微分中值定理练习题

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微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

第三章微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用习题专业、班级：学号：姓名：一、选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（）A.x e x f =)(B.||)(x x f =C.21)(x x f -=D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10 ,1sin )(x x xx x f3.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（） A.x x x sin lim 20→ B.x x x tan 0)1(lim +→C. x xx x sin lim +∞→ D.x nx e x +∞→lim4.设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（）A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的D. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的5.下列函数中，在指定区间内单调减少的函数是（）A.x y -=2 ),(∞+-∞B.x y e = )0,(-∞C.x y ln = ),0(∞+D.x y sin = ),0(π6.若)(x f 在0x 至少二阶可导，且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ，则函数)(x f 在0x处（）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值二、填空题1. 设函数)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有个实根，分别位于区间中．2. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a ．3. 函数x y sin ln =在[65 ,6 ππ]上的罗尔中值点ξ= ． 4. 若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b ．5. 求函数2824+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值为，最小值为．6. 函数)1ln(+-=x x y 在区间内单调减少，在区间内单调增加．7. 曲线8 2x ey -=的凸区间是．三、计算题1.求下列极限（1）n n m m a x a x a x --→lim （2）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→（3）)1 ln 1(lim 1--→x x x x （4）x x x e e x x x sin 2lim 0----→2.求函数133+-=x xy 在区间[-2，0]上的最大值和最小值．3.求函数12-+=x x x y 的拐点及凹或凸的区间．4.求函数496 23-+-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．四、证明题1.求证当0>x 时， )1ln(212x x x +<-．2.求证当1>x 时，1)1(2ln +->x x x ．。

微分中值定理(2024版)

0
由的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有一点 C ,在该点处的切线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()

考研数学一：微分中值定理(37)(22题)

证明: 对于满足 α+ =1 的正数 α , , 在 (0 , 1) 内存在相异两点 ξ , η , 使解
f ' () f ' () 1
利用拉格朗日中值定理得
f ( ) f ( ) f (0) f ' ( ) , (0, ) f (1) f ( ) f ' ( )(1 ) , ( ,1) 1 f ( ) f ' ( )
说明：辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子
例4 设 f (x) 可导, λ为任意实数, 则 f (x)的任意两个零
点之间, 必有 f ( x ) f ' ( x ) 的零点
解设 x1< x2 是 f (x) 的任意两个零点，要证：存在
ξ(x1, x2) 使

f ( ) f ' ( ) 0
f ' () 0
y y 说明:
A B
2
1) 几何意义
0 o
a
b xx
2) 罗尔定理涉及了方程根的问题
例2 若 f (x)在 0, 1上连续, 在 (0,1)内可导, 且 f (1)=0 ,
则在 (0,1) 内存在点ξ, 使
f ' ( ) f
解
f ( ) f ' ( ) f ' ( ) f ( ) 0, (0,1)

[ xf ( x )]' x 0, (0,1)
取辅助函数 F ( x ) xf ( x ) ，则 F(x)在 0, 1上连续，在 (0,1)内可导，且F(0) = F(1) = 0，根据罗尔定理，存在 ξ(0,1) , 使

微分中值定理例题

微分中值定理习题五

微分中值定理习题五微分中值定理习题五1、ln(1),1,0() (1,),,0,x x x f x xA x +?>-≠?=-+∞??=? 当设在上连续当 ,()0.A f x x '=求值并判定在处的连续性2、[)).1(,,0)(1,10,0,1,0,1ln )(f x f x x x x xx x x f '+∞=-=≠>-=并求上连续在试证明，，设函数3、()()()().tan cos 1lim ,20,00,20xx f ff x f x -==→试求且具有⼀阶连续导数设函数 4、.)(lim ,2)0(,1)0(,0)0(,)(20xxx f f f f x f x -=''='=→试求且具有⼆阶导数设函数 5、240(sin )(),(0)(0),(0) 6 , lim .x f x f x f f f x →'''==设函数具有连续⼆阶导数且求 6、.tan )cos (sin lim ,2)1(,0)1(,)(20xx x x f f f x f x +='=→试求且具有连续⼀阶导数设 7、()cos 0,() (),(0)10.x xx f x x xa x φφφ-?≠?==??=?，设其中具有⼆阶导数且， (1),()0;(2)()0.a f x x f x x ='=确定值使在处连续讨论在处的连续性8、.0,0,,0,)1()(111处的连续性在点时当　时　当　讨论函数=≤>????+=-x x e x e x x f x x 9、(),0()0,(0)4,f x x f x f ''=≠=设具有⼆阶导数且在的去⼼邻域内已知.)(1lim ,0)(lim1x x x x f x x f ??+=→→求 10、00()[,],(,)(),f x a b x a b f x ''∈设在有连续的⼀阶导数且存在0002()()2()lim.t f x t f x t f x t →++--研究极限11、1()()n n f x R x +把阶可导函数展开为带拉格朗⽇型余项的泰勒展开式0100()()()()n n n f x a a x x a x x R x =+-++-+().n R x 试写出的表⽰式12、1()n f x +把阶可导函数展开为带拉格朗⽇型余项的麦克劳林展开式012()()n n n f x a a x a x a x R x =+++++().n R x 试写出的表⽰式13、00()(1),,f x x n x n -设在的某邻域内有阶导数在处有阶导数(1)000()()()0n f x f x f x -'''==== 且00()()lim.()nx x f x f x x x →--求 14、判定函数的单调性y x =+1212ln() 15、的单调性判定函数xx y 12-= 16、判定函数的单调性y x x =+cos 17、讨论函数的单调性y x x =-+3 31 18、判断函数　的单调性并证明y x a b a b a a b b=++++≤+++11111, 19、有⼏个实根试讨论⽅程设　ax x ea =≥ln 120、的根的情况程在实数范围内试讨论⽅)0(>=-a a xex21、⽅程是否有实根若有则指出所在范围e x x=+2?, 22、00(),()0,x x x φφ≠设函数在处连续且试研究40()()()f x x x x φ=-0x 在处的极值情况.23、研究函数在处是否取得极值f x x x e x x ()()=--03024、000,()()(),(),()0,n n f x x x x x x x φφφ=->设为正整数其中在处连续且0()f x x 研究在处是否取得极值25、[]2()()3()1 , xf x x xf x x f x e -'''+=-设对⼀切实数满⾜为如()(0)f x x c c =≠在处有,,()f c 极值时试判断是极⼤值还是极⼩值26、研究函数的极值为⾃然数y x x x x n e n n x=+++++-()()12323 27、⼤值或是极⼩值若有极值则应指明是极是否有极值讨论函数,sin x x y -= 28、最⼤值的最⼩值讨论函数,122--=x x y29、研究函数在，上的最⼤值和最⼩值y a x b xa b =+->>2210001(,)() 30、研究函数在时的最⼤值最⼩值y x x x =-<<2022tan tan ,π31、研究在时的最⼤值与最⼩值y x xx =-<2540, 32、研究函数在，内的最⼤值与最⼩值y x x=+∞(.)0133、?,,20,问其⾼应为多少要使其体积最⼤其母线长要做⼀个圆锥形漏⽃cm 34、体的⾼求体积最⼤的内接圆柱的球内在半径为,R 35,,a V 造⼀壁厚为容积为上端开⼝的圆柱形容器要使所⽤的材料最省问应如何选择尺⼨.36、才使盒⼦的容积最⼤问⼩⽅块的边长为多少⽅盒⼦作成⼀个⽆盖的⽅块从四个⾓截去同样的⼩的正⽅形铁⽪设有⼀块边长为,,,a37、问各边长为多少时关系：其底边成其体积为的带盖的箱⼦欲做⼀个底⾯为长⽅形,,2172,3cm38、应选在何处问省运货到⼯⼚所⽤运费最原料供应站使向⼯⼚修建⼀条公路之间选⼀点现准备在元的运费为⽕车元已知汽车运费为相距且如图垂直于且⼯⼚在铁道线外有⼀相距与原料供应站上有⼀点假设是直线在铁道线?,,,,)(,20,)(,,100)(D B D B A n m kmt n kmt m km A C AB CA C km B A >??39、⼀⽇只⼩船已知每次拖在两港之间来回运货船若⼲只⽤汽船拖载重相等的⼩,4,,?,,,10,7,16运货量达到最多每次拖多少只⼩船能使问每⽇来回多少次⽐回的次数成正若⼩船增多的只数与来次⼀⽇可来回只⼩船每次拖次能来回40、最⼤所围成的的三⾓形⾯积的切线与所作的使得过此点上求⼀点在曲边围成的曲线边三⾓形由AB OA x y OB OAB x y x y ,,,,8,022====41、,),)((⼤才使⽔槽的横断⾯积最为多⼤时问侧⾯与底的倾⾓如图⽆上盖成⼀个梯形的排⽔槽由三块同⼀宽度的板做α42、才最省材料问怎样选择尺⼨如图的⾓度柱底⾯半径成圆锥母线与圆⽽池底为圆锥形容积为澄清池要造⼀个⽆盖柱形快速,)(,4, 1000,3π=? m43、最⼤成的圆锥形容器的容积才能使余下部分围为多⼤时问其中⼼⾓剪去⼀个扇形的圆铁⽚将半径为,,,αr44、最节省纸张问以怎样地尺⼨排印才右要留左下边空⽩处要留上占在⼀页书纸上排印⽂字,,,),(2bcm acm cm S45、,),(,其最⼤长度是多少问能驶进运河的船如图⼆者成直⾓相交⽶的运河⽶的河修筑⼀宽为由宽为b a46、,),(3,7,最⼤才能使视⾓远处问此观众坐在距银幕多观众的视平线银幕底边⾼于某坐着的银幕⾼在平地露天放映电影θm m 47、设有半径为a 的圆桌，光源的照度与光线的倾解θ的正弦成正⽐，与光源到被照物的距离平⽅成反⽐。

微积分中值定理习题[精品]

第三章中值定理与导数的应用§1 中值定理一、证明：当1>x 时，x e e x⋅>。

二、证明方程015=-+x x 只有一个正根。

三、设)()(x g x f 、在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使得)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-= 四、证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则x e x f =)(。

五、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且)0()0()0()1(-=='=n f f f ，试用柯西中值定理证明：10 !)()()(<<=θθ，n x f xx f n n§2 洛必达法则一、求下列极限（1）2031)cos(sinlim xx x -→=（2）xxx x 30sin arcsin lim -→= （3）x x x 21sin 1)1cos(ln lim π--→=（4）x x x x 21cot ])1[ln( lim π--+→=（5）21)arcsin ( lim 0x xx x →=（6）x cb ac b a x x x x 1)(lim 1110+++++++→，其中0≠++c b a 。

§3 泰勒公式一、求函数x x f tan )(=的二阶麦克劳林公式。

二、求函数xxe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

、当40=x 时，求函数x y =的三阶泰勒公式。

三、当10=x 时，求函数x x x f ln )(2=的n 阶泰勒公式。

§4 函数单调性的判定法一、确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln 22-=；（2）)0())(2(32>--=a x a a x y ，二、证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；三、设在],[b a 上0)(>''x f ，证明函数ax a f x f x --=)()()(ϕ在],(b a 上是单调增加的。

微分中值定理题目

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。

微分中值定理的证明题660

微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。

证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。

2.设，证明：，使得。

证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。

3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。

证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。

试证至少存在一个(0，1)，使=1。

分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。

中值定理证明练习题

中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。

在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。

题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。

解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。

这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。

因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。

接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。

根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。

因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。

微分中值定理及导数应用双周练习卷

lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1；最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2

3第三章-微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根． 6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bb a b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1．填空题（１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin lim x xx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xxe x x e e x x x xx x x （７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xxx x x xx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解：因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim 20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πx x >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ ) A ．取得极大值 B ．取得极小值 C ．无极值 D ．不一定有极值 3．求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。

（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。

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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。

微分中值定理习题

微分中值定理习题五1、ln(1),1,0() (1,),,0,x x x f x x A x +⎧>-≠⎪=-+∞⎨⎪=⎩ 当设在上连续当 ,()0.A f x x '=求值并判定在处的连续性2、3、4、5、240(sin )(),(0)(0),(0) 6 , lim .x f x f x f f f x→'''==设函数具有连续二阶导数且求 6、7、()cos 0,() (),(0)10.x x x f x x x a x φφφ-⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，设其中具有二阶导数且， (1),()0;(2)()0.a f x x f x x ='=确定值使在处连续讨论在处的连续性 8、9、(),0()0,(0)4,f x x f x f ''=≠=设具有二阶导数且在的去心邻域内已知10、00()[,],(,)(),f x a b x a b f x ''∈设在有连续的一阶导数且存在00020()()2()lim .t f x t f x t f x t→++--研究极限 11、1()()n n f x R x +把阶可导函数展开为带拉格朗日型余项的泰勒展开式0100()()()()n n n f x a a x x a x x R x =+-++-+().n R x 试写出的表示式12、1()n f x +把阶可导函数展开为带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式012()()n n n f x a a x a x a x R x =+++++().n R x 试写出的表示式13、00()(1),,f x x n x n -设在的某邻域内有阶导数在处有阶导数(1)000()()()0n f x f x f x -'''====且000()()lim.()nx x f x f x x x →--求 14、15、16、17、18、19、20、21、 22、00(),()0,x x x φφ≠设函数在处连续且试研究40()()()f x x x x φ=-0x 在处的极值情况.23、24、000,()()(),(),()0,n n f x x x x x x x φφφ=->设为正整数其中在处连续且0()f x x 研究在处是否取得极值25、[]2()()3()1 , x f x x xf x x f x e -'''+=-设对一切实数满足为如 ()(0)f x x c c =≠在处有,,()f c 极值时试判断是极大值还是极小值26、27、28、29、30、31、32、33、34、35,,a V 造一壁厚为容积为上端开口的圆柱形容器要使所用的材料最省问应如何选择尺寸.36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、设有半径为a的圆桌，光源的照度与光线的倾解的正弦成正比，与光源到被照物的距离平方成反比。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

>第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

微分中值定理与导数的应用练习题

题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等）三．函数的单调性及极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性及拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间及极值题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题二．选择题三．解答题4月13日微分中值定理及导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。

4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。

5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是．6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有个实根，分别位于区间中．7. =→x x x 3cos 5cos lim 2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 9.)tan 11(lim 2x x xx -→=3110.0lim(sin )x x x +→=1二．选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（）．A. x e x f =)(B. ||)(x x f =C. 21)(x x f -=D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→n n n n n en ln limlim11lim=∞→n n eB ． =-+→x x x x x sin sin lim∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sinlim020-=→→不存在D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→xx e5．在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．xx x sin lim20→ B ．x x xtan 0)1(lim +→ C ．x xx x sin lim+∞→ D ． xnx e x +∞→lim综合题：三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

考研：微分中值定理的证明题汇总

考研：微分中值定理的证明题汇总
1、借助中值定理求极限
拉格朗日定理
形如f(a)-f(b)的形式，可以通过拉格朗日定理转化为
f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b)
例：arctan(a)-arctan(b)
泰勒公式
2、证明 f'(ξ)=0 或 f"(ξ)=0
1、通常使用罗尔定理证明，其中
证明 f'(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)=f(c)；
证明存在 f'(ξ1)=f'(ξ2)=0；
进而证明存在η使得 f"(η)=0
证明 f"(ξ)=0
证明存在 f(a)=f(b)；
进而证明存在ξ使得 f'(ξ)=0
一般来说，证明f(a)=f(b)=f(c)的方法有
介值定理
零点存在定理
积分中值定理
2、当罗尔定理无法证明时，尝试使用费马引理证明
3、证明 G[f'(ξ), f(ξ), C]=0（导数，函数，常数在一点的
等式）
通过：
观察
将方程两端求导
求解微分方程
构建辅助函数，进而通过罗尔定理求证。

4、涉及到两个函数的问题
使用柯西中值定理进行证明
5、双介值问题
介值不能相同
用两次拉格朗日中值定理进行证明
介值可以相同
考虑使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明。