高等代数习题-二次型

则得
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、 如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解 ： 当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个 正， r − 1 个 正， M 2 1 0 个 正， 个 正， 个 正， 0 1 个 负 个 负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
ì x1 = (w1+ w2 + iw3 )/2, ï ï ï ï í x2 = ( w1- w2 + i w3 ) / 2, ï ï ï ï î x3 = w1,
由于 A 的任意 k 级顺序主子式所对应的矩阵 Ak ( k > 1) 与 A 同类型,
1 | Ak |= ( k + 1) > 0 , 2
k
由定理知, 原二次型为正定二次型. ;
例 9、 判别
å xi + å xi xi+1 二次型是否正定:
n 2 i =1 i=1
n-1
解 ：二次型的矩阵为
解 ：二次型的矩阵为
６
é1 t 5ù ê ú A = êê t 4 3úú . ê 5 3 1ú ë û 由定理知, 当 A 的所有顺序主子式都大于零时, 即 1 t 5 1 t 2 1> 0, = 4 -t > 0, t 4 3 =-t 2 + 30t -105 > 0 t 4 5 3 1
时, 原二次型为正定的, 联立得
５
1 1 2 1 1 O 2 . A= O O O 1 O 1 2 1 1 2
A 的 k 级顺序主子式为
1 1 2 | Ak |=
1 2 1 O O 1 2 1 1 = 2
k
2 1
1 2 O O O O 2 1 1 2 O
ì ï 4 - t 2 > 0, ï í 2 ï ï î-t + 30t -105 > 0. 但此不等式组无解, 即不存在 t 值, 使原二次型为正定的. 例 11、 证明: 如果 A 是正定矩阵, 那么 A 的主子式全大于零, 所谓主子式就 是行指标与列指标相同的子式.
证：
设正定矩阵 A = ( aij )n ×n , 它的任意一个 m 阶主子式为 ak1 k1 | A(m ) |= M L ak1km M ,
a11x12 + 2a12 x1x2 + 2a13 x1x3 + L + 2a1n x1xn
2 2 + a22 x2 + 2a23 x2 x3 + L + 2a2n x2 xn + L + ann xn = 0.
这说明 X ' AX 为多元零多项式, 故有
３
a11 = a22 = L = ann = 0 , 即有
O O O 1 1 2
2
1 = 0 0 2 0
k
k
1 3 0 2
0
0
0 0 0
0 0 0 k +1 k
1 0 4 1 3 0 0
0
0
1 = ( k + 1) > 0 , 2
由定理知, 原二次型为正定二次型
2 2 例 10、 t 取什么值时, x12 + 4x2 + x3 + 2t x 1 x2 +10 x 1 x3 + 6 x2 x3 二次型是正定的
由式(4)得替换矩阵
(4)
é1 ê 1 ê2 ê ê1 T =ê -1 ê2 ê0 0 ê ê ë
1ù ú 2ú ú 1ú ú, 2ú 1 úú ú û
１
é1 ê ê2 ê 验算: T ' AT = ê 1 ê ê1 ê ëê 2
é1 ù ê 1 0 ú é 0 -2 1 ù ê 2 úê 2 ú êê 1 úê - 1 0 ú ê -2 0 1 úú ê úê ê2 ú ë 1 1 0 úû ê 1 1ú ê0 úû 2 ê ë
例 14、 设 A 为一个 n 级实对称矩阵, 且 | A |< 0 , 证明: 必存在实 n 维向量 X ≠ 0 ,
使 X ' AX < 0 . 证 ： 因| A |< 0 , | A |≠ 0 , 故 R( A ) = n ; 又 A 非正定, 故必存在非退化线性替 换 X = C −1Y , 使
第九章
二次型
例 1. (I) 用非退化线性替换化 -4 x1x2 +2 x1x3 + 2x2 x3 二次型为标准型, 并利用矩阵
验算所得结果；(II) 把上述二次型进一步化为规范型, 分实系数、复系数两种情 形; 并写出所作的非退化线性替换。 解： (I) 用配方法. 令
ì x1 = y1 + y2 , ï ï ï ï í x2 = y1 - y 2 , ï ï ï ï î x3 = y3 ,
2 f = w12 + w22 + w3 .
则复二次型的规范型为
例 2. 证明:
él1 ê ê ê ê ê ê ë
l2
ù ú ú ú ú O ú l n úû
与
éli1 ê ê ê ê ê ê êë
li2
ù ú ú ú ú O ú ú lin úû
合同, 其中 i1i2 L in 是 1,2,L , n 的一个排列.
a12
L a1k
当 t 充分大时 , 它为主对角占优的行列式 , 由第三章补充题 10 之 2), 可得 Vk ( t ) > 0 , 从而 tE + A 是正定的.
例 13、 证明: 如果 A 是正定矩阵, 那么 A−1 也是正定矩阵.
证： 因 A 是正定矩阵, 故 X ' AX 为正定二次型. 作线性替换 X = A−1Y , 由 第四章习题 24 知, A−1 也是对称矩阵, 得 ( A−1 ) ' = A−1 , 故 X ' AX = Y '( A−1) ' AA− 1Y = Y ' A−1Y , 从而 Y ' A−1Y 为正定二次型, 故 A−1 为正定矩阵.
则
2 2 原式 =-4 y12 + 4 y22 + 4 y1y3 = -4 y12 + 4 y1 y3 - y2 3 + y3 + 4 y2
(1)
= -(2 y1 - y3 ) 2 + y32 + 4y22 ;
(2)
再令
ì z1 = 2 y1 - y3 , ï ï ï ï í z2 = y2 , ï ï ï ï î z3 = y3 ,
ak mk1 L akmk m 然后, 作两个二次型 X ' AX 和 Y ' A( m)Y . 对任意 Y0 = (bk1 ,L , bkm ) ≠ 0 ,有 X 0 = (c1 ,L, cn ) ≠ 0 , 其中
b , 当i = k1 , k2 ,L , k m时， ci = i 0, 其它．
证 ：
L a1n t + a11 a12 a t + a22 L a2n 21 , tE + A = M M M an2 L t + ann an1 它的 k 级顺序主子式为
７
t + a11 Vk (t ) = a21 M ak 1
t + a22 L a2 k , M M ak 2 L t + akk
r −2 个 负 r −1 个 负 r 个 负
共计 r + 1 个类. 但秩 r 又可分别取 n, n − 1, L,2,1,0 , 故共有 1 + 2 + 3 + L + n
= ( n + 1)( n + 2) 个类. 2
2 例 6、 判别 99x12 - 12 x1 x2 + 48x1 x3 + 130 x2 2 -60 x2 x3 + 71x3 二次型是否正定:
由于 aij + a ji = 0 , 故
X ' AX = ∑ ( aij + a ji ) xi x j = 0 .
i≠ j
充分性.
设对任给 X , 有 X ' AX = 0 , 即
a11x12 + (a12 + a21 ) x1 x2 + L + ( a1n + an1 ) x1xn
2 2 + a22 x2 + (a 23 + a32 ) x2 x3 + L + ann xn =0.
２
证明 : 设两个矩阵分别为 A, B , 与它们相应的二次型分别为
2 f A = l1x12 + l2 x22 L ln xn ,
2 2 f B = li1 y 12 + li2 y 2 Llin yn .
作非退化的线性替换 :
yt = xit
(t = 1,2,L , n) ,
则 f B 化成 f A , 故 A 与 B 合同.
解
二次型的矩阵为
é 99 -6 24ù ê ú A = êê6 130 - 30úú . ê 24 -30 71úû ë
因为
99 > 0 ,
99 -6 > 0 , | A| > 0 , -6 130
故由定理知, 原二次型为正定二次型.
４
2 2 例 7、 判别10 x12 + 8x1 x2 + 24 x1 x3 + 2 x2 − 28 x2 x3 + x3 二次型是否正定:
' ' 由于 X ' AX 正定, 知 X 0 AX 0 > 0 , 从而 X 0 AX 0 = Y 0' A( m )Y 0 > 0 . 由 Y0 的任意性, 即
证得 Y ' A( m)Y 是正定二次型, 故 | A( m) |> 0 .
例 12、 设 A 是实对称矩阵, 证明: 当实数 t 充分大之后, tE + A 是正定矩阵.
这说明原式是多元零多项式, 故有 a11 = a22 = L = ann = 0 , 所以
A' = − A.
aij = − a ji ,
例 4、 如果 A 是一个 n 级对称矩阵, 且对任一个 n 维向量 X , 有 X ' AX = 0 , 那么
A =0 .
证明 :由于 A 是对称的, 且 X ' AX = 0 , 即
2 2 2 2 X ' AX = Y ' (C −1) ' AC −1Y = y12 + y2 + L + y2 p − yP+1 − y P+ 2 − L − y n .
即在规范式中必含带负号的平方项, 故可在 CX = Y , 即
c11 x1 + c12 x2 + L + c1n xn = y1, c21 x1 + c22 x2 + L + c2n xn = y2 , M c p1 x1 + c p 2 x2 + L + c pn xn = y p , c x + c x +L + c p +1,n x n = y p +1 , p+1,1 1 p+1,2 2 M c x + c x +L + c x = y n1 1 n2 2 nn n n
例 3、 .设 A 是一个 n 级矩阵, 证明 : A 是反对称矩阵当且仅当对任一 n 维向量 X ,
有 X ' AX = 0 ; 证明 : 必要性. 因为 A = − A ' , 即 aii = 0 , 所以
i, j i≠ j
aij = − a ji ,
X ' AX = ∑ aijx ix j = ∑ ( aij + a ji ) xi x j .
解
：二次型的矩阵为
4 12 10 A= 4 2 −14 . 1 12 −14
因为 由定理知, 原二次型非正定.
| A |< 0 ,
例 8、 判别
åx
n i=1
2 i
+
1£i <j £n
å
xi x j 二次型是否正定:
解
：
二次型的矩阵为
1 1 2 A = 1 2 M 1 2 1 L 2 1 1 L 2 1 1 L 2 M M 1 1 L 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 M 1