命题逻辑的推理理论
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命题逻辑的推理理论,证明方法
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⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛 刘峰
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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唐存琛 刘峰
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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4
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
命题逻辑的推理理论
前提引入 ①化简 ①化简 前提引入 ②④假言推理 前提引入 ③⑥假言推理 ⑤⑦析取三段论
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附加前提法
有时推理旳形式构造具有如下形式 ： 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
可将结论中旳前件也作为推理旳前提，使结论只为B。 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
当推理中包括旳命题变项较多时，上述三种措施演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B旳正确推理应该给出严谨 旳证明。
证明是一种描述推理过程旳命题公式序列，其中旳 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到旳结论（中间结论或推理中旳结论）。
要构造出严谨旳证明就必须在形式系统中进行。
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例题
（2） 形式构造：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p
①②析取三段论
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
⑦r
④⑥假言推理
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归谬法（反证法）
有时推理旳形式构造具有如下形式：
前提：A1, A2, …, Ak 结论：B
只要不出现(3)中旳情况，推理就是正确旳，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中旳情况。
推理正确，并不能确保结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
命题逻辑推理理论
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4.2.2 自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则：将结论作为后继证明前提 (3) 置换规则：子公式用与之等值的公式置换
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归结证明法(续)
在自然推理系统P中只需下述推理规则（P70-71）: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则
(5) 合取引入规则
(6) 归结规则
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归结证明法的基本步骤
1. 将每一个前提化成等值的合取范式, 设所有合取范式的 全部简单析取式为A1, A2,…, At 2. 将结论化成等值的合取范式B1B2…Bs, 其中每个Bj 是简单析取式 3. 以A1,A2,…,At为前提, 使用归结规则推出每一个Bj, 1js
r:我有课， 前提: (pq)r, s:我备课
r s,
s 结论: pq
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实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
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实例
例5 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p
结论: q 证明 用归缪法
①q 结论否定引入 ② r s 前提引入 ③ s 前提引入 ④ r ②③拒取式 ⑤ (pq)r 前提引入 ⑥ (pq) ④⑤析取三段论 ⑦ pq ⑥置换 ⑧ p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑩ pp ⑧⑨合取 推理正确, q是有效结论
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
3第三章 命题逻辑的推理理论
从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 从语言角度, 推理分为语义和语法两种。 语义(semantics)推理注重内涵的正确性 也就是从真 语义(semantics)推理注重内涵的正确性, 也就是从真 推理注重内涵的正确性, 要推出真的结论来, 的前提出发要推出真的结论来 推理过程考虑得少, 的前提出发要推出真的结论来, 推理过程考虑得少,关 心的是结论的正确性。 心的是结论的正确性。 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 语法推理则注重形式上的有效, 注重推理过程是否符 则注重形式上的有效 合某些事先规定的逻辑规则, 结论是严格遵循规则 合某些事先规定的逻辑规则, 若结论是严格遵循规则 有效的 得到的, 那便是有效 得到的, 那便是有效的。 数理逻辑主要采用语法推理, 数理逻辑主要采用语法推理, 它关心的是结论的有效 不关心前提的实际真值, 性，而不关心前提的实际真值, 当然语法推理作为一 种推理方法, 种推理方法, 它必须能反映客观事物中真实存在的逻 辑关系, 语法推理必须保证语义上的正确性 必须保证语义上的正确性。 辑关系, 即 语法推理必须保证语义上的正确性。
3、2.1节给出的24个等值式中的每个都可以 2.1节给出的 个等值式中的每个都可以 节给出的24 派生出两条推理定律。 派生出两条推理定律。 例如：双重否定律 A⇔¬¬A ⇔¬¬A 例如： 可以产生两条推理定律 A⇒¬¬A ¬¬A ¬¬A ¬¬A ⇒A
§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
由上一节知识可知，可以利用真值表法、等值演算法 由上一节知识可知，可以利用真值表法、 真值表法 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 和主析取范式法三种方法来判断推理是否正确。 三种方法来判断推理是否正确 但是，当推理中包含的命题变项较多时，以上三种 命题变项较多时 但是，当推理中包含的命题变项较多 方法的演算量太大。因此对于由前提A1, A2,…,Ak推 方法的演算量太大。因此对于由前提A B的正确推理应给出严谨的证明。 正确推理应给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列， 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每 是一个描述推理过程的命题公式序列 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 个公式是已知前提或者是由某些前提应用推理规则得 已知前提或者是 到的结论。 到的结论。
命题逻辑的推理理论
精品课件
精品课件
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
第三章推理的形式结构
充分性: 若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋 值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假 的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中 推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,Ak 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得 到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公 式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到 公式序列中的又一个公式。
（4） 假言推理规则
（5） 附加规则：
（6） 化简规则：
（7） 拒取式规则：
（8） 假言三段论规则：
A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为 真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推 理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 其中，前提是一个有限的公式集合，记为Г。 将由Г推B的推理记为Г├ B。 若推理是正确的，则记为Г B，否则记为Г B。
（9） 析取三段论规则：
（10） 构造性二难推理：
（11） 破坏性二难推理规则：
（12） 合取引入规则：
P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) 证明： ① p→s ② ┐s 前提引入
结论的否定 前提引入 前提引入 ②③析取三段 前提引人 ④⑤拒取式 ⑥置换 前提引入 ⑦⑧析取三段
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题逻辑的推理理论
10:44:53
16
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq (3) 证明 ① r s ② s ③ r ④ (p q) r 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
⑤ (p q)
⑥ pq
③④拒取式
⑤置换
10:44:53
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附加前提证明法
可见，推理的有效性是一回事，前提与结论的 真实与否是另一回事。所谓推理有效，指它的结 论是它的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它 的前提都为真，那么所得结论也必然为真，而并 不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理 是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它 的结论为假。
10:44:53
4
推理的形式结构
10:44:53
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练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp ((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
10:44:53
26
10:44:53
27
练习1解答
(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 用等值演算法
附加前提证明法: 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak
结论：CB 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
等价地证明
理由：(A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
10:44:53
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推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
3. (AB)A B 4. (AB)B A
命题逻辑推理理论
22
三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
4
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
14
实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
三、归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
4
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到 的及所用公式
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实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
8
实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证， 凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在 工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得 前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
离散数学之1—命题逻辑
pq 的逻辑关系：p为 q 的充分条件， 或者：q为 p 的必要条件。 注意：当 p 为假时，pq恒为真。 实例： 如果天气好，我就去游玩。 p → q 如果我得到这本小说，我将读完它。 p → q 如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 p → q
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
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蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
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数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
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蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
第一章命题逻辑(3)
解: 解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号 化.然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着 进行判断. (1)若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4 整除.所以a能被2整除. (1)设 p：a能被4整除. q: a能被2整除. 前提：p→q，p 结论：q 推理的形式结构：(p→q)∧p→q
主要内容
1.推理的形式结构 (1)推理前提 (2)推理结论 (3)推理正确 (4)有效推理 2.判断推理正确的方法 (1)真值表 (2)等值演算 (3)主析取范式 3.自然推理系统中的证明 4. (1)自然推理系统的定义 (2)自然推理系统的推理规则 (3)前提附加法 (4)归谬法
判断推理 1.理解并记住推理形式结构的三种等价形式 是否正确 (1) {A1,A2,…,Ak} |=B (2) A1∧A2∧…∧Ak→B P系统中 (3) 前提: A1,A2,…,Ak 证明时 结论: B 2.熟练掌握判断推理是否正确的三种方法(用 真值表, 等值演算,析取范式) 3.牢记P系统中的各种推理规则 4.对正确的推理,在P系统中给出严谨的证明序列 5.会用附加前提法和归谬法证明
例1.6.2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 : (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
设p:小张守第一垒. q:小李向B队投球. r:A队取胜. s:A队获得联赛第一名.
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q 证明：用归谬法 ①q 结论的否定引入 ② ┐r∨s 前提引入 ③ ┐s 前提引入 ④ ┐r ②③析取三段论 ⑤(p∧q)→r 前提引入 ⑥ ┐(p∧q) ④⑤拒取式 ⑦ ┐p∨┐q ⑥置换 ⑧p 前提引入 ⑨ ┐q ⑦⑧析取三段论 ⑩ q∧┐q ①⑨合取
离散数学命题逻辑
Q）
(MQ) P（附加前提）
(2) SR
P
第一章命题逻辑
本题即证：M Q, MS, SR R→Q (3) RS T(2)E (4) S T(1)(3)I (5) MS P (6) M T(4)(5)I (7) (MQ) P (8) MQ T(7)E (9) (MQ)∧(QM) T(8)E (10) QM T(9)E (11) MQ T(10)E (12) Q T(6)(11)E (13) R→Q CP
第一章命题逻辑
请根据下面事实，找出凶手：
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。 H:清洁工富裕. G:经理有钱. 命题符号为： A∨B,AC,DC,DE,HA,G∧H,E ?
第一章命题逻辑
例题1-8.2 用命题逻辑推理方法证明下面推理的 有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不 热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不 及格。因此，我热衷于玩朴克。 解 设 P：我学习。 Q：我数学及格。 R：我热衷于玩朴克。 于是符号化为： P→Q，R→P，Q R
1-8 推理理论
第一章得出一个新 的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。 得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程， 即令H1，H2，…，Hn是已知的命题公式(前提)， 若有 H1∧H2∧....∧Hn C 则称C是H1，H2，…Hn的有效结论，简称结论。
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
第1章 命题逻辑_逻辑推理
判断推理是否有效(正确)
• 主析取范式法
• 构造证明法
证明推理有效(正确)
说明：用前3个方法时采用形式结构
“ A1A2…AkB” . 用构造证明时, 采用
“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
8
真值表技术
9
真值表技术判断
10
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2是无理数，s：4是素数
推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
23
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② pr
前提引入
③ rs
前提引入
④ ps
②③假言三段论
⑤ p
①④拒取式
⑥ pq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
24
构造证明之三——归谬法(反证法)
32
作业
2.应用题 某公司有甲、乙、丙、丁、戊五位职员，大家商量假日的值班问题， 有如下四条意见： （1）如果甲来值班，那么乙或丙也来值班。 （2）如果乙来值班，那么丁也来值班。 （3）如果丙来值班，那么丁也来值班。 （4）只有甲来值班，戊才来值班。 （5）戊是来值班的。 问：丁是不是来值班？说明在推导过程中的每一步用的是什么推理过 程。
（不正确、错误）.
“A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确 当且仅当 A1A2…AkB为重言式.
推理的形式结构: A1A2…AkB 或 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
命题逻辑的推理规则与方法
命题逻辑的推理规则与方法命题逻辑是一种研究命题之间关系的逻辑学分支。
在命题逻辑中，推理规则和方法是非常重要的，它们帮助我们理解和分析命题之间的逻辑关系，从而做出正确的推理和判断。
本文将探讨命题逻辑的推理规则和方法，并分析其在实际生活中的应用。
首先，命题逻辑的推理规则和方法主要包括三大类：前提-结论推理、等价推理和归谬推理。
前提-结论推理是最常见的推理方式，它基于命题之间的因果关系或前提与结论之间的逻辑关系。
例如，如果前提是“所有人都会死亡”，那么结论可以是“我也会死亡”。
这种推理方式在日常生活中非常常见，我们可以根据已知的前提来得出结论。
其次，等价推理是基于命题之间的等价关系进行推理的方法。
等价关系指的是两个命题具有相同的真值，即它们要么同时为真，要么同时为假。
通过等价推理，我们可以将一个复杂的命题转化为更简单的形式，从而更容易进行推理。
例如，如果我们知道命题A等价于命题B，而命题B又等价于命题C，那么我们可以得出命题A等价于命题C的结论。
最后，归谬推理是一种通过反证法来推理的方法。
它基于命题之间的否定关系进行推理。
当我们无法直接证明一个命题的真值时，我们可以假设它的否定命题为真，然后通过逻辑推理得出矛盾的结论，从而证明原命题的真值。
这种推理方法在数学和科学领域中经常被使用，它帮助我们发现并排除错误的推理和假设。
命题逻辑的推理规则和方法在实际生活中有着广泛的应用。
它们帮助我们进行科学研究、法律判断、决策分析等方面的推理和判断。
例如，在科学研究中，我们可以根据已有的实验数据和理论知识，运用命题逻辑的推理规则和方法来验证或推导新的科学理论。
在法律领域，法官和律师们可以运用命题逻辑的推理规则和方法来分析证据，判断被告人的罪责。
在日常生活中，我们也可以运用命题逻辑的推理规则和方法来解决问题，做出正确的决策。
然而，命题逻辑的推理规则和方法也存在一些局限性。
首先，命题逻辑只能处理命题之间的逻辑关系，而无法处理更复杂的语义关系。
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自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理 感兴趣的可以阅读《GEB－－一条永恒的金带》
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有一位理发师声称，他给所有不给自己理发的 人理发
爱皮梅尼特是一个克里特岛人。他说：“所有 的克里特岛人都撤谎。”
第一类集合不能以自己为元素，也就是说自己 不能属于自己，我们称为r型。第二类集合可以 以自己为元素，我们称为s型。
第三章:命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理形式结构
逻辑(语义)蕴涵：给定A1,…,Ak和B
❖符号：{A1,…,Ak} ⊨ B ❖对任意赋值v:
• 如果v(Ai)=T,则v(B)=T • 或者存在Ai使得v(Ai)=F
❖称由前提A1,…,Ak 推出结论B的推理是有效的 ❖B为有效结论
讨论
❖蕴涵跟蕴涵式的关系？ ❖注意: 推理正确不能保证结论一定正确
2
3.1 推理形式结构
例子
❖ {p, p q} ⊨ q ❖ {p, q p} ⊨ q
4
3.1 推理形式结构
蕴涵元符号： A1…Ak B 代表 {A1,…,Ak} ⊨ B 推理形式结构
❖前提A1,…,Ak ❖结论：B
5
3.1 推理形式结构
判断推理是否正确方法
① 真值表法 ② 等值演算法 ③ 主析取范式法
6
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
9
3.1 推理形式结构
推理定律
A (A B) (A B) A (A B) A B (A B) B A (A B) B A (A B) (B C) (A C) (A B) (B C) (A C) (A B) (C D) (A C) (B D) (A B) ( A B) B (A B) (C D) ( B D) ( A C)
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
7
7
推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
证明《数学原理》所定义的系统既是一致的(无 矛盾)又是完备的(该系统的理论框架中容纳了 每个正确的数论命题)。这就是数学史上著名的 希尔伯特纲领。
T
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3.2 自然推理系统P
从一组已知为真的事实出发，直接运用经典逻 辑推理规则推出结论的过程
为什么要自然演绎(natural deduction)？ 给出验证 A1…Ak B 的推理过程 需要引入证明的概念 自然演绎模拟人类的推理
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
8
8
3.1 推理形式结构
推理定律
A (A B) (A B) A (A B) A B (A B) B A (A B) B A (A B) (B C) (A C) (A B) (B C) (A C) (A B) (C D) (A C) (B D) (A B) ( A B) B (A B) (C D) ( B D) ( A C)
p q p(pq) q p(q p)
q
F FF
FF
F
F TF
TF
T
TFF
FT
F
T TT
TT
T
3
3.1 推理形式结构
定理：{A1,…,Ak} ⊨ B 当且仅当 A1…Ak B 为重言式
证明 必要性：任意v, v(Ai)=T则v(B)=T 所以v(A1…Ak B)=T 充分性：任意v, v(A1…Ak B)=T 如果v(Ai)=T则v(B)=T
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
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3.1 推理形式结构
证明：(A B) (B C) (A C) ((A B) (B C)) (A C)
((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) A) ((B C) C)) (B A) (B C)
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有一位理发师声称，他给所有不给自己理发的 人理发
爱皮梅尼特是一个克里特岛人。他说：“所有 的克里特岛人都撤谎。”
第一类集合不能以自己为元素，也就是说自己 不能属于自己，我们称为r型。第二类集合可以 以自己为元素，我们称为s型。
第三章:命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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3.1 推理形式结构
逻辑(语义)蕴涵：给定A1,…,Ak和B
❖符号：{A1,…,Ak} ⊨ B ❖对任意赋值v:
• 如果v(Ai)=T,则v(B)=T • 或者存在Ai使得v(Ai)=F
❖称由前提A1,…,Ak 推出结论B的推理是有效的 ❖B为有效结论
讨论
❖蕴涵跟蕴涵式的关系？ ❖注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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3.1 推理形式结构
例子
❖ {p, p q} ⊨ q ❖ {p, q p} ⊨ q
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3.1 推理形式结构
蕴涵元符号： A1…Ak B 代表 {A1,…,Ak} ⊨ B 推理形式结构
❖前提A1,…,Ak ❖结论：B
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3.1 推理形式结构
判断推理是否正确方法
① 真值表法 ② 等值演算法 ③ 主析取范式法
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
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3.1 推理形式结构
推理定律
A (A B) (A B) A (A B) A B (A B) B A (A B) B A (A B) (B C) (A C) (A B) (B C) (A C) (A B) (C D) (A C) (B D) (A B) ( A B) B (A B) (C D) ( B D) ( A C)
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
7
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推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
证明《数学原理》所定义的系统既是一致的(无 矛盾)又是完备的(该系统的理论框架中容纳了 每个正确的数论命题)。这就是数学史上著名的 希尔伯特纲领。
T
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3.2 自然推理系统P
从一组已知为真的事实出发，直接运用经典逻 辑推理规则推出结论的过程
为什么要自然演绎(natural deduction)？ 给出验证 A1…Ak B 的推理过程 需要引入证明的概念 自然演绎模拟人类的推理
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
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8
3.1 推理形式结构
推理定律
A (A B) (A B) A (A B) A B (A B) B A (A B) B A (A B) (B C) (A C) (A B) (B C) (A C) (A B) (C D) (A C) (B D) (A B) ( A B) B (A B) (C D) ( B D) ( A C)
p q p(pq) q p(q p)
q
F FF
FF
F
F TF
TF
T
TFF
FT
F
T TT
TT
T
3
3.1 推理形式结构
定理：{A1,…,Ak} ⊨ B 当且仅当 A1…Ak B 为重言式
证明 必要性：任意v, v(Ai)=T则v(B)=T 所以v(A1…Ak B)=T 充分性：任意v, v(A1…Ak B)=T 如果v(Ai)=T则v(B)=T
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难（特殊形式） 破坏性二难
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3.1 推理形式结构
证明：(A B) (B C) (A C) ((A B) (B C)) (A C)
((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) (B C)) (A C) ((A B) A) ((B C) C)) (B A) (B C)