高一数学人教版必修一 第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b

=+=++=++复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二 复合函数解析式

1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨

⎧=+=3

42b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3

212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．

2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．

例2 已知221

)1(x x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x

x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2

-=∴x x f )2(≥x ．

3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配

凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．

x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．

4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．

则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64

，

点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．

把⎩⎨⎧-='--='y

y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672

---=x x y ， ∴67)(2

---=x x x g ．

5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方

程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f ． 解 x x

f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成

x 1，得：x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x

x x f 32

3)(--=．

6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”

的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f ． 解

对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ． 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f ．

7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭

加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=，，，

将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，

2)1(321)(+=

+++=∴n n n n f ， +∈+=∴N x x x x f ,2

1

21)(2． 三 复合函数定义域问题 (1)、已知

的定义域，求

的定义域

思路：设函数的定义域为D ，即

，所以的作用范围为D ，又f 对

作

用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得

，E 为

的定义域。

例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数

的定义域为（0，1）即

，所以的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以

解得，故函数

的定义域为（1，e ） 例2. 若函数

，则函数

的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由，知

即f 的作用范围为

，又f 对f(x)作用

所以，即中x 应满足

即，解得

故函数的定义域为

（2）、已知

的定义域，求的定义域

思路：设

的定义域为D ，即

，由此得，所以f 的作用范围为E ，

又f 对x 作用，作用范围不变，所以

为

的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数

的定义域为_________。 解析：

的定义域为

，即

，由此得

所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以