贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第11章 一元线性回归)【圣才出品】

第11章一元线性回归

11.1 考点归纳

【知识框架】

【考点提示】

（1）变量间关系的度量，包括相关系数的计算公式、性质，相关关系的显著性检验（简答题、计算题考点）；

（2）一元线性回归，包括回归模型的假定（简答题考点），回归方程、估计的回归方程的建立（选择题、计算题考点）；

（3）最小二乘法的含义、性质，回归系数的计算（选择题、简答题、计算题考点）；

（4）回归直线的拟合优度及显著性检验（计算题考点）；

（5）点估计和区间估计，包括置信区间和预测区间（判断题、计算题考点）。

【核心考点】

考点一：变量间关系的度量

1．相关系数（线性相关系数，或Pearson 相关系数）

总体相关系数ρ，样本相关系数r 。

（1）计算公式

n xy x y r ∑-∑∑=

（2）性质 ①r 的取值范围为－1≤r≤1。|r|→1说明两个变量之间的线性关系越强。 ②r 具有对称性，即r xy ＝r yx 。

③r 取值大小与x 和y 的原点及尺度无关。

④r 仅用于度量线性关系，不能用于描述非线性关系

⑤r 只是度量数量关系，但不意味着因果关系。

⑥r 取值可以解释两个变量之间的相关程度。但需要先对相关系数的显著性进行检验。

【真题精选】

如果变量X 与变量Y 之间的相关系数为0，说明这两个变量之间是（ ）。[浙江财经大学2019研]

A ．完全相关关系

B ．完全不相关

C ．没有线性关系

D ．低度相关关系

【答案】C 【解析】相关系数r 仅仅是变量X 与Y 之间线性关系的一个度量，r ＝0

只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系，它们之间可能存在非线性相关关系。因此当r ＝0或很小时，不能轻易得出两个变量之间不存在相关关系的结论，而应结合散点图作出合理的解释。

2．相关关系的显著性检验——t 检验（小样本或大样本） 检验的统计量

(2)t r t n =-

若|t|＞t α/2，则拒绝原假设H 0，表明总体的两个变量之间存在显著的线性关系。

考点二：一元线性回归

1．一元线性回归模型

（1）回归模型假定

①E （ε）＝0；

②D （ε）＝σ2；

③()2,cov ,0,i j i j i j σεε⎧==⎨≠⎩

；

④自变量x与因变量y之间具有线性关系；

⑤在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的。

根据以上假定，E（y）的值随着x发生变化，但ε和y的概率分布都是正态分布，并且具有相同的方差。

（2）回归方程

E（y）＝β0＋β1x

①β0是直线的截距，表示当解释变量为零时y的平均值；

②β1是直线的斜率，称为回归系数，表示解释变量x每变化1个单位，被解释变量y 将相应地平均变化β1个单位。

（3）估计的回归方程

y∧＝β∧0＋β∧1x

式中，β∧0是估计的回归直线在y轴上的截距；β∧1是直线的斜率，表示x每变动一个单位时，y的平均变动值。

【真题精选】

在回归直线方程y∧＝a＋bx中，b表示（）。[浙江财经大学2019研]

A．当x增加一个单位时，y增加a的数量

B．当y增加一个单位时，x增加b的数量

C．当x增加一个单位时，y的平均增加量

D．当y增加一个单位时，x的平均增加量

【答案】C

【解析】一元线性回归方程y∧＝a＋bx中，a是回归直线在y轴上的截距，表示当x＝0

时y 的平均值；b 是直线的斜率，表示当x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。

2．参数的最小二乘估计 （1）最小二乘法（最小平方法） 使残差平方和∑（y i －y ∧i ）2＝∑（y ∧i ＝β∧0－β∧1x i ）2达到最小。

（2）最小二乘法拟合直线的优良性质

①根据最小二乘法得到的回归直线能使离差平方和达到最小；

②由最小二乘法求得的回归直线可知β0和β1的估计量的抽样分布； ③在某些条件下β0和β1的最小二乘估计量同其他估计量相比，其抽样分布具有较小的标准差。

（3）回归系数β∧0、β∧1

根据最小二乘法得：

111122

110

1ˆ=()ˆˆn n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y βn x x βy βx =====⎧∑-∑∑⎪⎪⎨∑-∑⎪⎪=-⎩ 【注意】回归直线过点（x ＿，y ＿），这是回归直线的重要特征之一。

【知识拓展】回归估计量的特性（简答题、填空题考点）：

①线性性：参数估计值β∧0和β∧

1分别是观测值或随机误差项μt 的线性组合，即可用y t 或μt 来表示； ②无偏性：估计值的均值等于真实值，E （β∧0）＝β0，E （β∧1）＝β1；

③有效性：又称最小方差性，最小二乘法得到的参数估计值在所有线性无偏估计中方差

最小。

3．回归直线的拟合优度

表11-1 回归方程的拟合程度分析