对顶角、邻补角和垂直-教师版

【例1】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________； ∠BOD =_________；∠BOC =______________． 【难度】★【答案】145︒，145︒，35︒．【解析】AOD ∠和AOC ∠互为邻补角，BOD ∠和AOD ∠，BOC ∠和BOD ∠互为邻补角． 【总结】考察邻补角的定义．【例2】 经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点． 【难度】★ 【答案】1，1．【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义 ．【例3】 如图，∠BOF 的邻补角是（）．A ．∠AOEB ．∠AOF 和∠BOEC ．∠AOBD ．∠BOE 和∠DOF 【难度】★ 【答案】B【解析】考察邻补角的意义．【例4】 把下图中邻补角分别写出来． 【难度】★【答案】AFE ∠和BFE ∠，BOD ∠和AOD ∠，BOD ∠和 BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和BOC ∠． 【解析】考察邻补角的意义【例5】 已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4． 【难度】★ 【答案】<．ABC DOABCEFDOEFABCD O【解析】1+3=90∠∠︒Q（互余的意义），2+4=180∠∠︒（互补的意义），又1=2∠∠Q（已知），9031804∴︒-∠=︒-∠（等式性质）．4390∴∠-∠=︒（等式性质），34∴∠<∠．【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．【例6】已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．【难度】★【答案】706090︒︒︒，，．【解析】设AOC x∠=，则40AOD x∠=+︒，40x x++180=︒（邻补角的意义），解得：70x=︒，所以40110x+︒=︒，所以70BOD∠=︒（邻补角的意义）；设AOC x∠=，则2180x x+=︒解得：60x=︒，所以2120x=︒，所以60BOD∠=︒（邻补角的意义）；设AOC x∠=，则2180x=︒，解得：90x=︒，所以90BOD∠=︒．【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．【例7】如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】90︒．【解析】因为OD平分BOC∠，OE平分AOC∠（已知）所以BOD COD∠=∠，COE AOE∠=∠（角平分线的意义）因为180BOD COD EOC AOE∠+∠+∠+∠=︒（平角的意义）所以22180EOC COD∠+∠=︒（等量代换）所以90EOC COD∠+∠=︒（等式性质）即90DOE∠=︒【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．【例8】如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=54∠BOC，求∠BOC的度数．【难度】★★ACD EODC【答案】80︒． 【解析】因为∠AOD =54∠BOC ， 所以设BOC x ∠=，则54AOD x ∠=． 因为360AOB AOD COD BOC ∠+∠+∠+∠=o （周角的意义）又∠AOB =90°，∠COD =90°（已知）所以51804x x +=︒（等式性质） 解得：80x =︒， 即80BOC ∠=o ．【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．【例9】 （1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度 数；（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数． 【难度】★★【答案】（1）1140∠=︒，240∠=︒；（2）15︒．【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角， 所以12180∠+∠=︒（邻补角的意义）． 因为13220∠=∠+︒ （已知）， 所以4220180∠+︒=︒（等量代换）， 所以240∠=︒，1140∠=︒（等式性质）；（2）设这个角为x ，则根据题意可得：180(90)215x x -=-⨯+︒，解得：15x =︒， 即这个角的度数为15︒．【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．【例10】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数． 【难度】★★ 【答案】22︒，32︒．【解析】因为直线AB 、CD 相交于点O （已知）， 所以AOC BOD ∠=∠54=︒（对顶角相等）．设1x ∠=，则210x ∠=+， 故1054x x ++=︒， 解得：22x =︒， 所以1032x +=︒， 即122∠=o ，232∠=o ． 【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．【例11】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，（1） 求∠COE 的度数；（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．ACBDO 21【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）略．【解析】（1）因为180AOF BOF ∠+∠=︒（邻补角的意义） 又3AOF BOF ∠=∠（已知） 所以4180BOF ∠=︒（等量代换） 所以45BOF ∠=︒（等式性质）因为直线AB 、EF 相交于点O （已知） 所以BOF AOE ∠=∠（对顶角相等） 因为90AOC ∠=︒（已知）所以9045COE BOF ∠=︒-∠=︒（等式性质） （2）因为90AOC ∠=︒，45COE ∠=︒（已知） 所以45AOE ∠=︒（等式性质） 所以AOE COE ∠=∠（等量代换） 因为BOF AOE ∠=∠（对顶角相等） 所以45AOE BOF ∠=∠=︒（等量代换） 同理45DOF ∠=︒所以OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线（角平分线的意义）【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析题目中的条件．【例12】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共顶点的两个角是对顶角B ． 对顶角一定相等C ． 有一条公共边的两个角是邻补角D ． 互补的两个角一定是邻补角 【难度】★AC BDOE【答案】B【解析】A 错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；B 正确；C 错误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线；D 错误，互补的两个角不一定是邻补角． 【总结】考察邻补角和对顶角的概念．【例13】 把下图中对顶角分别写出来． 【难度】★【答案】AOB ∠和COD ∠，BOC ∠和AOD ∠． 【解析】考察对顶角的定义．【例14】 （1）如果以点O 为端点画四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，且OA 、OC ， OB 、OD 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COD 互为_________；（2）如果以点O 为端点画三条射线OA 、OB 、OC ，且射线OA 、OC 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COB 互为_________． 【难度】★【答案】对顶角，邻补角．【解析】考察对顶角和邻补角的定义．【例15】 如图，共有对顶角（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．8对【难度】★ 【答案】D【解析】CJA ∠和KJG ∠，CJK ∠和AJG ∠，BIJ ∠和EIF ∠，BIE ∠和JIG ∠，CGB ∠和FGD ∠， CGF ∠和BGD ∠，CHF ∠和EHD ∠，CHE ∠和FHD ∠均互为对顶角． 【总结】本题主要考察对顶角的概念．ABC DOAB CDEFG HJIK【例16】 下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的， （4）错误，不是对顶角也可以相等．【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等．【例17】 a 、b 、c 两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数． 【难度】★★ 【答案】40︒，120︒．【解析】因为12∠=∠（对顶角相等），160∠=︒（已知） 所以260∠=︒（等量代换）因为2:43:2∠∠=（已知）， 所以440∠=︒（等式性质） 因为34∠=∠（对顶角相等）， 所以340∠=︒（等量代换）因为25180∠+∠=︒（邻补角的意义）， 所以5120∠=︒（等式性质） 【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用．【例18】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________； （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________； （3）若∠2-∠1=100°，则∠3=__________． 【难度】★★【答案】45︒，144︒，40︒．【解析】（1）因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义）， 又231∠=∠（已知） 所以41180∠=︒（等量代换）， 所以145∠=︒（等式性质）； （2）因为23180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2：∠3=4：1（已知）43521abc321A BCO所以设24x ∠=，3x ∠=， 则4180x x +=︒（等量代换）， 解得：36x =︒，4144x =︒（等式性质）， 即2144∠=o ；（3） 因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2-∠1=100°（已知）所以2140∠=︒，140∠=︒（等式性质）， 所以340∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算，设未知数列式计算等．【例19】 a 、b 、c 交于点O ，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数 【难度】★★ 【答案】36︒．【解析】设12x ∠=∠=，则38x ∠=， 故8180x x x ++=︒， 解得：18x =︒（等式性质）， 所以1218∠=∠=o ． 所以436∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用．【例20】 已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2：∠1=4:1，求∠AOF 的度数． 【难度】★★★ 【答案】135︒．【解析】因为OE 平分∠BOD （已知） 所以1DOE ∠=∠（角平分线的意义） 设1x ∠=，则DOE x ∠=，24x ∠=，因为4180x x x ++=︒（平角的意义）， 所以30x =︒（等式性质） 即30DOE ∠=o ， 所以150COE ∠=︒（邻补角的意义）．因为OF 平分∠COE （已知）， 所以COF EOF ∠=∠（角平分线的意义）所以COF EOF ∠=∠12COE =∠75=︒（等式性质）因为1EOF BOF ∠=∠+∠（角的和差） 所以45BOF ∠=︒（等式性质）因为180AOF BOF ∠+∠=o （邻补角的意义） 所以135AOF ∠=︒（等式性质）【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强，注意认真分析条件．4321ab cO12ABCDEFO【例21】（1）两条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（2）三条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（3）n条直线两两相交，最多会形成多少对对顶角?几对邻补角?（不含平角）【难度】★★★【答案】（1）2对，4对；（2）最多有6对对顶角，12对邻补角，最少有4对对顶角，8 对邻补角；（3）(1)n n-对对顶角，2(1)n n-对邻补角．【解析】考察学生对对顶角和邻补角的内容的理解和掌握．【例22】“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置【难度】★【答案】D【解析】考察对垂直公理的理解及运用．【例23】如图，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=_______．【难度】★【答案】125︒．【解析】OA OB⊥Q（已知）90AOB∴∠=︒（垂线的意义）35AOD∠=︒Q（已知）55BOD∴∠=︒（互余）125BOC∴∠=︒（邻补角的意义）【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用．【例24】下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C．互相垂直的两条线段一定相交A BCD OD ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm 【难度】★★ 【答案】D【解析】A 错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B 错误，垂线段的长度； C 错误，互相垂直的两条直线一定相交； D 正确．【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容．【例25】 列说法正确的个数是 （）① 直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线l 上一点A 和 直线l 外一点B 的直线，使它与直线l 垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做 这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这 点到这条直线的距离. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【难度】★★ 【答案】C【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，故选C ．【总结】考察学生对基本概念的理解．【例26】 如图，点A 到直线BC 的距离是线段_______的长；线段CH 的长表示点C 到直线________的距离； 点A 到点C 的距离是线段_________长． 【难度】★★【答案】AE ，AD ，AC ．【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用．【例27】 如图,AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ，D 为垂足，BC =8，CD =4.8，BD =6.4，AD =3.6，AC = 6，那么点C 到AB 的距离是_______，点A 到BC 的距离是________，点B 到CD 的距离是_____，A 、B 两点的距离是_________． 【难度】★★【答案】4.8，6，6.4，10．ABCD E FHABCDba P【解析】点C 到AB 的距离是线段CD 的长，即4.8；点A 到BC 的距离是线段AC 的长，即6；点B 到CD 的距离是线段BD 的长，即6.4；A 、B 两点的距离是线段AB 的长， 即10．【总结】考察点到直线的距离的内容．【例28】 作图题：过点P 分别画直线a 、b 的垂线，垂足分别为M 、N ． 【难度】★★ 【答案】【解析】考察垂线的画法【例29】 按下列要求画图并填空：（1）过点B 画出直线AC 的垂线，交直线AC 于点D ，那么点B 到直线AC 的距离是线段_________的长．（2）用直尺和圆规作出△ABC 的边AB 的垂直平分线EF ，交边AB 、AC 于点M 、N ，联结CM ．那么线段CM 是△ABC 的___________．（保留作图痕迹） 【难度】★★【答案】（1）BD ；（2）AB 边上的中线【解析】考察垂线的画法．ABCBABCDCNMBA【例30】 一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两个学校；（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．（2）当汽车由A 向B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大? 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）如右图所示，到C 点时对M 影响最大，到D 点时对N 影响最大；（2）由A 向C 时，对两学校影响逐渐增大；由D 向B 时，对两学校影响逐渐减小；由C 向D 时，对M 影响减小，对N 影响增大． 【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用．【习题1】 到一条直线的距离等于2的点有（ ） A ．1个B ．0个C ．无数个D ．无法确定【难度】★ 【答案】C【解析】到直线的距离等于2的点有无数个，这些点组成两条直线． 【总结】考察点到直线的距离．【习题2】 下列说法错误的是（） A ．两点之间，线段最短B ．和已知直线垂直的直线有且只有一条C ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线随堂检测D ．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【难度】★ 【答案】B【解析】B 错误，有无数条．【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解．【习题3】 如图，过△ABC 三个顶点A 、B 、C ，分别作BC 、AC 、AB 的垂线，并用“⊥”符号表示出来． 【难度】★ 【答案】【解析】考察垂线段的作法．【习题4】 下列说法正确的个数有（）（1） 直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短； （2） 画一条直线的垂线可以画无数条；（3） 在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直； （4） 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C ． 【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等．【习题5】 若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________． 【难度】★★ 【答案】54︒或126︒．【解析】∠α和∠β是相等或者互补的关系．AB【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．【习题6】平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m n+=____________．【难度】★★【答案】4．【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3m=，1n=，4m n+=．【总结】考察学生的作图分析能力．【习题7】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OA平分∠COE，当∠COE=70°，求∠BOD 的度数，当∠DOE=110°时，求∠BOD的度数．【难度】★★【答案】35︒，35︒．【解析】因为OA平分COE∠，∠COE=70°（已知）所以1352AOC AOE COE∠=∠=∠=︒（角平分线的意义）所以35BOD AOC∠=∠=︒（对顶角相等）同理，35BOD∠=︒【总结】考察学生对邻补角和对顶角知识点的掌握和简单应用．【习题8】已知AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，问：A、B、C三点共线吗?为什么?【难度】★★【答案】共线．【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解．【习题9】如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=12∠EOC，∠DOE=70°，求∠EOC的度数．【难度】★★★【答案】80︒．【解析】因为OD平分∠AOB（已知）所以AOD BOD∠=∠（角平分线的意义）设BOE x∠=，BOD y∠=，AB CDEFODAEBCO则7023180x y y x +=︒⎧⎨+=︒⎩， 解得：4030x y =︒⎧⎨=︒⎩ ， 所以∠EOC =280x =︒．【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程组的列式和计算等．【习题10】 如图，已知∠AOB ，画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD 与∠AOB 的数量关系，并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】相等或互补 【解析】如图．【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求．【作业1】 下列语句中正确的是（）A ．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B ．互为邻补角的两个角不等C ．两边互为反向延长线的两个角是对顶角D ．交于一点的三条直线形成3对对顶角 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错误，另一边互为反向延长线；B 错误，不一定，有可能相等；D 错误，6对． 【总结】考察邻补角，对顶角的内容．课后作业ABO【作业2】 直线AB 上有一点P 和此直线外的一点Q 的距离为3cm ，则Q 到直线AB 的距离（）A ．等于3cmB ．大于或等于3cmC ．小于或等于3cmD ．都不对【难度】★ 【答案】C【解析】考察点到直线的距离的知识点及其运用．【作业3】 直线AB 与直线CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则图中∠1和∠2的关系是__________． 【难度】★ 【答案】互余．【解析】考察对顶角的性质以及互余的意义及运用．【作业4】 从钝角∠AOB 的顶点O 在∠AOB 内引射线OC 使OC ⊥OA ，若∠AOC ：∠COB =3：1，求∠AOB 的度数． 【难度】★★ 【答案】120︒．【解析】因为OC OA ⊥（已知），所以90AOC ∠=︒（垂线的意义） 因为∠AOC ：∠COB =3：1（已知） 所以30COB ∠=︒（等式性质） 所以120AOB ∠=︒（等式性质）【总结】考查学生画图能力，并且学会分析题目．【作业5】 如图：AO ⊥BC 于点O ，OA 平分∠DOE ，∠COE =64°，求∠AOD 的度数． 【难度】★★ 【答案】26︒．21A BCD EOADEQPPBOABA【解析】因为AO BC ⊥（已知）所以90AOC ∠=︒（垂直的意义） 因为64COE ∠=︒（已知） 所以26AOE ∠=︒（等式性质） 因为OA 平分∠DOE （已知）所以26AOD AOE ∠=∠=︒（角平分线的意义）【总结】考察学生对简单几何题的分析，注意互余，角平分线等概念的理解及运用．【作业6】 作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线； （2） 过点P 作线段AB 的垂线． 【难度】★★ 【答案】如右图．【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注． 【总结】画图一定要写结论．【作业7】 （1）用三角尺画一个30°的∠AOB ，在边OA 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ，量一量OP 的长，你发现点P 到OB 的距离与OP 长的关系吗? （2）若所画的∠AOB 为60°，重复上面的测量，你会发现什么? 【难度】★★【答案】（1）12PQ OP =； （2）12PQ OP ≠，12OQ OP =．【解析】画图，测量，猜想结论．【总结】考察学生的作图能力，并且量出相应的长度，从而得出结论．【作业8】 如图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，OG 平分∠BOF ，且CD ⊥EF ，∠AOE =70°，求∠DOG 的度数． 【难度】★★ 【答案】55︒．【解析】因为BOF AOE ∠=∠（对顶角相等） 又70AOE ∠=︒（已知） 所以70BOF ∠=︒（等量代换） 因为OG 平分∠BOF （已知）所以35FOG BOG ∠=∠=︒（角平分线的意义） 因为CD EF ⊥（已知）所以90EOD FOD ∠=∠=︒（垂线的意义） 所以903555DOG ∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察角平分线，垂线的意义，对顶角的内容等等．【作业9】 如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC =13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线（1） 求∠DOC 的度数；（2） 判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）垂直．【解析】（1）因为180AOC BOC ∠+∠=︒（邻补角的意义）又∠AOC =13∠BOC （已知），所以11803BOC BOC ∠+∠=︒（等量代换），所以135BOC ∠=︒（等式性质）， 所以45AOC ∠=︒（等式性质）因为OC 是∠AOD 的平分线（已知）， 所以45AOC DOC ∠=∠=︒（角平分线的意义） （2）垂直．因为45AOC DOC ∠=∠=︒（已知）， 所以90AOD ∠=︒（等式性质）ACD EGOB所以OD AB ⊥（垂直的意义）．【总结】本题主要考查邻补角的意义及角平分线的意义的理解及运用．【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥EF ，OG 平分∠FOC ，OH 平分∠DOG ，（1）若∠AOC ：∠COG=4:7，求∠DOF 的度数； （2）若∠AOC ：∠DOH=8:29，求∠COH 的度数． 【难度】★★★【答案】（1）110︒；（2）107.5︒． 【解析】（1）因为OG 平分∠FOC （已知）所以COG GOF ∠=∠（角平分线的意义） 因为∠AOC ：∠COG=4:7（已知） 所以设4AOC x ∠=，7COG x ∠=， 因为AB ⊥EF （已知）， 所以90AOF ∠=︒（垂直的意义） 即47790x x x ++=︒， 解得：5x =︒， 所以20AOC ∠=︒，35COG ∠=︒（等式性质） 因为180COF DOF ∠+∠=︒（邻补角的意义） 所以1803535110DOF ∠=︒-︒-︒=︒（等式性质） （2）因为OG 平分∠FOC （已知） 所以COG GOF ∠=∠（角平分线的意义） 因为∠AOC ：∠DOH=8:29（已知）所以设8AOC k ∠=，29DOH k ∠=，COG x ∠=． 因为AB ⊥EF （已知），所以90AOF ∠=︒（垂直的意义）， 即890k x x ++=︒① 因为180DOH GOH COG ∠+∠+∠=︒（平角的意义）， 即2929180k k x ++=︒② 联立①、②，解得：35x =︒，52k =． 所以35GOC ∠=︒，52972.52HOG ∠=⨯=o （等式性质） 因为COH COG GOH ∠=∠+∠（角的和差） 所以3572.5107.5COH ∠=︒+︒=︒（等式性质）【总结】本题综合性较强，主要考查角平分线意义与邻补角意义的综合运用，解题时注意对题目中的条件认真分析．BF【作业11】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数． 【难度】★★★ 【答案】50︒．【解析】因为DOB ∠是它的余角的2倍所以设DOB x ∠=， 则2(90)x x =-， 解得：60x =︒ 因为AOC BOD ∠=∠（对顶角相等）， 所以60AOC ∠=︒（等量代换）设DOF y ∠=，则由2AOE DOF ∠=∠，得2AOE y ∠=，因为DOF EOC ∠=∠（对顶角相等）， 所以EOC y ∠=， 即360y =︒． 解得：20y =︒， 所以40AOE ∠=︒（等式性质）因为OG OA ⊥（已知）， 所以90AOG ∠=︒（垂直的意义） 所以50EOG ∠=︒（等式性质）【总结】主要考察学生对基本知识点的掌握，以及对题目的分析，包括垂线的意义，对顶角的意义，设未知数解方程等等．。