第二章优化设计1-2

3> 从迭代的计算公式可以看出优化方法的主 (k ) (k ) 要问题是解决迭代方向 S 和迭代步长 的问题.目前主要的各种优化方法主要在选取 迭代方向或迭代步长上显示出各自的特色,但 有一点是共同的,它们必须易于通过数值计算 获得使目标函数值稳定下降. 3.数值迭代方法的终止准则: 数值迭代法求优过程使逐步向理论最优点 靠拢,接近理论最优点的近似解.因此,迭代过程 不可能无限制的进行，那么什么时候终止迭代 呢?这就有一个迭代终止的准则的问题.
2 1 2 2
i=1,2
2维目标函数等值线
gu ( X ) 0
hv ( X ) 0
的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称 为非可行域.在可行域内的点称为可行点. 以n=2为例: 设
三.优化数学模型的求解方法及优化设计问 题的分类: 1. 优化设计问题的分类: ①按约束情况来分:
无约束 ：其数学模型为 min( f ( X )) X 约束优化 其数学模型为:同一般形式 ②按 f (X ) g (X ) h (X ) 是否线性分：
对于无约束优化问题通常采用的迭代终止 准则有以下几种: 1>点距准则:
) 相邻两个迭代点 X ( k 1) X (k之间的距离达到足够小 ( k 1) (k ) X 或 即X
(X
i 1
n
( k 1) i
X
(k ) 2 i
)

X [ x1
x2 ...... xn ]
T
2>函数值下降准则: 相邻两次迭代点的函数值下降量已达到足够小 ( k 1) (k ) 绝对下降量: f ( X ) f (X ) 相对下降量: f ( X ) f ( X )
( k 1) (k )
f ( X ( k 1) )
3>梯度准则: 根据迭代点的函数梯度达到足够小 (k 1) f f f ( X ) f ( X ) ( ) ( )
( k 1) 2
2
上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度 一般为10 3 ~ 10 6 在优化设计过程中,一般只要满足以上终止准则 之一,则可以认为设计点收敛于极值点. 对于约束优化问题,不同的优化方法有各自的终 止准则,另作介绍. 2）解析法:微分法,适用函数简单,维数较少的场合 3）图解法:作图求解,适用于二维以下问题
2 2 2
2
2 1/ 2
式中:
Fe
EI
2
tDH
l (B H )
2
l
2
A 2 2 I (t D ) 8 2 1/ 2
优化设计工作包括两部分内容： (1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选 取设计变量、列出目标函数、给出约束条件。目标函数是设计问题所 要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式。 (2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件 (例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。 2．优化设计的发展及其应用 以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优 化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方 面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的 优化设计。 国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
受约束于
0bD
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
解:
①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式
V x(6 2 x)
2
③对x的限制(约束)
④求
x 和V
' 2
*
m ax
0 x3 x
*
x 4x 3 0 V x1 1 x2 3
2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面 系数 W bh 最大？
2
6
图2-1 矩形截面梁
解： 1. 建立最优化数学模型 由抗弯强度截面系数 bh2 求最大抗弯强度截面系数
的问题可表述为求变量 使函数极大化
b( D 2 b 2 ) W 6 6
Wmax
b
b( D 2 b 2 ) W 6
2 1 2 2 2 n

i , j 1
a
n
ij
Xi X j
(aij a ji )
矩阵表示形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n ) X 1 X 2
X1 X 2 X n A X T AX X n
第二章 优化设计
2.1 概述
一、基本概念： 1．什么是机械优化设计 在设计过程中，常常需要根据产品设计的要求，合理确定各 种参数，例如：重量、成本、性能、承载能力等等，以期达到 最佳的设计目标。这就是说，一项工程设计总是要求在一定的 技术和物质条件下，取得一个技术经济指标为最佳的设计方案。 优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来的。

x1
x2
f 2 ... ( ) xn
2.4 优化设计的数学基础 一. 二次型与正定矩阵 1.二次型函数及矩阵表达式 由高等数学和线性代数知识可知二次型函 数的形式为:
f ( X ) f ( X 1 , X 2 ,........ X n )
a11 X a 22 X ........a nn X 2a12 X 1 X 22a13 X 1 X 3...2a n1n X n1 X n)
依据约束x<3
故
x2 3
不符合题意
x
5
*
x1 1
例: 设计一人字架,已知顶端受外力 F
3 10 N
5
人字架跨度2B=152㎝,架为圆钢管,其弹性摸量
E 2.1 10 Mpa 材料密度为
例题图
420Mpa
y
7.8 10 Kg / m
3
3
许用应力
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条 件下钢管总重量最轻的设计方案?
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。 由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
解: ①重量最轻的数学描述
W 2D t l 2D t ( B H )
2
2 1/ 2
W Wmin
②强度条件的数学描述
Fl F ( B H ) 式中: F1 H H
2
F (B H ) y F1 A tDH
2
2 1/ 2
y

二.优化设计的数学模型
2.1数学模型的三个基本要素 ①确定设计变量： X x1 一组待求的设计参数，
x2 ...... xn n维向量
T
x1
பைடு நூலகம்
x2 ...... xn相互独立
设计变量 （1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连 续变量 （2）离散变量： 齿数、模数 ②建立数学模型 → 目标函数 求极小化问题
2.2 优化设计的数学模型一般形式： 求X使 min
f (X ) X R
n
约束： u ( X ) 0 (u 1,2,3......m) g s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3...... p; p n) 通过优化方法对数学模型求解，可得一组 设计变量 * X 最优点 min f ( X * ) 最优值
c.迭代计算公式:X X S 且有f ( X ) f ( X ) (k ) ( k 1) 式中X 为第k步设计点, 为迭代步长, (k ) 为迭代方向.当 X ( k 1) X * 或足够靠近 X * S * * 时,停止迭代.得最优解 X f ( X ) 其几何意义 如图所示,显然数值迭代的计算工作量是很大 的,所以迭代法必须借助于计算机进行运算。
( k 1) (k ) (k )
(k )
( k 1)
(k )
总结: 1>根据基本迭代公式,每次迭代获得的新迭 代点的目标函数值都必须满足函数值不断下降 的要求(寻求最优下降方向问题)即满足适用性 要求.如果适用性和可行性兼备;再继续下一次 迭代,最终得到接近该函数的约束最优点的近 * 似最优点 X 2> 最后获得的最优点,只是一个接近理论最优 点的近似最优点 X * 也就是说:每次迭代得到的 新迭代点是不断向理论最优点靠拢.即迭代问题 的解具有收敛性.
1) 数值迭代法： a.定义： 从初始设计点出发，按一定的方向通过有 限步计算获得最优解的方法称作数值迭代法. 无论是无约束优化问题还是约束优化问题,从实 质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计算中 的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不 同的
b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算, 寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足 够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点 的计算方法称为数值迭代法.
F ( X ) min
若求 F (X ) 的极大化，则应写成 min( f ( X )); ③约束条件：对设计变量的限制 g u ( X ) 0 或g u ( X ) 0 u 1,2,3......m a.不等式约束：
（式中m为约束条件个数 ）
；
h b.等式约束：v ( X ) 0v 1,2,3...... p p n 等式约束条件数必须小于设计变量的维数。 因为一个等式约束可以消去一个设计变量。 当 p n 时，即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量 x1 x2 ...... xn 这样，只有唯一 确定的方案，无优化可言
机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得 最优值。 工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系 指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满 意和最适宜的值。
下面举2个简单的例子来说明最优化设计的基本概念和过程。 例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图

表示n维空间,包括了所有设计变量,称为设 计空间
R
n
2.3 数学模型的几何意义: a.设计变量 X (n=2为例)
X x1
x2
T
b.目标函数 F (X )的等值线(面) F ( X ) Ci
ci 为常数 i=1,2……k
c1 1 c2 4
c.可行域: 由满足约束条件
F(X ) x x C i
2 1/ 2
A tD
③稳定条件的数学模型
F (B H ) e Fe / A y 2 2 8( B H ) tDH
E (t D )
2 2 2
2
2 1/ 2
即： E (t D ) F ( B H ) 2 2 8( B H )
u
v
R
线性优化 非线性优化
③按 f (X ) 的维数分：
一维优化（也称一维搜索） 多维优化
④按目标函数 f 2.求解方法：
( X )的个数分：
单目标 多目标
求解最优化数学模型的方法有解析法（求导法）、图 解法、数值迭代法，对于2维以下最优化问题较简单， 可采用前两种方法。但是，大多数工程最优化设计问 题都是2维以上最优化问题，即设计变量分量的个数2 个以上，大型复杂工程最优化设计问题的设计变量分 量的个数可高达数十个,甚至上百个。显然，2维以上 最优化问题用解析法和图解法变得不适宜。对于式 （2-1）给出的最优化数学模型，通常采用数值迭代 法。