第二节单纯形法(简化)
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第2章 单纯形法
T
1 0 为基矩阵 B = (α3 α4 ) = 0 1
为基变量， 则 x 3 , x 4 为基变量，x 1 , x 2 为非基变量
令非基变量 x1 = x2 = 0 ，则可以得到一基本 可行解为： 可行解为：
X 0 = (0 , 0 , 100 , 120 )
T
下面的计算都是以它为初始点逐次施行转 初始基本可行解 换，故将其称为初始基本可行解。 故将其称为初始基本可行解。
1 1 x 2 + x 3 − x 4 = 20 2 4 1 3 x1 − x 3 + x 4 = 20 4 8
3 z = 180 + x 2 − x 4 2 20 − 1 x + 1 x − 3 x = 180 + 3 4 4 2 4 2 1 5 = 200 − x 3 − x 4 2 4
3 z = 180 + x 2 − x 4 2
的系数仍为正 非基变量 x2 的系数仍为正数，由最大检 验数规则， 进基变量。 验数规则，则确定 x2 为进基变量。再按 最小比值规则， 离基变量。 最小比值规则，确定 x3 为离基变量。 主方程中所含的基变量就是离基变量 离基变量。 主方程中所含的基变量就是离基变量。
100 120
加工时间 （小时） 小时）
单位利润 百元） （百元）
解：该问题的LP模型为 该问题的LP模型为 LP
max z = 6 x1 + 4 x2 2 x1 + 3 x2 ≤ 100 s.t. 4 x1 + 2 x2 ≤ 120 x , x ≥ 0 1 2
将该问题的LP模型化为标准形 将该问题的LP模型化为标准形 LP
分析
第二章 单纯形法
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
最小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
第二章 单纯形法
运筹学
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
15
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单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
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（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
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单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
《最优化方法》第二讲-单纯形法
C A
CN N
CN B-1N
0 b
0 b
0 B-1b
8
所以约束方程 AX=b 就可以表示为:
AX
(B
N )
XB XN
BX B
NX N
b
得： X B B1b B1NX N
若令所有非基变量
XN = 0,
则基变量
X B B1b
由此可得初始的基本可行解
X
min j j 0, m 1 j n mk
则选取对应的xm+k为换入变量，
由于σm+k<0
且为最小，
因此当xm+k由零增至正值，
xm
1
可使目标函数值
z
CB B1b
(
m1 ,
m2
,,
n
)
xm2
最大限度的减小。
1 2
0
4
-1 2
1
3
22
C (5, 2, 3,1, 1)
1 3
2 2 1 0 8
4 1 0 1 7
1
2
5 2
11 30
1 2
0
4
-1 2
1
3
可得改进的基本可行解。
1 0
B
( P3 P5
)
0
1
，基变量
x3, x5 ,
AX
b
(B
N )
XB XN
第三章3 单纯形法2
第二节 单纯形法
那么纯收入就为 140-240=- （相当于检验数小于零） 140 元， 纯收入就为 140-240=-100 相当于检验数小于零） 那么 ， 说明炒股无利可图。 还有人们常说的炒股打了个平手 没有赚也没有 （ 说明炒股无利可图。 ，实际上已经亏了 亏） 实际上已经亏了 240 元。因为这笔钱不去炒股的话存在银行里 ， 元的收入， 240=还可以有 240 元的收入，所以纯收入为 0-240=-240 元。 上面分析过，既然生产产品甲还有利可图， 上面分析过，既然生产产品甲还有利可图，那么就要把 x1 转化 为基变量， 将有一个被换出成为非基变量。 为基变量，原来是基变量的 x3、x4 将有一个被换出成为非基变量。 min{15/3，6/（3/5）}=5， 将被换出。 因为 min{15/3，6/（3/5）}=5，可知 x4 将被换出。通过行线性
第二节 单纯形法
这时的实际情况是没有生产任何产品，所以每一种产 这时的实际情况是没有生产任何产品， 品的机会费用都为零（关于机会费用的详细说明参考课 品的机会费用都为零（ 本 23 页的内容） 检验数 Cj-Zj=利润-机会成本，它的值 的内容） ，检验数 ， 利润-机会成本， 就是这种生产条件下生产第 j 种产品可能得到的纯利润， 种产品可能得到的纯利润， 从中可以看出，生产丙产品可能获得的最大的利润（因 从中可以看出，生产丙产品可能获得的最大的利润（ 为 max{4，1，5}=5 ） 所以作为一个生产决策者首先应 max{4， ，所以作为一个生产决策者首先应 ， 当想到生产丙产品。 当想到生产丙产品。
第二节 单纯形法
5 3 1 0 -1/3 0 1/3 -1/3 1 1 -1/5 2/5 1 x2 -1/3 1 11/3 -8/3 5 x3 0 1 5 0 0 x4 1/3 -1/5 1/3 -1/3 0 x5 -1/3 2/5 2/3 -2/3
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
最优化方法第二讲单纯形法
最优化方法第二讲单纯形法在运筹学中，最优化问题是指在一组约束条件下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量值。
而最优化方法是解决这类问题的一种有效手段。
单纯形法是最优化方法中的一种重要算法，它是由乔治·丹齐格于1947年提出的，用于求解线性规划问题。
单纯形法的基本思想是通过逐步移动到目标函数最优解的方法来解空间。
它通过对线性规划问题进行逐步转换和简化，从而将复杂问题简化为简单问题的序列，从而找到最优解。
单纯形法的步骤如下：1.制定线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为标准形式：将所有约束条件都转化为等式形式。
3.初始化：选择一组基本可行解作为初始解，并计算初始目标函数值。
如果所有的目标函数系数都是非负的，则找到了初始基本可行解。
4.迭代过程：根据当前基本可行解，计算对应的单纯形表。
5.判断最优性：如果单纯形表没有负值，则当前基本可行解是最优解；否则，找到表中最小的负值所在的列，作为入基变量。
6.选出基变量：根据入基列，选出出基行。
7.更新单纯形表：通过行变换和列变换更新单纯形表。
8.重复迭代：如果目标函数在迭代过程中得到改善，则继续迭代；否则，停止迭代，当前基本可行解即为最优解。
9.输出最优解：输出最优解的决策变量值。
单纯形法作为最优化问题的常用方法，具有以下优点：1.简单易实现：单纯形法的算法步骤简单明了，可以利用计算机编程实现。
2.可靠性高：经过数十年的实践与应用，单纯形法已被广泛接受与使用，并且在许多实际问题中取得了良好的结果。
3.理论基础深厚：单纯形法是基于矩阵运算和线性代数理论的，具有坚实的理论基础。
然而，由于单纯形法存在着多个局限性，使得它在一些问题中的效率和实用性有所受限。
1.算法复杂度高：单纯形法的迭代过程需要进行大量的行变换和列变换，当问题规模较大时，计算量会非常庞大，运算时间会大大增加。
2.进入和离开基变量选择问题：单纯形法需要选择进入和离开基变量，而一次迭代只能选择一个基变量，这会导致算法的迭代次数较多。
运筹学单纯形法
问题：本例的A中一共有几个基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？
——Cm个。 n
（3）基本解与基本可行解
当A中的基B取定后，不妨B设表示中的前m列，则可记
A=（B N）,相应地 X= (XB XN)T
约束中的 AX=B
可表示为
B
N
XB XN
b,
即 BB X NN X b
①将目标函数转化为求极大型，即得
②对第一个约束添加松弛变量x4≥0，得 ③对第二个约束减去剩余变量x5≥0，得 ④对自由变量x3，令
原规划化为标准型：
练习3： minZ=x1+2x2-3x3
x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1≤0，x2≥0， x3无约束
解：本例中A， 12
2 1
1 0
10，A中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向P量3 , P为4 ,基变量为 x 3 ,
x
，X
4
B1
x3 ; x4
1
B 2
2
21,
其相应的基向量P为 , P
1
2
,
基变量为x , 1
x
2
,
X
B2
x1 。 x2
k
j
j
k
令 l m i i ni
(B 1b)
i
(B 1P)
ki
(B 1P) ki
0 对应 P l出 的 基
称作检验比。 i
以例1为例，可按上述单纯形法的步骤求出其最 优解，其大致的过程如下。
单纯形法图解法及原理
X= X(1) +(1- ) X(2) (0< <1)
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
则称X为 D的顶点。
31
定理1：LP问题的可行解域一定是凸集。
引理1：线性规划问题的可行解X为基可 行解的充分必要条件是：X的非 零分量(>=0)所对应的系数矩阵
A的列向量是线性无关。？
32
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性 规划问题可行域（凸集）的顶点。
10 20
30 40
x1
11
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
= 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
2.2目标规划的单纯形法
例2-1
某电视机厂生产46厘米和51厘米两种电视机，平均生产 能力1台/小时，工厂的正常生产能力是每日两班、每周 80小时。根据市场预测，下周的最大销售量是46厘米70 台，51厘米35台。已知每出售一台46厘米的可获利250 元，51厘米的可获利150元，试决定最优生产计划。经 理按重要程度确定以下目标：
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0
x4 x7 x4 x7 0
2 x5 x1 x2 0 x6 x7 0
模型求解（LINGO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其他为0；6门课程，总学分21.
x8 x5 0
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开.
min Y 1Z 2W 0.7Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
x1 d 2 300
目标规划单纯形法的步骤：
（1）建立初始单纯形表，其中负偏差变量 起松弛变量的作用，作为基变量； （2）求检验数，检验数行是4X7矩阵； （3）换入变量：最大的正的检验数对应的 为换入变量，从下往上逐级寻找，若全部 非正，则最优； （4）换出变量：主列正数除右项，选择比 值小的换出； （5）经过行变换得新解，重复以上步骤。
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
min Z xi
i 1
9
max W 5x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9
第二章单纯形法
6 s.t.
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
单纯形法
min z=－6x1－4x2
x3 =100－2x1－3x2
+x4 =120－4x1－2x2
令 有 则有：
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X（1）=（0，0，100，120）T为对应于基B1的基可行解。
问：
X（1）是否最优呢？——否
因为： x1和x2在目标函数中的系数为正，当x1↑，z ；x2↑，z 。
现假定a中存在一可行基b且b为单位阵这样axb可以描述成如下形式也就是用非基变量表示基变量12向量形式假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数可求得相应的目标函数值其中分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量
单纯形法
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
问： X（2）是否最优呢？——否 因为： x2在目标函数中的系数为正，当x2↑，z 。
6
（3）寻找可行基B3，使其对应的基可行解X（3）能使目标函数值增加。
选：
x2>0
min z=－180－x2＋（3/2）x4
则有：
X（3）=（x1，x2，x3，0）T
x1 = 30－（1/2）x2－（1/4）x4 x3 = 40－ 2 x2 +（1/2）x4
– 解：化为标准型 min z=－6x1－4x2+0x3+0x4 2x1 + 3x2 + x3 =100 4x1 + 2x2 +x4 =120 x1、x2，x3，x4 ≥0
C
CBT
CNT
CB XB b X1 X2 ··· Xm X m+1 Xm+2 ··· Xn θ
C1 X1 b1
C2 X2 b2
第2章 单纯形法
2. 转换方法——换基运算
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
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例1.8：填出表中空白：
C X B b
0 x 360 0 x 200 0 x 300
0
x 3
84
7
x 1
20
12 x 24 2
xx x x x
1
2
3
4
5
9 41 4 50 3 10 0
7 12 0
00 10 01
00
0
1 -3.12 1.16
0
10
0 0.4 - 0.2
01
0 - 0.12 0.16
Maxz/ CX
因为，求一个函数 的极小点，等价于求该 函数的负函数的极大点。
f (x)
x*
f (x)
注意： Min型化为Max型求解后，最优解不变，但最优值差负号。
2) 不等式约束化为等式约束
分析：以例1.1中煤的约束为例
9x 4x 360
1
2
之所以“不等”是因为左右两边有一个差额，称为“松
例1.9： C X B b 填表： 0 x 360
0 x 200 0 x 300
0
x 3
84
7
x 1
20
12 x 24 2
xx x x x
1
2
3
4
5
9 4 100
4 5 010
3 [10] 0 0 1
7 12 0 0 0
00 10 01
1 -3.12 1.16 0 0.4 - 0.2
0 - 0.12 0.16
,x
3
,x
4
5
0
问题：标准模型的A中是否含I？ ——松弛变量系数恰好构成I。
C X B b
0 x 360 0 x 200 0 x 300
7 12 0 0 0
xx x x x
1
2
3
4
5
9 4 100
90
4 5 010
40
3 [10] 0 0 1
30
7 12 0 0 0
9
其中检验数 c C
1
1
B
1
p 1
是 停止
4. 计算下一张单纯形表
（1）确定本表的进基、出基变量和主元
•选本表正检验数中最大者，其相应的变量xk 进基；
•计算 B b1 与xk 的系数列之比（记 ，称检验比）,选 中最 小者相应的变量xl 出基（注意：当xk 的系数列中有 零或负值时，相应 不算）；
• xk 列与xl 行的交叉元即主元。
0 0 0 -1.36 - 0.52
问题：如果空白的不是基变量列怎么办呢？
事实上，
3. 表上每一列的含义：B (b , A) (B b , B P , , B P )
4. 每张表上B-1的位置在哪？——对应于初表中I 的位置。
因此，若已知初表和任意表的B-1，则可用矩阵与 向量法的乘法计算得到任意表中的空白列。
C X B b
xxxx
1
2
3
4
0
x 3
15
3 5 10
5
0 x 10 4
[ 5] 2
01
2
2.5 1 0 0
0
x 3
9
2.5 x 1
2
0
19 5
1
-
3 5
1
2 5
0
1 5
0 0 0 - 0.5
X (2, 0, 9, 0)
z 5
例1.7：用单纯形法求解例1.1 Maxz 7x1 12x2
9x1 4x2 360
第二节 单纯形法
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947 年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B.Dantzig） 提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世， 但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率。
单纯形法是一种迭代的算法（设计在单纯形表上实
现），它的思想是在可行域的角点（称为基本可行解） 中寻优。
练习：写出下列线性规划的标准型和初始单纯形表，并 检验该表是否最优。
Maxz 2.5x 1 x 2
3x 1 5x 2 15 s .t .5x 1 2x 2 10
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , 将模型化为标准型：
3
4
Maxz 2.5x 1 x 2
3x 1 5x 2 x
s.t
.34xx11
5x2 10 x
200 2 300
x1, x2 0
解：增加松弛变量 x , x , x , 将模型化为标准型：
3
4
5
Maxz 7x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10 x
2
x
200
4
x 300 5
x
1, x
2, x
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , x , 则约束化为
3
4
5
9x 1 4x 2 x 3
360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10x
2
x 4 200 x 5 300
x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
Maxz 7x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10x
2
x 4 200 x 5 300
x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 0
C X B b
0 x 360 0 x 200 0 x 300
7 12 0 0 0
xx x x x
2.建立初始单纯形表
前提：模型
Maxz CX
s.t.
AX X
0
b
的系数阵A中含I
（单位阵）。否则用人工变量法。
初始单纯形表的结构
约束右端项
B b
与A中的I 相应
b 的变量（称基
变量）名
CX
C
变量的价格系数
X
全体变量名
A
约束系数阵
基变量X 的 B
价格系数
例1.5：列出例1.1标准模型的初始单纯形表
••
•
确定一个初始角点
检验这个角点是否最优
否
寻找一个更好的角点
是 停止
一、单纯形法的步骤
1.将模型化为标准型
Maxz CX
s.t. XAX
0
b
其中，A 的秩为m（m n）,b 0。
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1) Min型化为Max型
加负号
Minz CX
练习：用单纯形法求解下面的线性规划
Mins -x 1 2x 2
x 1 - x 2 -2 s .t .x 1 2x 2 6
x 1, x 2 0
解：增加松弛变量 x , x , 将模型化为标准型：
3
4
Maxz x 1 2x 2
- x 1 x 2 x
2
s .t .x 1 2x 2
3
1
2
3
4
5
9 4 100
4 5 010
3 10 0 0 1
3. 检验该单纯形表是否最优
C
B b
X
CXb
A
检验数：每个变量的检验数等于该变量的 价格系数减去 C 与该变量的系数列之积。
B
法则：如果全体检验数均非正，则本表为最优，相
应的最优解
X*
B1b 0
；否则转4。
例1.6：检验例1.1的初始单纯形表是否最优
30
7 12 0 0 0
7.8 0
[2.5] 0
0.3 1
3.4 0
0
0
1
0
0
1
00
1 0 - 0.4 30.8 0 1 - 0.5 20 0 0 0.1 100
0 0 -1.2
1 -3.12 1.16
0 0.4 - 0.2
0 - 0.12 0.16 0 -1.36 - 0.52
X * (20,24,84, 0,0) , z 428. （请解释其实际意义）
C X B b
0 x 360 0 x 200 0 x 300
7 12 0 0 0
xx x x x
1
2
3
4
5
9 4 100
4 5 010
3 10 0 0 1
7 12 0 0 0
9
检验数1
c1
CB B1
p1
7
(0
0
0)
4
7;
相应于x1 的系数列
3
练习：计算x2的检验数。
由于检验数中有正的，故本表不是最优。
弛量”，若在左边加上这个松弛量，则化为等式。而这
个松弛量也是变量，记为X3 ，则有
9x 4x x 360
1
2
3
X3称为松弛变量。问题：它的实际意义是什么？
—— 煤资源的“剩余”。
练习：请将例1.1的约束化为标准型
9x 1 4x 2 360
s
.t
.34xx
1 1
5x 2 10x
200 2 300
x 6 4
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0
1 -2 0 0
C X B b
xxxx
1
2
3
4
0
x 3
2
-1 1 1 0
0