函数的极大值与极小值

12．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出函数 的导数，令 可得 ，再令 ，原问题可以转化为 有两个零点，求出 的导数，分析 的单调性，分析可得答案．
【详解】
， ，
令 ，得 ，再令 ，
函数 在 上恰有两个极值点，
有两个零点，
又 ，令 ，得 ，且 ；
令 ，得 ， 函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，由于 ，
专项训练：导数的极大值与极小值
一、单选题
1．已知函数f(x)＝xlnx－aex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A． B．(0，e)
C． D．(－∞，e)
2．函数y＝xex的最小值是( )
A．－1B．－e
C．－ D．不存在
3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A． B．－
31．设函数 ，且 为 的极值点.
（1）若 为 的极大值点，求 的单调区间（用 表示）；
（2）若 恰有两解，求实数 的取值范围.
32．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，证明： ．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数 有两个不同的交点，然后求 的导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定 图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.
10．B
【解析】
【分析】
任意的 、总有 即是 ，再由函数的单调性可以得出结果。
【详解】
由题意 在 上递减得 ，由对任意的 ，总有 ，得 ，即 ，因此 ， 选B.
【点睛】
本题是对二次函数的综合应用，通过单调性得出t的最小值，再通过取值范围得出t的最大值。
11．C
【解析】
【分析】
由题意，代入 ，求得 ，由 ，得到方程的两根，即可判定函数的单调性和函数的极小值，得到答案．
23．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2－2x－4lnx；
(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－ (a∈R且a≠0).
24．已知三次函数 的图象如图所示，则 __________．
25．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________.
26．己知函数 ．若函数 在定义域内不是单调函数，则实数 的取值范围是__________．
C．－ln 2D．ln 2
4．已知函数 ，则（ ）
A． 有 个零点B． 在 上为减函数
C． 的图象关于 点对称D． 有 个极值点
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3B．a<－3
C．a>－ D．a<－
6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A． B．－
【详解】
因此 ，故 ，所以 ，故判断 无零点判断，A错.
又 ，
当 时 ，故 在 为减函数，所以B正确.
，因 ，故函数的图像不关于 对称，所以C错误.
考虑 及 的图像（如图所示），
它们在 上有且仅有一个交点，
故 在 上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故 有一个极值点，所以D错.综上，选B.
6．B
【解析】
【分析】
对函数求导，由y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，即可得出结论．
【详解】
y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，
即1+xln2=0，x=﹣ ．
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数的极小值点为
故选：B．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
20．已知a R，函数 在区间[1，4]上的最大值是5，则 的取值范围是___________．
21．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝ x3－ x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
22．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________．
【详解】
f(x)＝xlnx－aex(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1－aex(x>0)，由已知函数f(x)有两个极值点可得y＝a和g(x)＝ 在(0，＋∞)上有两个交点，
g′(x)＝ (x>0)，令h(x)＝ －lnx－1，
则h′(x)＝－ － <0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
7．C
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
【详解】
f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
【详解】
设f（x）=eax+3x，则f′（x）=3+aeax．
若函数在x∈R上有大于零的极值点．
即f′（x）=3+aeax=0有正根．
当有f′（x）=3+aeax=0成立时，显然有a＜0，
此时x= ln（﹣ ）．
由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．
x＝－ 时函数取极小值，所以x＝－ .选B.
【点睛】
已知函数求极值.求 →求方程 的根→列表检验 在 的根的附近两侧的符号→下结论.
4．B
【解析】
【分析】
因为 ，故可判断 无零点，而 ，
当 ，可通过 的符号确定其单调性，通过考虑 与 可得 极值点的个数.最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于 对称.
【点睛】
利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.
3．B
【解析】
【分析】
先求导数，再求导函数零点，最后验证.
【详解】
y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－ .经检验，
A． , B． , C． , D． ,
9．若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知在 上递减的函数 ，且对任意的 ，总有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 ，当 时，函数 的单调减区间和极小值分别为（）
A． B． C． D．
12．若函数 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围为（）
∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)≤g(1)＝ ，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(1)＝ ，
而x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0；
若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<a< .
【详解】
的定义域为（ ），
当 时， ，
由 得 ，
由 得 ，或 ，由 得 ，
∴ 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
∴ 极大值为 ；极小值为 ，选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表格Байду номын сангаас知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵ +f（x）= +x3+ax2+bx+c= ﹣ +2c，
= ，
∵ +f（x）= ，
∴点P 为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则 ，故D正确．
三、解答题
27．已知函数 ，且 为常数）
(Ⅰ)若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围；
(Ⅱ)当 时，若 （其中 ）恒成立，求 的最小值 的最大值.
28．已知函数f(x)＝ex－ ，a为实常数.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，且极值大于ln 4＋2，求a的取值范围.
9．C
【解析】
【分析】
先利用导数求出函数的单调区间，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，数形结合得到 ，即得a的取值范围.
【详解】
因为 ，令 ，所以 ，所以函数 在 ， 上单调递增；在 上单调递减，要函数 在 上有最小值，所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．
故答案为：C
【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合得到 .
C．－ln 2D．ln 2
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )