参数法求轨迹方程

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参数法求轨迹方程

参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程，是解决一些几何问题中常用的方法之一。

通过引入参数，并通过参数的变化来描述图形的变化，从而得到图形的轨迹方程。

参数法求轨迹方程的方法简洁高效，能够帮助我们更好地理解和描述图形的特点。

本文将详细介绍参数法求轨迹方程的原理和应用。

首先，我们来介绍一下参数法的基本思想。

在几何图形中，我们经常会遇到随着某个量的变化而产生的变化，比如一条直线在平面上的移动，或者一个点在曲线上的运动。

为了描述这种变化，我们引入一个参数，用来表示这个量的变化程度。

通过改变参数的数值，我们可以获得图形的不同位置或状态，从而得到图形的轨迹。

在求解轨迹方程时，我们首先需要确定合适的参数。

参数的选择应根据问题的特性和要求来确定。

常见的参数有时间、长度、角度等。

选择参数后，我们根据图形的性质建立参数与图形位置之间的联系，从而得到图形的轨迹方程。

接下来，我们通过一些具体的例子来说明参数法求轨迹方程的应用。

例1：求动点绕二次曲线运动的轨迹方程已知动点P的横坐标与纵坐标的平方之和为常数1，即x^2 + y^2 = 1。

令动点的横坐标为参数t，则纵坐标可以表示为y = √(1 -t^2)。

根据参数与图形位置的联系，我们可以得到动点P绕二次曲线运动的轨迹方程为x^2 + (√(1 - t^2))^2 = 1，化简后即得到x^2 + 1 - t^2 = 1，即x^2 = t^2。

通过这个方程，我们可以得到动点P绕二次曲线运动的轨迹为两条相互对称的直线。

例2：求直线在平面上的移动轨迹方程已知过点A(2,3)的直线L，斜率为k。

令直线的截距为参数b，则直线的方程为y = kx + b。

根据参数与图形位置的联系，我们可以得到直线在平面上的移动轨迹方程为y = kx + 3。

通过这个方程，我们可以得到直线在平面上的移动轨迹为平行于原直线L，且与原直线的距离为3的一族平行直线。

通过上述例子，我们可以看到参数法求轨迹方程的方法简单易行，能够有效地描述图形的变化规律。

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。

学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。

本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。

1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。

解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。

2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。

3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。

例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。

解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。

所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。

例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。

求动点的轨迹方程常用的四种方法

O

x
这个式子说明动点P到定点O , A的距离之差的绝对值等于2（小于|OA|);所以点P的轨迹是双曲线。
该双曲线的两焦点为O , A(4, 0) ，中心在线段OA的中点 O(2, 0) 此时c = 2 , a = 1，所以 b 3 所以所求的双曲线方程为：
O
2
y
y ( x 2) 1 3
这样就有点M到点A的距离等于点M到直线 x 2 的距离，这符合抛物线的定 O 义，所以点M的轨迹就是以点A为焦点， x 2 以直线 x 2为准线的抛物线。
A
x
即所求的轨迹方程为： y 2 8x( x 0)
或 y 0( x 0)
三、代入法
当主动点P在某曲线 f ( x, y ) 0 上移动时，与P具备相关关系的因动点M随其移动而形成曲线，求动点M的轨迹方程 g ( x, y) 0的方法叫代入法。分析关系如下：
例1 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为
Y
1、如图所示建立直角坐标系
2、利用命题所给条件建立等量关系
| MA | | MB |

M ( x, y )
A(a,0)
( x a)2 y 2 ( x a) y
2 2

O
B(a, 0) x
3、把|MA|，|MB|转换代数式
a 2 4c 2 a 2c | CD | 4c c c 2 2 3 3 ( x 1) ( y 2) 1 2 F ( x, 2 y) 2 2 4 2 9( y 3 ) 2 ( x 1) 1 化简得: 4
二、定义法
1、熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的第一、第二定义；以及初三时学习的六种基本轨迹定义。 2、分析命题给出的条件符合那种曲线的定义。 3、解题步骤：①定形——利用定义确定曲线类型 ②定位——利用条件确定曲线位置（此时可确定曲线的待定系数方程） ③定大小——求方程中的待定系数。

求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧===来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

[学习]参数法求轨迹方程

参数法求轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法．(二)能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．(三)学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法．二、教材分析1．重点：运用参数求轨迹方程的方法．2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论．3．疑点：设参的基本原则．三、活动设计1．活动：问答、思考．2．教具：投影仪．四、教学过程(一)回忆、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．(二)讲例1，设参基本原则请看屏幕(投影，读题)．例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)．首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1答：选择边界、中心等特殊位置．那么，这一题如何建立坐标系？解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)．运动系统中，l主动，M、N从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？学生2答：(1)l的纵截距c，(2)|OM|=t，(3)|FM|=t．…为什么可以这样设参？一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参．这就是设参的基本原则．设|FM|=t，t∈[0，b]，P(x，y)．学生3答：不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求．上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参．参数t∈[0，b]范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性．l过F时，P合于F，l→OC时，P→B故x≥0，y＞0．影片，显示轨迹)．(三)讲例2，选参的一般依据上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)．例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？学生4答：(2)设点B坐标(t2，t)→k AB→k AC→C→P．上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂．那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？学生5答：解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)→P(x，y)．参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显t2之间本身有一个关系，F(t1)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的．而前面的两解成t1=f(t2，t2)=0显解成种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程．这种重复计算就t1=f(t2是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来．是否真的如此，算算看：∵ (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，∴ (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．即：(y+2)2=x-2．想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数．这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立．例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参．最后来讨论纯粹性和完备性．同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求．而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：示轨迹)．由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合．(四)小结(已在教学过程中逐条总结并板书)参数法求轨迹方程的步骤：设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参(基本原则)，从中选择与动点关连密切的为参数(一般依据)．设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立．用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式．消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参．假含参式(即虽有x、y，但并非动点坐标)不能参与消参．议参：几何直观与参数函数相结合．五、布置作业1．E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为的轨迹(图3-11)．解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E(-1，0)，即 x2-y2=1．据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双2．点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．解：设B(2cosα，2sinα)、C(cosβ，2sinβ)、P(x，y)．∴ x2+y2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)．k AC·k AB=-1 4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cosβ)+2(sinα+sin β)+2．∴ x2+y2-2=2x+2y+2．即(x-1)2+(y-1)2=2．3．教材第121页第7、8题．六、板书设计。

求轨迹方程的常用方法(经典)

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

二、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

求轨迹方程问题—6大常用方法

求轨迹方程问题—6大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

参数法求轨迹方程微课

例如：
倾斜角为450的直线与椭圆 ( x 2)2 y2 1 交于A、B
两点，求AB中点的轨迹方程。 4
y
解：设动直线方程为：y=x+b，
和椭圆方程联立得：
x2+4y2-4x=0 ①
y=x+b
②
B
x
o
A
5x2+8bx-4x+4b2=0
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,中点M（x，y）则
解：连PB,AQ交于点G.设Q(x,y),G(x0,y0),则
y Q(x,y)
P
则x+a=2x0,y=2y0. 设P(x1,y1),B(x2,y2),则

x12 x22

y12 y22
r2 r2
(1)
GB
x1 x2
(3)
y 2y0 y1 y2
x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消去参数b
（由 0得2 - 3 b 2 3 ）得：
x+4y-2=0 （ 6 4 3 x 6 4 3 ）
5
5
再例如：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，r>0.P,B是圆上
两点，作矩形PABQ，求点Q的轨迹方程，并讨论其轨迹。
求轨迹方程的参数法，我就介绍到这里，谢谢你的观看 .
下一节我要介绍的是与中点弦相关的求轨迹方程的点差法. 欢迎你继续观看. 再见!
(4)
又AB PA, 所以 AB AP 0
即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0, x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax (5) (3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)

求曲线轨迹方程的方法

四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线定义的特征。要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点定型（思考几何关系，进而寻求数量关系）定方程定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，

参数法求轨迹方程

参数法求轨迹方程例4 (2019·山西临汾)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的上、下顶点分别为M 、N ，点P 在椭圆C 外，直线PM 交椭圆与另一点A ，若PN ⊥NA ，则点P 的轨迹方程是( D )A ．y ＝x 2＋1(x ≠0)B ．y ＝x 2＋3(x ≠0)C ．y 2－x 22＝1(y >0，x ≠0)D ．y ＝3(x ≠0)[解析] 设P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(m ，n )，且m ≠0，由题意可知M (0,1)，N (0，－1)，∴k PN ＝y ＋1x ，k AN ＝n ＋1m ，k PM ＝y －1x ，k AM ＝n －1m， ∵PN ⊥NA ，∴－x y ＋1＝n ＋1m .① 又知点A (m ，n )在直线PM 上，∴k PM ＝k AM ，即y －1x ＝n －1m.② 由①×②得－y －1y ＋1＝n 2－1m 2③. 又∵点A (m ，n )在椭圆上，∴m 22＋n 2＝1，即n 2－1＝－m 22.④ 把④代入③得y －1y ＋1＝12，即y ＝3，由题意可知x ≠0，∴点P 的轨迹方程为y ＝3(x ≠0)，故选D ．名师点拨 ☞(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练3〕若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__x ＋y －1＝0___.[解析] 当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k (x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A (1－1k，0)，l 2与y 轴的交点为B (0,1＋1k )，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎨⎧ x ＝12(1－1k )，y ＝12(1＋1k )，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1(x ≠12)，即x ＋y －1＝0(x ≠12)，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0(x ≠12)．当直线l 1(l 2)的斜率不存在时，点M 的坐标为(12，12)，此点在直线x ＋y －1＝0上．综上，AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.。

求轨迹方程的常用方法(经典)

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

用参数法求轨迹

∵A(–a,0) ,
B(a,0)
b sin θ ( x + a) a cosθ + a
∴直线AM方程： y =
① ②
− b sin θ ( x − a) 直线BN方程： y = a cos θ − a
① ×② 即
b 2 sin 2 θ y2 = − 2 (x2 − a2 ) a (cos 2 θ − 1)
…….
3 （夹在两直线 y = x −1+ 2 和 2 x2 2( y +1)2 3 椭圆 + =1 y = x −1− 2 之间的两段弧，含端点） 3 3 2
及点（0,–1）
x2 y 2 例2. 长度为3的线段MN的一端点M在椭圆 + = 1 上运动， 16 9
另一端点N在x轴上运动，点P在线段MN上，且 MP = 2 NP , 求点P的轨迹方程
略解：设 ∆ABC 的重心G(x,y) ……. 1 x = [a + a cosθ + a cos(θ + 120 0 )] 3 则 x 1 A y = [0 + a sin θ + a sin(θ + 1200 )] 3 3 x − a = a cosθ + a cos(θ + 120 0 ) ① 即 ② 3 y = a sin θ + a sin(θ + 1200 )
y M P N O P' x N'
解：设M (4cos θ , 3sin θ ) ∴ t =cos θ 或 7cos θ
N (t ,0)
∵ MN = (4 cos θ − t2 + (3 sin θ)2 = 3
∴N (cos θ , 0 ) ( 7cos θ , 0 ) N )或 MP 设 P ( x, y ) ∵ = 2 ∴当t =cosθ时 PN 4 cosθ + 2 × cosθ x= x = 2 cos θ 1+ 2 即（利用定比分点公式） y = sin θ 3 sin θ + 2 × 0 y= 1+ 2 x2 此时P点轨迹方程为： + y 2 = 1 4

求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

参数法求轨迹

y
l
Q
P
O
x
B A
M
例四
已知椭圆 x2 y2 1 ，直线 x y 1
24 16
12 8
，P是
l 上一点，
射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2。
当点P在移动时，求点Q的轨迹。
y
P R Q
x O
知识回顾
应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻划动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系。如果需要并且可能，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程。
例一
过定点Q(0, 2)的动直线与圆 x2 + y2=1交于两点 A、B,试求AB的中点M的轨迹方程.
y Q
A
M
O
x
B
解题回顾
1、求曲线的轨迹方程，就是将动点的两坐标x、y之间互相制约、互相依赖的关系用等式的形式表示出来。
2、动点的两坐标x、y之间的制约、依赖关系也可以通过第三个变量（即参数）来表示。
3、根据动点的运动规律，可选择不同参数来刻划。
例二
过定点P（5，0）作动直线 l 交抛物线 y2 =16x 于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
y
A
M
O
Px
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
例三已知两点Q（-2，2），P（0，2）以及一条直线 l：y=x，
设长为 2 的线段在直线l上移动，求直线QA和PB的交点
M的轨迹方程。（要求把结果写成普通方程）

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程 •uur uuu 例1 :已知点A( 2,0, B(3,0)，动点P(x, y)满足PA-PB x 2，则点P 的轨迹是()A •圆B.椭圆C •双曲线D •抛物线uuu uuu uun UUJI 2222解析：由题知 PA ( 2 x, y) , PB (3 x, y)，由 PA PB x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6,••• P 点轨迹为抛物线•故选 D . 二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2 :在厶ABC 中，BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为39，求△ ABC 的重心的轨迹方程.解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为2 BM | |CM 39 26 . 3• M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . • b . a 2—』5.y 轴建立直角坐标系，如图 1 , M 为重心，则有、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题例3 :已知A ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y又••• A(x ), y °)在抛物线 y x 2上, •四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量与AP 的交点M 的轨迹方程.解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴，以线段AA 的中垂线为y 轴建立直角坐•所求△ ABC 的重心的轨迹方程为169251(y0) •解：设G(x, y) , A(x 0, y °)，由重心公式,3 1 x3 Y Q 3x 0 y。

3x 3y ・2,将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y0)，即所求曲线方程是3x 24x 3(y0)•例4 :已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ,在I 上取两点P, P ,使其满足uuur , OP-OP 4 ,求直线AP UUU D上运动，求△ ABC 的重心G 的轨迹方程.y 0把x , y 联系起来标系.设点 P(0, t)(t 0), 则由题意，得P 0,,-t 4由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y —(x a), y — (x a). a ta 两式相乘，消去t ，得4x 2a 2y 24a 2(y 0) •这就是所求点 M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决(1 )求E 点轨迹方程;与E 点的轨迹相切，求椭圆方程.uuu 1 uur uuir解：(1 )设 E(x, y)，由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点，易知 D(2x 2,2y) • 2例5 :已知A ， B ， D 三点不在一条直线上，且uurA( 2,0)，B(2,0)， AD uuu i uuu uuir 2， AE -(AB AD) •(2 )过A 作直线交以A B 为焦点的椭圆于 M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为 4-，且直线MN5nnr 又AD 2 22，贝U (2x 2 2) (2 y) 即E 点轨迹方程为 i(y 0)；(2 )设 M (X i, yj, N(X 2，y 2)，中点(心y 。

高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法.2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0.4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单.6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数法并用.二、求轨迹方程的考前须知：1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变.2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕y g〔t〕来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程.3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方的某些点未能用所求的方程表示),出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法.在此不一一缀述.三、典例分析1,用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程.例1:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4 , 0) , (4, 0) , C为动点,且满足一一一5 .sin B sin A —sinC,求点C的轨迹.45 . . 5【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足椭4 42 2圆的定义.令椭圆方程为J 2 1,那么a' 5,c' 4 b' 3,2 2a b2 2那么轨迹方程为土2―1 (x 5),图形为椭圆(不含左,右顶点) .25 9【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等.【变式1]:1:圆尸=有的圆心为M,圆住一4尸4了, .的圆心为M, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：|P%l=R + 5 , |P叫l=R + l.,-.|PM1P5HPMJ-b|PM1|-|PM a|=4•••动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为4 12M 的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支2.用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系.例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求 AB 中点P 的轨迹方程？解设M 点的坐标为〔x, y 〕由平几的中线定理：在直角三角形一— 1 一 1 八 AO 升,OM=AB - 2a a,2 2―22-222x y a,x y aM 点的轨迹是以O 为圆心,a 为半径的圆周.1【点评】此题中找到了 OM=1AB 这一等量关系是此题成功的关键所在.一般直译法有以下几2种情况:1〕代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出,那么采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.2〕列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程.3〕运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程.4〕借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法^| PAI 一【变式2】：动点P(x,y)到两定点A(—3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？［解答］. . | PA = J(x 3)2__y 7/ PB | J(x 3)2父| PA | (x 3)2 y 2 2 2 22代入 ——1 2得 ——2 (x 3)2y 2 4(x 3)2 4y 22: 一动圆与圆O: x 2 y 21外切,而与圆C ： x 22y 6x 8 0内切,那么动圆的圆心【解答】令动圆半径为R, 皿士 |MO| R那么有। ।| MC | R1c,那么 |MO|-|MC|=2 ,1满足双曲线定义.应选Do|PB| ..(x 3)2 y2化简彳导(x-5) 2+y2=16,轨迹是以(5, 0)为圆心,4为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程.注意参数的取值范围.例3.过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l i, 12,假设l i交x轴于A点,l 2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l i引发的,可设出l i的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x, y)满足的参数方程.解法1:设M (x, y),设直线l i的方程为y-4= k (x-2), ( k w 0 )1 _由l i l2,那么直线l2的万程为y 4 —(x 2)k4l1与x轴交点A的坐标为(2 4,0),kl2与y轴交点B的坐标为(0,4 2), k・•.M为AB的中点,2k(k为参数)消去k,得x+ 2y—5=0.另外,当k = 0时,AB中点为M (1, 2),满足上述轨迹方程；当k不存在时,AB中点为M (1, 2),也满足上述轨迹方程.综上所述,M的轨迹方程为x+2y—5=0.分析2：解法1中在利用k1k2=- 1时,需注意匕、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢？只需利用^ PAB为直角三角形的几何特性：1 . .|MP| 21ABi解法2:设M (x, y),连结MP 那么 A (2x, 0), B (0, 2y),•••l」l 2, PAB为直角三角形1 .由直角二角形的性质,|MP| 31ABi--------------- 2 2-1 -----------2 2..(x 2)2 (y 4)22；,(2x)2 (2y)2化简,得x + 2y-5 = 0,此即M 的轨迹方程.分析3::设M (x, y),由l i _L l 2,联想到两直线垂直的充要条件： k i k 2=—1,即可列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A 、B 两点坐标.事实上,由 M 为AB 的中点,易找出它们的坐标之间的联系.解法3:设M (x, y), •「M 为AB 中点, 又l 1, l 2过点P (2, 4),且l/l 2••• PAX PB,从而 k PA • k PB= — 1, 中点M (1, 2),经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为x+2y-5=0o【点评】解法1用了参数法,消参时应注意取值范围.解法 2, 3为直译法,运 1 ,k PA • k PB= - 1, | MP | - | AB|这些等量关系.用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度, 有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等.也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O: x 2+y 2= 4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中点M 的轨迹. 解法一：“几何法〞设点M 的坐标为(x,y ),由于点M 是弦BC 的中点,所以 OML BC, 所以 |OM | 2 + | MA | 2 =| OA | 2 ,即(x 2+y 2)+(x -4)2 +y 2=16化简得：(x —2) 2+ y 2=4 .................................. ①由方程 ① 与方程x 2+y 2= 4得两圆的交点的横坐标为 1,所以点M 的轨迹方程为 (x —2) 2+ y 2=4 (0<x<1)o 所以M 的轨迹是以(2, 0)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部. 解法二：“参数法〞设点M 的坐标为(x,y ), B (x 1,y0 ,C (x 2,y 2)直线AB 的方程为y=k(x -4), 由直线与圆的方程得(1+k 2) x 2—8k 2x +16k 2—4=0 .................... (*),由点M 为BC 的中点,所以x=x —x 2 」4k ) ................................ (1),2 1 k又 OMLBC,所以 k=Y (2)由方程(1) (2)消去k 得(x — 2) 2+ y 2=4,又由方程(* )的^> 0得k 2< 1,所以x< 1.3••• A (2x, 0),B (0, 2y).而k pA4 0 2 2x' 4 2y2 2x 2注意到l i^x 轴时,1,化简,得x 2y 5 0l 2±y 轴,此时 A (2, 0), B (0,4)用了2+ y 2=4 ( 0<x< 1)为圆心,2为半径的圆在圆 O 内的局部.【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图, R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足ZAPE =90 ,求矩形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程【解析】：设AB 的中点为R,坐标为(x , y ),那么在Rt^ABP 中,|AR =| PR 又由于R 是弦 AB 的中点,依垂径定理在 Rt △ OAF^, | AR 2=| A .2—|OR 2=36—(x 2+y 2)又|AR =| P 帘(x 4)2 y 2所以有(x-4) 2+y 2=36- (x 2+y 2),即 x 2+y 2—4x —10=0因此点R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动设Qx ,y) , R (x 1, y 1),由于R 是PQ 的中点,所以 y o ,222x +y -4x- 10=0,得(_y )2 4 x 4 _10=022所以点M 的轨迹方程为(x-2)所以M 的轨迹是以(2, 0) 4,用代入法等其它方法求轨迹方程x 2例4.点B 是椭圆-2 a2与1上的动点,A(2a,0)为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A 、B 、M,其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点 B 的运动是有规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程.【解析】设动点那么由M 为线段 M 的坐标为(x, y),而设B 点坐标为(xo, yo)AB 中点,可得x 0 2a 2 V . 0 2 x 0 2x 2aV . 2y即点 B 坐标可表为(2x - 2a, 2y)x 2点B(x°, y°)在椭圆-y a 2—1上b 22x 0 -2- a2〞1 b 2(2x 从而有——2a)2 2a叱1b 2整理,得动点M 的轨迹方程为4J a22a) 4y 1 b 2x 4 x1=—,y 1代入方程(7)22QR整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程四、常见错误：【例题5】 ABC 中,B, C 坐标分别为(-3, 0), (3, 0),且三角形周长为16,求点A 的轨迹方程.22【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10 ,满足椭圆的定义.令椭圆方程为 : 4 1 ,那么a b22由定义可知a 5,c 3,那么b 4,得轨迹方程为—匕 1516【错因剖析】ABC 为三角形,故A, B, C 不能三点共线.【正确解答】ABC 为三角形,故 A, B, C 不能三点共线.轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0),22即轨迹方程为二匕 1(x5)25 16提示：1 ：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,除；另一方面,又要注意有无“漏网之鱼〞仍逍遥法外,2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方法的选择.3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的局部. 针对性练习：5 ___ 5、一一 22 一1:两点M(1,—), N( 4,一)给出以下曲线方程：① 4x 2y 1 0；②x y 3；③4 422— y 21y 21,在曲线上存在点 P 满足|MP | | NP |的所有曲线方程是(22A ①③B ②④C ①②③D ②③④【答案】：D【解答】：要使得曲线上存在点 P 满足|MP| |NP|,即要使得曲线与 MN 的中垂线y 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,那么选D2.两条直线x my 1 0与mx y 1 0的交点的轨迹方程是 : 【解答】：直接消去参数 m 即得(交轨法)：x 2 y 2 x y 03:圆的方程为(x-1) 2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A,那么弦的中点M 的轨迹方程是 ^因此, 在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子〞掺杂其中, 将其剔要将其“捉拿归案〞.2x 3【解答】：令 M 点的坐标为(x, y),那么A 的坐标为(2 x,2y),代入圆的方程里面便可得到动点的轨迹方程.【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m 得:(4, 0)的距离与它到直线 x 4的距离相等.那么点 M 的 4为准线的抛物线.故所求轨迹方程为 y 2 16x .6：求与两定点OO 1, 0、A3, 0距离的比为1： 2的点的轨迹方程为八, …, ,□… POl1一、… 一— 一〜…,一八【分析】：设动点为巳由题意- -,那么依照点P 在运动中所遵循的条件,可列出等量关| PA| 2系式.【解答】：设P x, y 是所求轨迹上一点,依题意得L1 O 得：(x 1)22y 2 ：(x 0)4随意变化时,那么抛物线y x 2 2m 1 xm 2 1的顶点的轨迹方程为把所求轨迹上的动点坐标x, y 分别用已有的参数 m 来表示,然后消去参数 m故所求动点的轨迹方程为4x 4y 305:点M 到点F (4, 0) 的距离比它到直线50的距离小1 ,那么点M 的轨迹方程为【分析】：点M 到点F (4, 0)的距离比它到直线 50 的距离小1,意味着点M 到点F(4, 0)的距离与它到直线 x 40的距离相等. 由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程.【解答】：依题意,点M 到点F轨迹是以F (4, 0)为焦点、x由两点间距离公式得:x 2 y 21PO 1 PA 2化简彳导:x 2 y 2 2x 3027抛物线y 4x 的通径〔过焦点且垂直于对称轴的弦〕与抛物线交于 A 、B 两点,动点C 在抛物线上,求^ ABC 重心P 的轨迹方程.【分析】：抛物线y 4x 的焦点为F 1,0 .设^ ABC 重心P 的坐标为〔x, y 〕,点C 的坐标为〔x 1, y 1〕.其中x 1 1【解答】：因点P x, y 是重心,那么由分点坐标公式得：x 另一2, y 也33即 x 1 3x 2, y 1 3y由点C x 1,y 1在抛物线y 2 4x 上,得：y 12 4x 124 2将x i3x 2, y i3y 代入并化简,得：y — x —( x 1) 338 .双曲线中央在原点且一个焦点为F 〔乔,0〕,直线y=x —1与其相交于 M N 两点,MNUI中点的横坐标为 5 ,求此双曲线方程.22【解答】：设双曲线方程为 2T 当 a b (b 2-a a)x a+ 2a ax- a 3- a ab a=0,此双曲线的方程为9 .动点P 到定点F 〔1, 0〕和直线x=3的距离之和等于【解答】：设点P 的坐标为〔x, y 〕,那么由题意可得1.将y=x — 1代入方程整理得由韦达定理得x 1 x 2解得 a 2 2,b 25.22aX I x 2~2~2 --a b 22 ,2a b2.又有+ 联立方程组,34,求点P 的轨迹方程.J (犬 _ + y* + | x — 31= 4(1)当xw3 时,方程变为J(x 1)2—y2 3 x 4,J(x 1)2―y2 x 1,化简得2y 4x(0 x 3).(2)当x>3 时,方程变为J(x 1)2—y7 x 3 4,J(x 1)2—y7 7 x,化简得y a = -12(x-4)(3<x<4)o毋足十的人口的-■铲曰必=4式.弓工43)一,= T2(x —4)0仃44)故所求的点P的轨迹方程是‘ 工 ,或, 八■10 .过原点作直线l和抛物线y x24x 6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程y=kx.把它代入抛物线方程了=/一4天4®,得又‘一04•的白=口.由于直线和抛物线相交,所以△>0,解得x ( , 4 2而)(4 2^/6,).设A (叼打),B (叼力),M (x, y),由韦达定理得句中句=4*k.盯盯=6.产1 4k由户工一厂消去k得y=2x〞-必.又2黑f % =4 +上,所以x ( , V6)(后).,点M的轨迹方程为y 2x24x, x ( , <6) (<16, ) o。

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