第二章优化设计1-2
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2025优化设计一轮第2节 充分条件、必要条件、充要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
2.p是q的充分不必要条件⇔¬p是¬q的必要不充分条件;p是q的必要不充分
条件⇔¬p是¬q的充分不必要条件;p是q的充要条件⇔¬p是¬q的充要条件.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.( √ )
所以1-m≤1+2m,即m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以集合B
1- ≥ 1,
是集合A的真子集,则有m≥0且
1 + 2 ≤ 5
取到),解得m=0,故实数m的取值集合是{0}.
(不等式组中两个等号不同时
变式探究1
在本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m
2
1
3
-1
2
},
(2)(2024·山东潍坊模拟)若“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,则α的
π
π
(只需满足 α∈(2kπ,2kπ+ )(k∈Z)即可)
一个可能值是______________________________________.
4
2
解析
所以
π
π √2
由 sin x+cos x>1 可得√2sin(x+4)>1,则 sin(x+4)> 2 ,
充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p⇒q,q p
p是q的_________________条件
充分不必要
p q,q⇒p
p是q的必要条件
p是q的充要条件
2.p是q的充分不必要条件⇔¬p是¬q的必要不充分条件;p是q的必要不充分
条件⇔¬p是¬q的充分不必要条件;p是q的充要条件⇔¬p是¬q的充要条件.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.( √ )
所以1-m≤1+2m,即m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以集合B
1- ≥ 1,
是集合A的真子集,则有m≥0且
1 + 2 ≤ 5
取到),解得m=0,故实数m的取值集合是{0}.
(不等式组中两个等号不同时
变式探究1
在本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m
2
1
3
-1
2
},
(2)(2024·山东潍坊模拟)若“x=α”是“sin x+cos x>1”的一个充分条件,则α的
π
π
(只需满足 α∈(2kπ,2kπ+ )(k∈Z)即可)
一个可能值是______________________________________.
4
2
解析
所以
π
π √2
由 sin x+cos x>1 可得√2sin(x+4)>1,则 sin(x+4)> 2 ,
充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p⇒q,q p
p是q的_________________条件
充分不必要
p q,q⇒p
现代设计理论与方法(优化设计第二章)
证明：作变换 X Y Q b 式中： (Y ) f (Y Q 1b)
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
人教PEP版五年级英语上册优化设计unit2
人教PEP版五年级英语上册优化设计第二单元测试听力部分一、听录音，选出与听到内容相符的图片。
每小题听两遍。
( )1. A. B.( )2. A. B.( )3. A. B.( )4. A. B.( )5. A. B.二、听录音，判断图片或句子的正（√）误（×）。
每小题听三遍。
( )6．( )7.( )8. Miss White is kind and funny.( )9. Today is Thursday.( )10. Chen Jie often plays the pipa on the weekend.三、听录音，选出与听到内容相符的应答语。
每小题听三遍。
( )11. A. It’s Friday. B. It’s blue. C. It’s eight o’clock. ( )12. A. Yes, I do. B. Yes, I can. C. No, I’m not.( )13. A. I have music and English on Wednesdays.B. He is thin and tall.C. I’m a PE teacher.( )14. A. I often play sports on Sundays.B. It’s time to have maths.C. It’s Saturday. ( )15. A. No, he isn’t.B. Yes, she is. C. Yes, I am.四、听短文，判断正误。
短文听三遍。
( ) 16. Jerry is a teacher.( ) 17. Jerry loves Fridays.( ) 18. Jerry doesn't like Mondays.( ) 19. Jerry doesn't like music and art.( ) 20. Jerry likes Chinese and maths.笔试部分五、选出每组中画线部分读音不同的选项。
第2章优化设计
第2章优化设计优化设计是指通过改进设计方案，提高产品的性能、质量、效率等方面的方法。
在设计过程中，优化设计可以从多个角度进行，包括材料选用、结构设计、制造工艺等方面的优化。
一、材料选用优化在产品设计中，材料的选用对产品的性能和质量有很大的影响。
优化材料选用可以从以下几个方面进行：1.1材料的物理性能：选择具有高强度、高韧性、高导热性等物理性能的材料，以提高产品的耐用性和效率。
1.2材料的化学性能：选择具有耐腐蚀、耐高温、耐磨损等化学性能的材料，以增强产品的抗腐蚀、抗高温和抗磨损能力。
1.3材料的成本效益：在满足产品性能要求的前提下，选择成本较低的材料，以降低产品的制造成本。
二、结构设计优化在产品设计中，结构设计的优化可以改进产品的稳定性、刚性、可靠性等方面。
结构设计优化可以从以下几个方面进行：2.1结构的设计简洁性：通过简化结构，减少零部件数量和复杂度，降低产品的故障率和维修成本。
2.2结构的刚性设计：通过增加结构的刚性，提高产品的稳定性和精度，提升产品的性能和品质。
2.3结构的可靠性设计：在设计中考虑产品的可维修性和可更换性，以便在产品故障时能够快速维修或更换部件，减少停机时间和维修成本。
三、制造工艺优化在产品设计中，制造工艺的优化可以降低产品的制造成本、提高制造效率。
制造工艺优化可以从以下几个方面进行：3.1工艺流程的简化：通过简化工艺流程，减少制造步骤和工时，提高产品的制造效率。
3.2制造设备的优化：选择适合产品制造的设备，提高设备的利用率和生产线的产能，降低产品的制造成本。
3.3制造工艺的标准化：制定制造工艺的标准化流程和规范，降低产品的制造变异度，提高产品的一致性和品质。
优化设计的目标是通过改进设计方案，提高产品的性能、质量、效率等方面的指标。
通过材料选用、结构设计和制造工艺等方面的优化，可以提高产品的竞争力和市场份额，实现企业的可持续发展。
02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)PPT优秀课件
海赛（Hessian）矩阵
参见教材例题P30
16
*
2 f
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
海赛矩阵是由函数 f (x1,x2) 在点 x 0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
凡满足上式的点称为函数的驻点
27
*
如f y'下图0 所是示个的驻二点元，函但数它，不在是M极0值点点虽。有
f
' x
0
和
28
*
定理2：若二元可微函数 f (x1,x2)在 x0 x10,x20 的
某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点 2 ) f(x 1,0 x 2)0 0
11212223242526221方向导数1020201020fxxx10201020102010120fxxx方向导数21多元函数的方向导数和梯度二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系44三元函数点处沿s方向的方向导数302010coscoscoscoscoscoscos552二元函数的梯度coscoscoscoscos66当梯度方向和当梯度方向和dd方向重合时方向导数值方向重合时方向导数值最大即梯度方向是函数值变化最快方向最大即梯度方向是函数值变化最快方向而梯度的模就是函数值变化率的最大值
依次类推，即可得到n元函
数在点x0处沿s方向的方向导数
f d
x0
f x1
cos 1
x0
f x2
cos 2
x0
.......
f xn
x0
参见教材例题P30
16
*
2 f
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
海赛矩阵是由函数 f (x1,x2) 在点 x 0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
凡满足上式的点称为函数的驻点
27
*
如f y'下图0 所是示个的驻二点元，函但数它，不在是M极0值点点虽。有
f
' x
0
和
28
*
定理2：若二元可微函数 f (x1,x2)在 x0 x10,x20 的
某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点 2 ) f(x 1,0 x 2)0 0
11212223242526221方向导数1020201020fxxx10201020102010120fxxx方向导数21多元函数的方向导数和梯度二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系44三元函数点处沿s方向的方向导数302010coscoscoscoscoscoscos552二元函数的梯度coscoscoscoscos66当梯度方向和当梯度方向和dd方向重合时方向导数值方向重合时方向导数值最大即梯度方向是函数值变化最快方向最大即梯度方向是函数值变化最快方向而梯度的模就是函数值变化率的最大值
依次类推，即可得到n元函
数在点x0处沿s方向的方向导数
f d
x0
f x1
cos 1
x0
f x2
cos 2
x0
.......
f xn
x0
机械优化设计1-2
d
的变化率
其定义应为： f d
x0
lim
d 0
f ( x10 x1, x20 x2 ) f ( x10, x20 ) d
称它为该函数沿此方向的方向导数。
方向导数是偏导数概念的推广，偏导数是方向导数的特例。
f d
x 0 lim
d 0
lim
d 0
f x 2 x1 4 4 f ( x0 ) 1 f 2 x2 2 2 x2
f ( x0 ) ( f 2 f 2 ) ( ) (4) 2 (2) 2 2 5 x1 x2
2 5 1 5
f ( x0 ) 1 4 p f ( x0 ) 2 5 2
在
x1 － x2 平面上画出函数等值线和
x0 (0,0) 点处的梯度
p 方向
方向。
p 最大的方向
，如图所示。从图中可以看出，在 x0
点处函数变化率
凸集、凸函数与凸规划
根据函数极小值条件所确定的极小点 附近的一切 在x
*处取得局部极小值，称
x 是指：函数在 x
*
x 均满足不等式 f ( x ) f ( x* ) 所以称函数 f ( x )
x
*
为局部极小点。
函数极值条件所确定的极小点只是反映函数在此 x* 附近的 局部性质。 优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的最小点，也
就是要求全局极小点。
凸集、凸函数与凸规划
函数的局部极小点并不一定就是全局极小
点，只有函数具备某种性质时，二者才能
等同。
因此对局部极小和全局极小点之间的关系
应该作进一步的说明。
优化设计1 2
（式中m为约束条件个数 ）
b.等式约束：hv (X ) 0v 1,2,3......p p n
； 等式约束条件数必须小于设计变量的维数。 因为一个等式约束可以消去一个设计变量。
当 p n 时，即可由p个方程组解得唯一的
一组设计变量 x1 x2 ...... xn 这样，只有唯一 确定的方案，无优化可言
R n 表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设
计空间
⑤数学模型的几何意义:
a.设计变量X (n=2为例)
X x1 x2 T
b.目标函数F(X )的等值线(面)
④优化设计的数学模型一般形式：
求X使 min f (X ) X Rn
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3......p; p n) 通过优化方法对数学模型求解，可得一组
设计变量
X * 最优点 min f (X * ) 最优值
续变量 （2）离散变量： 齿数、模数 ②建立数学模型 → 目标函数
求极小化问题
F ( X ) min
若求 F ( X ) 的极大化，则应写成 min( f (X ));
③约束条件：对设计变量的限制
a.不等式约束：gu ( X ) 0 或gu ( X ) 0 u 1,2,3......m
国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。
b.等式约束：hv (X ) 0v 1,2,3......p p n
； 等式约束条件数必须小于设计变量的维数。 因为一个等式约束可以消去一个设计变量。
当 p n 时，即可由p个方程组解得唯一的
一组设计变量 x1 x2 ...... xn 这样，只有唯一 确定的方案，无优化可言
R n 表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设
计空间
⑤数学模型的几何意义:
a.设计变量X (n=2为例)
X x1 x2 T
b.目标函数F(X )的等值线(面)
④优化设计的数学模型一般形式：
求X使 min f (X ) X Rn
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3......p; p n) 通过优化方法对数学模型求解，可得一组
设计变量
X * 最优点 min f (X * ) 最优值
续变量 （2）离散变量： 齿数、模数 ②建立数学模型 → 目标函数
求极小化问题
F ( X ) min
若求 F ( X ) 的极大化，则应写成 min( f (X ));
③约束条件：对设计变量的限制
a.不等式约束：gu ( X ) 0 或gu ( X ) 0 u 1,2,3......m
国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。
优化设计课件
15
低比速离心泵的优化设计方法
2 损失极值法优化设计 如何提高泵的效率，历来是水泵工作者们的重 要课题。而效率是与损失紧密联系的，最高效率 应该与最小损失相对应。因此，优化设计的一种 思路自然便是建立各种损失与泵的几何形状之间 的关系，即：总损失为：
16
低比速离心泵的优化设计方法
这种方法在获得高效离心泵性能方面是较为成 熟的，也是应用最普遍的。但它也有不足之处。 因为从理论上讲，每一项具体损失的计算是难以 估计准确的；其次，在实际优化过程中除了优化 设计变量外，其它参数就需按经验赋值，这又加 大了优化设计的局限性。另外，上式只强调了损 失与有关几何参数之间的关系，而忽略了叶轮流 道形状、前后盖板形状和叶片形状等对离心泵性 能的影响，因而也有其局限性。
14
低比速离心泵的优化设计方法
1 速度系数法优化设计 速度系数法是泵设计中常用的方法，通过对已 有模型进行归纳统计而得。目前已有一批经过优 化了的先进水力模型，如IB型、IS型、WB型和 BP型等泵模型。计算机技术的发展和应用给速度 系数法优化设计带来了方便，人们建立了优秀水 力模型库，可随时吸收先进模型入库，及时优化 各种速度系数，跟随当前水泵的先进水平，其不 足是所设计泵的性能难以超过现有水平。
7
2）可行域 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分， 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分， 一个不等式约束都把设计空间分为两部分 一部分是满足约束条件的称为可行域， 一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是 可行域 不满足约束条件的称为非可行域， 不满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界 非可行域 是
约束条件：gu ( x1 , x2 , x3 , ⋅⋅⋅, xn ) ≤ 0(不等式约束)
优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
第二章 章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件
1)x-1=0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解 当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;
1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存
第2章优化设计ppt课件
2.1 概述
2.1.1 优化设计根本概念
优化设计〔Optimal Design〕是20世纪60年代开展起来的一种 现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术运用于设计领域， 为工程设计提供一种重要的科学设计方法。
利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻觅出最 正确设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现 代设计实际和方法的一个重要领域，它已广泛运用于各个工业设计 领域和各种产品设计中。
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实践工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进展寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 的的最正确设计方案。
进展最优化设计时：
首先必需将实践问题加以数学描画，构成一组由数学表达式组成 的数学模型；
然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进 展寻优运算求解，得到一组最正确的设计参数。这组设计参数就是设 计的最优解。
由等式约束条件可知，三个设计变量中只需两个是独立变量，即
x3
5 x1 x 2
。所以，该问题的优化数学模型应写为：
设计变量：
X [x1 x2]T
目的函数的极小化： m inf(X ) x 1 x 2 2 (x 1 x 3 x 2 x 3 ) x 1 x 2 1 0 (x 1 2 x 1 1 )
约束条件：
与传统设计方法不同，优化设计过程普通分为如下四步：
● 设计课题分析
● 建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学模型
● 选择优化设计方法
● 上机电算求解
获得最优解
〔１〕设计课题分析： 经过对设计课题的分析，提出设计目的，它可以是单项设计目的，也可以是多项设计目的的组合。 从技术经济的观念出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、分量、效率、本钱、可靠性等 都可以作为设计追求的目的。 然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或目的按设计规范推导出的技术 性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。
数学高考总复习优化设计一轮-第2章-一元二次函数、方程和不等式-第1节等式性质与不等式性质【课件】
D. a + b ≤ 2
解析 ∵a+b=1,∴(a+b) =1=a +b +2ab≤2(a +b ),∴a +b ≥
2
2
2
2
2
2
2
1
,当且仅当
2
1
a=b=2时,等号成立,故 A 正确;∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,
1
1
a-b
-1 1
∴2 >2 = ,故 B 正确;∵a+b=1≥2 ,∴ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,等号成
可开方性
a>b>0,n∈N,n≥2⇒
>
1 1
微思考对于非零实数a,b,如果a>b,是否一定有 <
提示 不一定.当 a>b>0
a>0>b
1
时,
>
1
.
1
时,一定有
<
1
,当
0>a>b
?
1
时,也一定有
<
1
,但当
常用结论
1.倒数性质:若 0<a<x<b 或
2.若
b
a>b>0,m>0,则a
例 1(1)(2024·山东日照模拟)若
A.a<b<cຫໍສະໝຸດ B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
1
a=2ln
解析 ∵a+b=1,∴(a+b) =1=a +b +2ab≤2(a +b ),∴a +b ≥
2
2
2
2
2
2
2
1
,当且仅当
2
1
a=b=2时,等号成立,故 A 正确;∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,
1
1
a-b
-1 1
∴2 >2 = ,故 B 正确;∵a+b=1≥2 ,∴ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,等号成
可开方性
a>b>0,n∈N,n≥2⇒
>
1 1
微思考对于非零实数a,b,如果a>b,是否一定有 <
提示 不一定.当 a>b>0
a>0>b
1
时,
>
1
.
1
时,一定有
<
1
,当
0>a>b
?
1
时,也一定有
<
1
,但当
常用结论
1.倒数性质:若 0<a<x<b 或
2.若
b
a>b>0,m>0,则a
例 1(1)(2024·山东日照模拟)若
A.a<b<cຫໍສະໝຸດ B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
1
a=2ln
优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
优化设计2.1-2.2
x=[ x1 ,x2 ]T
x=[ x1 , x2 ,x3]T
(a)
(b)
图2.面； （b）三维空间 ）二维平面； ）
约束与可行域
1.约束的定义：在优化设计中， 1.约束的定义：在优化设计中，为了得到可行的设 约束的定义 计方案，也必须根据具体要求， 计方案，也必须根据具体要求，给设计变量加上种种 限制，这就是约束条件。 限制，这就是约束条件。 根据约束的特性， 根据约束的特性，可分为以下两种 边界约束：直接用来限制设计变量的取值范围， 边界约束：直接用来限制设计变量的取值范围，如 长度、重量的变化范围，可直接获得。 长度、重量的变化范围，可直接获得。 根据某种性能指标要求推导出来的限制条件， 根据某种性能指标要求推导出来的限制条件，这 些约束课根据设计规范中的设计公式或通过力学分析 导出的约束函数来表示。 导出的约束函数来表示。
2.可行域与不可行域：满足所有约束条件的方案点的 2.可行域与不可行域 可行域与不可行域： 集合称为可行区域，简称可行域， 表示。 集合称为可行区域，简称可行域，用D表示。可行域 可以是无限集、有限集，或空集。 可以是无限集、有限集，或空集。可行域内的点称 为可行方案点，简称可行点（或内点）， ），否则称为 为可行方案点，简称可行点（或内点），否则称为 不可行方案点（或外点）。 ）。当方案点位于某个不等 不可行方案点（或外点）。当方案点位于某个不等 式约束的边界上时，称为边界点。边界点是可行点， 式约束的边界上时，称为边界点。边界点是可行点， 是该约束所允许的极限方案。 是该约束所允许的极限方案。如约束条件
因此，该问题的数学模型为 因此，
【2.2】将一根长l的铅丝截切成两段，其一段弯成等边三 2.2】将一根长l的铅丝截切成两段， 角形，另一段弯成正方形。 角形，另一段弯成正方形。问应以什么比例截断铅丝才 能使等边三角形和正方形的面积之和为最大（ 能使等边三角形和正方形的面积之和为最大（不计铅丝 的粗细），式写出这一优化问题的数学模型。 ），式写出这一优化问题的数学模型 的粗细），式写出这一优化问题的数学模型。 解：假设弯折成三角形的边长为x1，弯折成的正方形 假设弯折成三角形的边长为x1， 边长为x2， 边长为x2，则等边三角形和正方形的面积和为 =l。 同时要满足条件3x ，同时要满足条件3x1+4x2=l。
优化设计选择性必修第一册《课后训练》第二章1-简谐运动
答案:A
5.右图为某质点在0~4 s内的振动图像,则( )
A.质点在3 s末的位移为2 m B.质点在4 s末的位移为8 m C.质点在4 s内的路程为8 m D.质点在4 s内的路程为零 答案:C
6.(多选)右图为某物体做简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.由P→Q,位移在增大 B.由P→Q,速度在增大 C.由M→N,位移先减小后增大 D.由M→N,位移始终减小 答案:AC
7.如图所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线。
从三个图线可知,这三个物体振动的共同特点是具有
性,三个物体
中,最简单的振动是
的振动。图中心脏跳动的图线是某人的心电图,
方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm,心电图记录仪拖动方格纸的速度是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.8
cm/s,则此人的心率是
次/分。
答案:周期 弹簧振子 67.5
1.在水平方向上做简谐运动的质点,其振动图像如图所示。假设向右的方 向为正方向,则质点的位移向左且速度向右的时间段是( )
A.0到1 s内 B.1 s到2 s内 C.2 s到3 s内 D.3 s到4 s内 答案:D
2.右图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂 往下按,使水位到达M点。松手后,鱼漂会上下运动,水位在M、N之间来回 移动且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是( )
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大? (2)在1.5 s和2.5 s两个时刻,质点向哪个方向运动? (3)质点在2 s末的位移是多少? 答案:(1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动,2.5 s时质点背离平衡位置 运动 (3)0
3.(多选)如图所示,弹簧振子在A、B两点间做简谐运动,在振子从最大位移 处A向平衡位置O运动过程中( )
5.右图为某质点在0~4 s内的振动图像,则( )
A.质点在3 s末的位移为2 m B.质点在4 s末的位移为8 m C.质点在4 s内的路程为8 m D.质点在4 s内的路程为零 答案:C
6.(多选)右图为某物体做简谐运动的图像,下列说法正确的是( )
A.由P→Q,位移在增大 B.由P→Q,速度在增大 C.由M→N,位移先减小后增大 D.由M→N,位移始终减小 答案:AC
7.如图所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线。
从三个图线可知,这三个物体振动的共同特点是具有
性,三个物体
中,最简单的振动是
的振动。图中心脏跳动的图线是某人的心电图,
方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm,心电图记录仪拖动方格纸的速度是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.8
cm/s,则此人的心率是
次/分。
答案:周期 弹簧振子 67.5
1.在水平方向上做简谐运动的质点,其振动图像如图所示。假设向右的方 向为正方向,则质点的位移向左且速度向右的时间段是( )
A.0到1 s内 B.1 s到2 s内 C.2 s到3 s内 D.3 s到4 s内 答案:D
2.右图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂 往下按,使水位到达M点。松手后,鱼漂会上下运动,水位在M、N之间来回 移动且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是( )
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大? (2)在1.5 s和2.5 s两个时刻,质点向哪个方向运动? (3)质点在2 s末的位移是多少? 答案:(1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动,2.5 s时质点背离平衡位置 运动 (3)0
3.(多选)如图所示,弹簧振子在A、B两点间做简谐运动,在振子从最大位移 处A向平衡位置O运动过程中( )
优化设计2-1
求在点 Ｘ(0) = [1，1]T 沿 S 1 和 S 2 方向 的方向导数。
F(X ) 解： 解： 2x 1 x 1 2 1 x 1 x2 1
(0)
§2.1
F ( X (0) ) 2 x2 x2
目标函数的性态分析
x1 1 x 2 1
2
F ( X (0) ) F ( X (0) ) F ( X (0) ) . cos 40 cos 50 S1 x1 x2 2 cos 40 2 cos 50 0 .2 4 6 5 1 3 7 F ( X (k ) ) F ( X (0) ) F ( X (0) ) cos 60 cos 30 S 2 x1 x2 2 cos 60 2 cos 30
同中心。 怎么找到目标函数等值线的共
同中心呢？
§2.1
目标函数的性态分析
最优化设计都是采用迭代的办法。由一个初始点 Ｘ(0)，想法找到一个方向S(0)，向前迈进一步，
ΔＸ(0) = α(0) S(0) 走到一个新点：
Ｘ(1) =Ｘ(0) +α(0) S(0) 比较F（Ｘ(0)）和F（Ｘ(1)），如果
点的梯度就是对设计变量一阶导数组成的一个向量记21目标函数的性态分析梯度的性质梯度f点的最陡的上升方向其数值因点而异所以这是一种局部性质即只反映fx附近的性态
最优化设计
第二章
最优化设计
的基本理论
第二章 主要内容：
最优化设计的基本理论
1，目标函数和约束函数的某些性质。
2，目标函数达到设计最优解的某些规律。
1
此曲线族是以（2，0）为圆 心， C i 为半径的同心圆。
给定一个 x1 , x2 值，可以算得相应的Ｆ(Ｘ)。但 给定一个Ｆ(Ｘ)= Ci ，就得到了一个圆。这个圆实际上 是无穷多个点组成起来的，是无穷多个点的集合，是无穷 多个设计方案的集合。
08new第2章优化设计2
(1) 算法简单； (2) 前后两次迭代方向正交，所以搜索路线是呈直角锯齿形； (3) 开始搜索时，收敛速度较快，但当靠近极小点附近，收敛速 度越来越慢，这是梯度法的较大缺点。
2.4.4 牛顿法
牛顿法也是一种解析法，它是梯度法的进一步发展。 该法的搜索方向的构造： 是根据目标函数的负梯度和二阶偏导数
这类方法对于只有不等式约束的优化问题是有效的。
这类方法的基本思想：
在约束的可行域内直接搜索出它的约束最优解。
属于这类方法的主要有：网格法，可行方向法，复合形法等。
间接解法：
这类方法对于解决具有不等式约束和等式约束条件的优化问题 都有效。
这类方法的基本思想：
将复杂的约束问题转化为一系列无约束优化问题，即按一定原 则构造一个新的目标函数 (X )，并以它的最优化解去逐步逼 近原约束问题的最优解。约束问题通过这种方法的处理，就可 以采用无约束优化方法求解。
|| f (X (k) ) ||
（2-41）
f ( X (k ) )
x1
f ( X (k ) )
f ( X (k ) )
x2
f ( X (k ) )
xn
梯度法的特点：
|| f ( X (k ) ) || [ n ( f ( X (k ) ) )2 ]1/ 2
i 1
xi
梯度法的迭代格式：
S (k ) f ( X (k ) ) X (k 1) X (k ) (k ) S (k ) X (k ) (k )f ( X (k ) )
（2-40）
按上式求得负梯度方向的一个极小点 X (k1) ， 作为原问题的一个近似最优解；
若此解尚不满足精度要求，
则再以 X (k1) 作为迭代起始点， 以 X (k1) 处的负梯度方向 f ( X ) (k1) 作为搜索方向， 求得该方向的极小点 X (k2) ，
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u
v
R
线性优化 非线性优化
③按 f (X ) 的维数分：
一维优化（也称一维搜索） 多维优化
④按目标函数 f 2.求解方法：
( X )的个数分：
单目标 多目标
求解最优化数学模型的方法有解析法（求导法）、图 解法、数值迭代法，对于2维以下最优化问题较简单， 可采用前两种方法。但是，大多数工程最优化设计问 题都是2维以上最优化问题，即设计变量分量的个数2 个以上，大型复杂工程最优化设计问题的设计变量分 量的个数可高达数十个,甚至上百个。显然，2维以上 最优化问题用解析法和图解法变得不适宜。对于式 （2-1）给出的最优化数学模型，通常采用数值迭代 法。
F ( X ) min
若求 F (X ) 的极大化，则应写成 min( f ( X )); ③约束条件：对设计变量的限制 g u ( X ) 0 或g u ( X ) 0 u 1,2,3......m a.不等式约束：
（式中m为约束条件个数 ）
；
h b.等式约束：v ( X ) 0v 1,2,3...... p p n 等式约束条件数必须小于设计变量的维数。 因为一个等式约束可以消去一个设计变量。 当 p n 时，即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量 x1 x2 ...... xn 这样，只有唯一 确定的方案，无优化可言
1) 数值迭代法： a.定义： 从初始设计点出发，按一定的方向通过有 限步计算获得最优解的方法称作数值迭代法. 无论是无约束优化问题还是约束优化问题,从实 质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计算中 的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不 同的
b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算, 寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足 够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点 的计算方法称为数值迭代法.
2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面 系数 W bh 最大？
2
6
图2-1 矩形截面梁
解： 1. 建立最优化数学模型 由抗弯强度截面系数 bh2 求最大抗弯强度截面系数
的问题可表述为求变量 使函数极大化
b( D 2 b 2 ) W 6 6
Wmax
b
b( D 2 b 2 ) W 6
受约束于
0bD
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
解:
①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式
V x(6 2 x)
2
③对x的限制(约束)
④求
x 和V
' 2
*
m ax
0 x3 x
*
x 4x 3 0 V x1 1 x2 3
3> 从迭代的计算公式可以看出优化方法的主 (k ) (k ) 要问题是解决迭代方向 S 和迭代步长 的问题.目前主要的各种优化方法主要在选取 迭代方向或迭代步长上显示出各自的特色,但 有一点是共同的,它们必须易于通过数值计算 获得使目标函数值稳定下降. 3.数值迭代方法的终止准则: 数值迭代法求优过程使逐步向理论最优点 靠拢,接近理论最优点的近似解.因此,迭代过程 不可能无限制的进行，那么什么时候终止迭代 呢?这就有一个迭代终止的准则的问题.
机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得 最优值。 工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系 指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满 意和最适宜的值。
下面举2个简单的例子来说明最优化设计的基本概念和过程。 例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图
表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设 计空间
R
n
2.3 数学模型的几何意义: a.设计变量 X (n=2为例)X x1x2
T
b.目标函数 F (X )的等值线(面) F ( X ) Ci
ci 为常数 i=1,2……k
c1 1 c2 4
c.可行域: 由满足约束条件
F(X ) x x C i
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。 由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
二.优化设计的数学模型
2.1数学模型的三个基本要素 ①确定设计变量： X x1 一组待求的设计参数，
x2 ...... xn n维向量
T
x1
x2 ...... xn相互独立
设计变量 （1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连 续变量 （2）离散变量： 齿数、模数 ②建立数学模型 → 目标函数 求极小化问题
对于无约束优化问题通常采用的迭代终止 准则有以下几种: 1>点距准则:
) 相邻两个迭代点 X ( k 1) X (k之间的距离达到足够小 ( k 1) (k ) X 或 即X
(X
i 1
n
( k 1) i
X
(k ) 2 i
)
X [ x1
x2 ...... xn ]
T
2>函数值下降准则: 相邻两次迭代点的函数值下降量已达到足够小 ( k 1) (k ) 绝对下降量: f ( X ) f (X ) 相对下降量: f ( X ) f ( X )
解: ①重量最轻的数学描述
W 2D t l 2D t ( B H )
2
2 1/ 2
W Wmin
②强度条件的数学描述
Fl F ( B H ) 式中: F1 H H
2
F (B H ) y F1 A tDH
2
2 1/ 2
y
2 1/ 2
A tD
③稳定条件的数学模型
F (B H ) e Fe / A y 2 2 8( B H ) tDH
E (t D )
2 2 2
2
2 1/ 2
即： E (t D ) F ( B H ) 2 2 8( B H )
2 1 2 2 2 n
i , j 1
a
n
ij
Xi X j
(aij a ji )
矩阵表示形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n ) X 1 X 2
X1 X 2 X n A X T AX X n
( k 1) (k )
f ( X ( k 1) )
3>梯度准则: 根据迭代点的函数梯度达到足够小 (k 1) f f f ( X ) f ( X ) ( ) ( )
( k 1) 2
2
上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度 一般为10 3 ~ 10 6 在优化设计过程中,一般只要满足以上终止准则 之一,则可以认为设计点收敛于极值点. 对于约束优化问题,不同的优化方法有各自的终 止准则,另作介绍. 2）解析法:微分法,适用函数简单,维数较少的场合 3）图解法:作图求解,适用于二维以下问题
x1
x2
f 2 ... ( ) xn
2.4 优化设计的数学基础 一. 二次型与正定矩阵 1.二次型函数及矩阵表达式 由高等数学和线性代数知识可知二次型函 数的形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n )
a11 X a 22 X ........a nn X 2a12 X 1 X 22a13 X 1 X 3...2a n1n X n1 X n)
2 2 2
2
2 1/ 2
式中:
Fe
EI
2
tDH
l (B H )
2
l
2
A 2 2 I (t D ) 8 2 1/ 2
优化设计工作包括两部分内容： (1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选 取设计变量、列出目标函数、给出约束条件。目标函数是设计问题所 要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件 (例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。 2．优化设计的发展及其应用 以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优 化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方 面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的 优化设计。 国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
2 1 2 2
i=1,2
2维目标函数等值线
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称 为非可行域.在可行域内的点称为可行点. 以n=2为例: 设
三.优化数学模型的求解方法及优化设计问 题的分类: 1. 优化设计问题的分类: ①按约束情况来分:
v
R
线性优化 非线性优化
③按 f (X ) 的维数分：
一维优化（也称一维搜索） 多维优化
④按目标函数 f 2.求解方法：
( X )的个数分：
单目标 多目标
求解最优化数学模型的方法有解析法（求导法）、图 解法、数值迭代法，对于2维以下最优化问题较简单， 可采用前两种方法。但是，大多数工程最优化设计问 题都是2维以上最优化问题，即设计变量分量的个数2 个以上，大型复杂工程最优化设计问题的设计变量分 量的个数可高达数十个,甚至上百个。显然，2维以上 最优化问题用解析法和图解法变得不适宜。对于式 （2-1）给出的最优化数学模型，通常采用数值迭代 法。
F ( X ) min
若求 F (X ) 的极大化，则应写成 min( f ( X )); ③约束条件：对设计变量的限制 g u ( X ) 0 或g u ( X ) 0 u 1,2,3......m a.不等式约束：
（式中m为约束条件个数 ）
；
h b.等式约束：v ( X ) 0v 1,2,3...... p p n 等式约束条件数必须小于设计变量的维数。 因为一个等式约束可以消去一个设计变量。 当 p n 时，即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量 x1 x2 ...... xn 这样，只有唯一 确定的方案，无优化可言
1) 数值迭代法： a.定义： 从初始设计点出发，按一定的方向通过有 限步计算获得最优解的方法称作数值迭代法. 无论是无约束优化问题还是约束优化问题,从实 质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计算中 的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不 同的
b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算, 寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足 够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点 的计算方法称为数值迭代法.
2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面 系数 W bh 最大？
2
6
图2-1 矩形截面梁
解： 1. 建立最优化数学模型 由抗弯强度截面系数 bh2 求最大抗弯强度截面系数
的问题可表述为求变量 使函数极大化
b( D 2 b 2 ) W 6 6
Wmax
b
b( D 2 b 2 ) W 6
受约束于
0bD
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
解:
①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式
V x(6 2 x)
2
③对x的限制(约束)
④求
x 和V
' 2
*
m ax
0 x3 x
*
x 4x 3 0 V x1 1 x2 3
3> 从迭代的计算公式可以看出优化方法的主 (k ) (k ) 要问题是解决迭代方向 S 和迭代步长 的问题.目前主要的各种优化方法主要在选取 迭代方向或迭代步长上显示出各自的特色,但 有一点是共同的,它们必须易于通过数值计算 获得使目标函数值稳定下降. 3.数值迭代方法的终止准则: 数值迭代法求优过程使逐步向理论最优点 靠拢,接近理论最优点的近似解.因此,迭代过程 不可能无限制的进行，那么什么时候终止迭代 呢?这就有一个迭代终止的准则的问题.
机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得 最优值。 工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系 指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满 意和最适宜的值。
下面举2个简单的例子来说明最优化设计的基本概念和过程。 例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图
表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设 计空间
R
n
2.3 数学模型的几何意义: a.设计变量 X (n=2为例)X x1x2
T
b.目标函数 F (X )的等值线(面) F ( X ) Ci
ci 为常数 i=1,2……k
c1 1 c2 4
c.可行域: 由满足约束条件
F(X ) x x C i
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。 由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
二.优化设计的数学模型
2.1数学模型的三个基本要素 ①确定设计变量： X x1 一组待求的设计参数，
x2 ...... xn n维向量
T
x1
x2 ...... xn相互独立
设计变量 （1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连 续变量 （2）离散变量： 齿数、模数 ②建立数学模型 → 目标函数 求极小化问题
对于无约束优化问题通常采用的迭代终止 准则有以下几种: 1>点距准则:
) 相邻两个迭代点 X ( k 1) X (k之间的距离达到足够小 ( k 1) (k ) X 或 即X
(X
i 1
n
( k 1) i
X
(k ) 2 i
)
X [ x1
x2 ...... xn ]
T
2>函数值下降准则: 相邻两次迭代点的函数值下降量已达到足够小 ( k 1) (k ) 绝对下降量: f ( X ) f (X ) 相对下降量: f ( X ) f ( X )
解: ①重量最轻的数学描述
W 2D t l 2D t ( B H )
2
2 1/ 2
W Wmin
②强度条件的数学描述
Fl F ( B H ) 式中: F1 H H
2
F (B H ) y F1 A tDH
2
2 1/ 2
y
2 1/ 2
A tD
③稳定条件的数学模型
F (B H ) e Fe / A y 2 2 8( B H ) tDH
E (t D )
2 2 2
2
2 1/ 2
即： E (t D ) F ( B H ) 2 2 8( B H )
2 1 2 2 2 n
i , j 1
a
n
ij
Xi X j
(aij a ji )
矩阵表示形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n ) X 1 X 2
X1 X 2 X n A X T AX X n
( k 1) (k )
f ( X ( k 1) )
3>梯度准则: 根据迭代点的函数梯度达到足够小 (k 1) f f f ( X ) f ( X ) ( ) ( )
( k 1) 2
2
上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度 一般为10 3 ~ 10 6 在优化设计过程中,一般只要满足以上终止准则 之一,则可以认为设计点收敛于极值点. 对于约束优化问题,不同的优化方法有各自的终 止准则,另作介绍. 2）解析法:微分法,适用函数简单,维数较少的场合 3）图解法:作图求解,适用于二维以下问题
x1
x2
f 2 ... ( ) xn
2.4 优化设计的数学基础 一. 二次型与正定矩阵 1.二次型函数及矩阵表达式 由高等数学和线性代数知识可知二次型函 数的形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n )
a11 X a 22 X ........a nn X 2a12 X 1 X 22a13 X 1 X 3...2a n1n X n1 X n)
2 2 2
2
2 1/ 2
式中:
Fe
EI
2
tDH
l (B H )
2
l
2
A 2 2 I (t D ) 8 2 1/ 2
优化设计工作包括两部分内容： (1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选 取设计变量、列出目标函数、给出约束条件。目标函数是设计问题所 要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件 (例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。 2．优化设计的发展及其应用 以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优 化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方 面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的 优化设计。 国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
2 1 2 2
i=1,2
2维目标函数等值线
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称 为非可行域.在可行域内的点称为可行点. 以n=2为例: 设
三.优化数学模型的求解方法及优化设计问 题的分类: 1. 优化设计问题的分类: ①按约束情况来分: