4-一维单元-FEM-2003版本科双语有限元法PPT-2014(哈工程中文版)

2）在自然坐标系：
0
T ( 3)
1 1 (1 )T3 (1 )T4 2 2 1 1 ( 3) ( 3) S3 T3 S 4 T4 (1 0) (34) (1 0) (20) 27C 2 2
( 3) ( 3) T ( 3) S 3 T3 S 4 T4
（b）局部坐标下

Xj
Xi
x 2 x3 2 S j dX ( ) dx 2 0 l 3l
l
l
0
l 3
（c）自然坐标下？
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4.5 等参数单元
位移函数（自然坐标下）：
u ( e ) S i ui S j u j 1 1 (1 )ui (1 )u j 2 2
1
自然坐标下温度分布：
T
(e)
1 1 SiTi S jT j (1 )Ti (1 )T j 2 2
在 1, T Ti， 在 1, T Tj 。
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4.4 整体、局部和自然坐标系
求散热片的温度： 1）在局部坐标系 下求X=8cm的温度 2）在自然坐标系 下求X=7.5cm的温 度 1）在局部坐标系：
x3
T ( 3) x x T (3) S3(3)T3 S 4(3)T4 (1 )T3 T4 l l 3 3 (1 ) (34) (20) 25.6C 5 5
散热片的温度分布
单元温度线性分布
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4.1 线性单元
温度线性分布：
X Xi T Ti
T (e) Biblioteka Baidu1 c2 X
Ti c1 c2 X i
X Xj
T Tj
T j c1 c2 X j
T
(e)
c1
Ti X j T j X i X j Xi T j Ti X j Xi
T Tj
T Tk
T j c1 c2 X j c3 X 2 j
X Xk
Tk c1 c2 X k c3 X k2
T (e) Si Sj Ti T Sk j Tk
T (e) SiTi S jT j Sk Tk
10 8 85 (34) (20) 25.6 C 5 5
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4.1 二次单元
二次单元的温度分布：
T
(e)
c1 c2 X c3 X
2
X Xi
T Ti
Ti c1 c2 X i c3 X i2
X Xj
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4.4 整体、局部和自然坐标系
▲二次单元和三次单元在自然坐标下的形函数
1 S i (1 ) 2 1 S j (1 ) 2 S k (1 )(1 )
二次单元：
三次单元：
1 S i (1 )(3 1)(3 1) 16 1 S j (1 )(3 1)(3 1) 16 9 S k (1 )( 1)(3 1) 16 9 S m (1 )(1 )(3 1) 16
T (e) Si
Sj
Sk
Ψ (e) Si
Sj
Sk
Ψi Ψ j Sm Ψ k Ψ m
9 ( X X j )( X X k )( X X m ) 3 2l 9 S j 3 ( X X i )( X X k )( X X m ) 2l 27 S k 3 ( X X i )( X X j )( X X m ) 2l 27 S m 3 ( X X i )( X X j )( X X k ) 2l Si
练习：如何用插值函数得到节点形函数？
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4.4 整体、局部和自然坐标系
1. 整体和局部坐标关系：
Global Node Local Local
2. 自然与局部坐标关系：
Node j
j
Node
X Xi x
Si Xj X l X j ( X i x) l x 1 l
等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特 性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不 管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以 方便地采用标准化的数值积分方法计算。
等参单元采用等参变换来描述单元的几何特性和力学特性， 即采用相同数目的结点参数和相同的插值函数来进行单元几 何形状和场函数的变换。借助等参单元，可以对一般的任意 几何形状的工程问题方便地进行有限元离散，并且可以采用 标准化的数值积分方法计算有限元方程所包含各个矩阵中的 元素，从而使编制有限元分析通用程序成为可能 。
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例题: 求积分

Xj
Xi
S2 j dX。
（a）整体坐标下（b）局部坐标下 （c）自然坐标下
（a）整体坐标下

Xj
Xi
S dX
2 j
Xj
Xi
X Xi 2 1 ( ) dX 2 ( X X i )3 l 3l
Xj
Xi
l 3
整体坐标下的X 和x的坐标表达:
X Si X i S j X j 1 1 (1 ) X i (1 ) X j 2 2 1 1 x Si xi S j x j (1 ) xi (1 ) x j 2 2
注： 用一组相同的参数（Si，Sj），定义任意变量 u，T 等
K=1：
K=2： K=3：
Si S1
Sk S2
( X X 1 )( X X 3 ) ( X X 1 )( X X 3 ) 4 2 ( X X 1 )( X X 3 ) l l ( X 2 X 1 )( X 2 X 3 ) l ( )( ) 2 2 ( X X 1 )( X X 2 ) ( X X 1 )( X X 2 ) 2 S j S3 2 ( X X 1 )( X X 2 ) l ( X 3 X 1 )( X 3 X 2 ) l (l )( ) 2
Si
Xj X X j Xi
Xj X l
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4.1 线性单元
例子：散热片在如下点的温度 (a) X=4cm (b) X=8cm (a) X=4cm, 单元 (2)：
( 2) ( 2) T ( 2) S2 T2 S 3 T3
局部和自然坐标关系（无量纲自 然局部坐标系）：
2x 1， [1 ， 1] l
X X i ( X i x) X i x Sj l l l
形函数：
Si 1 (1 ) 2 Sj 1 (1 ) 2
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l 2l 1 a1 ( X i X m )( X i X j )( X i X k ) a1 (l )( )( ) 3 3 9 S i 3 ( X X m )( X X j )( X X k ) 2l 9 a1 3 2l
(N-1)-阶插值函数：
第4章 一维单元
4.1. 线性单元
4.2. 二次单元 4.3. 三次单元 4.4. 整体、局部和自然坐标系 4.5. 等参数单元 4.6 一维单元ANSYS应用
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4.1 线性单元
T
(e)
c1 c2 X
真实温度曲线 近似温度曲线
T (e) SiTi S j T j
用同样的参数 (Si，Sj）表达几个形状
这样的单元统称等参数单元 isoparametric 有限元通常采用这种单元
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4.5 等参数单元

等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的 参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变 换而设计出的一种单元。
SK
M 1 M K

N
X XM XK XM
( X X 1 ) ( X X K－1 )( X X K＋1 ) ( X X N ) ( X K X 1 ) ( X K X K－1 )( X K X K＋1 ) ( X K X N )
4.4 整体、局部和自然坐标系
※自然坐标下的线性形函数具有形函数的独特性质 i node：
Node Local Node
1 Si 1 (1 ) 1 ，S j 2
1
1
1 (1 ) 0 2 1 (1 ) 1 2
j node：
Si 1 (1 ) 0 ， S j 2
X3 X X X2 T2 T3 l l
T ( 2)
54 42 (41) (34) 36 C 3 3
X4 X X X3 T3 T4 l l
(b) X=8cm, 单元 (3)：
( 3) T ( 3) S 3 T3 S (43)T4
T ( 3)
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( X X 2 )( X X 3 ) ( X X 2 )( X X 3 ) 2 2 ( X X 2 )( X X 3 ) l ( X 1 X 2 )( X1 X 3 ) l ( )(l ) 2
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4.3 三次单元
T (e) c1 c2 X c3 X 2 c4 X 3
Ti T j Sm T k Tm
T (e) SiTi S j T j SmTm S k Tk
X Xk
T Tk
T Tm
X Xm
X Xj T Tj
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4.2 三次单元--- Lagrange差值公式
★拉格朗日差值函数： Lagrange interpolation functions 增加函数阶数 由形函数性质：在本身节点为1，其它节点为0：
Si a1 ( X X m )(X X j )(X X k )
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4.2 三次单元--- Lagrange差值公式
X X M ommiting（X X K） SK M 1 X K X M ommiting（X K X K）
N
对二次单元形函数, N-1=2 and K=1,2,3. 1－i，2－k，3－j
Si
2 ( X X j )( X X k ) 2 l 2 S j 2 ( X X i )( X X k ) l 2 S k 2 ( X X i )( X X j ) l
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4.2 三次单元
三次单元温度分布：
X Xi T Ti
c2
T j Ti X j Xi

Ti X j T j X i X j Xi Xj X X j Xi Ti
X
T
(e)
X Xi Tj X j Xi
Sj X Xi X Xi X j Xi l
形函数：
T (e) SiTi S j T j