抽象函数高考类型

抽象函数高考类型

函数是高中数学的核心内容，一直是高考重要考查对象.其中没有明确给出函数解析式的函数即抽象函数就是一个很好的载体.近几年来，各地高考题中有加强考查力度的趋势，现结合例题谈谈抽象函数的解题策略.

一、求函数值

例1、已知偶函数()f x 对任意,x y 恒有()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，求()()0,1f f 的值.

解：取0x y ==，得()()()00001f f f +=++，得()01f =-.

取1x y =-=，得()()()111121f f f -=+--+，

又()f x 为偶函数，则()()0211f f =-，故()10f =.

评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.

二、求函数的定义域

例2、若函数()1y f x =+的定义域为[]2,3-，求函数()1y f x =-的定义域. 解：由已知23x -≤≤，

∴ 114x -≤+≤ .

∴ ()y f x =的定义域为[]1,4-.

令114x -≤-≤，则05x ≤≤

∴ ()1y f x =-的定义域为[]0,5.

评注：⑴首先要证明定义域是仅指自变量x 的取值范围；

⑵求定义域的题型一般有以下两种：

①已知()f x 定义域为[],a b ，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域用整体代入法，即不等式()a g x b ≤≤；

②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，求()f x 定义域，即求()g x 的值域.

三、求函数解析式

例3、若对于任意,x y R ∈，恒有()()()1f x y f x xy x y +=+++且()01f =-，求()f x 的解析式.

解：令x y =-，则有()()()201f f x x

x x =---.

又()01f =-，所以()21f x x =--.

评注：求解析式关键是构造出()f x ，这可以通过赋值解决，要注意一般跟特殊间的转换.

四、判断函数的奇偶性

例4、已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y x f y y f x +=+，试判断

()f x 的奇偶性，并说明理由. 解：令0x y ==，有()00f =；

再令x y =-，有()()()()()0f xf x xf x x f x f x =--=--⎡⎤⎣⎦.

由x 的任意性，有()()f x f x -=.

故()f x 为偶函数.

评注：判断函数的奇偶性，关键是构造出()f x 与()f x -的关系，这也可以通过赋值完成.

五、考查函数的周期性

例5、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数的图像关于直线2x =对称，证明()y f x =是周期函数.

证明： ()f x 关于直线2x =对称，

∴ ()()4f x f x -=--⎡⎤⎣⎦

又()f x 是定义域在R 上的奇函数，

∴ ()()f x f x =-.

∴ ()()4f x f x +=-

∴ ()()()()8444f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦

∴ ()f x 是以8为周期的周期函数.

评注:1.周期问题的背景应该是三角函数，这类问题有利于培养同学们由特殊到一般的辩证唯物主义思想.

2.证明函数的周期性一般是用定义法，此处应该记住下面的结论：

⑴若()()f x a f x +=-，则()f x 以2a 为周期；

⑵若()()

1f x a f a +=-，则()f x 以2a 为周期； ⑶若()()()

11f a f x a f a ++=-，则()f x 以4a 为周期； ⑷若()y f x =，关于x a =与x b =对称，则()f x 以2b a -为周期；

⑸若()()f x a f x b +=+，则()f x 以b a -为周期.

六、判断函数的单调性

例6、已知函数()f x 对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，试判断()f x 在R 上的单调性.

解：令0x y ==，则()()()000f f f =+，得()00f =；

再令x y =-，得()()0f x f x +-=.

所以()f x 是奇函数.

设12,x x R ∈且12x x <，则()()()21210f x f x f x x +-=->.

故()f x 在R 上单调递增.

评注：判断函数的单调性时，常用定义法去判断.