抽象函数高考类型

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高考复习中抽象函数常见题型及处理方法

例４已知定义在Ｒ上的函数厂－，（）对ｚ
２）如果当Ｉｚ∈ （１０一，）时，有（）＞ｏ ‘ ｚ，
求证：－厂（）在（１１ｚ一，）上是单调递减的函数；
任意，，７Ｙ∈ Ｒ厂（２，ｚ）＝厂Ｉ（）＋厂）ｚ（．１）求证：ＩＲ时，）：一厂（）ｚ∈ 厂（：＝Ｉ；ｚ２若＞１，有厂（）０求证：－）时恒－＜，ｚ厂（）ｚ
２考查函数的性质例２定义在Ｒ上的偶函数厂（）满足：
０又厂ｚ，（）为奇函数，以ｆ（）在［３３所ｘ一，］上单调递减，ｚ一厂（３厂（）一）一一厂３（）一一
厂（１＋２）一一厂（）一厂（１１＋１）一一３１ｆ（）一６，厂（一厂（）一一厂（３ｚ）ｉ３一）一一６．
必有＋）厂）０）等：ｚ丢＋＞解（ｒ
（Ａ）０个．（Ｂ）１．（个Ｃ）０个或１个．
（Ｄ）１个或２个．
足如下两个条件：对任意的ｚ， ① Ｙ∈ Ｒ，ｘ＋ｆ（）一厂ｚ（）＋厂（；当ｚ＞０时，）０） ② 厂（＜，
且厂１一一２求函数厂（）［３３上的最（）．ｚ在一，］大值和最小值．
以ｆ（＋１ｘ）一ｆ（一１ｘ）一厂（１一ｚ）所以，
使用具体函数的约占三分之一，用抽象函数使

高考数学重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型(原卷版)(全国通用)(学生专用)(新高考专用)

重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

抽象函数常见题型解法

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

高三数学总复习——抽象函数

高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。

常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)f x kx k =≠()()()f x y f x f y ±=±一次函数()(0)f x kx b k =+≠()()()f x y b f x f y ++=+幂函数()nf x x=()()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ==或二次函数2()f x ax bx c =++（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数()(01)xf x a a a =>≠且()()()()()()f x f x y f x f y f x y f y +=-=或对数函数()log (01)a f x x a a =>≠且()()()()()()xf xy f x f y f f x f y y=+=-或或f(x m )=mf(x)余弦函数()cos f x x=()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=()()2()()f x y f x y f x f y ++-=正切函数()tan f x x=()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。

（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。

高考数学5类常见抽象函数真题讲解!.doc

高考数学5类常见抽象函数真题讲解！题型一：正比例例题．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)．求证:f(x)是奇函数(2)．若f(-3)=a,用a表示f(24)①令y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(x)+f(-x)=f(0)令x=y=0,则f(0)=2f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数②∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=.....=8f(3)又∵f(-3)=a,∴f(3)=-a，∴f(24)=-8a题型二：对数函数型例题：函数f(x)对于x0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数（1）证明：f(1)=0;（2）若f(x)+f(x-3)≥2成立，求x的取值范围。

①证明：令x=y=1，则f(1×1)=f(1)+f(1),故f(1)=0②∵f(2)=1,令x=y=2∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2,f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]∴f[x(x-3)]≥f(4)∵f(x)是减函数∴x(x-3)≤4,∴x²-3x-4≤0成立的x的取值范围是-1≤x≤4题型三:指数函数型例题. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1.(1) 证明:f(0)=1,且x0时,f(x)1;(2) 证明: f(x)在R上单调递减;解：(1)令m=0,n=1,f(0+1)=f(0)f(1)∵当x0时,0f(x)1∴f(1)0,f(0)=1∵x0,∴-x0∵f(-x+x)=f(-x)f(x)f(0)=1,x0时,0f(x)1∴f(-x)1∴x0时,f(x)1(2)任取x1,x2∈R,且x1x2则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]·f(x1)∵x2-x10,∴0f(x2-x1)1,故f(x2-x1)-10,∵f(x1)0∴[f(x2-x1)-1]·f(x1)0∴f(x2)-f(x1)0,∴f(x1)f(x2)∴函数f(x)是R上的单调减函数. 题型四：幂函数型题型五：三角函数型。

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数

高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。

抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。

掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。

抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。

在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。

下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。

将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。

根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。

将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。

将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。

答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。

下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。

解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。

因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：()211xf x x =++()f x 解：设1xux =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=-例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x xx x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()f x x x =++例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x ,∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N=+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

高考数学专题复习抽象函数

高考数学专题复习抽象函数高考常考抽象函数模型：1. 正比率函数型： f (x) kx(k 0)f (x y)f ( x)f ( y)2. 一次函数型：fx kx b f xyf x f y b 幂函数型：f ( x)x 2f ( xy)f (x) f ( y) ，f ( x)f ( x)3. yf ( y) 4.指数函数型：5.对数函数型：6.三角函数型：f ( x f (x)f ( x) a xy)f ( x y)f ( x) f ( y) ， f ( y)f ( xf ( x) log a xf ( xy)f (x)) f (x) f ( y)f ( y) ，yf (x y)f ( x)f ( y)f ( x) tan x1 f ( x) f ( y)1、直线型抽象函数例1.已知函数 f (x) 对随意实数 x, y ，均有 f ( x y)f ( x) f ( y)，且当 x0 时，f ( x)0 ，f ( 1) 2 ，求 f ( x) 在2,1 的值域2、指数函数型抽象函数 f ( x)知足：对随意实数 m ， n ，总有f ( m n)f (m) f (n) ，且当 x例 2.定义在 R 上的函数时，0 f ( x) 1 ．(1) 试求f (0)的值(2) 判断f (x)的单一性并证明3、对数函数模型1; ②对随意实数 b ，f ( x b)例 3.定义在R上的函数 f ( x) 知足：① f (10)bf ( x) ，当 x 1 时，f x 0f (1), f ( 1), f ( 1)(1) 求24 x, y, f ( xy) f (x)f ( y)(2) 求证：对随意正实数(3) 求证：f (x)是R上的增函数4、幂函数模型例 4.已知函数f ( x)对随意实数 x, y 都有 f ( x y)f (x) f ( y) 且 f ( 1) 1, f (27)9.当 0x 1时，0 f (x) 1判断f ( x)的奇偶性判断 f ( x) 在 0, 上的单一性，并证明若 a 0 ，且f ( a1) 39，求 a 的取值范围5、正切函数模型1 f ( x)f ( x m)例 5.若对常数m和随意实数x，都有等式1f ( x)建立，求证: f ( x) 是周期函数14,2 . 2 f 01, nmnm. 3 f 10. f1lg 1, f 12 lg 1. f xyf 10 lg xy f m nf n22 42f 10 lg xf 10 lg yxyx2 lg xy右 4 y1fxf x ,0 xxy. f xx 3 .0 a 2f f x1f ( x m) 1 1 f ( x)15 f (x2m)f (xm) m1 f ( x)4m1 f ( x m)1 f ( x)T1 f ( x)1 f ( x)练习：1.若xR ，f ( x)知足f ( xy) f ( x)f ( y)，若 x 0 时， f x，比较大小f2 , f 0 , f 12.若xR ， f ( x) 知足f x1x 2f x 1f x 21,，则以下说法正确的选项是（）A.fx为奇函数B.f x为偶函数C.f x1为奇函数D.f x1为偶函数3.f (x)的定义域为 R ,fxy()fx( )fy( )对一确实数x, y建立，若f (8) 4，f (2)4.f (x)定义域为 R ，对随意x, yf ( x) f ( x) f ( y)，x1 时，f (x)0 ，f ( 1) 1R，都有y2，2（ 1）求证f (x)为减函数（ 2）解不等式f ( x) f (5 x)2f (x) 是定义在 R 上的偶函数，图像对于 x 1对称， x 1 , x 2 [ 0, 1]，有 f ( x1 x2 ) f (x 1) f ( x 2 ), f x 05.2 (1) 设f (1)2，求f ( 1)f7， f 2f 20152 ，4，3(2) 求函数yf xm. m1,2 在区间0,8上各零点之和fx 6.若f ( x)是定义在0,f x f y上的增函数，且y（ 1）求 f1 的值（ 2）若f61，解不等式 f x 3 f x27.函数f x对随意的实数m, n有f m nf mf n，当 x 0 时，有f x 0（ 1）求证 :f 0 0（ 2）求证 :f x在 R 上为减函数．（ 3）若 f 32 ，解不等式 f x 2 6f x 48.f (x)定义在 R 上不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有xf ( x 1)(1 x) f (x) f ( 5)，则 2=19.已知函数fx知足：f 14 f x f yf x y f x y . x, y R ，则 f 20154 ， _____f 2 1 f 2f 2 2f 4 f 2 3 f 610.函数f ( x)知足：f ( a b)f (a ) f (b) ， f (1)2 ，则f 1f3f 5f 2 1005f 2010 f200911.函数f ( x)对随意的m, nR，都有f (m n) f (m) f (n) 1，而且当 x 0 时，f ( x) 1（ 1）求证：f ( x)在 R 上是增函数（2）若 f (3) 4 ，解不等式 f ( a 2a 5) 2x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y)x y12.f ( x)在f (),1,1上为奇函数1,1上有定义，知足1xy 求证： f (x) 在13.函数f x对随意的实数m, n，有f m n f mf n，当x 0 时，有f x（ 1）求证：f 0 0（ 2）求证：f x在 R上为增函数．（ 3）若 f 11 ，解不等式 f 4 x2 x214. f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (xy)f ( x) f ( y) ， f (3) 1，解不等式 f ( x) f (x 8) 215.已知定义在, 1 (1, )上的奇函数，且知足：①f (3) 1②对随意的 x 2 ，均有f ( x) 0③对随意的 x, y R ，均有 f ( x 1) f ( y 1) f ( xy 1)（ 1）求f (2)的值（ 2）求证： f ( x) 在 (1,)上是单一递加16.设f ( x)是定义在 R 上的偶函数，且f x 31f ( x)，则f (7.5) 的值为 _____1 奇，f2f0 f 1.2 C.3 1,0 40，14，552, 42,1,3 2 ,32. 6 0,3,357, 16,. 8 0. 9 f 01, f 11 241111111f 2 x1 f x1f 2, f 34, f5, f67T6f2015y2x,24S40204, f44, f4. 10f x 2241 1 令 m x , n0 . f 3 3 f 12 f 12a3,2 . 12 x y0 f 00, x0 f y f y13 m n 0 f 0 0, x1m, x2x1n, n 0x2x1, 2x22x2 1 2x2x 1 f x2f x1f n014 f 9 2 f 3 2x808 x 9. 15 x y 1 f 2 0, x 0, y 1f y10f x 1 f xy 1 x x89x1xy116 f7.51f 1.5f 1.51 2。

抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑正当：在已知(())()f g x h x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x xx +=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4) 五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f（x）对随意率性实数x,y,均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且当x＞0时,f（x）＞0,f（－1）＝－2,求f（x）在区间[－2,1]上的值域.剖析：由题设可知,函数f（x）是的抽象函数,是以求函数f（x）的值域,症结在于研讨它的单调性.解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f（x）为增函数.在前提中,令y＝－x,则,再令x＝y＝0,则f（0）＝2 f（0）,∴f （0）＝0,故f（－x）＝f（x）,f（x）为奇函数,∴f（1）＝－f（－1）＝2,又f（－2）＝2 f（－1）＝－4,∴f（x）的值域为［－4,2］.例2.已知函数f（x）对随意率性,知足前提f（x）＋f（y）＝2 + f （x＋y）,且当x＞0时,f（x）＞2,f（3）＝5,求不等式的解. 剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f（x）为单调增函数.∵,又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f （2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f（2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a ＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g （n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m ＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜ f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b均为常数,函数对一切实数x都知足,则函数的图象关于点（a,b）成中间对称图形.八.收集分解问题例9. 界说在R上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性;（2）设,,若,试肯定a的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得. 评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数,例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时, （3）当25<<a 时,综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例 4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模. 解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔ 对x R ∈恒成立, 三. 解不等式这类不等式一般须要将常数暗示为函数在某点处的函数值,再经由过程函数的单调性去掉落函数符号“f ”,转化为代数不等式求解.例 5 已知函数f x ()对随意率性x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=,求不等式f a a ()2223--<的解集. 解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212, 即f x x ()2120-->, 故f x ()为增函数,又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=是以不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 证实某些问题例6 设f x ()界说在R 上且对随意率性的x 有f x f x f x ()()()=+-+12,求证：f x ()是周期函数,并找出它的一个周期.剖析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是依据所给关系式进行递推,若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数,且周期为T.证实： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对随意率性x R ∈都成立,是以f x ()是周期函数,且周期为6.例7 已知f x ()对一切x y ，,知足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，,且当x <0时,f x ()>1,求证：（1）x >0时,01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数. 证实：对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅. 且f ()00≠,令x y ==0,得f ()01=, 现设x >0,则-<x 0,f x ()->1, 而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x (),设x x R 12，∈且x x 12<, 则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12,即f x ()为减函数. 五. 分解问题求解抽象函数的分解问题一般难度较大,常涉及到多个常识点,抽象思维程度请求较高,解题时需掌控好如下三点：一是留意函数界说域的运用,二是运用函数的奇偶性去掉落函数符号“f ”前的“负号”,三是运用函数单调性去掉落函数符号“f ”.例8 设函数y f x =()界说在R 上,当x >0时,f x ()>1,且对随意率性m n ，,有f m n f m f n ()()()+=⋅,当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证实f ()01=;（2）证实：f x ()在R 上是增函数;（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221,B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10,若A B =∅,求a b c ，，知足的前提.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅, ∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=,当m ≠0时,有fm fm f ()()()+=⋅00,这与当m n ≠时,f m f n ()()≠抵触, ∴=f ()01. （2）设x x 12<,则x x 210->,由已知得f x x ()211->,因为x 10≥,f x ()11>,若x 10<时,->->x f x 1101，(),由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2）从（1）.（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<,因为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb , 即a b c222+< 例9 界说在（-11，）上的函数f x ()知足（1）,对随意率性x y ，，∈-()11都有f x f y f x yx y()()()+=++1, （2）当x ∈-()10，时,有f x ()>0,（1）试断定f x ()的奇偶性;（2）断定f x ()的单调性;（3）求证ff f n nf ()()()()15111131122+++++>….剖析：这是一道以抽象函数为载体,研讨函数的单调性与奇偶性,再以这些性质为基本去研讨数列乞降的分解题.解：（1）对前提中的x y ，,令x y ==0,再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩,所所以f x ()奇函数. （2）设-<<<1012x x ,则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，, ∴--<x x x x 121210,由前提（2）知f x xx x ()121210-->,从而有f x f x ()()120->,即f x f x ()()12>,故f x ()()在，-10上单调递减,由奇函数性质可知,f x ()在（0,1）上仍是单调减函数.（3） f n n ()1312++抽象函数问题分类解析我们将没有明白给出解析式的函数称为抽象函数.近年来抽象函数问题一再消失于各类测验题中,因为这类问题抽象性强,灵巧性大,多半同窗觉得迷惑,求解无从下手.本文试图经由过程实例作分类解析,供进修参考. 1. 求界说域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体,相当于f x ()中的x这一特点,问题就会水到渠成.例 1. 函数y f x =()的界说域为(]-∞，1,则函数y f x =-[l o g ()]222的界说域是___.剖析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x,所以l o g()2221x -≤,解得 22<≤x 或-≤<-22x .例 2. 已知f x ()的界说域为(0)，1,则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的界说域是______.剖析：因为x a +及x a-均相当于f x ()中的x,所以(1)当-≤≤120a 时,则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时,则x a a ∈-()，1 2. 断定奇偶性依据已知前提,经由过程恰当的赋值代换,追求f x ()与f x ()-的关系. 例3. 已知f x ()的界说域为R,且对随意率性实数x,y 知足fx y fx f y ()()()=+,求证：f x ()是偶函数.剖析：在fx y fx f y ()()()=+中,令x y ==1, 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1,得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,求证：函数 y f x =()是偶函数.证实：设y f x =()图象上随意率性一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象关于原点对称, ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上, 又y f x 00=() 即对于函数界说域上的随意率性x 都有f x f x ()()-=,所所以y f x =()偶函数.3. 断定单调性依据函数的奇偶性.单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题敏捷获解.例5. 假如奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 剖析：画出知足题意的示意图1,易知选B.图1例6. 已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数,问f x ()在()-∞，0上是增函数照样减函数,并证实你的结论.剖析：如图2所示,易知f x ()在()-∞，0上是增函数,证实如下：任取xx x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数,所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数,所以 f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，, 从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞，0上是增函数. 图24. 寻找周期性这类问题较抽象,一般解法是细心剖析题设前提,经由过程相似,联想出函数原型,经由过程对函数原型的剖析或赋值迭代,获得问题的解. 例7. 设函数f x ()的界说域为R,且对随意率性的x,y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2,并消失正实数c,使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是,求出它的一个周期;若不是,请解释来由.剖析：细心不雅察剖析前提,联想三角公式,就会发明：y x =c o s 知足题设前提,且cos π20=,猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数.故f x()是周期函数,2c是它的一个周期.5. 求函数值紧扣已知前提进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出成果,或者在迭代进程中发明函数具有周期性,运用周期性使问题奇妙获解.例8. 已知f x()的界说域为R+,且fxy fx fy()()()+=+对一切正实数x,y都成立,若f()84=,则f(2)=_______.剖析：在前提fxy fx fy()()()+=+中,令x y==4,得f f f f()()()()844244=+==,又令x y==2,得f f f(4)(2)(2)=+=2,例9. 已知f x()是界说在R上的函数,且知足：f x f x f x()[()]()+-=+211,f()11997=,求f(2001)的值.剖析：紧扣已知前提,并多次运用,发明f x()是周期函数,显然f x()≠1,于是f x f x f x()() ()+=+ -211,所以f xf x f x()()()+=-+=81 4故f x()是以8为周期的周期函数,从而6. 比较函数值大小运用函数的奇偶性.对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后运用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x()是界说域为R的偶函数,x<0时,f x()是增函数,若x 1<,x20>,且||||x x12<,则f x f x()()--12，的大小关系是_______.剖析： x x 1200<>，且||||x x 12<, 又x <0时,f x ()是增函数,f x ()是偶函数,故f x f x ()()->-127. 评论辩论方程根的问题例11. 已知函数f x ()对一切实数x 都知足f x f x ()()11+=-,并且f x ()=0有三个实根,则这三个实根之和是_______.剖析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴. 又f x ()=0有三个实根,由对称性知x 11=必是方程的一个根,其余两根x x 23，关于直线x =1对称,所以x x 23212+=⨯=,故x x x 1233++=. 8. 评论辩论不等式的解求解这类问题运用函数的单调性进行转化,脱去函数符号.例12. 已知函数f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,且对一切实数x,不等式fk x fk x(s i n )(s i n)-≥-22恒成立,求k 的值. 剖析：由单调性,脱去函数记号,得由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立,则有 9. 研讨函数的图象这类问题只要运用函数图象变换的有关结论,就可获解.例13. 若函数y f x =+()2是偶函数,则y f x =()的图象关于直线_______对称.剖析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象,而y f x =+()2是偶函数,对称轴是x =0,故y f x =()的对称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过点（0,1）,则f x ()+4的反函数的图象必过定点______.剖析：f x ()的图象过点（0,1）,从而f x ()+4的图象过点()-41，,由原函数与其反函数图象间的关系易知,f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-. 10. 求解析式例15. 设函数f x ()消失反函数,g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称,则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()剖析：请求y h x =()的解析式,本质上就是求y h x =()图象上任一点Px y ()00，的横.纵坐标之间的关系.点Px y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，合适y f x =-1(),即-=-x g y 00(). 又gx f x ()()=-1,即h x f x ()()=--,选B. 抽象函数的周期问题2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称.对随意率性x x 12012，，∈[]都有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，求f f ()()1214，; （II ）证实f x ()是周期函数. 解析：（I ）解略.（II ）证实：依题设y f x =()关于直线x =1对称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知将上式中-x以x 代换,得这标明f x ()是R 上的周期函数,且2是它的一个周期f x ()是偶函数的本质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称,可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广,我们得到思虑一：设f x ()是界说在R 上的偶函数,其图象关于直线x aa =≠()0对称,证实f x ()是周期函数,且2a 是它的一个周期.证实： f x ()关于直线x a=对称又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，将上式中-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思虑二：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于直线x a =和x ba b =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期. 证实： f x ()关于直线x a x b ==和对称将上式的-x以x 代换得 ∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,f x ()照样不是周期函数？经由摸索,我们得到思虑三：设f x ()是界说在R 上的奇函数,其图象关于直线x =1对称.证实f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.,证实： f x ()关于x =1对称∴=-∈fx f x xR ()()2，又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x以x 代换,得 ∴f x ()是R 上的周期函数且4是它的一个周期f x ()是奇函数的本质是f x ()的图象关于原点（0,0）中间对称,又f x ()的图象关于直线x =1对称,可得f x ()是周期函数,且4是它的一个周期.由此进行一般化推广,我们得到思虑四：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0中间对称,且其图象关于直线x bb a =≠()对称.证实f x ()是周期函数,且4()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于点M a ()，0对称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()关于直线x b =对称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x Rf b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x以x 代换,得 f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数且4()b a -是它的一个周期由上我们发明,界说在R 上的函数f x (),其图象如有两条对称轴或一个对称中间和一条对称轴,则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到,界说在R 上的函数f x (),其图象假如有两个对称中间,那么f x ()是否为周期函数呢？经由摸索,我们得到思虑五：设f x ()是界说在R 上的函数,其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证实f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期.证实： f x ()关于Ma Nb ()()，，，00对称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x 以x 代换,得f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期抽象函数解法规谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其知足的前提的函数,如函数的界说域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高级数学函数部分的一个连接点,因为抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,是以懂得研讨起来比较艰苦.但因为此类试题即能考核函数的概念和性质,又能考核学生的思维才能,所以备受命题者的青睐,那么,如何求解抽象函数问题呢,我们可以运用特别模子法,函数性质法,特别化办法,联想类比转化法,等多种办法从多角度,多层面去剖析研讨抽象函数问题, 一:函数性质法函数的特点是经由过程其性质(如奇偶性,单调性周期性,特别点等)反响出来的,抽象函数也是如斯,只有充分发掘和运用题设前提和隐含的性质,灵巧进行等价转化,抽象函数问题才干转化,化难为易,经常运用的解题办法有:1,运用奇偶性整体思虑;2,运用单调性等价转化;3,运用周期性回归已知4;运用对称性数形联合;5,借助特别点,布列方程等. 二:特别化办法1在求解函数解析式或研讨函数性质时,一般用代换的办法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特别值代入3研讨抽象函数的具体模子,器具体模子解选择题,填空题,或由具体模子函数对分解题,的解答供给思绪和办法.总之,抽象函数问题求解,用通例办法一般很难凑效,但我们假如能经由过程对标题标信息剖析与研讨,采取特别的办法和手腕求解,往往会收到事半功倍之功能,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1．已知函数f(x)对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为天然数,(t>0)试求f(t)的表达式②知足f(t)=t 的所有整数t 可否组成等差数列?若能求出此数列,若不克不及解释来由 ③若t 为天然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m 的最大值. 2．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)界说域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m.n ∈R)求证：①f(x)是R 上的增函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的增函数②g(x) 知足g(m) · g(n)= g(m+n)(m.n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ,1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1 ∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3．设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的随意率性两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0.b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证实:设 x1>x2>0f1(x) 在(0,+∞)上单增f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a>0.b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+∞)上单增∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4．函数y ＝f(x)知足 ①f(a+b)＝f (a)·f (b),②f(4)＝16, m.n 为互质整数,n≠0 求f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(抵触)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)长短负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a f n ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25．界说在（-1,1）上的函数f (x)知足 ① 随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),②x ∈（-1,0）时, 有f(x) >01) 剖断f(x)在（-1,1）上的奇偶性,并解释来由 2) 剖断f(x)在（-1,0）上的单调性,并给出证实3) 求证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n )或f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*) 解:1)界说在（-1,1）上的函数f (x)知足随意率性x.y ∈（-1,1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1,1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1,0）时,有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)在（-1,0）上单调递增.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n ) =f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1,0）时,有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6．设 f (x)是界说在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对随意率性x1.x2∈[0,12]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f (12)及 f (14);②证实f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 求lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). ∴f(x)是以2为周期的周期函数.③an=f(2n+12n )= f (12n)=n a 21∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =07．设)(x f y =是界说在R 上的恒不为零的函数,且对随意率性x.y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0),②设当x<0时,都有f(x)>f(0)证实当x>0时0<f(x)<1, ③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ）,sn 为数列｛an ｝前n 项和,求lim ∞→n sn.解：①②仿前几例,略. ③an ＝f(n),∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an∴数列｛an ｝是首项为21公比为21的等比数列∴sn ＝1-n⎪⎭⎫ ⎝⎛21∴lim ∞→n sn ＝18．设)(x f y =是界说在区间]1,1[-上的函数,且知足前提：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对随意率性的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证实：对随意率性的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证实：对随意率性的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1,1]上是否消失知足题设前提的奇函数)(x f y =,且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若消失,请举一例：若不消失,请解释来由.（Ⅰ）证实：由题设前提可知,当]1,1[-∈x 时,有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对随意率性的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时无妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以,|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得,当.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时所以,当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时是以,对随意率性的],1,1[,-∈v u当1||≤-v u 时,.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时,有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知,对随意率性的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：知足所述前提的函数不消失.来由如下,假设消失函数)(x f 知足前提,则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①。

高中常见抽象函数题型归纳

抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。

常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.三、常用变换技巧()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ )()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x x f x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-()()x f ϕ()x ϕ例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。

高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类

高考数学复习：抽象函数模型与双函数归类题型一：抽象函数具体化模型1：过原点直线型抽象函数模型1()()()f x y f x f y +=+---过原点直线型()f x kx =有以下性质①()00f =②奇函数：y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=③可能具有单调性（结合其他条件）相似的模型()()()2y ()()22f x y f x y f x x f x f y f ++-=+⎛⎫+= ⎪⎝⎭1.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（）A．()f x 在R 上单调递减B．复合函数()sin f x 为偶函数C．复合函数()cos f x 为偶函数D．当[]0,2πx ∈，不等式()1sin 02f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭2.（多选题）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（）A．()00f =B．()()()f x f y f x y -=-C．()f x 为奇函数D．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n 3.（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（）A．(0)0f =B．()(1),f k kf k =∈ZC．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D．()()0f x f x -<题型二：抽象函数具体化模型2：不过原点的直线型抽象函数模型2证明如下：()()()f x y f x f y b +=++（b 带正负，即＋b 或－b ）()()()f x y f x f y b b b +=+↔+++()()()()()()()b“同构”：=------是过原点的直线h x f x h x y h x h y h x f x kx b+↔↔↔=++=-1.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A．()14f -=-B．()f x 有最大值C．()20244046f =D．函数()2f x +是奇函数2.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A．(0)1f =B．(1)(1)1f f +-=C．函数()f x 为减函数D．函数()y f x =的图象关于点()0,1对称3.（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足()()()2f x y f x f y +=++，且(2)0f =，则下列结论正确的是（）A．(0)2f =-B．(4)6f -=-C．()2f x +为奇函数D．()f x 为R 上的减函数题型三：抽象函数具体化模型3：tanx 型抽象函数模型3()()()()()()1()()1()()f x f y f αf βf x y f αβf x f y f αf β+++=Û+=--所以复合()tan f x kx =（k 根据其余条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 满足(1)1f =，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，则（）A．()00f =B．()()f x f x -=-C．()f x 的定义域为RD．()f x 的周期为42.（多选题）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k ≠+∈Z ，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()f x 为周期函数，且2为()f x 的周期D．()20231f =-3.已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的x，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（）A．B．1e ⎛ ⎝C．)D．)e1e ⎛⋃ ⎝题型四：抽象函数具体化模型4：一元二次型抽象函数模型4()()()()()()()()()2222222.=++2=+++2=2则f x y f x f y axy c f x ax bx c f x y a x y b x y c ax bx ay by c axy ax bx c ay by c axy c f x f y axy c+=++-=+++=++++++++++-++-此模型，b 的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.1.（多选题）已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A．()00f =B．()f x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C．()202410122023f =⨯D．20241()10122024k f k ='=⨯∑2.（多选题）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（）A．()01f =-B．()f x 可能是偶函数C．()28f =D．()f x 可能是奇函数3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为()()()(),2,12f x y xy f x f y f ++=+=R ，则（）A．()00f =B．()210f -=-C．()2y f x x =+是奇函数D．()2y f x x =-是偶函数题型五：抽象函数具体化模型5：余弦函数型抽象函数模型5余弦函数型()()2()()()cos ()()cos()cos()cos cos sin sin cos cos sin sin =2cos cos 2()()证明：f x y f x y f x f y f x kxf x y f x y x y x y x y x y x y x y x y f x f y kx++-==++-=++-=-++=（也可以直接用和差化积公式推导）备注：这类函数，还有可能是双曲余弦函数型，不过较少出现1.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意的,x y ∈R ，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且1(1)2f =，则（）A．(0)1f =B．()f x 是偶函数C．(3)1f n =-，*n ∈ND．20241()0n f n ==∑，*n ∈N 2.（多选题）已知函数()f x 对任意实数x 、y 都满足()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，且()11f =-，以下结论正确的有（）A．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()2f x +是偶函数C．()1f x +是奇函数D．()()()()12320251f f f f +++⋅⋅⋅+=-3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A．()01f =B．()f x 为偶函数C．()()2f x f x =D．2是函数()f x 的一个周期题型六：抽象函数具体化模型6：一元三次函数型抽象函数模型6()()()()3，f x y f x f y axy x y +=+++则()3f x ax bx =+（其中b 可以借助其他条件待定系数）1.（多选题）已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A．()f x 是奇函数B．()f x 是减函数C．0f=D．1x =是()f x 的极小值点2．（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()(),f x y f x f y xy x y f x +=++'+为()f x 的导函数，且()12f '=，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在2x =-处的切线斜率为7C．()312f =D．对()()()121212120,,22,,f x f x x x x x x x f ++⎛⎫∀∈+∞≠<⎪⎝⎭3.（多选题）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（）A．()y f x =是奇函数B．若()11f =，则()24f -=C．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数题型七：抽象函数具体化模型7：正弦函数型抽象函数模型7正弦函数型，或者正弦双曲函数型()()()()()()22x xe e sin 2则，或者是正弦双曲函数f x y f x y fx f y f x x f x -+-=--==1.已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（）A．()01f =B．()f x 是偶函数C．()f x 是增函数D．()f x 是周期函数2.（多选）已知函数()f x 的定义域为R，且()()()()()223,122fx y f x y f x f y f f x ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（）A．(0)0f =B．()f x 为偶函数C．(3)(3)f x f x +=--D．20231()k f k ==∑3.（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()11,21f f x =+为偶函数，则（）A．()00f =B．()f x 为偶函数C．()()22f x f x +=--D．()202410k f k ==∑题型八：抽象函数具体化模型8：正余弦函数辅助角型抽象函数模型8正余弦函数辅助角型形如()()()2cos f x y f x y f x y++-=⋅()x sin x cos x a b 则，，值可以通过其他条件待定系数f a b =+1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （）A．以π为周期B．最大值是1C．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D．既不是奇函数也不是偶函数2.已知函数()f x 的定义域为()()()R,2cos f x y f x y f x y ++-=且()01f =，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭那么（）A．()f x 为偶函数B．()π1f =C．π2x =是函数的极大值点D．()f x 的最小值为2-3.（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 、y 满足()()()2cos f x y f x y f x y ++-=，且()00f =，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是（）A．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．()f x 为奇函数C．()f x 为周期函数D．()f x 在(0,π)内单调递减题型九：双函数：系数不是1型带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移平移变换：左右或者上下()()()f x f x a ωϕωϕ+⇒++左加右减1.已知函数()f x 的定义域为R ，且112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，()1f x -是奇函数，则（）A．()00f =B．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．()10f =D．()30f =2.已知函数()21f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，当[]2,3x ∈时，()3f x x =-，则下列选项不正确的是（）A．()f x 在区间(2,0)-上单调递减B．()f x 的图象关于直线=1x -对称C．()f x 的最大值是1D．当(1,1)x ∈-时恒有()0f x <3.已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．题型十：双函数：双函数综合常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(,)a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .1.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A．()y f x =是奇函数B．()y g x =是偶函数C．()y f x =关于点()2,0对称D．()y g x =关于直线4x =对称2.已知函数()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()12f x -+是奇函数，()2g x -是偶函数，且()()()23,21f x g x g --=-=，则()20231k f k ==∑（）A．-4052B．-4050C．-1012D．-10103.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，()g x 是偶函数，()(2)f x g x =-，(2)1g =，则20231()k f k ==∑（）A．2023-B．1-C．1D．20234（多选题）已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),111g x f x ++-=R ，()()121f x g x +-+=，且()y f x =的图像关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A．()f x 和()g x 均为奇函数B．()(),4x f x f x ∀∈=+R C．()(),2x g x g x ∀∈=+R D．302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭题型十一：双函数：导数型双函数性质原函数与导函数奇偶性的关系如下：原函数为奇函数，则其导数为偶函数。

抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。

2025高考数学培优25讲2.2抽象函数

[方法二]：构造特殊函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

高考数学抽象函数题型汇编

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a(1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

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高考数学重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型(原卷版)(全国通用)(学生专用)(新高考专用)