计算方法_矩阵LU分解法

矩阵的lu分解计算量

矩阵的LU分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积的方法。

LU分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它在求解线性方程组、计算行列式、计算矩阵的逆等方面都有广泛的应用。

对于一个$n \times n$的矩阵A，其LU分解的计算量主要取决于以下几个因素：
1. 存储量：LU分解需要存储原始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U，因此需要额外的$3n^2$个浮点数存储空间。

2. 计算量：LU分解需要进行一系列的矩阵乘法和行交换操作，因此计算量相对较大。

具体来说，LU分解的计算量主要包括以下几部分：
* 计算L矩阵：需要执行$n(n+1)/2$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。

* 计算U矩阵：需要执行$n^3/6$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。

* 行交换操作：需要执行$n-1$次行交换操作，其中$n$是矩阵的阶数。

因此，LU分解的计算量大约为$O(n^3)$，其中$n$是矩阵的阶数。

在实际应用中，为了提高计算效率，通常会采用一些优化算法和并行计算技术来加速LU分解的计算过程。

增广矩阵lu分解

增广矩阵lu分解一、引言矩阵分解是线性代数中的一个重要概念，它可以将一个矩阵分解成若干个简单的矩阵，从而方便进行计算和求解。

其中，增广矩阵LU分解是一种常见的矩阵分解方法。

本文将详细介绍增广矩阵LU分解的定义、原理、算法流程以及应用。

二、定义增广矩阵LU分解是指将一个增广矩阵A=[A|b] 分解成两个部分：一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得A=LU。

其中，下三角矩阵L的对角线元素均为1，上三角矩阵U的主对角线元素均不为0。

三、原理增广矩阵LU分解的基本思想是通过高斯消元法将系数矩阵A变换为上三角形式，并在变换过程中记录每一步消元所用到的系数，从而得到下三角形式的L和上三角形式的U。

四、算法流程1. 将增广矩阵A写成系数矩阵和常数向量的形式：A=[a11,a12,...,a1n|b1;a21,a22,...,a2n|b2;...;an1,an2,...,ann|bn]。

2. 初始化下三角矩阵L为单位矩阵，上三角矩阵U为A的复制品。

3. 对于每一列j=1,2,...,n，进行以下操作：a. 如果Ujj=0，则交换第j行和下面的某一行k（k>j），使得Ujj≠0。

b. 计算系数mij=aij/ujj (i=j+1,j+2,...,n)，并将其存储在Lij中。

c. 用第j行乘以mij，然后将结果加到下面的所有行i=j+1,j+2,...,n中去。

4. 得到分解结果：A=LU。

五、应用增广矩阵LU分解可以用于求解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式等问题。

其中，求解线性方程组的方法是先通过增广矩阵LU分解将系数矩阵A分解成下三角形式的L和上三角形式的U，然后利用LU分解的性质将Ax=b转化为Ly=b和Ux=y两个方程组进行求解。

这种方法比直接高斯消元法更加高效，尤其是在需要多次求解不同常数向量b时。

此外，增广矩阵LU分解还可以用来计算特征值和特征向量等问题。

六、总结增广矩阵LU分解是一种常见的矩阵分解方法，其基本思想是通过高斯消元法将系数矩阵A变换为上三角形式，并在变换过程中记录每一步消元所用到的系数，从而得到下三角形式的L和上三角形式的U。

稠密矩阵LU分解的并行算法

q=n，m=1时，Tp 3nc + 2ns + 2bn log 行算法
2020/6/19
17
二维循环块分布并行算法(续)
2020/6/19
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二维循环块分布并行算法(续)
❖ 并行执行时间为
Tqq n(2m2 / 3 m / 2 1/ 6)c (2m 1)n2c / q 2ns log q 2bn2 log q / q 2n3c /(3q2 ) mn2c / q m2nc / 3 2mn2c / q2
2
一维块分布的基本并行算法(续)
假设n=pm，其中p为进程数，m为块的阶数，则 ❖ 第所0需要k的<时p间步为，(2进m程3/3P-km/2先/2分-m解/6A)ck;,k为Lk,kUk,k， ❖ 之后，Pk/进行操作Ak,j :＝ (Uk,k)-1(Lk,k)-1Ak,j，
j>k，所需要的时间为(2m3-m2)(p-k-1)c； ❖ 其的次时，间为Pks/l将ogApk,+k+b1(:pp-1-广k-播1)m给2所lo有g p进；程，所需要 ❖ 最要后的，时各间进为程2m并3 m行in计(算pA-ki-,j1:,=)A(i,jp--Ak-i,1k )Ack。,j，所需
2020/6/19
5
一维块分布的流水线并行算法(续)
2020/6/19
6
一维块分布的流水线并行算法(续)
❖ 序号越小的进程，计算量越小，负载严重不平衡，从而导致很多进程处于空闲状态
❖ 负载最重的是最后一个进程，其上的个行块几乎需要更新 p－1次，每次一个行块中的块数为p－1不断减少到1
❖ 并行执行时间为 (n3c/p)，所以无论n增大到什么程度，并行效率不可能大于2/3

lu分解算法

lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。

具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。

2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。

3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。

4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。

- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。

- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。

5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。

通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。

此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。

求矩阵的lu分解例题

求矩阵的lu分解例题好的，下面是一个矩阵的LU分解的例题：假设我们有一个3x3的矩阵A：A = [[2, 4, 6],。

[1, 3, 8],。

[5, 2, 4]]我们要进行LU分解，将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。

首先，我们需要找到L和U的元素。

L的主对角线上的元素都是1，而U的主对角线上的元素与A的主对角线上的元素相同。

我们可以通过高斯消元法来求解L和U的元素。

首先，我们将A的第一行除以A[0][0]，得到：A' = [[1, 2, 3],。

[1, 3, 8],。

[5, 2, 4]]接下来，我们将A'的第二行减去A'的第一行，乘以A'[1][0]的倒数，得到：A'' = [[1, 2, 3],。

[0, 1, 5],。

[5, 2, 4]]然后，我们将A''的第三行减去A''的第一行，乘以A''[2][0]的倒数，得到：A''' = [[1, 2, 3],。

[0, 1, 5],。

[0, -8, -11]]现在，我们可以得到L和U的元素。

L的非零元素为A'''中除去主对角线上的元素，而U的元素为A'''的主对角线上的元素和A'''的上三角部分。

因此，我们得到：L = [[1, 0, 0],。

[1, 1, 0],。

[0, -8, 1]]U = [[1, 2, 3],。

[0, 1, 5],。

[0, 0, -11]]这样，我们完成了矩阵A的LU分解。

希望以上例题能够帮助你理解矩阵的LU分解。

如果还有其他问题，请随时提问。

拟三对角矩阵的lu分解

拟三对角矩阵的lu分解
拟三对角矩阵的LU分解是指将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和
一个下三角矩阵的乘积，即化为一串次三角形矩阵乘积之和；即将矩
阵A=LU，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

如果矩阵
A是拟三角形矩阵，则LU分解的过程特别简单。

只需要计算出上三角形矩阵的主对角元素Uii，然后从上往下逐行计算出Uij（i为行号，j为列号）、Lij（i为行号，j为列号）即可。

另外，因为A是拟三角形矩阵，LU的过程中，只需要做单正（正则）
的三角形运算即可，不存在向量乘法等运算，所以，LU 分解是一种非
常高效的方法。

三角矩阵的lu分解

三角矩阵的lu分解在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。

LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

什么是LU分解如果有一个矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为A的LU分解。

更进一步，我们希望下三角矩阵的对角元素都为1：一旦完成了LU分解，解线性方程组就会容易得多。

LU分解的步骤对于满秩矩阵A来说，通过左乘一个消元矩阵，可以得到一个上三角矩阵U。

可以看到，L实际上就是消元矩阵的逆。

容易知道二阶矩阵的逆：现在假设A是一个3×3矩阵，在不考虑行交换的情况下，通过消元得到上三角矩阵的过程是：LU 分解的前提并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。

LU分解的意义LU分解的意义在于求解大型方程组。

一个方程组可以简化为Ax = b的形式，其中A是n阶方阵，x是未知数组成的向量，b是n×1矩阵，例如：以往求解的方式有两种，一是高斯消元法，二是对A求逆，使得x = A-1b。

第二种方式远比消元法复杂，先看一下消元法的计算量。

假设A是n阶满秩方阵，如果不写成增广矩阵，即不考虑 b，那么第一次消元达到的效果是：其中方块是A原来的元素，0是达到的效果，三角是经过消元运算后改变的元素。

以第二行为例，为了使第一个元素为0，需要让第一行乘以某个数（第一行n个元素，共进行了n次乘法运算），再将第一行和第二行相加或相减（第二行n个数与第一行的n个数相加，共进行了n次加法运算）。

如果把一组乘法和加法看成一次运算，那么第二行的消元共进行了n次运算；共有n-1行需要类似运算，所以第一次消元共进行了n(n - 1) ≈ n2次运算。

lu分解例题及解析

lu分解例题及解析Lu分解法是一种将矩阵分解为低秩矩阵的分解方法，主要应用于数据分析、图像处理等领域。

下面以一个例题来介绍Lu分解法的具体步骤及解析过程。

假设有如下矩阵A:$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}$$步骤1：选取矩阵A的第一行作为初始行，将其作为下三角矩阵L的第一行，确定上三角矩阵U的第一行，即：$$L=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\l_{21} & 1 & 0 \\l_{31} & 0 & 1 \\\end{bmatrix},U=\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\0 & u_{22} & u_{23} \\0 & u_{32} & u_{33} \\\end{bmatrix}$$那么，可以得到：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\& 1 & 0 \\& & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}& & \\& & \\& & \\\end{bmatrix}$$因此，需要确定L和U的未知量l21、l31、u11、u12、u13、u22、u23和u33。

步骤2：用第一行的元素对矩阵A进行初等变换，使得第一列的下两个元素都为0，即：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{(R_2-4R_1)}\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\0 & 3 & -14 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}$$此时，可得到：$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 4 \\8 & 7 & 2 \\6 & 3 & 5 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\& 1 & 0 \\& & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{11} & u_{12} & u_{13} \\0 & ? & ? \\0 & ? & ? \\\end{bmatrix}$$可以看出，u11=2，u12=1，u13=4。

doolittle分解法

doolittle分解法LU分解法也叫Doolittle分解法，它是一种分解矩阵的方法，它可以将一个方阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，它可以用来求解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等。

它是由美国数学家詹姆斯·杜利特尔（James Doolittle）在1850年以后提出的，因此也被称为Doolittle分解法。

LU分解法是一种利用矩阵变换把矩阵分解成两个三角矩阵的方法，它可以将一个n阶方阵A分解成两个n阶三角矩阵L和U，使得A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

LU分解法的实质是利用矩阵的乘法和加法，把一个矩阵变换为两个三角矩阵，这样可以减少计算量。

LU分解法的一个主要特点是，它可以利用矩阵的乘法和加法，把一个矩阵变换为两个三角矩阵，从而可以有效地减少计算量，提高求解线性方程组的效率。

LU分解法的步骤是：首先，把A矩阵分解成两个三角矩阵，L矩阵的对角线上的元素都是1，其余元素都是0；U矩阵的对角线上的元素是A的对角线上的元素，其余元素都是A的上三角矩阵的元素。

然后，把L和U相乘得到A矩阵，表示为A=LU。

最后，使用LU分解法求解线性方程组。

LU分解法的优点是可以用来求解线性方程组，求逆矩阵，求特征值，有效地减少计算量，提高求解效率，还可以用来计算多元函数的极值。

缺点是LU分解法只适用于方阵，而且LU分解法的结果可能会受到矩阵的谱半径的影响，如果谱半径较大， LU分解法就会失去效率，可能会出现数值不稳定的情况。

总之，LU分解法是一种有效的分解矩阵的方法，它可以有效地求解线性方程组，求逆矩阵，求特征值等，但是它只适用于方阵，而且受到矩阵的谱半径的影响，如果谱半径较大，LU分解法就会失去效率。

因此，使用LU分解法需要谨慎考虑，以便取得最佳的效果。

矩阵lu分解计算实例

矩阵lu分解计算实例矩阵LU分解（LUdecomposition）是一种数值计算技术，也被称为LU factorization或LU矩阵分解。

它的本质是将矩阵拆分为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。

在计算上也可以视作是将一个复杂的矩阵拆分为简单的形式进行操作，使得线性方程组更容易求解。

矩阵LU分解在线性代数中有着重要的意义。

它主要用于矩阵求逆、解线性方程组、求矩阵行列式等操作，在科学计算和理论计算中都有着广泛的应用。

此外，矩阵LU分解是一种很有效的计算技术，也用于解决稀疏系统的数值计算问题。

它的实质是将稀疏矩阵转换为密矩阵，然后进行LU分解，从而减少计算量，提高计算效率。

下面通过一个计算实例来讨论矩阵LU分解的具体操作流程和计算步骤：首先，给定系数矩阵A =begin{bmatrix}1 &2 & 32 & 5 & 73 & 7 & 8end{bmatrix}，和方程右端b =begin{bmatrix}-178end{bmatrix}，求其解：begin{equation}x = begin{bmatrix}x_1x_2x_3end{bmatrix}end{equation}设A = LU，其中L是一个单位下三角阵，U是一个上三角阵，此时可将等式A = LU拆分成两个等式：begin{equation}Lbegin{bmatrix}y_1y_2y_3end{bmatrix}=begin{bmatrix}1 & 0 & 02 & 1 & 03 &4 & 1end{bmatrix}begin{bmatrix} y_1y_2y_3end{bmatrix}=begin{bmatrix} -178end{bmatrix}end{equation} begin{equation} Ubegin{bmatrix} x_1x_2x_3end{bmatrix}=begin{bmatrix}1 &2 & 30 & 1 & 30 & 0 & 1end{bmatrix}begin{bmatrix}x_1x_2x_3end{bmatrix}=begin{bmatrix}y_1y_2y_3end{bmatrix}end{equation}解出上述两个方程，即可求出解x，即x = begin{bmatrix}211end{bmatrix}以上就是矩阵LU分解的具体操作步骤。

高等代数方法总结

高等代数方法总结高等代数方法总结一、线性代数方法1.矩阵分解与运算：（1）LU分解法：将n阶矩阵A拆解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，LU分解的思想就是计算LU矩阵，并利用LU矩阵求普通方程组的解，LU分解法可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。

（2）QR分解法：基本思想是将m阶矩阵A拆解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，QR 分解法可以用来求多元一次线性方程组的解，可以将求解多元一次线性方程组的问题看成求解n次一元方程组的问题。

（3）特征值分解法：特征值分解法是一种常用的数值分解法，它利用特征值与特征向量之间的关系，将一个非对称实矩阵分解为三个实对称矩阵的乘积，利用特征值分解法可以快速求解矩阵的迹、行列式、逆矩阵等。

2.矩阵求解：（1）追赶法：追赶法是一种求解线性方程组的常用数值方法，它利用矩阵的上三角部分和下三角部分的特点，将多元一次线性方程组拆分成n次一元方程，由上至下迭代求解。

（2）高斯消元法：高斯消元法是指一种利用矩阵运算求解n元一次方程组的方法，它通过将线性方程组中的变量一个接一个消元，把原来的多元一次方程组转变成只有一个未知数的一元方程组，采用逐个消元的方法来求解线性方程组的解。

（3）Cholesky分解法：Cholesky分解法是一种应用广泛的数值分解法，它将一个实(或者复)对称正定矩阵分解为下三角矩阵乘上其转置的乘积，由此可以利用Cholesky分解法来快速求解线性方程组的解。

3.矩阵运算：（1）矩阵的加法、减法：矩阵相加(减)是指两个矩阵同位置元素相加(减)，可以将矩阵加减运算看作是两个一维数组的加减运算。

（2）矩阵的乘法：矩阵相乘是指两个矩阵的乘积，可以看作是两个一维数组的乘积。

（3）矩阵的幂运算：矩阵的乘方是指将一个矩阵乘以自身一次或多次，可以用来求解方程组的迭代解，也可以用来计算矩阵的特征值和特征向量。

二、拓扑学方法1.网络拓扑：网络拓扑是指网络元素的相互位置关系，即描述一个网络的链路结构。

matlab的lu分解

matlab的lu分解什么是LU分解？LU分解是一种常用的线性代数求解方法，用于解决形如AX=B的线性方程组，其中A是一个非奇异矩阵，X是未知向量，B 是已知向量。

LU分解的目的是将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

通过将线性方程组转化为LU分解的形式，我们可以更方便地求解线性方程的解。

LU分解的具体步骤如下：1. 矩阵A的LU分解可以写为A = LU, 其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

我们可以假设L的主对角线元素为1，而U的对角线元素则与矩阵A的对角线元素相同。

2. 在进行LU分解之前，我们可以首先判断矩阵A是否可以进行LU分解。

如果A的行列式不为零，则说明A是非奇异矩阵，可以进行LU分解。

否则，如果A的行列式为零，则说明A是奇异矩阵，无法进行LU 分解。

3. LU分解的第一步是找到L和U的第一行。

L的第一行是A的第一行，U的第一行是A的第一行的副本。

之后，我们要使用该行来取消下方的所有元素。

4. 对于LU分解的每一行i，我们需要通过以下步骤来计算U的第i行和L的第i列：- U的第i行直接等于矩阵A的第i行减去L的前i-1行和U的前i-1列的乘积。

- L的第i列等于A的第i列减去L的第i行前面的元素已经求得的U 的第i列与L的第i行的乘积。

5. 重复步骤4，直到我们得到L和U的全部元素。

最终，我们将得到L 和U的乘积与矩阵A相等，即A = LU。

6. 使用LU分解来求解线性方程组。

将AX=B转化为LUx = B的形式。

我们可以先解得下三角线性方程Lc = B，求得c的值，然后再解上三角线性方程Ux = c，求得未知向量x的值。

使用MATLAB进行LU分解MATLAB是一种强大的数值计算工具，可以用于执行矩阵运算，包括LU 分解。

下面是使用MATLAB进行LU分解的步骤：1. 首先，在MATLAB的命令窗口中定义矩阵A和向量B，即输入A和B的数值。

LU分解

~ T ~T T T ~T T ~ ( LDU ) = U D L = U DL = LDU
~ 由分解的唯一性有， T = L 即，于是可得下面的结论。 U
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
k =1 k =1
得公式 u1j=a1j li1=ai1 / u11
j=1,2,…,n i=2,3,…,n
l ii = 1
当i ≤ j时,有 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
k =1 n k =1 i k =1 n i i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
3 2
例用直接三角分解法解方程组
1 5 x1 11 2 4 1 12 x2 = 27 − 2 − 4 5 x3 12
解：由前面的公式可得
1 2 1 5 A = LU = 2 1 − 1 2 − 1 3 1 4
k = 1, d 1 = a11 = 5
k = 2,
d2 = a22 − u21l21 = 2.8
u 32 = a 32 − u 31l 21 = − 3.2
j = 3,
k = 3,
l32 = u 32 / d 2 = − 1.14286
d 3 = a33 − u 31l31 − u 32 l32 = 2.14285
LU分解法的基本思想 LU分解法的基本思想将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U 的乘积，其中L 的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵，而且要求L的对角元素都是1 矩阵，而且要求L的对角元素都是1；

lu分解法高斯消元法

lu分解法高斯消元法以"LU分解法与高斯消元法"为标题的文章一、引言在线性代数中，矩阵的分解方法是解决线性方程组的重要工具之一。

LU分解法和高斯消元法是两种常用的矩阵分解方法。

本文将介绍这两种方法的原理和应用。

二、高斯消元法高斯消元法是一种将线性方程组转化为阶梯形矩阵的方法。

其基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为上三角形式，从而求解出方程组的解。

具体步骤如下：1. 首先，将线性方程组的系数矩阵与常数向量合并成增广矩阵。

2. 选取主元素，即矩阵的第一行第一列元素作为主元素。

3. 通过行变换，将主元素下方的元素全部消为零。

4. 选取下一个主元素，重复步骤3，直到将矩阵转化为上三角形式。

5. 反向代入，求解出方程组的解。

高斯消元法的优点是简单易懂，适用于小规模的线性方程组。

然而，当方程组的规模较大时，高斯消元法的计算量会很大，效率较低。

三、LU分解法LU分解法是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法。

其基本思想是通过一系列的行变换将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，从而求解出方程组的解。

具体步骤如下：1. 首先，将线性方程组的系数矩阵进行LU分解，得到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。

2. 将方程组Ax=b转化为LUx=b，令y=Ux，则Ly=b。

3. 解得Ly=b，再解得Ux=y，即可求得方程组的解。

LU分解法的优点是可以重复使用LU分解的结果，适用于多次求解相同系数矩阵的线性方程组，提高了计算效率。

此外，LU分解法还可以用于求矩阵的行列式和逆矩阵等。

四、应用示例下面通过一个具体的例子来说明LU分解法和高斯消元法的应用。

考虑如下线性方程组：2x + 3y + z = 54x + 5y + 2z = 116x + 7y + 4z = 17我们可以使用高斯消元法将线性方程组转化为上三角形式。

通过一系列的行变换，得到如下增广矩阵：1 1.5 0.5 2.50 1 0.2 1.80 0 1 1然后，我们可以使用LU分解法对系数矩阵进行分解。

lu分解中的置换矩阵

lu分解中的置换矩阵一、什么是LU分解1.1 LU分解的定义在线性代数中，LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U 的乘积的过程。

LU分解是一种常用的矩阵分解方法，它可以简化矩阵的计算和求解过程。

1.2 LU分解的应用LU分解在数值计算和线性代数中有广泛的应用，特别是在求解线性方程组和计算矩阵的逆时非常有用。

通过LU分解，可以将原本复杂的线性方程组的求解过程转化为两个简单的步骤，大大提高了计算的效率。

二、LU分解的过程2.1 LU分解的算法LU分解的算法可以通过高斯消元法来实现。

具体步骤如下： 1. 初始化矩阵A为待分解的矩阵，L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵； 2. 对于每一列j，从第j 行开始，执行以下操作： - 找到列j中绝对值最大的元素所在的行maxRow； -如果maxRow不等于j，则交换矩阵A中的第j行和第maxRow行，同时交换矩阵L中的第j行和第maxRow行； - 计算乘数multiplier，即矩阵A中第j行以下的元素与第j行第j列元素的比值； - 更新矩阵A中的第j行以下的元素，即第j+1行到第n行的第j列元素，使其变为0； - 更新矩阵L中的第j行以下的元素，即第j+1行到第n行的第j列元素，使其等于乘数multiplier； 3. 得到分解后的矩阵A=L*U。

2.2 置换矩阵的引入在LU分解的过程中，可能会遇到主元为0的情况，这时就需要进行行交换来避免除以0的错误。

为了记录行交换的操作，引入了置换矩阵P。

置换矩阵是一个单位矩阵经过行交换操作得到的矩阵。

三、置换矩阵的性质3.1 置换矩阵的定义置换矩阵是一个n阶方阵，主对角线上的元素为0或1，每一行和每一列中只有一个元素为1，其余元素均为0。

3.2 置换矩阵的性质置换矩阵具有以下性质： 1. 置换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵； 2. 置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于行交换的次数； 3. 置换矩阵的乘积仍为置换矩阵。

第七章LU分解

ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元素而上三角存储U的元素。再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i）和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中的相应元素，即：

a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1

实验五矩阵的LU分解法

实验五矩阵的LU 分解法一、目的与要求：熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

二、实验内容：会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解各种方法的优缺点。

三、程序与实例列主元高斯消去法算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+⨯表示1) 消元过程对k=1,2,…,n-1①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得k ,i k a =ik a ni k max ≤≤②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。

③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，j i kj k a a ↔ j=k,┅,n+1④消元，对i=k+1, ┅,n 计算kk ik ik a a l /=对j=l+1, ┅,n+1计算kj ik ij ij a l a a -=2) 回代过程①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。

②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算ii ni j j ij n i i a x a a x /11,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=+程序与实例例1 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++035.3643x .5072x .1835x .2137.2623x .43712x 347x .1 1.1833.555x 2.304x 0.101x 321321321输出结果如下：X[0]=-0.398234X[1]= 0.013795X[2]= 0.335144程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>main(){int i,j,p,o,l,q;double a[3][4]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};double x[3],z[4];printf("列主元消去法\n");for(j=0;j<2;j++){for(i=j+1;i<3;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<4;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<3;l++){for(q=3;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("进行消去：\n");for(o=0;o<3;o++){for(p=0;p<4;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[2]=a[2][3]/a[2][2];x[1]=(a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("最后的解:\n");for(i=0;i<3;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);} } 结果如下：例2 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++-12.041.0F 1.02E 3.47D 1.04C 3.54B -6.301.0F2.01E 2.51D 4.04C 5.05B -8.531.0F 1.21E 2.92D 1.46C3.53B -20.071.0F 1.10E4.48D 1.21C 4.93B -32.041.0F 1.55E5.66D 2.40C 8.77B计算结果如下B=-1.161954C= 1.458125D=-6.004824E=-2.209018F= 14.719421程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(void){int i,j,p,o,l,q;double a[5][6]={{8.77,2.40,5.66,1.55,1.0,-32.04},{4.93,1.21,4.48,1.10,1.0,-20.07},{3.53,1.46,2.92,1.21,1.0,-8.53},{5.05,4.04,2.51,2.01,1.0,-6.30},{3.54,1.04,3.47,1.02,1.0,-12.04}};double x[5],z[6];printf("列主元消去法求五元一次方程组：\n");for(j=0;j<4;j++){for(i=j+1;i<5;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<6;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<5;l++){for(q=5;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("消去一列：\n");for(o=0;o<5;o++){for(p=0;p<6;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[4]=a[4][5]/a[4][4];x[3]=(a[3][5]-x[4]*a[3][4])/a[3][3];x[2]=(a[2][5]-x[4]*a[2][4]-x[3]*a[2][3])/a[2][2];x[1]=(a[1][5]-x[4]*a[1][4]-x[3]*a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][5]-x[4]*a[0][4]-x[3]*a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("方程组的解为：\n");for(i=0;i<5;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);}}矩阵直接三角分解法算法：将方程组A x=b 中的A 分解为A =LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组A x=b 化为解2个方程组Ly =b ，Ux =y ，具体算法如下：①对j=1,2,3,…,n 计算j j a u 11=对i=2,3,…,n 计算1111/a a l i i =②对k=1,2,3,…,n:a. 对j=k,k+1,…,n 计算∑-=-=11k q qj kq kj kj u l a ub. 对i=k+1,k+2,…,n 计算kk k q qk iq ik ik u u l a l /)(11∑-=-=③11b y =，对k=2,3,…,n 计算∑-=-=11k q q kq k k y l b y④nn n n u y x /=,对k=n-1,n-2,…,2,1计算kk n k q q kq k k u x u y x /)(1∑+=-=注：由于计算u 的公式于计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A ∣b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++1,211,2222211,111211n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a施行算法②，③，此时U 的第n+1列元素即为y 。

矩阵LU及PA=LU分解

矩阵LU及PA=LU分解clear all;%************************************************************* ***********************%A=LU分解,非部分主元法A=input('请输入一个矩阵\n');U=double(A);[m,n]=size(U);L=eye(m);EPSINON=10^(-15);%************************************************************* ***********************%判断是不是方阵，不是方阵则不能进行A=L*U或P*A=L*U分解if m~=nfprintf('A不是方阵，不能进行LU分解;\n');else fprintf('A是方阵;\n');%判断A的行列式是否为0，为0则不能分解;不为0则进行下一步判断，如果各阶顺序主%子式均为0，则可直接进行A=L*U分解，否则进行P*A=L*U分解if det(A)==0fprintf('A的行列式为零，不能进行分解.\n');%************************************************************* **********************%判断能不能直接进行A=L*U分解，能分解则用户输入1可得到A=L*U,输入2可得P*A=L*U.else total=0;fprintf('A的行列式不为零，可以进行分解;\n');% total用来计数A的顺序主子式中不为0的阶数，如果为n，则能直接进行A=L*U分解。

for j=1:mif det(A(1:j,1:j))~=0;total=total+1;endendif total==nfprintf('A的各阶顺序主子式均不为0,能直接进行A=L*U分解；\n直接进行A=L*U分解请输入1，进行P*A=L*U分解请输入2:\n');x=input('x=');else x=2;fprintf('A存在为0的顺序主子式，不能直接进行A=L*U分解；以下直接进行P*A=L*U分解：\n\n');end%************************************************************* *************switch(x)%选择输入1进行A=L*U分解，或输入2进行P*A=L*U分解；case 1,表示进行A=L*U分解case 1for i=1:m %i表示行L(i+1:m,i)=U(i+1:m,i)/U(i,i);%U(i+1:m,i:n)=U(i+1:m,i:n)-U(i+1:m,i)*U(i,i:n)/U(i,i);U(i+1:m,i:n)=U(i+1:m,i:n)-L(i+1:m,i)*U(i,i:n);endU(abs(U)L(abs(L)[L_lu,U_lu]=lu(A);ifsum(sum(L==L_lu))==m^2&&sum(sum(U==U_lu))==m^2 fprintf('与Matlab自带公式[L,U,P]=lu(A)所得结果一致。