人教版数学高二A版选修4-5第四讲数学归纳法证明不等式单元检测(A)

第四讲数学归纳法证明不等式单元检测(A)

一、选择题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)

1．用数学归纳法证明不等式11112321

n n <＋＋＋＋

－(n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )． A ．11<22＋ B ．111<223

＋＋

C ．111<323＋＋

D ．1111<3234＋＋＋ 2．用数学归纳法证明2n ＞n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( )．

A ．假设n ＝k 时命题成立

B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立

C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立

D ．假设n ＝k (k ＞5)时命题成立

3．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )．

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

4．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原

式为( )．

A ．1

B ．1＋2

C ．1＋2＋3＋4

D ．1＋2＋22＋23＋24

5．用数学归纳法证明“对于任意x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋

421111n n n

n x x x ≥－－＋＋＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )． A ．n 0＝1 B ．n 0＝2

C ．n 0＝1,2

D ．以上答案均不正确

6．用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时

为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是( )．

A ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1

B ．4×42k ＋9×3k

C ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1

D ．3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1

7．平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加一条直线l 后，它们的交点个数最多为( )．

A ．f (k )＋1

B ．f (k )＋k

C ．f (k )＋k ＋1

D ．k ·f (k )

8．用数学归纳法证明111112233411

n n n n ⨯⨯⨯()＋＋＋＋＝＋＋(n ∈N ＋)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边需添加的项是( )．

A ．11k k ()

＋ B ．11112k k k k ()()()

＋＋＋＋ C ．112k k ()()

＋＋ D ．

12k k ()＋ 二、填空题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

9．用数学归纳法证明cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)sin22sin n ααα

＝(sin α≠0，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式右边的式子是______．

10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是______．

三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)

11．用数学归纳法证明：

2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)．

12．求实数a ，使下面的等式对一切正整数n 都成立：

111123234345

⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋2112412n an n n n n n ()()()()＋＋＝＋＋＋＋.

参考答案

1. 答案：B

2. 答案：C

解析：∵n ≥5，n ∈N ＋，

∴假设n ＝k (k ≥5)．

3. 答案：C

解析：取n ＝1,2,3,4,5,6,7计算知n 0＝5.

4. 答案：D

解析：左边＝1＋2＋22＋…＋25n －1，所以n ＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22

＋23＋24.

5. 答案：A

6. 答案：A

解析：当n ＝k ＋1时，42k ＋1＋3k ＋2＝42k ＋1＋42·3k ＋1－42·3k ＋1＋3k ＋2＝16(42k －1＋3k ＋1)－

13×3k ＋1.

7. 答案：B

解析：第k ＋1条直线与前k 条直线都相交有不同的交点，此时应比原先增加k 个交点．

8. 答案：C

解析：由11n n ()

＋，可得n ＝k ＋1时，为112k k ()()＋＋. 9. 答案：cos α

解析：n ＝1时，右边＝sin22sin cos cos 2sin 2sin αααααα

＝＝. 10. 答案：(2k ＋2)＋(2k ＋3)

解析：当n ＝k 时，左边共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)，所以左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．

11. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝2，等式成立．

(2)设n ＝k 时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k (k ＋1)．

那么，当n ＝k ＋1时，2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k (k ＋1)＋2(k ＋1)

＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]．

所以n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)和(2)可知，等式对于任何正整数n 都成立．

12. 解：令n ＝1，得21112341112a ⨯⨯()()

＋＝＋＋， ∴a ＝3.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n ＝1时，已证．

(2)假设n ＝k 时，命题成立，即

111123234345

⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋21312412k k k k k k k ()()()()＋＋＋＝＋＋＋＋. 当n ＝k ＋1时， 左边＝11123234

⨯⨯⨯⨯＋＋＋1112123k k k k k k ()()()()()＋＋＋＋＋＋ 231412123k k k k k k k ()()()()()

＋＝＋＋＋＋＋＋ 2344123k k k k k ()()()()＋＋＝＋＋＋21544123k k k k k k ()()()()()

＋＋＋＝＋＋＋ 2131423k k k k ()()()()

＋＋＋＝＋＋， 所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，当a ＝3时，等式对任意的n ∈N ＋都成立．