概率问题例题

概率问题
例一：有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：
（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；
（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；
（3）事件C：指定的某个房间中有两人；
（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人
（1）1/54（2）5/18（3）25/216 (4)1/324
解析:
4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：6*6*6*6（种）
（1）指定的4个房间每间1人共有6*5*5*4=3600种不同住法
（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法
（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：6*5*5（种），
（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：4（种），P（D）=4/1296=1/324
例二：假设订一份报纸，送报人可能在6间在早上7:30至7:30把报纸送到家里，父亲离开家去工作间在早上7:30--8:00
例三：一个圆周上任取3个点,求三点构成的三角形为锐角三角形的概率是多少。

【解析】就是把圆割成三段弧,每段弧长<兀
因为三角形的三内角对应的就是弧的圆周角嘛
设每段弧长分别为x,y,z
有x+y+z=2兀
且0<x<兀
0<y<兀
0<z<兀
三维的线性规划中,x+y+z=2兀是个面
就是以(0,0,2兀) (2兀,0,0) (0,2兀,0)为顶点的三角形状的一个面,其中0<x<兀, 0<y<兀,0<z<兀去截,应该是一个正三角形里再一个倒的小正三角形(就是把中位线都连好)
所以小的面积除以大的面积就是概率,0.25
一、特殊元素和特殊位置优先策略
【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（A）36种（B）42种
（C）48种（D）54种
分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。

解：分两类计算：若甲排在第一位，若甲排在第二位，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有+ =42（种），故选B。

二、相邻元素捆绑策略
【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。

解：先把3个女同学排好，，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，。

由分步计数原理，有不同排法。

三、不相邻问题插空策略
【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。

解：先将男生排好，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生。

由分步计数原理，有1440种不同排法。

四、定序问题缩倍、空位等策略
【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。

空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。

解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。

所以共有840种不同排法。

解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有840种不同排法。

五、先选后排策略
【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。

解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，所以共有种装法。

六、相同元素隔板策略
【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。

解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有84种不同方法。

七、正难则反策略
【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？
分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。

解：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种，所以共有30种。

八、平均分组问题除法策略
【例8】6本不同的书，平均分成3份，每份2本，共有多少种方法？
解：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复。

不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一
步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，这种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法。

例：(2010年高考天津卷理科第10题)如图1，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。

则不同的涂色方法共有________种.
试题分析：本题考查排列应用题中的涂色问题，考查分类、分步计数原理，考查学生的运算推理能力以及分类讨论的思想.
1.解题思路
解法一: 按选用颜色种数进行分类. 【解析】分三类：（1）B 、D 、E 、F 用四种颜色，则有A 必与F 颜色相同、C 与E 颜色相同，故24114
4=⨯⨯A 种方法.
（2）B 、D 、E 、F 用三种颜色，则有：B 、E 同色或D 、F 同色必有其一，若B 、E 同色，则A 有异于B 和D 的两种颜色，C 只有一种，D 、F 同色同理，1223
4⨯⨯⨯A ；B 与D 同色，则A 、C 都有异于B 、E 两种选择，2234⨯⨯A ，故12234⨯⨯⨯A +223
4⨯⨯A =192种.
（3）B 、D 、E 、F 用二种颜色，只能B 、E 同色，D 、F 同色，A 、C 有异于B 、D 两种颜色，则有
2
42248
A ⨯⨯=，所以共有不同的涂色方法有24+192+48=264种.
解法二：利用“捆绑法”, 分步着色.
【解析】第一类：用三种颜色涂色，A 、D 、E 颜色各不相同，若B 与E 同色，必有C 与A 、F 与D 同色，可将C 与A 看作一个整体，F 与D 看作一个整体;若B 、D 同色同理，故23
4⨯A 种.
第二类：四种颜色（都用）涂六个点，必有4个点的位置颜色不同，即这六个点中必有两组点同色，看作一个整体，而这两组必为：AF 、AC 、BE 、BD 、CE 、DF 中的两组，如下：（AF 、BE ），（AF 、BD ），（AF 、CE ），（AC 、BE ），（AC 、BD ），（AC 、DF ），（BE 、DF ），（BD 、CE ），（CE 、DF ）共9种，944⨯A ，共有不同的涂色方法有234⨯A +94
4⨯A =264种. 解法三：着眼于“位置”：以四边形ABCD 为主分类、分步进行涂色.
【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，先涂四边形ABCD 的4个顶点，有3
4A 种，必有AC 或BD 颜色相同，若AC 颜色相同，E 、F 颜色唯一确定。

BD 同色同理，故23
4⨯A 种. 第二类：四种颜色全都用上，（1）先用两种颜色涂矩形ABCD 的4个顶点，必有AC 与BD 颜色相同，剩下两种颜色E 、F 排列，故有122
4⨯⨯A 种；（2）先用三种颜色涂矩形ABCD 的4个顶点，第一步选三种颜色3
4A ，必有AC 或BD 颜色相同，E 有异于
图1
C
F
B
D
E
A
图2
F
E
D
C
B
A
A 、D 两种颜色，F 随之确定，故有1223
4⨯⨯⨯A 种；（3）4种颜色先全部涂在矩形上，E 有异于A 、D 两种颜色，F 有异于B 、C 两种颜色，224
4⨯⨯A .共有不同的涂色方法23
4⨯A +
1224⨯⨯A +1223
4⨯⨯⨯A +2244
⨯⨯A =264种. 解法四：类比空间三棱柱ADE-BCF 如图2.
【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，设上一层A, D, E 的颜色分别为a 、 b 、c 排列，下层仍然是颜色a 、b 、c 排列，有2种方法，故有3
4A ×2种.
第二类：四种颜色全都用上，设上一层A, D, E 的颜色分别为a 、b 、c 排列，下层包括第四种颜色d ，但不包括abc 中某一个颜色(例如a)，对于d 与a 在同一侧棱上时，只有1种方法，对于d 与a 不在同一侧棱上的情形，有2种方法，（即d 可以涂在BCF 三点中的任意一个点，有三种方法，而d 涂在其中的一个点，另外两个点都对应着3中涂法）那么这种情形共有3×3 = 9种方法，故有3
4A ×9种.
故共有不同的涂色方法总数为3
4A ×11 = 264种方法.
解法五：①用四种颜色涂ABCD 四个点，则E 有异于A 、D 两种颜色，F 有异于B 、C 两种颜色，即224
4⨯⨯A .②用三种颜色涂ABCD 四个点，则必有AC 或BD 同色，当AC 同色时，E 、F 有三种涂色方法，如ABD 依次涂abd 三种颜色，则有E ：b,F:d;E:b,F:c;E:c,F:d 三种涂法，故
3423A ⨯⨯.③用两种颜色涂ABCD 四个点，则AC 和BD 同色，EF 有两种涂色方法，即22
42
A A ⨯. 故共有224
4⨯⨯A +3423A ⨯⨯+22
42
A A ⨯=264. 评注 本题属于以涂色为平台的排列组合应用题,考查分类、分步计数原理. 解法一抓住了这种题型的一个核心——颜色,从颜色入手进行突破；解法三抓住了这种题型的又一个核心——位置, 从位置入手进行突破，这两种求解招数是求解这类题目的典型的正面直接求解法. 解法二利用“捆绑法”,分步着色；解法四类比空间几何体，这两种求解招数是求解这道题目的创新解法，应具体题目具体分析. 解决问题的关键是依据题意, 找到一个确定的标准,合理对问题进行分类或分步,但必须注意分类讨论要全面, 要做到不重不漏. .
2. 历年考题
考题1 ( 2007年天津高考题) 如图3, 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格 子涂一种颜色, 要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同, 则不同的涂 色方法共有_______种. (用数字作答)
后两格种类：
1、第三格和前两格颜色均不同： 第三格有4种可能。

此时前三格已经使用了3种颜色，第四格必须在三种颜色中选择，又由于不能和第三格相同 因此此时第四格有2种可能。

因此这种情况下，有8种可能 2、第三格和第一格颜色相同。

则第三格只有1种可能。

此时第四格只要和第三格颜色不同即可，所以有5种可能 因此在这种情况下，有5种可能 所以三、四格共有13种可能
因此四个格子颜色涂法有30×13=390（种）
考题2( 2003年全国高考题) 如图5,一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有___种.(以数字作答)
【解析】用三种颜色,必须2-4同色、3-5同色
颜色4选3，再1、2-4、3-5作排列：4*3*2*1=24（种） 2.用四种颜色,必须2-4同色（或3-5同色）
2-4同色时，1、2-4、3、5作排列：4*3*2*1=24（种） 或3-5同色，1、2、3-5、4作排列：4*3*2*1=24（种） 24+24+24=72
考题3 (2003年江苏高考试题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽
种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有
.（以数字作答）
【解析】先确定1，2，3，4号区域的颜色.它们的方法数依次是4、3、2、2.其
中4号区域的两种颜色，一种是与2号相同，一种是与1，2，3区域都不同的第四种颜色. 由于它影响后面5、6号区域颜色的确定，按4号区域的两种颜色进行分类，成为两个类别.
设这4种颜色分别为红、黄、绿、蓝，又设1、2、3号区域分别已确定为红、黄、绿、，则4号区域可能为蓝，也可能为黄（如图）.
图4
6
54
132
若4号区域为蓝，5、6号区域的颜色确定为黄-蓝、黄-绿或绿-蓝3种方法. 若4号区域的颜色为黄，5、6号区域的颜色确定为绿-蓝或蓝-绿2种方法. 所以不同的栽种方法共有4×3×2×（３+2）=120（种）．。