波函数的统计解释
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用的结果，单个电子不显波性。
但是，单缝衍射、双缝干涉实验否定了这一点。
错误之二：波是基本的，一个粒子是由许多波组 合起来的一个波包，波包的速度也就是粒子的速 度，波包的运动表现出粒子的性质。
但是，波包在介质中因色散扩展而消失，但电子没有； 波在媒质界面分为反射和折射，但一颗电子是不可分的。
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
和 波长 来描述它的波动
自由粒子波函数 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
在量子力学中用复数表达式：
沿 X方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
沿 方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
应用欧拉公式
取实部 应用德布罗意公式
即 即
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 各点波强的比例，并非取
因此，将波函数在空间
扫描隧道显微镜下的48个Fe原子在Cu的表面排列成直径为 14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密 度的高低，围栏内是电子密度波的驻波,直观证明了电子的波动 性
微观粒子波粒二象性的正确理解
1) 粒子性 •整体性 •不是经典的粒子 没有“轨道”概 2) 波动性 念 •“可叠加性”：有干涉、衍射等现象 •不是经典的波 不代表实在物理量的波动
取比例系数为1，即
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对波函数的统 计解释，1954年诺奖。
因概率密度
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
即
续上 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、自时由间粒二子元函的数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方波程函数
在量自子由力粒学子中用的复能数量表和达动式：量为常量，其波函数所应描用述欧的拉德公布式
罗意波是平面波。
沿速直不对X方线是于向运常处匀动量在的，外自其场由粒波作子函 用的数下波所运函描动数为述的的非德自布由罗粒意子波，应就其用取德不能实布是量部罗平和意面动公波量式。
决于波强的绝对值。
各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
关于波粒二象性的两种错误观点：
错误之一：粒子是基本的，把电子波与经典波 (如声波)相类比，认为电子波是大量电子相互作
3)结论： 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质寓于一体， 却不能同时表现出来
少女？ 老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。
双缝 干涉 实验
光的波粒二象性的统计观点解释
令入射光极弱，光子数目 极少，光子将会在屏上出 现的确切位置无法预测。
延长曝光时间，可发现在光波干
28个光子 1000个光子
1万个光子
几百万个光子
请在放映状态随下堂点击小你议认为是对Leabharlann Baidu答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的即波函数也
不相同。
即
沿速直方线微向运观匀动客的体自由的粒运子的动波状函态数为可用波函数来描述即，这是 量子力学的一个基本假设。
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。
涉理论算得的各明纹区域，光子
出现的概率最大；
摄 影
各暗纹区域，光子 出现的概率最小。
底
继续延长曝光时间，
板
可得到明暗连续变
或
化的双缝干涉清晰
显
图像，并与强光入
微
射（大量光子同时
观
入射）一次曝光的
察
情况等效。
光子的行为不能用经典粒子的运动状态参量描述和准确预测； 光波在空间某处的强度反映了光子在该处附近出现的概率。
波函数的三波个标函准数条件标： 准条件
连续 单值
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
有限
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
概率波与经典波
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
质量为
速度为 的自由粒子
一方面可用 能量 和 频率 来描述它的粒子性
另一方面可用 动量 性
但是，单缝衍射、双缝干涉实验否定了这一点。
错误之二：波是基本的，一个粒子是由许多波组 合起来的一个波包，波包的速度也就是粒子的速 度，波包的运动表现出粒子的性质。
但是，波包在介质中因色散扩展而消失，但电子没有； 波在媒质界面分为反射和折射，但一颗电子是不可分的。
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
和 波长 来描述它的波动
自由粒子波函数 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
在量子力学中用复数表达式：
沿 X方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
沿 方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
应用欧拉公式
取实部 应用德布罗意公式
即 即
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 各点波强的比例，并非取
因此，将波函数在空间
扫描隧道显微镜下的48个Fe原子在Cu的表面排列成直径为 14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密 度的高低，围栏内是电子密度波的驻波,直观证明了电子的波动 性
微观粒子波粒二象性的正确理解
1) 粒子性 •整体性 •不是经典的粒子 没有“轨道”概 2) 波动性 念 •“可叠加性”：有干涉、衍射等现象 •不是经典的波 不代表实在物理量的波动
取比例系数为1，即
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对波函数的统 计解释，1954年诺奖。
因概率密度
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
即
续上 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、自时由间粒二子元函的数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方波程函数
在量自子由力粒学子中用的复能数量表和达动式：量为常量，其波函数所应描用述欧的拉德公布式
罗意波是平面波。
沿速直不对X方线是于向运常处匀动量在的，外自其场由粒波作子函 用的数下波所运函描动数为述的的非德自布由罗粒意子波，应就其用取德不能实布是量部罗平和意面动公波量式。
决于波强的绝对值。
各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
关于波粒二象性的两种错误观点：
错误之一：粒子是基本的，把电子波与经典波 (如声波)相类比，认为电子波是大量电子相互作
3)结论： 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质寓于一体， 却不能同时表现出来
少女？ 老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。
双缝 干涉 实验
光的波粒二象性的统计观点解释
令入射光极弱，光子数目 极少，光子将会在屏上出 现的确切位置无法预测。
延长曝光时间，可发现在光波干
28个光子 1000个光子
1万个光子
几百万个光子
请在放映状态随下堂点击小你议认为是对Leabharlann Baidu答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的即波函数也
不相同。
即
沿速直方线微向运观匀动客的体自由的粒运子的动波状函态数为可用波函数来描述即，这是 量子力学的一个基本假设。
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。
涉理论算得的各明纹区域，光子
出现的概率最大；
摄 影
各暗纹区域，光子 出现的概率最小。
底
继续延长曝光时间，
板
可得到明暗连续变
或
化的双缝干涉清晰
显
图像，并与强光入
微
射（大量光子同时
观
入射）一次曝光的
察
情况等效。
光子的行为不能用经典粒子的运动状态参量描述和准确预测； 光波在空间某处的强度反映了光子在该处附近出现的概率。
波函数的三波个标函准数条件标： 准条件
连续 单值
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
有限
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
概率波与经典波
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
质量为
速度为 的自由粒子
一方面可用 能量 和 频率 来描述它的粒子性
另一方面可用 动量 性