《连续小波变换》PPT课件
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可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
（2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
（4）品质因素 Q
0
不随尺度变化而变化。
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义
将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
WT f (a, ) f (t), a, (t)
1 f (t) (t )dt
aR
a
其中：
a,
(t)
|
a
1
|2
(t
a
),
b
R,
a
R
{0}
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 一样，也是一种变换，WT f (a, ) 为小波变换 系数。
也可见其与傅立叶变换的区别。
即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 （2）对称性。它在图像处理中可以有效的 避免移相。
（3） (t)和(t) 的消失矩阵数。这对于压缩 非常有用。
（4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。
具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
t2
(t) Ce 2 cos(5x)
C是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和
信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，
2
)
N
P(sin2
2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t
)
(1
t
2
)e
t2 2
2
() 2 2e 2
4.Morlet小波
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中Leabharlann Baidu为t0，则相应可求出连续小波
a, (t)
1 (t )
aa
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
a,
()
a
1 2
e
j
(a)
其频域窗口中心为： a, 窗口宽度为： 1
1 a
0
a
信号在频域窗内：[
1 a
0
1 2a
,
1 a
0
1 2a
]
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩 面，积如，果则我：们称△ta,t· △aω, 为 a窗 口t a1函 数 的窗口
逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存
在着逆变换。
容许条件：
C
| () |2
R
| |
d
逆变换公式：f (t) 1
C
da 0 a2
WTf (a, ) a, (t)d
1
C
da 0 a2
WT
f
(a,
)
1 (t )d
信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
优点：
将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
且n值越 t p高 (越t)d好t 。0, p 1 ~ n,且n值越大越好。
即：
2.连续小波变换的性质
（1）线性 （2）时移共变性 （3）时标定理。
性质
（4）微分运算 （5）能量守恒 （6）冗余度
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 （1） (t)、 ()、(t)、() 的支撑长度，
常用的小波
1.Haar小波。
(t)
1,0 t 0,1其, 12他 t
1 2
1
2.Daubechies（dbN）小波
N 1
令P( y) C N 1k yk，其中，C N 1k为二项式的系数，
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2
(c
os2
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
定量分析-时域
aa
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。
（2）在实际应用中，对基本小 (波t) 的要求往 往不局限于满足容许条件()，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 出较好的局域性|WT能f (。a,为) | 了在频域上有较好 的局域性，要求 (t) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0，
第二章 连续小波变换
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数
小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。
小波的可容许条件：
^
C
| () |2 R | |
小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧 支集或近似紧支集。
（二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
（2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
（4）品质因素 Q
0
不随尺度变化而变化。
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义
将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
WT f (a, ) f (t), a, (t)
1 f (t) (t )dt
aR
a
其中：
a,
(t)
|
a
1
|2
(t
a
),
b
R,
a
R
{0}
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 一样，也是一种变换，WT f (a, ) 为小波变换 系数。
也可见其与傅立叶变换的区别。
即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 （2）对称性。它在图像处理中可以有效的 避免移相。
（3） (t)和(t) 的消失矩阵数。这对于压缩 非常有用。
（4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。
具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
t2
(t) Ce 2 cos(5x)
C是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和
信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，
2
)
N
P(sin2
2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t
)
(1
t
2
)e
t2 2
2
() 2 2e 2
4.Morlet小波
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中Leabharlann Baidu为t0，则相应可求出连续小波
a, (t)
1 (t )
aa
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
a,
()
a
1 2
e
j
(a)
其频域窗口中心为： a, 窗口宽度为： 1
1 a
0
a
信号在频域窗内：[
1 a
0
1 2a
,
1 a
0
1 2a
]
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩 面，积如，果则我：们称△ta,t· △aω, 为 a窗 口t a1函 数 的窗口
逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存
在着逆变换。
容许条件：
C
| () |2
R
| |
d
逆变换公式：f (t) 1
C
da 0 a2
WTf (a, ) a, (t)d
1
C
da 0 a2
WT
f
(a,
)
1 (t )d
信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
优点：
将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
且n值越 t p高 (越t)d好t 。0, p 1 ~ n,且n值越大越好。
即：
2.连续小波变换的性质
（1）线性 （2）时移共变性 （3）时标定理。
性质
（4）微分运算 （5）能量守恒 （6）冗余度
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 （1） (t)、 ()、(t)、() 的支撑长度，
常用的小波
1.Haar小波。
(t)
1,0 t 0,1其, 12他 t
1 2
1
2.Daubechies（dbN）小波
N 1
令P( y) C N 1k yk，其中，C N 1k为二项式的系数，
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2
(c
os2
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
定量分析-时域
aa
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。
（2）在实际应用中，对基本小 (波t) 的要求往 往不局限于满足容许条件()，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 出较好的局域性|WT能f (。a,为) | 了在频域上有较好 的局域性，要求 (t) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0，
第二章 连续小波变换
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数
小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。
小波的可容许条件：
^
C
| () |2 R | |
小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧 支集或近似紧支集。
（二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。