2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

数理统计学考试题及答案

数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。

2008-2009-1概率论与数理统计(A)卷答案

2008-2009-1概率论与数理统计（A ）参考答案一．填空题（每空3分，共30分）1．0.58； 2．0.8； 3．310，12； 4．510.9-； 5．0.2； 6．201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它； 7．2λ＝； 8．13， 2二．（本题10分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+……………………………(2分) 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= ………………… …………(3分)（2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯=== ……………………(5分) 三．（本题15分）已知连续型随机变量X 的概率密度 20()0xae x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩,求：（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）{12}P X <≤；（4）2Y X =的概率密度。

解：（1）由2()1xf x dx ae dx +∞+∞--∞==⎰⎰，得12a =………… … …………(4分) （2）2201010()()20000x x x xe dx x e x F xf x dx x x ---∞⎧⎧≥⎪⎪-≥===⎨⎨⎪⎪<⎩<⎩⎰⎰…………(4分)（以上两步只写结论也给分）（3）111122{12}(2)(1)1(1)P X F F e e e e ----<≤=-=---=- …………(3分)（4）2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤ i 〉0y ≤时，()0Y F y =ii 〉0y >时，2(){12x Y F y P X e dx e e-=≤≤==-=-所以()()00Y Yyf y F yy⎧>'==≤⎩……………………(4分) 四．（本题15分）已知(,)X Y为二维离散型随机变量，分布律如下：（1）求常数C；（2）求{}P X Y=的值；（3）求()E X及()D X；（4）求()E XY及(,)Cov X Y。

2009概率论与数理统计(A卷)试卷解答1

0102461911811313XY华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第一学期考试科目：考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、填空题（每小题3分，共3⨯5=15分）1、设随机变量X 服从二项分布()10,B p ，若X 的方差是52，则12p =2、设随机变量X 、Y 均服从正态分布()2,0.2N 且相互独立，则随机变量21Z X Y =-+的概率密度函数为()211z +-()()~1,1Y N -3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则联合分布函数值()1,3F =5184、设总体X 服从参数为λ的指数分布，12,,...,n x x x 是它的一组样本值，作λ的极大似然估计时所用的似然函数()12,,...,;n L x x x λ=1nii x neλλ=-∑。

5、作单因素方差分析，假定因素有r 个水平，共作了n 次试验，当H 0为真时，统计量~A A E ESS df F SS df =()1,F r n r --二、单项选择题（每小题3分，共3⨯5=15分） 1、设A ，B 是两个互斥的随机事件，则必有（ A ）()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P B =+-=- ()()()()()()()1C P AB P A P B D P A P B ==-2、设A ，B 是两个随机事件，()()()245,,556P A P B P B A ===，则（ C ）()()()()()()()()1351224825A P AB B P A BC P A BD P A B ====3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ D ）()()()()()()()()A E X Y E X E Y B E XY E X E Y ±=±= ()()()()()()()()C D XY D X D YD D XY D X D Y ±=+=4、作单因素方差分析，假定因素有三个水平，具有共同方差2σ。

(完整版)数理统计考试题及答案

1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1μσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1μσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σμN X 的样本，∑=-=6122)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。

解：因为),(~2σμN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)0a x x α⎧+<<⎨⎩，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极大似然估计量。

2009概率论与数理统计试题及答案——同济

1 n X i 是已知的，个体（总体）的 E( X i ) 未知，矩估计： X ，完成了一个从样本到 n i 1
1
总体的推断过程。
二、做题的 18 个口诀（概率 15 个，统计 3 个） 1、概率
（1）题干中出现“如果” 、 “当” 、 “已知”的，是条件概率。例 7：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式” 。例 8：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8, 0.1 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（3） “只知次数，不知位置”是“二项分布” 。例 9：抛 5 次硬币，其中有 3 次正面朝上的概率？

Hale Waihona Puke 2 、 F 分布取面积对称的分位数。
3
三、选择题常考的 5 个混淆概念 1、乘法公式和条件概率
例 24：100 个学生，60 个男生，40 个女生，棕色头发 30 个，棕色头发的男生 10 个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？
P( AB) P( A) P( B / A)
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
0 x 1,0 y x,
试求 U=X-Y 的分布密度。
其他. 0 x 1,0 y x,
，试求 P(X+Y>1)。
2 例 17：设随机变量（X，Y）的分布密度为： ( x, y ) 0,

立信_09级《概率论与数理统计》A卷及答案

上海立信会计学院2010 ～2011学年第2学期09级本科《概率论与数理统计》期终考试（A 卷）（本场考试属闭卷考试，可使用计算器）共 5 页说明：可能要用到的相关数据0.025(6) 2.4469t =，0.05(6) 1.9432t = ，0.025(7) 2.3469t =，0.05(7) 1.8946t =，(1.96)0.975Φ=，(1.65)0.95Φ=.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填写在括号内）1．已知事件A 、B 互不相容，()0P A >、()0P B >，则（）.A. ()1P A B =B. ()()()P A B P A P B =C. ()0P A B =D. ()0P A B >2．对任意事件A 、B ，下面结论正确的是（）.A. ()0P AB =，则AB =∅B. 若()1P A B = ，则A B =ΩC. ()()()P A B P A P B -=-D. ()()()P A B P A P AB =-3.则c =A.81 B. 41 C. 31 D. 21 4. 设随机变量X 的密度函数为4,01,()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，则常数c =（）.A. 51B. 41 C. 4 D. 5 5. 设2~(1,)X N σ-且(31)0.4P X -<<-=，则(1)P X ≥= （）. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.56. 设随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，且()3E X =，17p =，则n =（）.A. 7B. 14C. 21D. 497．设1216,,,X X X 是来自正态总体2(2,)N σ的一个样本，161116i i X X ==∑，则48~X σ-（）.A. (15)tB. (16)tC. 2(15)χD. (0,1)N8．设12,,,n X X X 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，11ni i X X n ==∑，2211()n ni i S X X n ==-∑,则n Y = ）. A. (1)t n - B. ()t n C.2(1)n χ- D. (0,1)N 9．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆ()E θθ≠，则ˆθ是θ的（）. A. 极大似然估计 B. 矩估计C. 有效估计D. 有偏估计10．下列说法中正确的是（）.A. 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了弃真错误B. 如果备择假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了取伪错误C. 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了弃真错误D. 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了取伪错误二、解答题（本大题共6小题，每小题9分，共54分，解答应写出推1．某产品共30件，其中有三件是次品，现从中任取2件，求至少有一件是次品的概率.2. 对某一目标进行射击，直至击中为止. 如果每次射击命中的概率为p ，试求射击次数X 的分布律.设X 的概率密度函数为,0,()0,.x e x f x -⎧>=⎨⎩其他试求2Y X =的4. 设X 的概率密度函数为2,01,()0,.x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，试求(),()E X D X .5. 某车间生产滚珠，滚珠的直径),(~2σμN X ，其中μ未知，20.05σ=. 从某天的产品中随机抽取6件，侧得直径（mm ）为： 15.1 14.6 14.8 14.9 15.1 15.2试求滚珠直径X 的均值μ的置信度为0.95的置信区间.6. 有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验针对新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（单位：h ）： 26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.经计算此样本平均值为24.2，样本标准差为2.296. 根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为23.8h ，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？（0.05α=）得分三、综合题（本大题共2小题，每小题13分，共26分.解答应写出推理，演算步骤）1. 甲、乙、丙三个人独立地去破译一份密码，已知甲、乙、丙各人能译出此密码的概率分别为15，13，14，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率？2.设随机变量(,)X Y 的联合分布律为 4,01,01,(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 ()X f x ，()Y f y ；（2）判断X 和Y 的独立性.得分《概率论与数理统计》期终考试（A 卷）参考解答一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1． C 2. D 3. B 4. D 5. A6. C7. D8. A9. D 10. C二、解答题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.设A ={从30件产品中任取2件产品，至少有一件是次品}，则样本空间所包含的基本事件总数为435230=C ，A 的对立事件所包含的基本事件总数为351227=C ，从而所求概率28()145P A =。

09级数理统计习题

09级数理统计习题1. 用事件A 、B 、C 表示下列各事件：⑴ A 出现，但B 、C 不出现； ⑵ A 、B 出现，但C 不出现；⑶ 三个都出现； ⑷ 三个中至少有一个出现；（5）三个至少有两个出现；（6）三个都不出现；（7）只有一个出现；（8）不多于一个出现；（9）不多于两个出现；2. 设()()()1.0,3.0,5.0===AB P B P A P 求： ⑴ ()B A P +；⑵ ()B A P +3. 已知()()(),2.0/,3.0,1.0===B A P B P A P 求⑴ ()AB P ；⑵ ()B A P +；⑶ ()A B P /；⑷ ()B A P ；（5）()B A P /。

4. 连续掷3枚硬币：⑴ 写出这一试验的样本空间；⑵ 求这个试验的基本事件的个数；⑶ “恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？5. 现有一批药品共有100件，其中有5件是次品。

考察随机试验：从这批药品中任意抽出10件，检查其抽到的次品数。

若记K={抽出的5件次品中恰有k 件次品} 由于次品数只有5件，则该试验共有6个基本事件：{0}、{1}、{2}、{3}、{4}、{5}其样本空间为 Ω={0，1，2，3，4，5}则A=“次品数少于3件”，B=“恰有2件次品”，C=“有次品”等等都是随机事件，均可由基本事件来表示，如A={0，1，2}。

而“次品数不多于5件”这一事件就是必然事件Ω；“次品数超过5件”这一事件是不可能事件Φ。

6. 某种新药依次用于三名患者的疾病治疗，A 、B 、C 三个事件表示下列事件：⑴ “只有第一人有效”；⑵ “只有一人有效”；⑶ “至少有一人有效”；⑷ “三人都有效”；⑸ “三人都无效”。

7. 从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 的三件产品中，任取1件。

每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

8. 把“每次取出后不放回”改为“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

数理统计2009年试题及答案

判断题1若θˆ是未知参数θ的矩估计量,则θˆ不一定是唯一的(√)2若θˆ是未知参数θ的最大似然估计,)(θg 为连续函数,则)(ˆθg是)(θg 的最大似然估计(√)3若θˆ是未知参数θ的有效估计量, 则θˆ一定是θ的最小方差无偏估计量(√)4若θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量,T 是θ的充分估计量,则]|ˆ[*ˆT E θθ=一定是θ一个最小方差无偏估计量(√)5 若贝叶斯风险的下确界满足条件:∞<)(inf d R B d,则贝叶斯决策函数与后验型贝叶斯决策函数是等价的(√)6未知参数θ的无偏估计一定存在(×)7 若经检验后零假设0H 被拒绝,则说明其备选假设1H 是正确的(×) 8 随机变量n X 的渐近分布就是它的极限分布(×)9 在假设检验0H :110:,Θ∈Θ∈θθH 中,当0Θ∈θ时,势函数)(θβ就是犯第一类错误的概率(√)10 设αt 为t 分布的α上侧分位数,设αu 为标准正态分布的α上侧分位数,则当0>α充分小时,总有ααu t ≤(×) 二填空题1 设总体)1,0(~N X )(10x F 是由其简单随机样本T X X X ),(1021 确定的经验分布函数,则1031010)5.0(}3.0)0({C F P ==2设总体),(~p N B X ,简单随机样本T n X X X ),(21 ,则p 的无偏估计量的罗-克拉默(Rao-Cramer)下界为nNp p )1(-. 3设总体)1,0(~N X ,简单随机样本Tn X X X ),(21 ,则统计量∑=-=ni i X X Y 12)(的分布为)1(2-n χ4设总体)4,(~μN X ,简单随机样本T n X X X ),(21 ,则当给定的检验水平为α时,检验问题1:,1:10≠=μμH H 的势函数为)/21()/21(1)(2/2/ααμμμβu nu n --Φ++-Φ-= 5设总体的指数分布，服从参数为 θX T n X X X ),(21 是其简单随机样本,则其最小次序统计量}min{)1(i X X =的分布密度为)0(,);(>=-x e n x f x n θθθ6 设总体X 的均值EX 和方差DX 都存在,X 和2n S 分别为对应总体X 简单随机样本T n X X X ),(21 的样本均值和样本方差,则当n 充分大时, X 近似服从),(),(2nS EX N n DX EX N n或7 设总体),(~2σμN X ,其中方差2σ未知,则均值μ的置信度为α-1的单侧置信上限为nS n t X n)1(2/-+α 8 在关于未知参数θ的贝叶斯估计中,当损失函数为平方损失函数2)(),(d d L -=θθ时,θ的贝叶斯估计为)|(x E θ.9 在单因素方差分析的总离差平方和分解式E A T Q Q Q +=中,∑∑==-=ri n j i ij E iX X Q 112)(.10 在一元线性回归分析中,设n i y x i i ,2,1),,(=位给定的回归样本，则其(经验)线性回归方程中的回归系数∑∑==---=ni i n i i i x x Y Y x x 121)(/))((ˆβ三、设在单因素方差分析中，根据试验数据，已算得方差表的部分数据，得到下面尚不据解其显著性判别的依据为)12,2(89.307.1705.0F F =>=四、设总体X 服从两点分布),1(p B ，其中未知参数p 的先验分布为区间[0，1]上的均匀分布，T n X X X ),(21 是其简单随机样本，损失函数为2)(),(d p d p L -=，试求p 的贝叶斯估计解:),,1(1,0,)1()1()|(1111n i x p p p pp x q ni ini iiix n x ni x x ==∑-∑=-===-=-∏1)(=p π,∑-∑=∝==-ni ini ix n x p pp p x q x p h 11)1()()|()|(π故p 的后验分布为)1,1(11+-+∑∑==ni i ni i x n x βp 的贝叶斯估计为)|(ˆx p E p=,ba aEX b a X +=),,(~β 所以21111)|(ˆ1111++=+-+++==∑∑∑∑====n x x n x x x p E pni i ni in i ini i .五、设总体X 为在区间],1[θ上的均匀分布，试求（1）参数θ的矩估计量（2）参数θ的最大似然估计量解:(1)⎰+=-=θθθ12111xdx EX 由21ˆ+=θX 可得12ˆ-=X θ(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0,,1)1(1)(12θθθn x x L ,可见1>θ时,其越小,)(θL 越大,但未保证)(θL 不为0,取)(ˆn X =θ即为最大似然估计六、一袋中装有黑白两色球，设p 为白球数所占总球数的百分比，对于假设检验问题%20:%,50:10==p H p H ，若从袋中有放回的随机摸取6次球，当取到白球次数小于3时，则拒绝0H ，试求（1）该检验的检验函数。

2009年数理统计

一、（满分14分）设总体)4,12(N ,921,,,X X X 是总体X 的一个样本。

记∑==nk k X n X 11(1) 求 }1|12{|>-X P ;(2) 求 }.14),,,{max(921>X X X P二、（满分14分）测得两批电子器材的电阻值（单位：Ω）分别为：A 批：14.0，13.8， 13.4，14.2，14.4，13.7B 批：13.5，14.0，14.2，13.6，13.8，14.0设A 批器材的电阻21~(,)X N μσ ，B 批器材的电阻22~(,)Y N μσ，而且X 与Y 相互独立.在显著性水平0.05α=下，可否认为两批器材的电阻均值相等？三、（满分14分）设总体),(2σμN ,2σμ和均未知，现得到样本值为：４.６，４.７，４.８，５.０，５.１，５.２求2σμ和的置信水平为０.９５的置信区间.四、（满分10分）A 市某期对奖储蓄中奖号码如下：在显著性水平0.05α=下，检验器械或操作是否有问题？五、（满分16分）设总体X 服从二项分布),(θN B ，其中(01)θθ<<是未知参数，Ｎ已知。

设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本。

（1）求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ；（2）证明ˆθ是未知参数θ的有效估计量。

六、（满分１６分）某工厂在分析产量x 和成本y 时，选取10个生产小组作应用线性模型122,,,,~(0,)n y a bx N εεεεεσ=++⎧⎨⎩为其子样（1）求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；（2）在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0H b =；。

七、（满分１６分）为了比较四种不同的肥料对某农作物收获量的影响，现进行施肥试验，在安排试验时尽可能减少土地原有肥沃程度差异的影响。

试验结果由下表给出。

附注：计算中可能用到的数据如下：833.12)5(,831.0)5(,9.16)9(,95.5)8,1(,32.5)8,1(2975.02025.0295.099.095.0=====χχχF F6319.0)8(,228.2)10(,571.2)5(,306.2)8(05.0975.0975.0975.0====r t t t,975.0)96.1(,9332.0)5.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ。

09-10(I)数理统计A试卷A答案

北京林业大学2009--2010学年第一学期数理统计A 考试试卷A 答案一、填空（每空2分，共10分）1. 设A 、B 、C 为三个事件，则至少有两个事件发生可以表示为AC BC AB ++。

2．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为7的概率为1/6。

3. 设P (A )=0.4，P (B )=0.3，6.0)(=B A P ，则=)(B A P 0.3。

4．X ~P(2)，则EX 2=6 。

5. 已知X ~N (5,32)，令Y =3X -2，则Y ~N （13，81）。

二、（10分）某商场供应的电冰箱中，甲厂产品占70% ，乙厂产品占30%，甲厂产品合格率是95% ，乙厂产品合格率是80% 。

（1）求此商场电冰箱的合格率。

（2）每卖出一台合格品为商场盈利300元，而每卖出一台不合格品则亏损500元，求卖出一台所得的平均利润。

解：（1）p =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905；（2）300×0.905+(-500)×0.95=224 三、（10分）设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤-=)(0)(2/1)(其它a x a a x f ，其中a >0，且3/1}1{=>X P 。

求(1)a 。

(2) Y =2X ，求Y 的概率密度函数)(y f Y 。

解：（1）(a -1)/2a =1/3，∴a =3；（2）]3,3[~-U X ，]6,6[~2-=U X Y ，⎩⎨⎧≤≤-=)(0)66(12/1)(其它y y f Y四、（10分）X ~B (2,0.2)，定义⎩⎨⎧>≤-=)1(1)1(1X X Y 。

（1）写出Y 的分布列。

（2）求E (Y )和D (Y )。

解：(1)P(X >1)=P(X =2)=(0.2)2=0.04,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04.096.011~Y ；（2）E (Y )=-0.92,D (Y )=EY 2-(EY)2=1-(0.92)2=0.1536 五、（10分）设（X,Y ）在半径为1、圆心在坐标原点的圆内服从均匀分布。

(完整版)概率论与数理统计试题及答案

2008－2009学年第1学期概率论与数理统计(46学时) A一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、A B 、为两个随机事件，若()0P AB =，则（A ）A B 、一定是互不相容的；（B ）AB 一定是不可能事件；（C ）AB 不一定是不可能事件；（D ）()0P A =或()0P B =.2、二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为(,)F x y 为(,)X Y 的联合分布函数，则(1.5,1.5)F 等于（A ）1/6；（B ）1/2；（C ）1/3；（D ）1/4.3、X Y 、是两个随机变量，下列结果正确的是（A ）若()E XY EXEY =,则X Y 、独立；（B ）若X Y 、不独立,则X Y 、一定相关；（C ）若X Y 、相关,则X Y 、一定不独立；（D ）若()D X Y DX DY -=+,则X Y 、独立.YX 0 1 2 1 1/61/3 0 21/41/61/124、总体2212~(,),,,,,n X N X X X μσμσ均未知，为来自X 的一个简单样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。

若μ的置信度为0.98的置信区间为(X c X c -+，则常数c 为（A ）0.01(1)t n -；（B ）0.01()t n ；（C ）0.02(1)t n -；（D ）0.02()t n .5、随机变量12,,,n X X X 独立且都服从(2,4)N 分布，则__11ni i X X n ==∑服从（A ）(0,1)N ；（B ）(2,4)N n ；（C ）(2,4)N n n ；（D ）4(2,)N n .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、已知A B 、为两个随机事件，若()0.6,()0.1,P A P AB ==则(|)P A AB =1.7、已知随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布，则(2)E X =（）.8、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则概率(||12)P X <=（）.9、随机变量12(3,),(3,)33Xb Yb ,且,X Y 独立，则()D X Y -=（）.10、已知随机变量,1,2,3i X i =相互独立，且都服从(0,9)N 分布，若随机变量2222123()(3)Y a X X X χ=++，则常数a =（）.三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

09数理统计(A)参考答案.docx

浙江工商大学2008/2009学年第一学期数理统计考试趣(A 卷)参给案1> 才(/n), /2 (m -1) , t(m-l), 0.5；5、匸严真,N(0,l)；6、25；7、433二、解⑴ 由X 〜2(76 4)，则元〜N(7.6,4/〃) 2分从而 n > 20⑵根据中心极限定理，可得y _ 7 A QP(5.6 <X< 9.6) = P(| _厂 |< — ) = 2①(乔)一 1 > 0.953 分2/y/n 2/V/i从而 n>3.84三、(1) 缈&的极大似然估计为务X (”)・乂 X (〃)的密度为 p(y) = ny n ~l /O<y<0.— rO riE3 = \ ny n !d n dy =——O T &MTOO .Jo • /7 + 1 E02 =「ny n ^ !0n dy = -^—e\ Jo n + 2P(5.6 <X< 9.6) = P(\X- 7.61< 2)>1- 4/n>0.952、独立，F(l,l);3、Var （0） = -^—02 _（丄刖=n + 2 n +1⑵不是，修偏得&的无偏估计/二山 x （“）.n⑶ MSE （ 7） = Var （疗）= ',考虑6的形如O a = &X （“）估计,其均方毬为n{n + 2）MSE®） = U“（"X （”）） + ©EXg- 0）2 =a 2——?——e 1 + （竺一1）2 &2・ 2分（〃 + 1）~（川 + 2）川 + 1易得兔=出时，均方误差达^最小但〃 + 1P （F 2 < 1） = P （F v 1） = 1 - P （F > 1）n（斤 + 1）（7卄2）2e 1TO ,.r\ [旋（和心）=耐严＜旋（〃）02 /!（/?四、证明:Z （x,-//）2 旦—; ---------- 力2（2对2分CT4卄1__Z （X 厂X ）23—； ------------ 才（2防2分b”4Var （S^ = Var （S ；） = — 2 分n并由两者的独立性可得2分〜F （2n,2n ）2n£（X 「-“）4卄工（X 厂壬）2P(Fvl) = P(丄 vl) = P(F>l)FP(F<l) = 0.5五、⑴宙数据算得方差比的置信区间的两端分别为乱」9,9 丿=需 % 4.03 = 1.00752 分由此可知其0.95置信区间为[0.0620, 1.0075] 1分⑵两正态总体方差比的置信水平为0.95的置信区间包含1,可以假定两个总体的方差相等。

西安工业大学2009级概率论与数理统计考试试题及答案详解

绝密★启用前西安工业大学2010级概率论与数理统计考试试题（A 卷）注意事项：（1）所有题一律在试卷上做答，第三至第八题要有计算过程；（2）可能用到的数据如下： 1.96, 0.025U =，()2.50.9938Φ=5小题，每小题3分，总计15分） 1、设 A B 、为任意两个事件，且,()0A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是（）.()A ()()P A P A B <； ()B ()()P A P A B ≤ ； ()C ()()P A P A B >； ()D ()()P A P A B ≥.2、设随机变量X 的期望()E X 与方差()D X 都存在，则对任意0ε>，有（）.()A (){}()2D X P XE X εε-≥≤； ()B (){}()2D X P XE X εε-≥≥；3、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为23，将此硬币连掷4次，则恰好3次正面朝上的概率为（）.()A 881; ()B 827; ()C 3281; ()D 34.4、设随机变量)1,(~u N X ，)(~2n Y χ，又X 与Y 独立，令T =，则下列结论正确的是（）.()A )1(~-n t T ； ()B )(~n t T ； ()C )1,0(~N T ； ()D ),1(~n F T .5. 样本()12,,n X X X 取自总体ξ，E ξμ=，2D ξσ=，则（）可以作为2σ的无偏估计.()A 当μ已知时，统计量()21ni i X nμ=-∑；()B 当μ已知时，统计量()()211ni i X n μ=--∑；()C 当μ未知时，统计量()21ni i X nμ=-∑；()D 当μ未知时，统计量()()211ni i X n μ=--∑.5小题，每小题4分，总计20分） 1. 若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 1()8P A C =, 则事件A、B 、C 至少有一个发生的概率为 ;2. 设二维随机变量(),X Y 的分布律为则{}0P XY == ；{}P X Y == ;3. 设连续型随机变量X 的概率密度为：sin , 0()0, x x a f x ≤≤⎧=⎨⎩其它则常数a =__________; 6P X π⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭__________; 4. 设总体(,0.09)X N μ~，测得一组样本观测值为：12.613.412.813.2 ，则总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为__________；5. 设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P ________. 10分）设甲袋中有3个红球及1个白球，乙袋中有4个红球及2个白球.现从甲袋中任取1个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取1个球，求最后取得红球的概率.9分）设连续型随机变量X的分布函数为()2,0;0, 0xA B e x F x x -⎧+>=⎨≤⎩试求：（1）, A B 的值；（2）{}11P X -<<；（3）概率密度函数()f x .分）设二维随机变量(),X Y 的密度为6,01;(,)0, x x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它，（1）求边缘概率密度()X f x ，()Y f y ；（2）求{}1P X Y +≤.分）已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布()21, 3N 和()20, 4N ，且与的相关系数12XY ρ-=.设32X YZ =+. （1）求的数学期望()E Z 和方差()D Z ；（2）求X 与Z 的相关系数X Z ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？分）设随机变量X 2, 01()0, ax bx c x f x ++<<⎧=⎨⎩其它，已知()0.15()0.5, D X E X ==，求常数,,.a b c分）设总体X 的概率密度为：()1,01,0,.x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其它, 其中θ未知，1θ>，12,,n X X X 是从该总体抽取的一个样本.试求θ的极大似然估计.绝密★启用前2009级概率论与数理统计考试试题（A 卷）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填空题（20分）1、0.2;2、27,312; 3、1,24、 (12.706,13.294) ; 5、14三、解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则()()()()3154, , , 4477P A P A P B A P B A ====……….……………4分由全概率公式有()()()()()351419.474728P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=……………10分四、解：（1）因为()F x 为连续函数，则()()2lim1xx F A Be -→+∞+∞=+=，即1A =……………………………………2分又由()()()20lim lim 00x x x F x A Be F ++-→→=+==，所以0A B +=，即1B A =-=-…………………………………………4分 (2) {}()()211111P X F F e --<<=--=-……………………………….. 6分(3) ()22,0,()0, 0.x e x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩…………………………………….…………. 9分五、解：（1）101,6,()(,)0,xX x xdy f x f x y dy +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它． 6(1),01,0,x x x -<<⎧⎨⎩＝其它．……………………2分201,6,()(,)0,01,3,0,y Y y xdx f y f x y dx y y +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧⎨⎩⎰⎰其它．＝其它．………………………….4分(2)⎰⎰⎰⎰+-==≤+2/1016),(}1{x xGxdy dx dxdy y x f Y X P ………………………6分⎰=+-=+-=2/10234/102/1]34[)12(6x x dx x x ……………..8分其它．,0,0,0),1)(1(23>>⎩⎨⎧--=--y x e e y x ………………………10分六、解：因()21, 3X N ，()20, 4Y N ，故1, 0EX EY ==23DX =，24DY = …………………………………………………2分则()()1,1262XY Cov X Y -==⨯=-………………………4分（1）()()()132323E XE Y X Y E Z E ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭………………………………6分()()()()2,3232XY X Y D Z D D Cov =++……………………………8分()()()112,39432D X D YC ov X Y ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………10分 (2) ()()(),,,,3232X Y C ov X X C ov X Y C ov X Z C ov X ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1633032D X =+-⨯=-=……………………………12分,0XZ C ov X Z ρ==…………………………………………13分(3) 因,X Y 均是正态随机变量，其线性组合Z 也是正态随机变量，但()Z X ,不一定是正态随机变量，所以由0XZρ=，即,X Z 不相关知X 与Z不一定相互独立.………………………………………………………15分七、解：12()(),32a b f x dx ax bx c dx c +∞-∞=++=++⎰⎰……………3分 12()()(),432a b c E X xf x dx x ax bx c dx +∞-∞==++=++⎰⎰…………6分 12222()()(),543a b c E X x f x dx x ax bx c dx +∞-∞==++=++⎰⎰……9分由()1,f x dx +∞-∞=⎰22()0.5,()()[()]0.4E X E X D X E X ==+=得1320.54320.4543a bc a b c a b c⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解之得12123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩…………………………12分八、解：似然函数为：()11,n ni i L x θθθ-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏………………………………………………2分()()1ln ln 1ln n i i L n x θθθ==+-∑……………………………………4分()1ln ln 1ln ni i L n x θθ==+-∑，ln d Ld θ1ln ni i nx θ==+∑，令ln 0d L d θ=，得似然方程为1ln 0,ni i nx θ=+=∑ (6)分解得：1ˆ,ln nii nxθ==-∑………………………………………………………8分θ因此,的极大似然估计量为1ˆ.ln nii nXθ==-∑………………………………9分。

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .解：(9)t ．2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .解：1212ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解：1ˆ-''X Y β=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则____D___ .（A ）(0,1)nXN ；（B ）22()nS n χ；（C ）(1)()n Xt n S-；（D ）2122(1)(1,1)nii n X F n X=--∑.2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A ）α减小时β也减小；（B ）α增大时β也增大；（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大；（D ）（A ）和（B ）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；（D ）A S 与e S 相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =回，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著；（B ）2R 接近1时回归效果显著；（C ）2R 接近∞时回归效果显著；（D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中未知参数0θ>,12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111ni i v X X n ===∑代替，所以∑===ni iX Xn11ˆθ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，得 1ˆ1ln nii nxθ==--∑．六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;(;)0,0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩未知参数0λ>，12(,,)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是1λ的一个UMVUE ．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得222211()ln (;)I E f x E λλλλλ⎡⎤∂-⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦，1λ的的无偏估计方差的C-R 下界为 2221221[()]11()nI n n λλλλλ-⎡⎤⎢⎥'⎣⎦==．另一方面()1E X λ=， 21V a r ()X n λ=，即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1λ的UMVUE ．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(205.0=χ．解：（1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有： ()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=，具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设22, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知221121(1)(1)Xn S n χσ--，222222(1)(1)Yn S n χσ--，由F 分布的定义可得211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n S S n σσσσ--==----．对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，即22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 22221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B 卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -；（B ）1~(0,1)1X N -；（C ）1~(0,1)9X N -；（D~(0,1)X N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；（D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε；（B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ；（C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．（2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他,似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=，确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．二、单项选择题（每题1分，共10分）1．重点调查中的重点单位是指( )A.处于较好状态的单位B.体现当前工作重点的单位C.规模较大的单位D.在所要调查的数量特征上占有较大比重的单位2．根据分组数据计算均值时，利用各组数据的组中值做为代表值，使用这一代表值的假定条件是（）。

2009-7-A(答案)概率论与数理统计试卷和答案

华东理工大学2008–2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共12分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,),(2y x ke y x f y x ，（1）求常数k （3分）；（2）求}{Y X P >（3分）；（3）证明：X 与Y 相互独立（6分）。

解：（1）1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，……………………………………….2’102=⎰⎰∞∞--dxdy ke y x ，2=k ；………………………………………1’（2）}{Y X P >⎰⎰∞--=22xy x dxdy e dx ……………………………….2’32311=-=………………………………………………1’ （3）⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(02x x e x x dy e x f x y x X ，……………………………..2’ ⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(202y y e y y dx e y f y y x Y …………………………………2’因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立。

………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。

每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。

问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则)(X g Y =，且⎩⎨⎧<--≥=a X X a X aX a Y ),(5.05.1,5.1⎩⎨⎧<-≥=aX a X a X a ,5.02,5.1………………2’X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0)500,300(,2001)(x x f ……………………..1’ =EY ⎰∞∞-dx x f x g )()(⎰⎰⋅+⋅-=50030020015.12001)5.02(a a dx a dx a x )300900(200122-+-=a a ……………………………………………………3’ 令0)9002(2001=+-=a da dEY ，…………………………………………………2’450=a （唯一驻点），又0100122<-=daEY d所以，当450=a 吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。

2009级《概率论与数理统计》第二次考试试卷(A)答案及评分标准

绝密★启用前2009级《概率论与数理统计》期末考试试卷（二）标准答案和评分标准_____________________________________________________________________二、填空题（5×4分）1、 0.2;2、 21, 99 ; 3、 1,24; 4. 0.5328 0.6977 ； 5、(12.706,13.294)三、解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则()()()();03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P ………………2分于是（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是()()()()()P B P A P B A P A P B A =+0.950.980.050.030.9325=⨯+⨯=……………………………………………6分（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是()()()().9984.09325.098.095.0≈⨯==B P A B P A P B A P ………………………………10分四、解：()1由题意知，()1,010, X x f x others <<⎧=⎨⎩……………………………2分又相互独立，故与的联合概率密度为()()21, 01, 0,,()20, ,y X Y e x y f x y f x f y others -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩…………….5分()2因｛a 有实根｝=｛判别式22440X Y =-≥ ｝{}2X Y =≥，故P ｛a 有实根｝{}2P X Y =≥…………………………………………6分()2,x yf x y dxdy >=⎰⎰21212y x dx e dy -=⎰⎰…………………………………………8分 ()2121xe dx -=-⎰222110222011x x x edx e dx e dx ----∞-∞⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰()()221221110x x e dx e dx ---∞-∞⎤=⎥⎦=Φ-Φ⎤⎦………………………………10分1 2.50640.34130.1446=-⨯=…………………………………………………11分五、解：由于2i X (1,...,36)(52,6.3),i N =故36111)36523636i i X X X ==⨯⨯∑＝，E(，2221 6.3D()36 6.3(),366X =⨯⨯=……2分故26.3(52,())6X N ，从而52(0,1)6.36X N - ………………………………….5分设52=,6.36X ξ-故50.8525253.852(50.853.8)()6.3 6.3 6.3666X P X P ---<<=<< -81212-8()()()7777P ξφφ=<<=- 128()()10.8293.77φφ=+-≈………………………………………………….10分六、解：()1()()11,E X xf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………….……………………………….2分由对称性得()0E Y =…………………………………………………….3分()()11,E XY xyf x y dxdy dx +∞+∞-∞-∞-==⎰⎰⎰0=……………………………………………….…………………….5分而()()()()cov ,0X Y E XY E X E Y =-=，于是0XY ρ=，X 与Y 不相关……………………………………………….…………6分()2()()1,0,1X x f x f x y dy x +∞-∞⎧≤⎪==⎨⎪>⎩⎰……………..……………..8分由对称性得()()1,0,1 Y y f y f x y dx y +∞-∞⎧⎪≤==⎨⎪>⎩⎰……………………9分当1,1x y ≤≤时，()()(),X Y f x y f x f y ≠故X 与Y 不独立………………………………………………………………11分七、解：()()01;x E X xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰……………………………2分按矩估计法取()1,E X A X ==得1ˆXλ=………………………………………………………………4分设1,,n x x 为总体X 的一个样本值，则似然函数为1nii x nn nx L e e λλλλ=--∑==………………………………………………………6分取对数 ln ln L n nx λλ=-由对数似然方程()ln 0d L nnx d λλ=-=…………………………………9分解得1xλ=，……………………………………………………………………10分故得极大似然估计为1ˆXλ= ………………………………………………11分编辑：张永锋2010-12-8。

2009年4月全国自考概率论与数理统计试题答案

2009年4月全国高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题答案课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是()A.P（AB）=0B.P（A∪B）=P（A）+P（B）C.P（AB）=P（A）P（B）D.P（B-A）=P（B）答案：C2.A. AB. BC. CD. D答案：D3.A. AB. BC. CD. D答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：C 5.A. AB. BC. CD. D 答案：C 6.A. AB. BC. CD. D 答案：B 7.A. AB. BC. CD. D 答案：A 8.A. AB. BC. CD. D 答案：D 9.A. AB. BC. CD. D 答案：B10.A. AB. BC. CD. D答案：A二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.___2.盒中有4个棋子，其中白子2个，黑子2个，今有1人随机地从盒中取出2子，则这2个子颜色相同的概率为___.答案：3.若随机变量X在区间［-1,+∞)内取值的概率等于随机变量Y=X-3在区间［a,+∞)内取值的概率，则a=___.答案：-44.___5.___6.___7.___ 答案：1 8.___ 答案：9.___答案：710.___答案：11.___答案：012.80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为___.13.___答案：014.___15.___答案：2三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.答案：2.一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，设X为直至取得正品为止所需抽取次数.(1)若每次取出的产品仍放回去，求X的分布律；（2）若每次取出的产品不放回去，求P{X=3}.答案：四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）1.答案：2.答案：五、应用题（10分）1.答案：。

湘大09级数理统计试卷及答案

09级数理统计试卷及答案1、已知(X,Y)的联合密度函数⎩⎨⎧=-其他,0＜y＜0,),(xe y xf x ，(1)求X,Y 的边缘密度函数，并验证独立性；/*第一章 p7-p8，与04级一.（1），06级第一题同类型*/(2)求条件密度f x|y (x|y); /*p8-p9*/ (3)求条件期望E （X|Y=0.5）。

/*p16,与08级第一题同类型*/ /*注意积分区间，分情况取值*/解：1）⎰⎰+--⎪⎩⎪⎨⎧===∞∞x 0x -0﹤y ﹤x0,e y)dy f(x,)(，其他x x xe dy x f ⎰⎰+-+-⎪⎩⎪⎨⎧===∞∞∞yx -y 0﹤y ﹤x 0,e y)dx f(x,)(，其他y e dx y f ⎩⎨⎧=+-其他,0＜y＜x0,)()()(y x Y X xe y f x f ),()()(y x f y f x f Y X ≠，则X 与Y 不相互独立2）⎩⎨⎧==-其他,0＜y＜x0,)(),()|(|x y Y Y X e y f y x f y x f3）5.1xe xe )y |x (xf )(f y)f(x,x5.0|∞∞5.0x -0.5x -y ∞∞Y |X ∞∞Y ======⎰⎰⎰⎰+++-+-y dx dx dx dx y Y X E ）（2、设X 1,X 2,....,X n 是来自总体X~B(1,p)的样本，试证明:（1）i=1niX∑是参数p 的充分完备统计量；/*课本p36,p38,p39 同课本例2.4.8，二项分布，与07级第3题同类型，与08级第三题同类型*/（2）i=1niX∑是参数np 的无偏估计。

/*第三章p45，同07级第4题（3）类型，同10级第3题（1）类型，同13级第4题类型*/证明：样本X 1,X 2,....,X n 的联合概率函数为:2）∑∑∑∑====∴=∙==ni i ni i n i i ni x np x E x E n n x n n E x E 1111)()(1)1,()(，是参数np 的无偏估计。

2009概率论与数理统计试题及答桉

自测题（第一章）一、选择题（毎小题3分,共15分）：1. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A 表示“选出的学生是男生”，B 表示“选出的学生是三年级学生”，C 表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC 的含义是（）.（A ）选出的学生是三年级男生；（B ）选出的学生是三年级男子篮球运动员；（C ）选出的学生是男子篮球运动员；（D ）选出的学生是三年级篮球运动员；2. 在随机事件C B A ,,中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（）. （A ）C B C A（B ）C AB （C ）BC A C B A C AB（D ）C B A3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设A 为甲胜，B 为乙胜，则甲胜乙输的概率为（）.（A ）6.06.0⨯ （B ）4.06.06.0⨯- （C ）4.06.0- （D ）0.6 4．下列正确的是（）.（A ）若)()(B P A P ≥，则A B ⊆ （B ）若B A ⊂，则)()(B P A P ≥（C ）若)()(AB P A P =，则B A ⊆ （D ）若10次试验中A 发生了2次，则2.0)(=A P 5．设A 、B 互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误的是（）.（A ）0)|(=A B P （B ）0)|(=B A P （C ）0)(=AB P （D ）1)(=B A P解：1. 由交集的定义可知，应选（B ）2. 由事件间的关系及运算知，可选（A ）3. 基本事件总数为48C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为15C =5，故P (A )=485C，故应选（D ）。

4. 由题可知A 1、A 2互斥，又0<P (B )<1，0<P (A 1)<1，0<P (A 2)<1，所以P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 故应选（C ）。