第10章 能量法

第十章 能量法
10-1 图示桁架，已知各杆的EA 相等，试求在载荷F 作用下桁架的应变能。

解：
1．支反力
∑=0x F ：0=-Ax F F F F Ax =
∑=0B M ：02=⨯-⨯l F l F Ay ，
2F F Ay =
∑=0y F ：0=-By Ay F F ，
2F F By = 2．各杆的轴力
由结点A 的平衡可求得 2N F
F AC =，2N F F AD =
由结点B 的平衡可求得
2N F F BC -=，2N F F BD = 由结点D 的平衡可求得 0N =CD F
3．桁架的应变能
[]
()
EA
l F l l F l F l F l F EA l F l F l F l F l F EA
EA l F U CD
CD BD BD AD AD BC BC AC AC i
i 4122 022222221 21 2222222
N 2N 2N 2N 2N 2N +=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++==
∑
10-2 图示传动轴，已知轴的直径m m 40=d ，材料的弹性模量GPa 210=E ，切变模量GPa 80=G 。

试求轴的应变能。

解：
4444p cm 8cm 32432πππ=⨯==d I 4p cm 42π==I I
作用在轮上的合力为：kN 06.1kN 36.0122=+=F
()()m N m 4.02.0 4.0530m
2.00 035⋅⎩⎨
⎧≤≤-≤≤=x x x x x M ()m N m 4.02.0 80m
2.00 0⋅⎩
⎨
⎧<<<≤=x x x T ()()m m N 8.31m N 108108022.04.080 d 8021
2d 8
92
.40 .20 2p p
2⋅=⋅⨯⨯⨯⨯-⨯===-⎰
⎰πx
GI GI x x T U l T
()()m m
N 4.28m N 104102103
2.0530 d 53012d 8
932.2
0 0
2 2⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==
=-⎰
⎰πx x EI EI x x M U l M
∴ 轴的应变能：m m N 2.60⋅=+=T M U U U
10-3 图示桁架，各杆的EA 相等。

试求结点C 的水平位移和垂
解：
用单位载荷法求解。

如图所示，在结点C 分别沿水平和垂直方向杆件
杆长i l 由F 、所引起的轴力i F N 由单位水平力所引起的轴力i F N 由单位竖直力所引起的轴力i F N ' AB l F 2-
0 0 BC l
F 0
CD l F
1-
1-
AD l
0 AC
l 2 F 2- 2
结点C 处的水平位移：()
2215
1N N EA
Fl
EA l F F i i i i CH +==∑
=δ 垂直位移：)( 5
1
N
N ↑='=
∑
=EA
Fl EA l F F i i i i CV δ
EI 为常数）。

解：
用卡氏定理求解
1．求截面B 的挠度，在截面B 作用零值附加力s F
当0≤x ≤a ，()()()x l F x a q x M ----
=s 2
2
，()()x l F x M --=∂∂s 当a ≤x ≤l ，()()x l F x M --=s ， ()()x l F x M --=∂∂s
()()()EI
a l qa dx x l x a EI q x F x M x M EI F U y a l F F B 244)()(2 d 1
3
02 0 0s 0s s
s -=--=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∂∂=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰
⎰
==
2．求截面B 的转角，在截面B 作用零值附加力偶es M
当0≤x ≤a ，()()es 2
2
M x a q x M ---
=，()1es -=∂∂M x M
当a ≤x ≤l ，()es M x M -=，
()1es
-=∂∂M x M ()()EI qa x M x M x M EI M U l M M B 6d 13
0 0es 0es es es =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰==θ
EI
解：用单位载荷法求解
如图所示，在截面A 处分别作用一水平方向单位力、铅垂方向单位力和一顺时针方向单位力偶，并分别求出由荷载F 以及单位力和单位力偶所引起的内力，列表计算如下：
杆段 由载荷F 所引起的弯矩()i x M 由水平单位力所引起的弯矩()i x M 1 由铅垂单位力所引起的弯矩()i x M 2 由单位力偶所
引起的弯矩
()i x M 3 AB 1Fx - 0
1x - 1- BC
Fl -
2x -
l -
1-
截面A 的水平位移： 2d 12
0 22EI
Flh
x Flx EI h
AH ==⎰
δ 截面A 的竖直位移：() 33d d 12 0 0 22
121EI h l Fl x Fl x Fx EI l h AV
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰
δ
截面A 转 角：()EI
h l Fl x Fl x Fx EI l h A 22d d 1 0 0 211+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰θ
EI 相等。

试求截面A 和B 的位移。

解：用单位载荷法求解 在A 、B 点分别作用一铅垂方向与水平方向的单位力，如图所示，并分别求出由荷载q 以及单位力所引起的内力，列表计算如下：
杆段 由q 所引起的
弯矩()i x M
由A 竖直单位力所引起的弯矩()i x M 由B 水平单位力所引
起的弯矩()i x M '
DE 0
1x DA 2
22
2
2qx qlx - 2
2
x h
利用对称性
截面A 的竖铅垂位移：)( 3845d 222242 0 22222↓=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰EI ql x x qx qlx EI l AV δ 截面B 的水平位移：)( 12d 22232 0 2222→=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰EI h ql x h qx qlx EI l BH δ
截面A 的水平位移：)( 24213→==EI
h ql BH AH δδ
10-7 图示刚架，各杆的EI 相等。

试求在一对力F 的作用下截面A 和B 之间的相对位移和相对转角。

解：用单位载荷法求解
由于结构和载荷的对称性，取刚架对称轴的一侧来求解AB δ和
AB θ在A 截面分别作用一水平单位力和一单位力偶，如图所示，列表
计算如下：
杆段 由载荷F 所引起的弯矩()i x M
由水平单位力所引
起的弯矩()i x M 由单位力偶所引起
的弯矩()i x M '
AC 1Fx - 1x - -1 CE
Fh -
h -
-1
A 、
B 两点之间的相对位移：
⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+==⎰⎰
a h EI Fh x Fh x Fx EI h a
A A
B 32d d 222 0
2
0 22
1
21δδ A 、B 两截面的相对转角：
()a h EI Fh x Fh x Fx EI h a A AB +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==⎰⎰ 0 2 0 211d d 22θθ
10-8 图示细圆环，平均半径为R ，抗弯刚度为EI ，在切口处嵌
解：
在块体嵌入后，块体与切口截面之间产生水平作用力F ，两切口截面之间产生水平相对位移e 任意一θ截面的弯矩为 ()()θθcos 1-=FR M
()()θθcos 1-=∂∂R F
M 根据卡氏定理切口处两截面之间的水平相对位移
()()()EI
FR EI FR s F M EI M e l 32
0 3 3d cos 12d πθθθθπ=-=∂∂=⎰
⎰
由此可求得
3
3R
eEI
F π= ∴ ()2
max 322R
eEI FR M M ππ=
==
10-9 图示外伸梁，抗弯刚度为EI 。

不计弯曲剪力的影响，试用图乘法求自由端A 的挠度和支座C 截面的转角。

解：
用叠加法作梁在F 和q 共同作用下的M 图，并作梁仅在A 、C 处
分别作用一竖直单位力和一单位力偶时的的M 和'
M 图，如图所示。

由图乘法求得
()
()()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+⎢⎣⎡⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯=++=832832 32213221113232223
32211l l a a EI qa a l ql a l qa a a qa EI M M M EI y C C C A ωωω()
()
()
EI l a ql l ql l qa EI M M EI
C C C 2442183231211 1
2222
3322-=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯=+=
ωωθ
10-10 试求图示超静定梁的支反力。

设固定端沿梁轴线的反力可以忽略。

解：
为二次超静定问题。

由对称性可得：2
ql
F F By Ay =
=，B A M M = 化为一次超静定问题。

以A M 为多余约束，取静定基如图所示
()A
A
Ay M
x lx q M qx x F x M --=--=)(2
2
1
22
()1-=∂∂A M x M 由卡氏定理
()
()0121 d )(21
d 1
3
0 2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=∂∂=
⎰
⎰
A l
l A A M ql EI x M x lx q
EI
x x x M x M EI
θ
可得：12
2
ql M A =
10-11
解：
为一次超静定问题。

1．用卡氏定理求多余约束力，以C 截面处的约束为多余约束
AB 段：()11x F x M C =，
()11x F x M C =∂∂ BC 段：()22Fx a F x M C -=，
()a F x M C =∂∂2 由卡氏定理
()()
()()
()0234 d d 1 d d 3 0 22 0 12
1 0
2
22 0
111=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+=∂∂+∂∂=∂∂=
⎰⎰⎰
⎰
F F EI a x a Fx a F x x F EI x F x M EI
x M
x F x M EI
x M F U y C a C a C a C
a C
C
C
可求得：8
3F F C =
2．作刚架的内力图
10-12 图示杆系，各杆的
EA 相等。

试用力法求各杆的内力。

(a
)
(d )
解：
为一次超静定问题。

1． 求多余约束力
以C 处约束为多余约束，得到静定基，如图(b)所示，力法正则方程为
0111=∆+F C F δ
分别求出静定基在F 作用下（图(c )）在单位力作用下（图(d )）各杆的内力i F N 和i F N ，列表计算如下（根据对称性，32N N F F =）
i i N i N ① l
1 ②③
α
cos l αcos 2F
α
cos 21-
α
3
3
1
N N 1cos 2EA Fl
EA l F F i i i i F -==∆∑
= ⎪⎭⎫
⎝⎛+==
∑
=1cos 213
3
1N N 11αδEA l EA l F F i i i i ∴ α
δ3111cos 21+=∆-=F
F F C
2． 求各杆的内力
α
31N cos 21+=
=F
F F C
取结点D 为研究对象（图(a )）
0=∑y
F
： 0cos 22N 1N =-+F F F α
由此求得
α
α
α321N 2N cos 21cos cos 2+=-=F F F F
10-13 图示结构，AB 梁和梁CD 的抗弯刚度均为26m N 1024⋅⨯=EI ，2mm =a 。

两梁用长m 5=l 、抗拉刚度为
N 1067
22⨯=A E 的钢杆连接，弹性模量GPa 200=E 。

若kN 50=F ，试求梁AB 的B 点挠度。

F
解：
为一次超静定问题。

1． 求杆BE 的轴力
设杆BE 的轴力为N F ，梁AB 和CD 的弯矩及其偏导数为
AB 段：()1N 1x F x M -=，
()1N 1x F x M -=∂∂ CE 段：()()a x F x F x M +-=22N 2，
()2N 2x F x M =∂∂ ED 段：()33Fx x M -=，
()0N 3=∂∂F x M 由卡氏定理
()()113N 1 0 21N 11 0 1N 1
1113d 1d I E a F x x F I E x F x M I E x M y a a B ==∂∂=⎰
⎰
()()()()()[]1
13N 2 0 222N 11 0 3
N
3113 0 2N 2
1126)5(20d 1 d d I E a F F x x a x F x F I E x F x M I E x M x F x M I E x M y a
a a E -=
++-=∂∂+∂∂=⎰
⎰
⎰
2
2N A E l
F l BE =∆
变形协调条件为 E BE B y l y -=∆+
即 1
13
N 22N 113N 6)5(23I E a F F A E l F I E a F --=+ 解得：kN 5.45kN 21065102461650
564562211N =⨯⨯⨯⨯⨯+
⨯=+=a A E l I E F F 2．求悬臂梁AB 在B 点的挠度
m m 1.5m 102432105.4536
3
33N =⨯⨯⨯⨯==EI a F y B
10-
解：
1．求支反力，为一次超静定问题，对AB 梁段，由对称性可求得
2
qa
F F Ey Ay ==，以Dy F 为多余约束力 考虑ED 梁段的平衡：
0=∑B M ： 0643222
=⨯+⨯-⨯++⨯a F a qa a F qa a qa Dy Cy
即 qa F F D y Cy =+2 （1） 0=∑
y F ：02
=---
++qa qa qa
F F F Dy Cy By 即 2
5qa
F F F Dy Cy By =
++ （2） FD 段：()11x F x M Dy =，
()11x F x M Dy =∂∂ CF 段：()()2222qax a x F x M D y -+=，
()a x F x M Dy
222+=∂∂ BC 段：()()3233332x F qa x F a x qa a x F x M Dy By Ey +-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-+-=，
()33x F x M Dy
=∂∂ EB 段：()22444qx x F x M Ey --=，()04=∂∂Dy
F x M 由卡氏定理
()[]()()06
3518 0
d d 2 2 d 4
33
3
3 0
3
2
2
2
2
2
12 0
21=-
=++-+
+-++
=
⎰⎰⎰
qa a F x x x F qa
x a x qax a x F x x F y Dy a Dy a Dy
a
Dy D
求得10835qa F Dy =
代入（1）（2）求得5419qa F Cy =，108
197qa
F By = 2．作梁的剪力图和弯矩图。