第二章-一元函数微分学.docx
第2章 一元函数微分学
第 2 章 一元函数微分学一、学习要点l 掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性和连续性的关系． l 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程．l 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法． l 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法． l 理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．l 理解函数微分的概念，掌握微分法则，掌握可微与可导的关系． l 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义．l知道柯西定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．l 熟练掌握用洛必达法则求未定型 0 0 、 ¥¥的极限．l 会用洛必达法则求未定型 00 0 0 1 ¥ ¥-¥×¥¥ ， ， ， ， 的极限．l 理解极值点、驻点的概念．l 了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别和联系． l 掌握用一阶导数判断函数的单调性及单调区间；会用单调性证明简单的不等式． l 掌握用一阶导数求函数的极值的方法．l 掌握求解一些简单实际问题中的最大值和最小值的方法． l 理解曲线凹凸性和拐点的概念；会用二阶导数判别曲线的凹凸性． l 掌握用二阶导数求曲线凹凸区间及拐点的方法． l会求曲线的水平渐近线、垂直渐近线．二、相关知识总结1．导数的定义：设函数 () y f x = 在点 0 x 的邻域内有定义，则0 000 0 00 0 ()()()() lim()lim lim () x x x x f x x f x f x f x y f x x x x x D ®D ®® +D -- D ¢ $=== D D - ． 2．导数的几何意义及其应用：函数 () y f x = 在 0 x 处的导数 0() f x ¢ 等于曲线 () y f x = 在点 00 (,()) x f x 处的切线的斜率．3．可导与连续的关系：如果函数 () y f x = 在 0 x 处可导，则 () y f x = 在 0 x 处连续（可导是连续 的充分条件，但不是必要条件）．第2章 一元函数微分学214．复合函数求导法则：设 ()() y f u u g x == 、 都关于自变量可导，则[(())]()() f g x f u g x ¢¢¢ = ． 5．牢记基本导数公式： （1） 0 c ¢ = （2） 1 () x x a a a - ¢= （3）()ln x x a a a¢= （4）(e )e x x¢= （5） 1 (log ||)ln a x x a¢= （6） 1(ln ||)x x¢= （7）(sin )cos x x ¢= （8）(cos )sin x x ¢=- （9） 2 (tan )sec x x ¢= （10） 2 (cot )csc x x ¢=- （11）(sec )sec tan x x x¢= （12）(csc )csc cot x x x¢=- （13） 21(arcsin )1 x x ¢= - （14） 21(arccos )1 x x ¢ =- - （15） 21 (arctan ) 1 x x¢= + （16） 21 (arc cot ) 1 x x ¢=- + ．6．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．7．微分的概念：（1）若函数 () y f x = 在 0 x 处可导，称 00 d ()()d y f x x f x x ¢¢ =D = 为函数 () f x 在 0 x 处关于 x D 的 微分．（2） 若函数 () y f x = 在点 0 x 处的改变量 00 ()() y f x x f x D =+D - 可表示为 () y A x x o D =D + D （A 与 x D 无关），则称函数 () y f x = 在点 0 x 处可微．8．罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义；知道柯西定理的条件和结论； 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．9．洛必达法则的说明： （1）在定理中将 0 x x ® 改为x ®±¥，洛必达法则仍然成立．（2）将定理条件lim ()lim ()0 f x g x == 改为lim ()lim () f x g x ==¥ 结论仍然成立．（3）每次使用洛必达法则时必须检查所求的极限是否为 0 0 或 ¥¥型．（4）如果 0 () lim () x x f x g x ® ¢ ¢ 仍是 0 0 或 ¥¥型，则可以继续使用洛必达法则．（5）如果 0 () lim() x x f x g x ® ¢ ¢ 不存在且不是¥，并不表明 0 ()lim ()x x f x g x ® 不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其他方法来求极限． （6）除了 0 0 或 ¥ ¥型外，还有另外5种未定型极限：¥-¥、0×¥ 、 0 ¥ 、 00 、1 ¥ ．10．单调性的判断定理： 设函数 () y f x = 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导．应用高等数学教程（能力提升篇）22在(,) a b 内 ()0()[,]. ()0()[,]. f x f x a b f x f x a b ¢ >Þ ì í¢ <Þ î如果 在 上单调增加 如果 在 上单调减少 11．极值点的充分条件，最值的求解.12．凹凸的判断定理：如果 () f x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内具有一阶和二阶导数，若在(,) a b 上 （1） ()0 f x ¢¢ > ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凹的． （2） ()0 f x ¢¢ < ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凸的． 13．拐点的求解步骤： （1）求出 () f x 的定义域和 () f x ¢ .（2）求出 () f x ¢¢ ，解出 ()0 f x ¢¢ = 的点以及二阶导数不存在的点.（3）由凹凸判定定理分区间讨论它的凹凸性． 14．检查上面两类点左右两侧的 () f x ¢¢ 是否异号，若异号且有定义的点即为拐点． 15．会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线． 三、重点例题剖析（一）基础题 1．如果 () f x 为偶函数，且 (0) f ¢ 存在，证明 (0)0 f ¢ = ． 证 因为 ()() f x f x -= ，且000 (0)(0)()(0)()(0)(0)limlim limh x x f h f f x f f x f f h x x ®®® +---- ¢ === 0 ()(0)lim (0) x f x f f x® -- ¢ =-=- - ，所以 (0)0 f ¢ = ．2．求曲线 cos y x = 上点 π 1,32 æöç÷ èø 处的切线方程和法线方程．解 因为切线 sin y x ¢=- ，切线斜率 1 k = π 3 sin 32 =- ，法线斜率 2 k = 0x x = ，所以切线为： 13 π 223 y x æö -=-- ç÷ èø ，即 332 π 1 3x y +=+ ． 法线为： 12 π 23 3 y x æö -=- ç÷èø ，即 4423 π 3 3 x y -=- ． 3．讨论下列函数在 0 x = 处的连续性与可导性： （1） |sin | y x = ；（2） 21 sin00x x y xx ì ¹ ï = í ï = î．解 用连续性的定义判断连续性；用左、右导数是否存在并相等判断函数在该点的可导性：（1）（2）第2章 一元函数微分学23（1）因为 0lim sin lim sin 0 x x x x ++ ®® == ，00lim sin lim (sin )0x x x x -- ®® =-= 所以 0lim sin (00)(00)0. x x f f ® =+=-= 故 |sin | y x = 在 0 x = 处连续，又00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x-- D ®D ® +D -- D ¢ -===- D D ，00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x+- D ®D ® +D - D ¢ +=== D D ，所以 |sin | y x = 在 0 x = 处不可导．（2）由无穷小与有界量之积仍为无穷小知2 0 1lim sin 0(0) x x f x® == 故 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处连续，又2 00 1sin 01 (0)lim lim sin 0 x x x x f x x xD ®® D - D ¢ === D ，所以 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处亦可导．4．已知 sin 0 () 0 xx f x x x < ì = í î≥ ，求 () f x ¢ ．解 （需要讨论几种情形并分别求导，特别要注意在求这类分段函数衔接点处的导数时，不便 套用公式，还应采用定义去求导）．易知 0 x > 时， ()1 f x x¢¢ == ．当 0 x < 时， ()(sin )cos f x x x ¢¢ == ，当 0 x = 时，因为 00 ()(0)sin 0(0)lim lim 1 0 x x f x f x f x x-- - ®® -- ¢ === - ，又 00 ()(0)0(0)lim lim 1 00x x f x f x f x x +++ ®® -- ¢ === -- ， 由 (0)(0)1f f -+ ¢¢ == ，知 (1)1 f ¢ = ，综上所述，得 cos 0 '() 1 0 x x f x x < ì= í î≥ ．5．证明：双曲线 2 xy a = 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 22a ．证 设双曲线 2xy a = 上任一点 2 0 0(,) a x x ，因为 2ay x = 的导数为 22 a yx¢=-应用高等数学教程（能力提升篇）24 所以20 2()ay xx¢ =-切线方程：2220 0()a ay x xx x-=--分别令 0y = 与 0x = ，得它在两坐标轴上的截距依次为2x x= 与22ayx=于是所构成三角形的面积为22112||2222as xy x ax==××= ．6．以初速度v 竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是 212s v t gt=- ，求： （1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻．解（求速度v，即为求导数 ()s t¢ ，求达到最高点的时刻，只须令 0tv s¢== ，再解出t ）（1）()()v t s t v gt¢==- ．（2）令v gt-= ，得 0vtg= ，即达到最高点时间为 0vtg= （秒）．7．设函数 ()f x 和 ()g x 可导，且 22()()0f xg x+¹ ，试求函数 22()()y f x g x=+ 的导数．解22222()()2()()()()()()2()()()()f x f xg x g x f x f x g x g xyf xg x f x g x¢¢¢¢++¢==++．8．设 ()f x 可导，求下列函数 y 的导数ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） 22(sin)(cos)y f x f x=+ ．解（1） 22()y xf x¢¢= ．（2） 222sin cos(sin)2cos sin(cos)y x xf x x xf x¢¢¢=-22sin2[(sin)(cos)]x f x f x¢¢=- ．9．若 ()f x¢¢ 存在，求下列函数 y 的二阶导数22ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） ln[()]y f x= ．解（1） 22()y xf x¢¢= ， 2222()4()y f x x f x¢¢¢¢¢=+ ．（2）()()f xyf x¢¢ = ，22()()[()]()f x f x f xyf x¢¢¢-¢¢ = ．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数ddyx：第2章 一元函数微分学25（1） 33 30 x y axy +-= ； （2） 1e y y x =- ．解 （1）在方程两端分别对x 求导，得22 33330 x y y ay axy¢¢ +--= 从而 22 ay x y y ax- ¢ = - ． （2）在方程两端分别对x 求导，得e e y y y x y¢¢ =-- 从而 e 1e yyy x ¢=- + ．11．求下列参数方程所确定的函数的导数：（1） 23x at y bt ì = í = î； （2） 222 313 1at x t at t ì= ï + ï í ï ï + î ． 解 （1） 2 d d 33 d d d 22 d yy bt b t t x x at a t=== ．（2） 2 22 2 22 2222 2 3 3[2(1)2] d 1 d 2 (1) d d d 3[(1)2]1 3d (1) 1 at a t t t t y t y t t t x x a t t t t at t t t ¢æö +-× ç÷ + + èø ==== +-×- ¢ æö ç÷ + + èø． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 22 d dyx ：（1） cos sin x a ty b t = ì í = î ； （2） 3e 2ettx y - ì = í = î ． 解 （1） d cos cot d sin y b t b t x a t a - == - ， 2 2223 d d (csc ) d d d d sin dx sin d y bt y bt x a x a t a t tæö -- ç÷ - èø === - ．（2） 2 223 2 4 e d 2e 2d 4 3 e e d 39 3e d 3et t t t t t y y x x -- - ==-== -- ， ． 13．求下列函数的微分： （1） sin 2 y x x = ；（2） 2 ln (1) y x =- ．解 （1）d d (sin 2cos 22)d (sin 22cos 2)d y y x x x x x x x x x ¢ ==+×=+ ．应用高等数学教程（能力提升篇）26（2） (1)2d d 2ln(1)d ln(1)d 11y y x x x x x x x - ¢ ==-×=- -- ． 14．计算下列反三角函数值的近似值（1）arcsin 0.5002； （2）arccos 0.4995．解 （ 1 ） 由 0 00 arcsin arcsin (arcsin )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 0 0.5 x = 得 arcsin(0.5002)» 0 2 0.5 1 arcsin 0.50.000230471 x x=¢¢ +×»° - ． （2）由 0 00 arcsin arccos (arccos )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 00.5 x = 得arccos(0.4995)arcsin 0.5 »- 0 2 0.51 (0.50.0005)6021 x x= ¢ ×-»° - . 15．验证罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上的正确性．证 函数 ()ln sin f x x = 在 π 5π ,66 éù êú ëû 上连续，在 π 5π ,66 æö ç÷ èø 内可导，又 π π 1 ln sin ln 662 f æö== ç÷ èø，5π 5π 1 ln sin ln 662 f æö == ç÷ èø 即 π 5π 66 f f æöæö = ç÷ç÷ èøèø ，故 () f x 在 π 5π ,66 éùêú ëû上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点 π 5π ,66 x æöÎ ç÷ èø，使 ()0 f x ¢ = ．又 cos ()cot sin x f x x x ¢ == ，令 ()0 f x ¢ = 得 π π 2 x n =+（ 0 1 2 n =±± L ， ， ， ）． 取 0 n = ，得 π π 5π , 266 x æö =Î ç÷ èø ．因此罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上是正确的．16． 试证明对函数 2 y px qx r =++ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点x 总是位于区间的正中 间．证 任取数值 a ，b ，不妨设a b < ，函数 2 () f x px qx r =++ 在区间[,] a b 上连续，在(,) a b 内可 导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()()()() f b f a f b a x ¢-=- ，即 22 (2)().pb qb r pa qa r p q b a x ++---=+- 经整理得 2a bx + =．即所求得的x 总是位于区间的正中间． 17．不用求出函数 ()(1)(2)(3)(4) f x x x x x =---- 的导数，说明方程 ()0 f x ¢ = 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数 () f x 分别在 [1,2] [2,3] [3,4] ， ， 上连续，分别在 (1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内可导，且 (1)(2)(3)(4)0 f f f f ==== ． 由罗尔定理知至少存在 123 (1,2) (2,3) (3,4) x x x ÎÎÎ ， ， ， 使 123 ()()()0 f f f x x x ¢¢¢ === ．即方程 ()0 f x ¢ = 至少有三个实根，又因为方程 ()0 f x ¢ = 为三次方程，故 它至多有三个实根，因此方程 ()0 f x ¢ = 有且仅有三个实根，它们分别位于区间(1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内．第2章 一元函数微分学2718．证明恒等式： π arcsin arccos 11 2x x x +=- （ ≤ ≤ ） ． 证取函数 ()arcsin arccos (1,1) f x x x x =+Î- ， ． 因 2211() 11 f x xx ¢ =--- 0 º ， 故() f x C º ．取 0 x = ，得 π(0) 2 f C == ．从而当 (1,1) x Î- 时，有arcsin x + arccos x π 2 = ．又 1 x = 或 1 - 时，也有 π arcsin arccos 2 x x += ，因此 πarcsin arccos 2x x += ， [1,1] x Î- ．19 ． 若方程 1 011 0 n n n a x a x a x - - +++= L 有一个正根 0 x x = ， 证明方程 12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．证 取函数 1 011 () n n n f x a x a x a x - - =+++ L ． () f x 在 0 [0,] x 上连续，在 0 (0,) x 内可导，且 0 (0)()0 f f x == ， 由罗尔定理知至少存在一点 0 (0,) x x Î ， 使 ()0 f x ¢ = ， 即方程12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．20． 若函数 () f x 在( , a b )内具有二阶导数， 且 123 ()()() f x f x f x == ， 其中 123 a x x x b <<<< ． 证 明：在( 13 , x x )内至少有一点x ，使得 ()0 f x ¢¢ = ．证根据题意知函数 () f x 在 1223 [,] [,] x x x x ， 上连续 ， 在 1223 (,) (,) x x x x ， 内可导且 123 ()()() f x f x f x == ，故由罗尔定理知至少存在点 11222,3 (,) () x x x x x x ÎÎ ， ，使 12 ()()0 f f x x ¢¢ == . 又 () f x ¢ 在 12 [,] x x 上连续， 在 12 (,) x x 内可导， 故由罗尔定理知至少存在点 1212 (,)(,) x x x x x ÎÌ 使 ()0 f x ¢¢ = ．21．设 0 a b >> ， 1 n > ，证明：11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．证 取函数 () n f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在(,) b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少 存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1 () n n n a b n a b x - -=- ．又01 b a n x <<<> ， ，故 1110 n n n b ax --- <<< ． 因此 111 ()()() n n n nb a b n a b na a b x --- -<-<- ，即11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．22．设 0 a b >> ，证明：ln a b a a ba b b-- << ． 证 取 ()ln f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在[,] b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1ln ln () a b a b x-=- ．应用高等数学教程（能力提升篇）28又0 b a x <<< ，故 111 0 a b x <<< ，因此 a b a b a b a bx --- << ，即 ln a b a a ba b b-- << ． 23．证明：当 1 x > 时，e e x x >× ．证 取函数 ()e tf t = ， () f t 在[1,] x 上连续，在(1,) x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (1,) x x Î ，使()(1)()(1) f x f f x x ¢ -=- ，即e e e (1) x x x -=- ．又1 x x << ，故e e x > ，因此e e e(1) x x -=- ， 即 e e x x >× ．24．设 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，证明在(,) a b 内有一点x ，使()() ()()f a f bg a g b =()()()()()f a f b ag a g x x ¢ - ¢ ． 证 取 ()() () ()()f a f x F xg a g x = ，由 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导知 () F x 在[,] a b上 连续，在 (,) a b 内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()() F b F a -= ()() F b a x ¢ - ．而()() () ()()f a f b F bg a g b = ， ()() ()0 ()()f a f a F ag a g a == 0() () 0()f x F xg x ¢ =＋()() ()() f a f g a g x x ¢ ¢ ＝ ()()()()f a fg a g x x ¢ ¢ 故()()()()() ()()()() f a f b f a f b a g a g b g a g x x ¢ =- ¢ 25．证明：若函数 () f x 在(,) -¥+¥ 内满足关系式 ()() f x f x ¢= ，且 (0)1 f = ，则 ()e x f x = ． 证 取 () () e x f x G x = ，则由 2 ()e e ()()()()0 e e x x x xf x f x f x f x G x ¢¢ -- ¢ === ，得 () G x C = ．又(0)()1 G C f x === ，因此 ()1 G x = ．即 ()1 ex f x = ．26．设函数 () y f x = 在 0 x = 的某邻域内具有n 阶导数，且 (0) f = (0) f ¢ == L (1) (0)0 n f - = ，试 用柯西中值定理证明： () ()() 01 ! n n f x f x n xq q =<< （ ） ．证 取 () n g t t = ，则由假设 () f t 及 () g t 的表达式知， () f t 及 () g t 在由0与x 组成的区间上满足第2章 一元函数微分学29柯西中值定理的条件，因此有1 11() ()()(0) 0 n n n n f f x f x f x x n x x - ¢ - == - ，其中 1 x 在0与1之间． 又 112 1112112()()(0)()0(1) n n n n f f f f n n n n n x x x x x x ---- ¢¢¢¢¢ - == -- ，其中 2 x 在0与 1 x 之间． 依此类推，得( ) 1)(1)(1) 11 11() ()()(0) !!!0! n n n n n n n f f f f n n n n x x x x x - -- -- - == - ，其中 n x 在0与 1 n x - 之间． 因此 () ()()01 ! n nf x f x n xq q =<< （ ） ． 27．设 ()() f x g x ， 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且对(,) a b 内的一切 x 有 ()() f x g x ¢ -()()0 f x g x ¢ ¹ ．证明：若 () f x 在(,) a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间 () g x 至少有一 个零点．证 采用反证法．若 () g x 在 12 (,) x x 之间没有零点，其中 1212 ,() x x x x < 为 () f x 在(,) a b 内有两个 相邻的零点．显然 12 ()0()0 g x g x ¹¹ ， ，否则由 11 ()()0 g x f x == 或 22 ()()0 g x f x == ，得 1111 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ 或 2222 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ ，这与假设矛盾．取 ()() ()f x F xg x = ，则 () F x 在 12 [,] x x 上连续，在 12 (,) x x 内可导，又1 1 1 () ()0 () f x F x g x == ， 2 22 () ()0 () f x F x g x == ． 即 12 ()() F x F x = ，从而 () F x 在 12 [,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在 12 (,)(,) x x a b x ÎÌ ，使得 2 ()()()()()0 ()f g f g F g x x x x x x ¢¢ - ¢ == ．即()()()()0 f g f g x x x x ¢¢ -= ．这与假设矛盾，故结论成立．28．用洛必达法则求下则极限：（1） 1 ln 1 lim arc cot x x x®+¥ æö + ç÷èø；（2） 212lim e x x x ® ；（3） sin 0 e elim sin x xx x x® - - ；（4） e 2arctan lim e π x x x x x x®¥ + - ；（5）lim 1 xx a x ®¥ æö + ç÷ èø ；（6） sin 0lim x x x + ® ；（7） tan 0 1 lim xx x + ® æö ç÷èø．应用高等数学教程（能力提升篇）30解 （1） 2 2 2 2 211 1 1 1 ln 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 11 arc cot 1 1 x x x x x x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥ æö - ç÷ æö èø + + + ç÷ + èø ==== + -+ + ． （2） 2 222 11112 2 0000 22 1 e e lim e lim lim lim e 1 1 xx xx x x x x x x x x ®®®® æö × ç÷ èø ====+¥ ¢ æöç÷ èø． （3） sin sin sin sin sin 0000 e e e 1e 1 lim lim e lim e limsin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x -- ®®®® --- ==× --- sin sin 00 e (1cos )lim lim e 1 1cos x x x x x x x x- - ®® - === - ． （4）因为当x ®+¥时，e x®+¥， π arctan 2 x ® ．当x ®-¥时，e 0 x ® ， π arctan 2x ®- ，所以碰到当x ®¥， 被求极限函数含有e x或arctan x 时， 应分别求x ®+¥及x ®-¥时的函数极限，并以此判断当x ®¥时函数是否有极限．2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lime π e πx xx x x x xx x x x x ®+¥®+¥ ++ + + = -- 22e12arctan 1 lim 1 1 πe x x x x x x - - ®+¥ ++ + == - ． 2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lim 1 e π e πx x x x x x xx x x x x ®-¥®-¥ ++ + + == -- ．故 e 2arctan lim 1 e π x x x x x x®¥ + = - ． （5） 2 21 1 ln 1ln 1 limlim lim lim1 11 lim ln 1 1 lim 1ee e e ee x x x x x a aa a x x a x x a xa x ax xxx x x a x ®¥®¥®¥®¥ ®¥ æö ×- ç÷æöæö èø + ++ ç÷ç÷èøèøæö- + +ç÷ èø®¥ æö+====== ç÷ èø ．（6） sin 0lim x x x + ® 0 0 21 sin ln lim lim 1 1lim sin ln lim 0 e eee e 1 x x x x x x x x x xxxx + + ® ® ++®® - - ====== ．（7） 0 02001 tan ln lim lim 11 tan 1 lim tan lnlim 0 0 1 lim eeee e 1 x x x x x xx xx x xxxx x x + + ® ® ++®® + - -× - ® æö====== ç÷èø．第2章 一元函数微分学3129．验证极限 20 1 sinlimsin x x x x® 存在，但不能用洛必达法则得出． 解 因为 2 1 11 sin 2sin cos lim lim(sin )cos x x x x x x x x x ®¥®¥ ¢ æö - ç÷èø = ¢ 不存在，所以只能说不能用洛必达法则来求极限 cos limx x xx®¥ + ，但不能说该极限不存在．事实上，此极限可用下面的方法来求：2 0000 1 sin11 lim lim sin lim lim sin 100 sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x ®®®® æö =×=×=×= ç÷ èø ． 30．讨论函数11 12(1) 0 () e ex x xx f x x - ì éù ï+ êú ï > = êú í ëûï ï î ≤ 在点 0 x = 处的连续性．解 因为 1 00 1 11(1)11 lim ln lim ln(1)1 e 00 (1) lim ()lim e e ex x x xx x xx x x x x xf x ++ ®® ++ éùêú + éùêú +- êú ëû ëû®® éù + êú === êú ëû 200011 ln(1)11 1limlimlim22(1) 2eeee x x x x xx xx x+++ ®®® - +-- + - + ==== ．11 2200lim ()lim ee x xf x -- -- ®® == ．所以 1 2lim ()lim ()e x x f x f x -+ - ®® == ，故函数 () f x 在点 0 x = 处连续．31．按所给条件解答下列各题：（1）求函数 ()ln f x x = 按(2) x - 的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式； （2）求函数 ()tan f x x = 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式；（3）验证当 1 0 2 x < ≤ 时，按公式 23e 1 26x x x x »+++ 计算e x的近似值时，所产生的误差小于0.01，并求 e 的近似值，使误差小于0.01；（4）应用三阶泰勒公式求sin18°的近似值，并估计误差．解 （1） 2131 231112! ()(ln )()(1)()(1) f x x f x f x x x x x -- ¢¢ æö ¢¢¢¢¢¢¢ ====-=- ç÷ èø， ，应用高等数学教程（能力提升篇）32(4)4143!()(1)f x x - =- ，一般地有 ()1(1)!()(1)k k kk f x x - - =- 1 2 ) k n = L （ ，， ， ． 于是 ()1 (1)! (2)(1) 2k k k k f - - =- 1 2 k n = L （ ，， ，） ． 故 () 2(2)(2) ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n o ¢¢ ¢ =+-+-++-+- L 2333 1111 ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)] 2 2322n nx x x x x n o =+---+-++-+- ×× L ． （2）因为 22 ()(tan )sec ()2sec tan f x x x f x x x ¢¢¢¢ === ， ，224(4)234 ()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan , f x x x x f x x x x x ¢¢¢ =+=+ ， 224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x =+=+ ， 所以 (0)0(0)1(0)0(0)2 f f f f ¢¢¢¢¢¢ ==== ， ， ， ， 从而(4)2 234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0) 2!3!4!3 3cos f f f x f f x x x x x x x x x x x¢¢¢¢¢ + ¢ =++++=++ 其中x 介于0和x 之间．（3）设 ()e x f x = ，则 ()() ()e (0)1 n x n f x f == ， ，故数 () f x 的三阶麦克劳林公式为23 4e e 1 2!3!4! xx x x x x=++++ ，其中x 介于 0 和x 之间．按 23 e 1 26 xx x x »+++ 计算e x的近似值，其误差为 3 () R x = 4 e 4!x x．当1 02 x < ≤ 时， 1 0 2 x << ， 14 23 31 ()0.00450.01 4!2 R x æö »< ç÷ èø ≤ ， 2311111 e 1 1.645 22262 æöæö»+++» ç÷ç÷ èøèø．（4）sin x 的三阶泰勒公式为 35 5 sin π 2 sin 3!5! x x x x x æö + ç÷ èø =-+ ，其中x 介于 0 和 π 10 之间．故 3554 π π 1 π 1 π sin18sin 0.3090 2.5510 10103!105!10 R - æöæö °==-=»´ ç÷ç÷ èøèø， ≤ ．32．利用泰勒公式求下列极限： （1） ( )34 3243lim32 x x xx x ®+¥+-- ；（2） [ ]222 0 cos elimln(1) x x x x x x - ® - +- ；第2章 一元函数微分学33解 （1） ()34 3243 3 4 32 lim32lim 11 x x x x x x x x x ®+¥®+¥ æö+--=+-- ç÷ç÷ èø131121 lim 11 34 x x x x x x o o ®+¥ éù æöæö=+×+-+×+ ç÷ç÷ êú èøèø ëû1 33 lim 1 22x x x o ®+¥ éùæö ç÷ êú èø êú =+= êú êú ëû． （2） [ ] 22422424 22 2 00 22 1 1()1()()()cos e 24!222 lim limln(1) () 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x o o o - ®® -++-----+ - = +- éù æö +--+ êú ç÷ èø ëû 44 0 4411 () 4!8 lim 1 () 2x x x x x o o ® æö -+ ç÷ èø = -+ 44 4 0 41() 1 1 1212 lim 1 61() 2 2 x x x x xo o ® -+ -=== - -+ ． 33．确定下列函数的单调区间：（1） 32 10496 y x x x= -+ ；（2） 3 (2)() 0 y x a a x a =--> （ ） ；（3） sin 2 y x x =+ ．解 （1）所给函数除 0 x = 外在(,) -¥+¥ 内处处可导，且2222222 1120()(1) 10(12186) 2 (496)(496) x x x x y x x x x x x--- --+ ¢ == -+-+ ． 令 0 y ¢= ，得驻点 12 112x x == ， ． 由驻点 12 112x x == ， 及 0 x = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下： x (,0)-¥ 1 0, 2 æöç÷ èø1 ,12 æö ç÷ èø(1,)+¥ y ¢ – – + – y]]Z]应用高等数学教程（能力提升篇）34由上表可知该函数在 1 (,0) 0, [1,) 2 æù -¥+¥ ç ú èû ， ， 内单调减少，在 1 ,1 2 éùêú ëû 上单调增加．（2）所给函数在 , , 22 a a a æöæö -¥ ç÷ç÷ èøèø ， ， (,) a +¥ 内可导，当 12 2 a x x a == ， 时，函数不可导，2 3 2 6 3 3(2)()a x yx a a x æö -- ç÷èø ¢= -- ．令 0 y ¢= ，得驻点 3 2 3ax =． 由点 12 2 a x x a == ， ， 3 2 3ax = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下：x , 2 a æö -¥ ç÷ èø 2,23 a a æöç÷ èø2 ,3 a a æö ç÷ èø(,)a +¥ y ¢ + + – + yZZ]Z由上表可知该函数在 2, [,) 3 a a æö -¥+¥ ç÷ èø ， 内单调增加，在 2 , 3 a a éùêú ëû上单调减少．（3）所给函数的定义域为(,) -¥+¥ ，且π sin 2 π π 2 0 1 2 π sin 2 π (1)π2x x n x n y n x x n x n ì++ ï ï ==±± í ï -+<+ ï î L ≤ ≤ （ ， ， ， ）≤ π 12cos 2 π π 2 0 1 2 π 12cos 2 π (1)π2x n x n y n x n x n ì+<<+ ï ï ¢ ==±± í ï -+<<+ ï î L （ ， ， ， ）令 0 y ¢= ，得驻点 π π 3 x n =+ 及 5ππ 6x n =+ 0 1 2 n =±± L （ ， ， ， ），按照这些驻点划分区间(,) -¥+¥ 为π π π π 5π 5π π, π π , π π , π π ,(1)π 332266 n n n n n n n n æöæöæöæö+++++++ ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø， ， ， 其中 0 1 2 n =±± L ， ， ， ． 当 π π 5π π π π π 326 n x n n x n <<++<<+ ， 时， 0 y ¢> ，因此函数在 π π π , 223 k kéù + êú ëû上单调增加0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ；当 π π 5π π π π (1)π 326 n x n n x n +<<++<<+ ， 时， 0 y ¢< ，因此函数在 π π π π , 2322 k kéù ++ êú ëû上单调减 少 0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ．第2章 一元函数微分学3534．证明下列不等式：（1）当 π0 2 x << 时，sin tan 2 x x x +> ；（2）当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 3x x x >+ ；（3）当 4 x > 时， 22 x x > ；（4）当01 x << 时， 22 (1)ln (1) x x x ++< ；（5）当 π 0 2 x << 时， 2sin πx x x << ．证 （1）当 π0 2x << 时，令 () f x = sin tan 2 x x x +- ，则2 22111()cos sec 2cos 22cos 2220 cos cos cos f x x x x x x x x¢ =+-=+-×-=-> ≥ ． 因此当 π 0 2 x << 时 ， () f x 单调增加 ， 从而 ()(0)0 f x f >= ， 即当 π0 2x << 时 ，sin tan 2 x x x +- 0 > ，也就是sin tan 2 x x x +> ．（2）当 π 0 2 x << 时，令 () f x = 3 1tan 3x x x -- ，则2222 ()sec 1tan f x x x x x ¢ =--=- ． 取 ()tan g x x x =- ．当 π0 2 x << 时，由 22 ()sec 1tan 0 g x x x ¢ =-=> 知 () g x 单调增加，因此()tan 0 g x x x =-> ，即当 π 0 2 x << 时，tan x x > ，从而 22tan x x > ．于是 ()0 f x ¢ > ，故当 π 0 2x <<时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 0 3x x x --> ，也就是31 tan 3x x x >+ ．（3）当 4 x > 时，令 () f x = 22 x x - ，则()2ln 22 x f x x ¢ =- ， 222 ()2ln 222(ln 4)2 x x f x - ¢¢ =-=- ．当 4 x > 时， ()0 f x ¢¢ > ， () f x ¢ 单调增加， 从而 3 ()(4)2ln 480 f x f ¢¢ >=-> ， 故当 4 x > 时， ()f x 单调增加，从而 ()(4)0 f x f >= ．即当 4 x > 时，即 22 x x > ．（4）当01 x << 时，令 () f x = 22 (1)ln(1) x x x ++- ，则 (0)0 f = ．2 ()ln (1)2ln(1)2(0)0 f x x x x f ¢¢ =+++-= ， ， 1()[ln(1)]0 ln(1)f x x x x ¢¢ =+-< + ．所以当01 x << 时， () f x ¢ 单调减少，从而 ()(0)0 f x f ¢¢ <= ，故当01 x << 时， () f x 单调减少， 从而 ()(0)0 f x f <= ．即当01 x << 时，即 22 (1)ln (1) x x x ++< ．应用高等数学教程（能力提升篇）36（5）先证当 π0 2x << 时，sin x x < ．令 () f x = sin x x - ，则当 π 0 2 x << 时，有 ()1cos 0 f x x ¢ =-> ．因此当 π0 2x << 时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π0 2x << 时，sin x x > 0 > ．再证当 π 0 2 x << 时， 2 sin π x x < ，即证 sin 2π x x > ．令 sin 2 () π x g x x =- ，则当 π0 2x << 时，有22 cos sin cos ()(tan )0 x x x xg x x x x x- ¢ ==-< ．因此当 π 0 2 x << 时， () g x 单调减少，从而 π ()0 2 g x g æö<= ç÷ èø，即当 π 0 2 x << 时， sin 2 π x x > ，亦2sin πx x < ． 35．讨论方程ln x ax = （ 0 a > ）有几个实根．解 取 ()ln (0,) f x x ax x =-Î+¥ ， ，则 1 () f x a x ¢ =- ．令 ()0 f x ¢ = ，得驻点 1x a= ．当 1 0 x a << 时， ()0 f x ¢ > ，因此函数 () f x 在 1 0, a æöç÷ èø 内单调增加，当 1 x a <<+¥时， ()0 f x ¢ < ，因此函数 () f x 在 1 ,a æö +¥ ç÷ èø 内单调减少．从而 1 f a æöç÷ èø为最大值，由 0 lim () lim () x x f x f x + ®+¥ ® =-¥=-¥ ， ，知①在 11 ln 10 f a a æö=-= ç÷ èø即 1 e a = 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴仅有一个交点，这时方程ln x ax = 有唯一实根． ②在 11 ln 10 f a a æö=-> ç÷ èø 即 1 0 e a << 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴有两个交点，这时方程ln x ax = 有两个实根． ③在 11 ln 10 f a a æö=-< ç÷ èø即 1 e a > 时， 曲线 ()ln f x x ax =- 与x 轴没有交点， 这时方程ln x ax = 没有实根．36．求下列函数图形的拐点及凹或凸区间．（1） 2 ln(1) y x =+ ； （2） arctan e x y = ． 解 由 22222(1)(1)1(1)x x x y y x x -+ ¢¢¢ == ++ ， ，令 0 y ¢¢= 得 12 11 x x =-= ， ． 当 1 x -¥<<- 时， 0 y ¢¢< ，因此曲线在(,1] -¥-内是凸的；。
第2章--一元函数微分学
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函 数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理 若函数y=f(x)在点x0 处可导 则它在点x0 处必定连续 .
证明 设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端 点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭 区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的 导数值， 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
一元函数微分学
α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的 充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即 lim y A y A (lim 0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
x0
x
x0
x x0
1
f
(0 )
lim (1
x0
x
)
1 x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
2
1
e2
e
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y
x0
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数 改变量)
分母的最高次幂系数之比。如
lim
x
2x3 5x3
x2 2x
1 3
2 5
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
(1) lim sin x 1
x0 x
注：①该极限呈 " 0 "型
0
②一般形式为： lim
sin (x) 1
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。
专升本第二章_一元函数的微分学
( x0 ) , 即 同理右导数为f f ( x0 x) f ( x0 ) y ( x0 ) lim f lim x0 x x0 x
定理：函数 y f ( x) 在 x0 点处可导的充要条件是函数 ( x0 ) f ( x0 ) 。 在 x0 点处的左、右导数均存在，且 f
例13. 求由方程 x 2 y 2 r 2 所确定的隐函数 y y ( x) 的导数。
解1：由方程可以解出 y r x ， 所以 1 1 x y (2 x) 2 2 2 r 2 y 看成 x的函数)： x 2 x 2 y y 0 ， y y
y nxn1a x cos x x n a x (ln a) cos x x n a x sin x
3. 复合函数和反函数的导数
定理4.设函数u ( x) 在点 x 可导，又函数y f (u ) 在 对应点u 处可导，则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 处可导， dy dy du 且 f ( ( x)) f (u ) ( x) 或 dx du dx
曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 )
3. 可导与连续的关系
例2. 讨论函数 f ( x) sin x 在 x 0 处的连续性和可导性。
解：y sin x 0 x ,当 x 0时，y 0
e2x , x0 例1. 考虑函数 f ( x) sin 2 x 1, x 0 在点 x 0 处是否可导。
f ( x) f (0) e2 x 1 解：f (0) lim lim 2 x0 x0 x0 x
一元函数微分学.docx
一元函数微分学第2章一元函数微分学教学耍求1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在的充分必耍条件2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握求简单隐函数的导数7 •了解微分概念会求函数的微分&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算木章难点极限的概念复合函数导数的计算内容结构课堂教学-经济数学基础教学设计一、极限的概念 附课件演示极限一教师主页—电大在线3、函数极限二 xfxx 01im=A 1 当x Ox 吋有Axf )(记作xf )(记作xfxx Olim=A3 当xOx吋有Axf )(记作xfxxOlim 二A注意 1 当xOx时极限存在的充要条件是左、右极限相等即xfxxOlim 二 A xfxx 01im= xfxx Olim二A这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限是否存在例题3 另见导学17页跟我练习2 极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程②在这一变化过程中函数值f(x)无限地逼近于一确定的常数A4、常用的一些基本极限详见导学16页附0二、无穷小量详见导学17页1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量三、函数的连续与间断1、定义内容讲解*函数的连续性设函数xf在点Ox的邻域内有定义若满足001 imxfxfxx则称函数xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.函数f (x)在Ox处连续等价于f (x)在Ox处左、右都连续2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即OOlimxfxfxx跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟我练习四、求极限的方法1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题12、利用连续性求极限)(limOxfx = f(Ox)例题 33、0型或型极限的计算详见导学19页10型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3 导学练习4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页⑴XxxsinlimO二 1 （00型）可推广成中心sinlimO0二1 “即三个括号填的代数式必须一致”例题12xlim 1+x1 x二 e 或Olim1二e 都是1型可推广成e中心11 lim 或 elllim 屮心例题235、课后练习连接网页五、导数与微分的概念1、导数的定义 内容讲解*引例2内容讲解*引例3解*引例1内容讲解*导数定义函数y 二f (x)在点Ox 处的导数 是函数在点Ox 处的变化率 数的改变量 y与自变量改变量 x 的比值的极限x 0 跟我练习例题内容讲①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量Ox+ x -Ox时计算函数的改变量y二"0x+ x)-f (Ox)它是x的函数第二步计算比值Xy第三步求极限OlimXXy当极限存在时其极限就是导数值0 /Xf 当极限②左、右导数左导数00值不存在吋函数f(x)在点Ox处不可导。
高等数学讲义-- 一元函数微分学,DOC
第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量(x f y =∆0x x dxdy=，)(x x dxx df =)x 在点0x 右导数：左导数：则有(x f 2)(x f 在点（(,0f x 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式0()()y A x x o x ∆=∆+∆（0→∆x ）其中)(0x A 为为无关，()o x ∆是时比高阶的无穷小，则称在x 处可微，并把y ∆中5y =∆x ∆点,(00f x M 6)(x f 且所以导数 7处仍是可导的，则把()y f x ''=在点)(x f y =，或022x x dxyd =等，也称f 0x 处二阶可导。
如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y ，)()(x yn ，n n dxyd 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。
02一元函数微分学练习试题.docx
第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学（30学时）微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。
微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。
导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。
微分，它是函数增量的线性主部，它是函数增量的近似表示。
微分与导数密切相关，这两个函数之间存在着等价关系。
导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。
它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。
本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法则。
相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。
第二部分首先建立导数应用的理论基础――微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式）、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则）、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。
具体的要求如下：1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2．会用导数描述一些物理量。
3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
4．了解高阶导数的概念。
5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。
会求反函数的导数。
7．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日（Lagrange）定理。
8．了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。
9．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
专升本第二章-一元函数的微分学.
二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数
例17.设 y x ,求 y(n) ( 1)( n 1)xn 例18.设 y sin x,求 y(n)
(sin x)(n) sin(x n )
2 同理(cosx)(n) cos(x n )
2
例19.设 y ln x,求 y(n) (1)n1 (n 1)!
dx2
dx2
n 阶导数的定义：
设函数 f (x)的(n 1)阶导数存在，如果
lim f (n1) (x x) f (n1) (x) 存在，那么称此
x0
x
极限值为 f (x) 在点 x 处的n阶导数。
记作：y(n) ,
f
(n) (x),
dny dxn
或
d n f (x) dxn
为了形式上统一
定义 y(0) y,或 f (0) (x) f (x)， 把 f (x) 称为 f (x)的一阶导数。
1 xln a
，
(ln
x)
1 x
(sin x) cos x ， (cos x) sin x
(tan x) sec2 x ， (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x ，(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 ，(arccos x) 1
(五) 对数求导法 利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例16. 设 y (x 1)2 3 3x 2 ，求 y x2 1 3 (2x 1)2
解：两边先取对数：
ln y 2ln(x 1) 1 ln(3x 2) 1 ln(x2 1) 2 ln(2x 1)
3
2
3
1 y
y
2 x 1
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
第二章 一元函数微分学
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y 1 x 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
x0
y x
d f (x) dx x x0
关于导数的说明：
★
点
导
数是
因变量
在点x
处的变
0
化率,
它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
例: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生
产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
o 割线 M N 的斜率为
tan f ( x) f ( x0 )
x x0
切线 MT 的斜率为
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
解 (a x ) lim a xh a x a x lim a h 1
h0
h
h0 h
a x lim ehlna 1
h0
h
a x lim h ln a h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a . 特殊 (e x ) e x .
第二章一元函数微分学四川职业技术学院数学教研室一元函数微分学
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
) 成立. )
第二章 一元函数微分学
一元函数微分学复习课
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
第二章 一元函数微分学
一元函数微分学复习课
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
(6) 参变量函数的求导法则
若参数方程
x y
(t )确定y与x间的函数关系, (t)
dy
dy dx
dt dx
(t ) (t )
第二章 一元函数微分学
一元函数微分学复习课
(3) 最大值、最小值问题
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
第二章 一元函数微分学
一元函数微分学复习课
y f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y f ( x)
在点x0处的导数, 记为y
x x0
,
dy dx
或 df ( x)
x x0
dx
x x0 , 即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x 0
f (x0
x) x
第二章 一元函数微分学.
第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分１. 函数在0x x =处的导数２. 变化率问题 几何意义 ３. 导函数 ４. 微分概述 现实生活中有许多问题都涉及到变化率．例如：通货膨胀率，人口增长率等．变化率在高等数学中被称之为导数．导数是微积分所研究的两个最重要的对象之一．２.1 .1函数在0x x =处的导数函数)(x f y =在0x x =处的导数是函数在该点处的变化率，即：xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim．我们记它为：'x x y =，)('0x f ，x x dxdy =，)(x x x f dx d=． 例１ 求函数 2)(x x f = 在点2=x 处的导数． 解 xf x f x ∆-∆+→∆)2()2(limx x x ∆-∆+=→∆2202)2(lim ()xx x x ∆-∆+∆+=→∆2220242lim ()xx x x ∆∆+∆=→∆204lim ()44lim 0=∆+=→∆x x所以4'2==x y ．需要进一步说明的是：（１）)(x f y =在0x x =处的导数是否存在取决于xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim是否存在．当导数存在时，我们称)(x f y =在0x x =处可导（可微）．（２）定理１ 如果)(x f y =在0x x =处可导，则)(x f y =在0x x =处连续．反之不真．２.1 .2变化率问题在现实生活中有着许多变化率的问题．比如：问题一：已知距离函数)(t s s =，求物体在0t t =时刻的速度．考虑一段时间：从0t t =到t t t ∆+=0，物体所经过的路程是)()(00t s t t s -∆+． 我们知道平均速度时间路程=． 所以物体从0t t =到t t t ∆+=0 间的平均速度是tt s t t s ∆-∆+)()(00，进而，我们有：物体在0t t =时刻的速度是t t s t t s t ∆-∆+→∆)()(lim000．进一步地，我们有：物体在0t t =时刻的速度是)('0t s ．问题二：求曲线)(x f y =在点0x x =处的切线．考虑过曲线)(x f y =上两点))(,(00x f x 和))(,(00x x f x x ∆+∆+的割线的斜率00)()(x x x x f x x f -∆+-∆+xx f x x f ∆-∆+=)()(00．进而，曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的斜率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000也就是： 0'x x y = ．由此我们也可以看出：曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的斜率就是函数)(x f y =在点0x x =处的导数．我们把这一性质叫做导数的几何意义．２.1 .3 导函数我们用0'x x y =表示函数)(x f y =在点0x x =处的导数．进而，我们用'y （或)('x f ，dx dy ，)(x f dxd ）表示函数)(x f y =在点x 处的导数．而'y 是随着x 的变化而变化的，而且对于每一个x ，都对应着唯一的'y ，这样也就是说'y 是x 函数．就是这个函数，我们称为导函数．记为：'y ，)('x f ，dx dy ，或)(x f dxd 易见：函数)(x f y =在点0x x =处的导数)('0x f 就是导函数)('x f 函数值．导函数)('x f 简称为导数．进而，函数)(x f y =在点0x x =处的导数)('0x f 也叫做导函数)('x f 在点0x x =处的函数值．例２ 求函数 2)(x x f =的导函数． 解 xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(limx x x x x ∆-∆+=→∆220)(lim ()xx x x x x x ∆-∆+∆+=→∆22202lim ()xx x x x ∆∆+∆=→∆202lim()xx x x 22lim 0=∆+=→∆所以x y 2'=． ２.1 .４ 微分我们把函数)(x f y =在点0x x =处的导数)('0x f 与自变量x 的改变量x ∆的乘积x x f ∆)('0叫做函数)(x f y =在点0x x =处的微分，记为dy ．即x x f dy ∆=)('0．更一般地，函数)(x f y =在点x 处的微分，记为dy ，即x x f dy ∆=)('．例３ （１）求函数 2)(x x f =的微分；（２）求函数 2)(x x f =当2=x ，02.0=∆x 时的微分． 解（１）由例２和微分的定义，我们有： x x f dy ∆=)(' x x ∆=2（２）我们将2=x ，02.0=∆x 代入上式，易得： 08.002.022202.0202.02=⨯⨯===∆==∆=x x x x xdy．通常情况下，我们把自变量x 的改变量x ∆叫做自变量x 的微分，记为dx ，即x dx ∆=．从而，我们有：dx x f dy )('=．第二节 导数与微分的计算１. 基本公式２. 导数与微分计算 ３. 复合函数的求导法则概述．在这一节里，我们讨论导数与微分的计算．导数与微分的计算在微积分的学习中是非常重要的一个环节．２.２.１基本公式定理２ 导数与微分的计算公式法则 ２.２.２举例例１ 求函数3cos )(-+=x x x f 的导数)('x f 与微分)(x df ．解()()'12()'cos'3'1sin2f x xx x-=+-=-；dxxxxdf)sin21()(21-=-．例２求函数3sin)(-=xxxf的导数)('xf与微分)(xdf．解)())'12()'3''sin sin'1sin2f x xx xx x x-=-=+=+；dxxxxxxdf)cossin21()(21+=-．例３求函数xxxxfcosln)(+=的导数)('xf与微分)(xdf．解;coslnsin1)cos(ln)sin1(')cos(ln)'cos(ln)(222'xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf---=+--=+-+=dxxxxxxxdf)coslnsin1()(2---=．例４求函数xxxfcos1sin)(-=的导数)('xf与微分)(xdf．解)('xf()()()()2cos1'cos1sincos1'sinxxxxx----=()()()222cos1cos sin1coscos11cos1cos1x x xxxxx--=--=-=-；进而，)(xdf1cos-=xdx．２.２.３复合函数的求导法则定理３ 如果)(x u ϕ=在点x 处可导，而)(u f y =在点)(x u ϕ=处可导，则复合函数[])(u f y ϕ=在点x 处也可导，并且它的导数为'''x u x u y y ⋅=．其中'x y 表示y 对x 的导数，'u y 表示y 对u 的导数，而'x u 表示u 对x 的导数．例５ 已知函数()x y sin ln =，求dxdy ． 解 我们令x u sin =，则u y ln =．因为uy u 1'=，x u x cos '= dx dy '''x u x u y y ⋅==x u cos 1=x xcos sin 1=x cot =． 定理３为我们提供了一个复合函数的求导方法．进一步地，我们把复合函数的求导法推广到多个中间变量的情形．以两个中间变量为例，设)(u f y =，)(v g u =，)(x h v =，则复合函数(){}][x h g f y =的导数为：''''x v u x v u y y ⋅⋅=２.２.４再举例例６ 求函数x x x x f 2cos sin )(++=的导数)('x f 与微分)(x df ．解,2s i n 2s i n 21c o s 2s i n 2)(s i n s i n 121)(''x xx x xx x xx x f -++=-++=dx x xx x x df )2sin 2sin 21cos ()(-++=例７ 求函数x x x f 3sec cot )(-=的导数)('x f 与微分)(x df ． 解 x x x x f 3tan 3sec 311)(2'-+-= ，dx x x xx df )3tan 3sec 311()(2-+-=例８ 求函数()x x x f ln ln )ln()(+-=的导数)('x f 与微分)(x df ． 解,ln 11)(ln ln 11)(''xx x x xx x f +-=⋅+-=dx xx x x df )ln 11()(+-=例９ 求函数xxx f cos 1sin )(2+=的导数)('x f 与微分)(x df ．解法一)('x f ()()()()222cos 1'cos 1sin cos 1'sin x x x x x ++-+=()()()()()32232222222sin cos 1cos sin 1cos 2sin cos 2sin cos sin 1cos sin (2cos 2cos sin )cos 1sin (2cos cos 1)cos 1sin x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x ++=+++=+++=+++=+=；进而，)(x df xdx sin =．解法二22sin ()1cos 1cos 1cos 1cos xf x x xx x =+-=+=-；所以 x x f sin )('=；进而，)(x df xdx sin =．解法二告诉我们，有时候对函数进行适当的变形后，再求函数的导数会比直接求函数的导数方便很多．第三节 高阶导数１. 高阶导数 ２. 莱布尼兹公式３. 高阶导数的物理意义概述 在这一节里，我们讨论高阶导数以及高阶导数的物理意义．２.３.１高阶导数我们知道，函数)(x f y =的导数)(''x f y =，仍然是x 的函数．我们进一步研究导数)(''x f y =的导数，把)(''x f y =的导数（xx f x x f x ∆-∆+→∆)(')('lim）叫做函数)(x f y =的二阶导数，记作''y ，)(''x f 或22dxyd ，即 ()''''y y =，)(''x f []')('x f =，22dxyd d dy dx dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭和．相应地，我们把函数)(x f y =的导数)(''x f y =叫做函数)(x f y =的一阶导数． 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…．一般情况，()1-n 阶导数的导数叫做函数)(x f y =的n 阶导数，分别记作：)('''x f ，)()4(x f，(),()n f x ，或 33dx y d ，44dx yd ，,n n d ydx． 函数()x f y =具有n 阶导数，也常说成函数()x f 为n 阶可导．而二阶以及二阶以上的导数统称高阶导数．由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数．所以，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数．例１ 求指数函数x y 2sin =的二阶导数． 解()'2sin 'x y =x 2cos 2= 从而()()''2sin ''x y =()'2cos 2x =x 2sin 4-=例２ 求指数函数xe y =的n 阶导数． 解 xe y =，所以x e y ='，x e y =''， x e y ='''， ()x e y =4，一般地，可得()x n e y =．例３ 求正弦函数x y sin =与余弦函数x y cos =的n 阶导数． 解 x y sin =，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''22sin 22sin 2cos ππππx x x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+='''23sin 22cos ππx x y ， ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos 4ππx x y ，一般地，可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin πn x y n ； 运用类似方法，可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2c o s c o s πn x x n ．２.３.２莱布尼茨公式:莱布尼茨(Leibniz)公式是求函数乘积的n 阶导数的公式．为了方便起见，我们简记函数)(x u 与)(x v 为u 与v ．定理１ ++++=-- ''')()2(2)1(1)(0)(v u C v uC v u C uv n n n n n n n )(n nn uv C ，即 ()()()()∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0．例１３ x e x y 22=，求()20y ．解 设xeu 2=，2x v =，则()()202122，，， ==k e u xk k ，x v 2='，2=''v ，()()20430，，， ==k vk ，代入莱布尼茨公式，得()()()202220xe x y =22!21920222022182192220⋅⋅+⋅⋅+⋅=xx x e x e x e ．２.３.３高阶导数的物理意义如果物体作变速运动，其运动规律是)(t s s =，其中，s 表示位移，t 表示时间．这时候，s 的一阶导数's 表示的是物体的运动速度，即[]')(t s v =．进一步地，s 的二阶导数''s 表示的是物体的运动加速度，即[]'')(t s a =．例１４ 某简谐振动的运动规律是)3100sin(5ππ+=t s ，求运动的加速度解 )3100sin(5ππ+=t s ，所以')3100sin(5⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππt v)3100cos(500πππ+=t)3100sin(50000'2πππ+-==t v a ．第四节 隐函数 参数方程求导１. 隐函数求导 ２. 参数方程求导概述 在这一节里，我们讨论隐函数与参数方程求导．２.４.１隐函数的导数有这样一类函数，它的的自变量x 与因变量y 的对应关系是由二元方程0),(=y x F 所决定的．我们把形如)(x f y =的函数叫做显函数，而把形如0),(=y x F 所决定的函数叫做隐函数．通常求隐函数的导数有下面两个法则：法则一：将方程两边同时对x 求导，将y 看作x 的复合函数，用复合函数的求导法则，就可以求得的隐函数的导数．例１ 求方程086322=---y x xy 所决定的隐函数的导数．解 将方程的两边同时对x 求导，注意y 是x 的函数，2y 是x 的复合函数，从而得0662''2=--+x x y x xyy y再解出'xy ，得6262'--=xy y x y x，即求出隐函数6262--=xy y x dx dy例２ 求方程xy y e y=--86所决定的隐函数的导数． 解 将方程的两边同时对x 求导，得'''6x x x y xy y y y e +=-解出'x y ，得xe y y y x --=6'，即求出隐函数x e ydx dy y--=6法则二：先对二元函数),(y x F （二元函数的概念可以参考其他微积分教材）求偏导数x F 和y F （偏导数x F 的计算方法就是将),(y x F 对变量x 求导，其中变量y 当作常数处理，同样的方法计算偏导数x F ．），然后运用下面的定理．定理１0),(=y x F 所决定的隐函数的导数yxF F x f -=)(' 例３ 求方程xy y e y=--86所决定的隐函数的导数． 解 令=),(y x F xy y e y---86 则y y x F x -=),(，x e y x F y y --=6),( 故0),(=y x F 所决定的隐函数的导数y x F F x f -=)('xe yy--=6在求显函数的导数时，有时候会特别繁琐，然而我们可以有意识地把它转化为隐函数，用隐函数的求导法则去求该函数的导数．例４ 求)4)(3()2)(1(++++=x x x x y 导数．解等式两边同时取对数，得1ln [ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)]2y x x x x =+++-+-+两边同时对x 求导，即得111111'()21234y y x x x x =+--++++所以11111'(21234y x x x x =+--++++例５ 求)0(>=x x y x导数．解 将等式两边取自然对数，得x x y ln ln = ， 令=),(y x F x x y ln ln -，则)1(ln ),(+-=x y x F x ，yy x F y 1),(=故0),(=y x F 所决定的隐函数的导数)1(ln )1(ln )('+=+=x x x y x f x２.４.２参数方程求导法则参数方程的一般形式是⎩⎨⎧==)()(t h y t g x βα≤≤t ． 定理２（求导法则）参数方程⎩⎨⎧==)()(t h y t g x βα≤≤t ，则dtdx dtdy dx dy = 例６ 求参数方程⎩⎨⎧==ty tx sin 4cos 3 π20≤≤t 的导数和在4π=t 处的导数．解 t x t sin 3'-=，t y t cos 4'=故参数方程⎩⎨⎧==ty t x sin 4cos 3的导数t t t dx dy cot 34sin 3cos 4=--=在4π=t 处，344cot 344===ππt dxdy第五节 洛比达（L ’Hospital ）定理１. 洛比达定理２. 洛比达定理的应用概述 在接下了的几节里，我们讨论导数的有关应用．首先介绍的是洛比达定理及其应用． 运用洛比达定理求函数的极限是一种非常重要的极限计算的方法．２.５.１. 洛比达定理在某一变化过程中，我们约定“0”表示无穷小，“∞” 表示无穷大．两个无穷大或两个无穷小之比（∞∞,00）可能有各种各样的结果．定理1 如果)(x f 和)(x g 满足下面的要求：（1）)(x f 和)(x g 在0x x =附近可导，且0)('≠x g ；（2）0)(lim 0=→x f x x 与)(lim 0=→x g x x ；（3）lx g x f x x =→)(')('lim 0，则有=→)()(lim 0x g x f x x lx g x f x x =→)(')('lim 0．定理2 如果)(x f 和)(x g 满足下面的要求：（1）)(x f 和)(x g 在∞=x 附近可导，0)('≠x g ； （2）0)(lim =∞→x f x 与0)(lim =∞→x g x ．（3）lx g x f x =∞→)(')('lim ，则有 =∞→)()(lim x g x f x lx g x f x =∞→)(')('lim ．２.５.２洛比达定理的应用例１ 求极限（1）xxx x 32lim 0-→（2）xxx x x 30sin cos sin lim -→（3）xx xe e x x x sin 2lim 0----→解 （1）原式=02ln 23ln 3lim 1x x x →-=3ln 2ln -（2）原式=20cos cos sin lim 3sin cos x x x x xx x→-+ =0lim 3sin cos x xx x→=01lim 3cos 2x x →=31（3）原式=02lim 1cos x x x e e x -→+--=0lim sin x xx e e x -→-=0lim cos x xx e e x-→+=2例２ 求极限（１）xx x ln lim+∞→（２）x x x 3lim 100∞→（３）x xx 1sin arctan 2lim -+∞→π解 （1）原式=1lim lim 1x x x →+∞→+∞==lim x =0（2）原式＝99100lim 3ln 3x x x →∞＝98210099lim 3ln 3x x x →∞⨯＝9731009998lim 3ln 3x x x →∞⨯⨯＝100100!lim 3ln 3x x →∞=＝０（3）原式=2211lim 11cos x x x x →+∞-+-=22lim 1x x x →+∞+=1值得注意的是：运用洛比达定理求函数的极限是一种连续使用的方法，但是在多次罗必塔法则求函数的极限，必须在每一次都要检查它是不是满足定理要求，否则会产生错误结果．例３ 求极限123lim 331-+-→x x x x 解 原式=22133lim 3x x x→- =0第六节 微分与近似计算１. 微分与近似计算的关系 ２. 微分与近似计算的应用概述 在这一节里，我们讨论微分与近似计算的关系，并分析微分在近似计算方面的应用．２.６.１微分与近似计算的关系定理１ 如果函数)(x f y =在点0x x =处可微，则)(x dy y ∆+=∆ο．我们假定0x x x -=∆很小，根据定理１，我们有下面的近似公式：dy y ≈∆，即 x x f x f x f ∆+≈)(')()(00例１ 求31sin 的近似值．解 设函数 ()sin ,f x x =，则'()cos f x x =，由已知得0306x π==，1180x π∆==，原式000()sin()()'()6180f x x f x f x x ππ=+∆=+≈+∆=5151.01806cos 6sin≈⨯+πππ２.８.２. 微分与近似计算的应用在近似公式x x f x f x f ∆+≈)(')()(00中，我们令00=x ，得到下面的近似公式：x f f x f )0(')0()(+≈．进一步地，我们有下面的定理：定理２ 当x 很小时， （１）x x ≈sin （２）x x ≈tan （３）x x-≈+111（４）x e x+≈1 （５）x x ≈ln （６）nx x n +≈+11 例２ 求下列近似值．（１）502.1（２）04.0ln （３）05.0e （４）998.01解 （1）原式502.01+=502.01+≈=004.1 （2）原式04.0≈（3）原式05.105.01=+≈ （4）原式002.1)002.0(1)002.0(11=--≈-+=定理３ 如果函数),(y x F 在点),(00y x 处可微，则0000(,)(,)x y F x x y y F x y F x F y ο+∆+∆-=∆+∆+．其中x F 和y F 是函数),(y x F 的偏导数（偏导数x F 的计算方法就是将),(y x F 对变量x 求导，其中变量y 当作常数处理，同样的方法计算偏导数y F ．）我们假定()()22y x ∆+∆很小，根据定理３，我们有下面的近似公式：0000(,)(,)x y F x x y y F x y F x F y +∆+∆-≈∆+∆例３ 求01.299.0近似值．解 设函数(,),yf x y x = 则1(,),(,)ln y yx y f x y yx f x y x x -==取001,0.01;2,0.01x x y y =∆=-=∆=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y +∆+∆≈+∆+∆ =(1,2)(1,2)(1,2)x y f f x f y +∆+∆=1+0)01.0(2+-⨯=0.98 即 01.299.00.98≈.第七节 导数与函数的单调性 导数与函数的极值１. 函数的单调性的定理 ２. 函数的极值概述 在这一节里，我们讨论导数与函数的单调性之间的关系，也就是利用导数的正与负确定函数的增与减．２.７.１函数的单调性的判定定理导数与函数的单调性之间有着很密切的关系，其中最著名的是下面的定理：定理1 设函数()y f x =在开区间(,)a b 上可导，那么（1） 当'()0f x >时，函数()y f x =在开区间(,)a b 上单调增加； （2） 当'()0f x <时，函数()y f x =在开区间(,)a b 上单调减少．例1 函数xe y =在开区间),(+∞-∞上可导，导数是0'>=xe y ，所以xe y =在开区间),(+∞-∞是单调增加．２.７.２函数的极值什么是函数的极值？（１）如果函数)(x f y =在0x x =附近的函数值都大于)(0x f ，则我们称点0x x =叫做极小点，函数值)(0x f 叫做极小值．（２）如果函数)(x f y =在0x x =附近的函数值都小于)(0x f ，则我们称点0x x =叫做极大点，函数值)(0x f 叫做极大值．函数的极大点与极小点统称为极值点，函数的极大值与极小值统称为极值．对于极值与极值点，我们有下面的定理定理２ 如果点0x x =是函数)(x f y =的极值点，则函数)(x f y =在点0x x =处只会出现下列两种情况：（１） 函数)(x f y =在点0x x =处不可导；（２） 函数)(x f y =在点0x x =处的导数为零，即0)('0=x f ．（这时候，我们常说点0x x =是驻点）根据定理１与定理２，讨论函数的单调区间与极值可以按照下列步骤进行； （１） 决定函数的定义域；（２） 求函数的不可导点与驻点；（３） 用不可导点与驻点将定义域分成若干个开区间（４） 判别导数)('x f 在每一个开区间上的符号．根据定理１确定函数的增与减．例２ 讨论函数3()3y f x x x ==-的单调区间与极值． 解 3()3y f x x x ==-的定义域是),(∞+-∞332'-=x y ，令0'=y ，解得11x =-，21x =，将定义域),(∞+-∞分成三个区间(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞.列表考察'y 的符号，例３ 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调区间与极值． 解 32()29123f x x x x =-+-的定义域是),(∞+-∞12186)(2'+-=x x x f ，令0)('=x f ，解得11=x ，22=x ，将定义域),(∞+-∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞.列表考察'y 的符号，例４ 讨论函数211)(xx f +=的单调区间与极值． 解 211)(x x f +=的定义域是),(∞+-∞ 22')1(2)(x x x f +-=，令0)('=x f ，解得0=x 列表考察'y 的符号，第八节 导数与函数的凹凸性１. 函数的凹凸性２. 函数的凹凸性的判别定理概述 在这一节里，我们讨论函数曲线的弯曲方向，也就是函数的凹凸性．２.８.１函数的凹与凸所谓函数是凸的，就是函数曲线上任意两点的连线都位于两点的弧段的下方． 图所谓函数是凹的，就是函数曲线上任意两点的连线都位于两点的弧段的上方．． 图如果函数)(x f y =在点0x x =处是可导的，并且在点0x x =两旁分别是凹的或凸的，这时候，我们把点))(,(00x f x 叫做拐点．对于拐点，我们有：定理１ 如果))(,(00x f x 是函数)(x f y =拐点，则)(''0x f 0=或者不存在． 例１ 考察正弦函数x x f sin )(=的图象． 图在区间),0(π上函数是凸的，在区间)2,(ππ上函数是凹的，点()0,π是拐点．进一步地，在区间)2,2(πππ+k k （k 是整数）上函数是凸的，在区间)22,2(ππππ++k k （k 是整数）上函数是凹的，k 是整数）是拐点．而且时，0．２.８.２函数的凹凸性的判定定理２设函数在某区间上有二阶导数，（１）如果在某区间上有0)(''>x f ，那么函数)(x f y =在该区间上是凹的； （２）如果在某区间上有0)(''<x f ，那么函数)(x f y =在该区间上是凸的．根据定理２，讨论函数的凹凸区间与拐点可以按照下列步骤进行： （１）求函数的二阶导数)(''x f ； （２）找出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，用这些点将函数定义域分解成若干个小区间；（３）在每个小区间上用定理２判定．例２ 讨论函数xx f 1)(=的凹凸性． 解 x x f 1)(=的定义域是),0()0,(+∞⋃-∞. 2'1)(x x f -=，3''2)(xx f =，容易看出,在区间)0,(-∞内0)(''<x f ,所以函数xx f 1)(=是在区间)0,(-∞内凸的;在区间),0(∞+内0)(''>x f ,所以函数xx f 1)(=在区间),0(∞+内是凹的.例３ 讨论函数3)(x x f =的凹凸性，分析0=x 是不是拐点． 解 3)(x x f =的定义域是),(∞+-∞.2'3)(x x f =，x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，解得0=x .列表考察)(''x f 的符号，由上表可知，函数3)(x x f =在区间)0,(-∞内是凸的，在区间),0(∞+内是凹的，拐点为（0，0）。
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第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
的某一邻域内(点X 。
可除外)有定义，且XT% limFB"；兀fo② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)H0;lim 晋弓存在(或为^),则lim A->X 0 厂 I 兀丿 X->X 0⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且]jm /(x) = O,]j m F(x) = 0；・Y T 8 X T 8② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F'(x)HO;4.2未定型〃：〃的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
的某一邻域内(点X 。
可除外)有定义，且lim/G)=°°，入f0 limF (x )=°°；牙TXo② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)HO;③lim 晋吕存在(或为8),则lim#^ =A —>X 0 十 \^) "TXo 匸 I 兀丿⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且 Hm /(兀)= 00,]im F(x) = oo ；XT8② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F(x)HO;③lim 件]存在减为°°），则limTT^ = x —>oo r \X ） x ^a r （入丿4.3可化为〃即型或〃生〃型的极限Q DC _________ (或为8).®lim F\x ） f(x)存在减为f 则ijjp 耳r _________ （或为8）・ _________ （或为g ）・(1)若lim〔/(x)• F(X)］为“ o-oe 〃型极限,可以做limt/W •尸⑴］= _____(X—><») (XT8)或limg)®)］= ___________________XT"(XT8)的变形，前者化为〃三〃型，后者化为普〃型.⑵ 若limMW—F⑴］为“00-00 〃型极限，则根据情况对函数进行变形,(XT8)将其化为〃辭型或上〃型.U K5. 导数的应用5.1求曲线的切线方程与法线方程如果函数y二f(x)在点X。
处可导，，由导数的几何意义可知，曲线y二f(x)在点(Xo, f(x())) 的切线方程为____________________ .如果f'(Xo)HO,此时曲线冃(x)在点(X。
, f(x。
))处的法线方程为_______________ .如果f(x o)=O,则_________ 即为曲线y=f(x)在点(xo,f(x。
))处的水平切线.5.2函数的增减(单调)性与极值5.2.1用导数符号判断函数增减(单调)性若在(a,b)内总有f，(x)>0,则f(x)在(a,b)内______ ;若在(a,b)内总有f,(x)<0/则f(x)在(a,b)内_______ .5.2.2函数的极值设y二f(x)在点X。
的某个邻域内有定义：如果对于任何该邻域内任何异于Xo的点x,恒有f(x)_f(x°),则称X。
为f(x)的一个极大值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ .如果对于任何该邻域内任何异于X。
的点X,恒有f(x)_f(xo),则称Xo为f(x)的一个极小值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ .定理1 (极值的必要条件)设y=f(x)在点Xo处可导，且Xo为f(x)的极值点，则f(Xo)=_.使函数导数值为零的点，称为函数的—・定理2 (极值的第一充分条件)设尸f(x)在点Xo的某个邻域内可导，且f(Xo)=O,M：(1) 当XVXo时f (x)_0;当X>Xo时f (x)_0,则Xo为f(x)的极大值点;(2) 当XVXo时f(x)_O;当x>Xo时f(x)_O,则Xo为f(x)的极小值点；(3) 若F(x)在Xo的两侧同号，则Xo不是f(x)的极值点.定理3 (极值的第二充分条件)设y=f(x)在点Xo处二阶可导，且f(x o)=ojij:(1) 若f〃(Xo)_O,则xo为f(x)的极大值点；(2) 若f〃(x°)_O,则xo为f(x)的极小值点；(3) 若f/(x o)=O/则此方法不能判定.5.3函数的最大值与最小值(1) 求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:xi,...,x k .(2) 求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b 处的函数值:f(xi)/...f(x k )/f(a)/f(b)/进行 比较，则 f(x)max = _{f(x 1)/...f(x k ),f(a),f(b)}, f(x)min = _{f(Xi),.・・f(Xk),f(a),f(b)}・5.4函数的凹凸性5.4.1用导数判断函数的凹凸性 性质设函数尸f(x)在点(a,b)处二阶可导.(1) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y 二f(x)为(a,b)内为凹函数.(2) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y=f(x)为(a,b)内为凸函数5.4.2曲线的拐点连续曲线弧y=f(x),ffi(a,b)内有二阶连续导数f 〃(x),xoe (a,b).(1)当f 〃(x)在xo 的左、右两侧为 ___ 时,那么点(x 0, f(x 0))为曲线 尸f(x)的拐点，此时 f ,z (xO)=_.⑵ 当f 〃(x)在X 。