A2 = A1 + A2 + A A2 + A1 A
* 1
2
2
2
* 2
= I 1 + I 2 +干涉项 干涉项
再看物质波： 再看物质波： 电子的相干性 注意差别之处
干涉项
15
电子的状态用波函数Ψ 描述 •只开上缝时 电子有一定的概率通过上缝 只开上缝时 其状态用Ψ1 描述 •只开下缝时 电子有一定的概率通过下缝 只开下缝时 其状态用Ψ2描述
16
•双缝齐开时 双缝齐开时 电子可通过上 通过下 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 各有一定的 一定的概率 通过上 下缝各有一定的概率 总概率幅
Ψ 12 = Ψ 1 + Ψ 2
2 2
∗ 1
总概率密度 P =| Ψ 12 | =| Ψ 1 + Ψ 2 | 12
2 2
= Ψ1 + Ψ 2 + Ψ1 +Ψ 2Ψ Ψ
少女？ 少女？ 老妇？ 老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。 的视觉中。
8
二、波函数和概率波
1. 波函数
经典波（平面单色波） 经典波（平面单色波）
ψ = ψ o cos 2π (νt − ) λ
x
v 物质波波函数写成 Ψ (r,t)
2.玻恩（M.Born）假设 玻恩（ 玻恩 ） 物质波不 物质波不代表实在物理量的波动 而是刻划粒子在空间概率分布的概率波 玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖 年诺贝尔物理学奖 玻恩获得
22
三、自由粒子的波函数
所谓自由 即粒子不受任何形式力的作用
波函数的统计解释
波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。
波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。
1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。
例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。
这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。
2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。
这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。
这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。
3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。
根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。
这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。
4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。
例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。
通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。
5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。
通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。
测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。
这一解释与量子力学的测量原理密切相关。
需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。
例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。
波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。
总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。
它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。
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决于波强的绝对值。
各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
关于波粒二象性的两种错误观点：
错误之一：粒子是基本的，把电子波与经典波 (如声波)相类比，认为电子波是大量电子相互作
扫描隧道显微镜下的48个Fe原子在Cu的表面排列成直径为 14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密 度的高低，围栏内是电子密度波的驻波,直观证明了电子的波动 性
微观粒子波粒二象性的正确理解
1) 粒子性 •整体性 •不是经典的粒子 没有“轨道”概 2) 波动性 念 •“可叠加性”：有干涉、衍射等现象 •不是经典的波 不代表实在物理量的波动
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 各点波强的比例，并非取
因此，将波函数在空间
即
续上 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、自时由间粒二子元函的数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方波程函数
在量自子由力粒学子中用的复能数量表和达动式：量为常量，其波函数所应描用述欧的拉德公布式
罗意波是平面波。
沿速直不对X方线是于向运常处匀动量在的，外自其场由粒波作子函 用的数下波所运函描动数为述的的非德自布由罗粒意子波，应就其用取德不能实布是量部罗平和意面动公波量式。
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
质量为
速度为 的自由粒子
一方面可用 能量 和 频率 来描述它的粒子性
另一方面可用 动量 性
3)结论： 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质寓于一体， 却不能同时表现出来
少女？ 老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。
双缝 干涉 实验
光的波粒二象性的统计观点解释
令入射光极弱，光子数目 极少，光子将会在屏上出 现的确切位置无法预测。
延长曝光时间，可发现在光波干
和 波长 来描述它的波动
自由粒子波函数 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
在量子力学中用复数表达式：
沿 X方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
沿 方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
应用欧拉公式
取实部 应用德布罗意公式
即 即
取比例系数为1，即
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对波函数的统 计解释，1954年诺奖。
因概率密度
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
涉理论算得的各明纹区域，光子
出现的概率最大；
摄 影
各暗纹区域，光子 出现的概率最小。
底
继续延长曝光时间，
板
可得到明暗连续变
或
化的双缝干涉清晰
显
图像，并与强光入
微
射（大量光子同时
观
入射）一次曝光的
察
情况等效。
光子的行为不能用经典粒子的运动状态参量描述和准确预测； 光波在空间某处的强度反映了光子在该处附近出现的概率。
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的即波函数也
不相同。
即
沿速直方线微向运观匀动客的体自由的粒运子的动波状函态数为可用波函数来描述即，这是 量子力学的一个基本假设。
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。
28个光子 1000个光子
1万个光子
几百万个光子
请在放映状态随下堂点击小你议认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
Hale Waihona Puke （2）；（3）
；
（4）
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
用的结果，单个电子不显波性。
但是，单缝衍射、双缝干涉实验否定了这一点。
错误之二：波是基本的，一个粒子是由许多波组 合起来的一个波包，波包的速度也就是粒子的速 度，波包的运动表现出粒子的性质。
但是，波包在介质中因色散扩展而消失，但电子没有； 波在媒质界面分为反射和折射，但一颗电子是不可分的。
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
波函数的三波个标函准数条件标： 准条件
连续 单值
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
有限
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
概率波与经典波