对顶角、邻补角和垂直-教师版

【例1】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________； ∠BOD =_________；∠BOC =______________． 【难度】★

【答案】145︒，145︒，35︒．

【解析】AOD ∠和AOC ∠互为邻补角，

BOD ∠和AOD ∠，BOC ∠和BOD ∠互为邻补角． 【总结】考察邻补角的定义．

【例2】 经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交

点． 【难度】★ 【答案】1，1．

【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义 ．

【例3】 如图，∠BOF 的邻补角是（

）．

A ．∠AOE

B ．∠AOF 和∠BOE

C ．∠AOB

D ．∠BO

E 和∠DO

F 【难度】★ 【答案】B

【解析】考察邻补角的意义．

【例4】 把下图中邻补角分别写出来． 【难度】★

【答案】AFE ∠和BFE ∠，BOD ∠和AOD ∠，BOD ∠和 BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和BOC ∠． 【解析】考察邻补角的意义

【例5】 已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4． 【难度】★ 【答案】<．

A

B

C D

O

A

B

C

E

F

D

O

E

F

A

B

C

D O

【解析】1+3=90

∠∠︒

Q（互余的意义），2+4=180

∠∠︒（互补的意义），

又1=2

∠∠

Q（已知），9031804

∴︒-∠=︒-∠（等式性质）．

4390

∴∠-∠=︒（等式性质），34

∴∠<∠．

【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．

【例6】已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．【难度】★

【答案】706090

︒︒︒

，，．

【解析】设AOC x

∠=，则40

AOD x

∠=+︒，40

x x

++180

=︒（邻补角的意义），解得：70

x=︒，所以40110

x+︒=︒，所以70

BOD

∠=︒（邻补角的意义）；

设AOC x

∠=，则2180

x x

+=︒解得：60

x=︒，

所以2120

x=︒，所以60

BOD

∠=︒（邻补角的意义）；

设AOC x

∠=，则2180

x=︒，解得：90

x=︒，所以90

BOD

∠=︒．

【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．

【例7】如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．

【难度】★★

【答案】90︒．

【解析】因为OD平分BOC

∠，OE平分AOC

∠（已知）

所以BOD COD

∠=∠，COE AOE

∠=∠（角平分线的意义）

因为180

BOD COD EOC AOE

∠+∠+∠+∠=︒（平角的意义）

所以22180

EOC COD

∠+∠=︒（等量代换）

所以90

EOC COD

∠+∠=︒（等式性质）

即90

DOE

∠=︒

【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．

【例8】如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，

∠AOD=5

4

∠BOC，求∠BOC的度数．

【难度】★★A

C

D E

O

D

C

【答案】80︒． 【解析】因为∠AOD =

54∠BOC ， 所以设BOC x ∠=，则5

4

AOD x ∠=． 因为360AOB AOD COD BOC ∠+∠+∠+∠=o （周角的意义）

又∠AOB =90°，∠COD =90°（已知）

所以5

1804x x +=︒（等式性质） 解得：80x =︒， 即80BOC ∠=o ．

【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．

【例9】 （1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度 数；

（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数． 【难度】★★

【答案】（1）1140∠=︒，240∠=︒；（2）15︒．

【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角， 所以12180∠+∠=︒（邻补角的意义）． 因为13220∠=∠+︒ （已知）， 所以4220180∠+︒=︒（等量代换）， 所以240∠=︒，1140∠=︒（等式性质）；

（2）设这个角为x ，则根据题意可得：180(90)215x x -=-⨯+︒，

解得：15x =︒， 即这个角的度数为15︒．

【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．

【例10】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，

求∠1、∠2的度数． 【难度】★★ 【答案】22︒，32︒．

【解析】因为直线AB 、CD 相交于点O （已知）， 所以AOC BOD ∠=∠54=︒（对顶角相等）．

设1x ∠=，则210x ∠=+， 故1054x x ++=︒， 解得：22x =︒， 所以1032x +=︒， 即122∠=o ，232∠=o ． 【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．

【例11】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，

（1） 求∠COE 的度数；

（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．

A

C

B

D

O 2

1