兔子数列

“兔子数列”和黄金分割点

赵子尧

假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。

A.144

B.233

C.288

D.466

【答案】B。按照题干的条件，就是说兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖成多少对兔子？我们拿新出生的一对小兔子来推导一下：

1个月后，小兔子仍没有繁殖能力，所以还是1对，但变成了大兔子；2个月后，生下一对小兔子，所以共有2对；3个月后，大兔子又继续生下1对小兔子，而此时小兔子变成大兔子，但还没有繁殖能力，所以一共是3对；

依次类推我们可以列出下表：

从上表中找寻数据之间的规律：

小兔子对数=上个月大兔子对数

大兔子对数=上个月大兔子对数+上个月小兔子对数

总体对数=本月大兔子对数+本月小兔子对数

通过上表，我们发现，经过0，1，2，3，……11，12个月后兔子的总数目，构成了这样一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233...

这个数列的特点非常明显，它的递推特征是从第三项开始，每项等于前两项数字之和，即2=1+1，3=1+2，5=2+3……以此类推。这个数列就是意大利数学家斐波那契提出的著名的“斐波那契数列”，也就是传说中的“兔子数列”。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

兔子数列有很多奇妙的属性,比如：从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1;随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近0.6180339887……，这不是一个循环小数，它是一个无理数，我们称之为黄金分割点，也叫黄金比。

什么是黄金分割点？是要切割黄金吗？一个数字如何切割黄金，之所以叫黄金分割点，是因为这个数字极为神秘，似乎隐含着某些生命的秘密。比如肚脐眼就在人体的0.618处，花瓣的数量都是斐波那契数列中的数，如兰花是五个花瓣，雏菊是十三瓣，甚至松果的种子也是排成八或十三条，大自然里的神秘还没有人能解开。黄金分割点也神秘地包含着美的信息，我们最常见的五角星，人们都觉得它的图案极其美丽和谐，而他相邻两个顶点的连线，和隔一点的顶点连线长之比居然就是黄金比

0.6180339887……

建筑学家早就懂得使用黄金比，埃及法老胡夫的金字塔就采用了这个神奇的比例，所以它的整个结构和搭配是那样美观。另外，像二胡、小提琴等弦乐器，当弹奏者把琴码放在黄金分割点时，乐器发出的声音最动听。

兔子数列和黄金分割点有着紧密的联系，只有不断研究和探索，才能解开她神秘而美丽的面纱，才能发现蕴藏在数学中的理性之美。