高等代数习题-二次型

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理学高等代数

101 又 1 3 1 12 0,
420
1 0 1 0
1
2 4
3 1 2
1 2 0
0 1 0
可逆.
令 (0,0,1,0)
则 1,2 ,4 , 线性无关，从而为P4的一组基.
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证明： C R2
证：证维数相等. 首先，x C, x 可表成 x a1 bi, a,b R 其次，若 a1+ bi= 0, 则 a= b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dimC 2. 又， dim R2 2
所以， dimC dim R2. 故， V1 V2 .
三．线性变换
▪ 线性变换
➢ 定义 ➢ 线性变换的矩阵
▪ 相似矩阵 ▪ 特征值、特征向量
哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理
▪ 可对角化
➢ 定义
定理设为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则可对角化有 n个线性无关的特征向量.
▪ 选择题 ▪ 填空题 ▪ 小计算题 ▪ 大计算题 ▪ 证明题
题型
主要内容
一．二次型二．线性空间三．线性变换
四． -矩阵
五．欧几里得空间
一．二次型
▪ 合同变换化标准形
定理：数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.
▪ 正惯性指数、负惯性指数、符号差 ▪ 实二次型、复二次型的合同的等价条件
实对称矩阵A、B合同秩( A) 秩(B) 且二次型 X ' AX与X ' BX的正惯性
,
2 0 0
则
C
'
AC
0 0
2 0
0 6
,
作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形

高等代数二次型习题精解

第八章二次型习题精解1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-2）23322221214422x x x x x x x ++++ 3）32312122216223x x x x x x x x -+--4）423243418228x x x x x x x x +++ 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++ 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++解 1）已知()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= ()222333142y y y y ++--= 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++ 由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2322212x x x x +++=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f += 且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T（3）已知()32312122213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=由配方法可得()()()23322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-= ()()23223212x x x x x +---=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=3332232112xy x x y x x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f -= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1002121023211T 且有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='00001000110021210232110313311111212302121001AT T （4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=443322411y x y x y x y y x则()4232432441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=232132142481212181212128y y y y y y y y32232128121218y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3223212432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4432332211z y z z y z z y z y则()2321243214321434528385218,,,⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z z z z z z z x x x x f232222z z -+ 再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++===++=43214332232118385214345z z z z w z w z w x x z w则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 242322218222w w w w +-+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=+--=4143233224321121434521w w x w w x w w x w w w w x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1021011001101434521T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='8000020000200002AT T （5）已知()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4433222112y x y x y x y y x则()4321,,,x x x x f 4342413231222122222y y y y y y y y y y y y y ++++++=()2124243243214321y y y y y y y y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+++==44433432121121y z y y z y y y y z y z 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-==4443343212112121zy zz y z z z z y z y则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 2423222143z z z z --+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-=--+=444334321243211212121z x z z x z z z z x z z z z x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1000211002111121111T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='4300010000100001AT T（6）已知()4321,,,x x x x f 4131212422212442x x x x x x x x x +++++=434232222x x x x x x +++ 由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]243243212122222x x x x x x x x ++++++=()43423224222432222222x x x x x x x x x x x +++++++-()()243243224321212123222x x x x x x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++=于是可令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=44433432243211212322x y x x y x x x y x x x x y 则原二次型的标准形为232221212y y y f +-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=44433432243211232y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10001100123101121T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='00000210000200001AT T （7）已知()4321,,,x x x x f 43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++=由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]24433123131222222x x x x x x x x x x x ++-++++= ()()2324432331232122x x x x x x x x x x -+++-++= ()()2121233124323212x x x x x x x x x x +---++++=()()()231243232121x x x x x x x x +-+++++=于是可令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=++==314433321211x x y x x y x x x y x y则原二次型的标准形为24222221y y y y f -++= 且非退化线性替换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=-==431441342211y y y x y y x y y x y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1101100110100001T且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1000010000100001AT T（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

二次型习题答案

第五章二次型习题答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章二次型本章课后习题全解习题（P232-P234）1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++；（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换．解（Ⅰ）1）设()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 并配方，得到()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= 2221332(2)4y y y y =--++，再作非退化线性替换11322332,,.z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即 113223311,22,.y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩于是，原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，并且，所经过的非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩写成矩阵形式即为=X CY ，其中1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭C ．根据矩阵验算，得11111022********1111010110402211110001001122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭C AC ．2）设123(,,)f x x x =23322221214422x x x x x x x ++++．解法1 配方法．对原二次型进行配方，得()222222123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=+++，于是，令11222333,2,,y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y =+，且所作的非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 相应的替换矩阵为112012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C ，验算，得100110112100110122012010221024001000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪'=--= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C AC ．解法2 矩阵的合同变换法（见本章教材内容全解之标准形的求法）．对⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭A E 施行初等变换，得110100100122012010024024000100110112010010012001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=→→= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C Λ．则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y '==+Y Y Λ，所作的非退化线性替换为=X CY ，即1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 矩阵验证同解法１．（Ⅱ）1）根据（Ⅰ）已求得二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，且非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩①在实数域上，再作非退化线性替换132231,1,2,z w z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有1123212331111,222111,222,x w w w x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =+-． ②在复数域上，再作非退化线性替换112233,1,2,z iw z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有112321233311,22211,222,i x w w w i x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =++． 2）根据（Ⅰ）已求得二次型()321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++=的标准形为 ()2212312,,f x x x y y =+，且非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 此时，该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形()2212312,,f x x x y y =+．『特别提醒』这个题目使用了化二次型为标准形的两种常用的方法：配方法和矩阵合同变换法．3．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21 与 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 合同，其中12n i i i 是1,2,,n 的一个排列．证法１设两个关于12,,,n x x x 和12,,,n y y y 的n 元二次型如下：222121122(,,,)n n nf x x x x x x λλλ=+++，122221212(,,,)n n i i i ng y y y y y y λλλ=+++．那么12(,,,)n f x x x 和12(,,,)n g y y y 的矩阵即为题目中的两个矩阵．构造非退化的线性替换1212,,,n i i ni y x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 则这个线性替换可以将二次型12(,,,)n g y y y 可化成12(,,,)n f x x x ．由于经过一次非退化的线性替换，新旧的两个二次型的矩阵是合同的，故题目中的两个矩阵是合同的．证法２设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 与 12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵(,)(,)i j i j '=P P 和(,)i j P ，而(,)(,)i j i j 'P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s Q Q Q ，使得2112ss '''=Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =Q Q Q Q ，则有'=Q AQ B ，即A 与B 合同．『方法技巧』证法１利用经过非退化线性替换前后两个二次型的矩阵是合同的这一性质；证法２利用了矩阵的合同变换，直接进行了证明． 7．判断下列二次型是否正定：1）2332223121217160130481299x x x x x x x x x +-++-； 2）23322231212128224810x x x x x x x x x +-+++； 3）jnj i ini i xx x ∑∑≤<≤=+112；『解题提示』利于教材中的定理7进行判别，即利用二次型的矩阵的顺序主子式进行判别．解 1）该二次型的矩阵为99624613030243071-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于顺序主子式1990P =>， 29960,6130P -=>- 37558740P ==>A ，故原二次型为正定二次型．2）该二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于A 的行列式1041242143588012141=-=-<-A ，故原二次型非正定．3）设二次型的矩阵为1111a a a a a a a a a a aa ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中12a =．由于A 的任意k 阶顺序主子式k P 所对应的矩阵k A 与A 为同类型的对称矩阵，且11[(1)1](1)(1)02kk k k P k a a k -⎛⎫==-+-=+> ⎪⎝⎭A ，1,2,,k n =，故原二次型为正定二次型．8．t 取什么值时，下列二次型是正定的：1）3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++； 2）32312123222161024x x x x x tx x x x +++++．解 1）该二次型的矩阵为1112125t t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22111tP t t ==-，()311||1245125t P t t t -===-+-A ．当顺序主子式全大于零，即210,(45)0t t t ⎧->⎨-+>⎩ 时，原二次型是正定的．解上面不等式组，可得054<<-t ．于是，当054<<-t 时，原二次型是正定的．2）该二次型的矩阵为1543531t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22144tP t t ==-，23154330105531t P t t t ===-+-A ，当顺序主子式全大于零，即2240,301050t t t ⎧->⎪⎨-+->⎪⎩ 时，原二次型是正定的．但此不等式组无解，于是，不存在t 值使原二次型为正定．『方法技巧』对于具体的二次型，利用其矩阵的顺序主子式判别二次型是否正定是比较常用的．10．设A 是实对称矩阵，证明：当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵．证明设A 是一个n 级实对称矩阵，12(),(),,()n P t P t P t 是t +E A 的全部顺序主子式．显然t +E A 也是一个实对称矩阵，且其顺序主子式12(),(),,()n P t P t P t 都是首项系数为１的实系数多项式．由实函数的理论可知，存在充分大的M ，使得当t M >时，12(),(),,()n P t P t P t 全大于零．于是，当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵．11．证明：如果A 是正定矩阵，那么1-A 也是正定矩阵．证法1 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故'X AX 是正定二次型，作非退化线性替换Y A X 1-=，得到11111()()()-----''''===X AX A Y A A Y Y A AA Y Y A Y ，根据非退化线性替换不改变二次型的正定性，所以1-'Y A Y 为正定二次型，从而1-A 是正定矩阵．证法2 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故A 与单位矩阵E 是合同的，即存在可逆矩阵C ，使得''==A C EC C C ，从而11111111()()()(())()--------''''''====A C C C C C C C E C ，即A 也与单位矩阵E 是合同的．于是1-A 也是正定矩阵．『方法技巧』证法１利用了正定二次型与正定矩阵的对应，以及非退化线性替换不改变矩阵的正定性；证法２根据正定矩阵的等价条件直接进行了证明．13．如果,A B 都是n 级正定矩阵，证明：+A B 也是正定矩阵．证明因为,A B 为正定矩阵，故,A B 都是n 级实对称矩阵，从而+A B 也是n 级实对称矩阵．设12(,,,)n x x x '=X 是任意一个非零列向量，根据,A B 是正定的可知()0'''+=+>X A B X X AX X BX ，故+A B 也是正定矩阵．『方法技巧』对正定矩阵和正定二次型的定义的考查．。

高等代数二次型单元测验答案

（ A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 四、证明题（40 分） 1、设 A , B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0，则 r(A) r(B) n .
设 B 的列向量组为 B1, B2 ,, Bn ，则 AB A(B1, B2,, Bn ) ( AB1, AB2,, ABn ) 0 故有 AB1 AB2 ABn 0 , 即方程组 AX 0有 n 组解 B1, B2,, Bn . 若 r( A) r ，则 B1, B2,, Bn 可由 AX 0的基础解系线性表出，于是 r(B) n r .因此 r( A) r(B) r (n r) n 2、设 A 是一个实矩阵，证明： r(AT A) r(A) .
从而 AX T AX 0 ,又因为 AX 是一个 n 维实列向量, 推出 AX 0
即证 AX 0 与 AT AX 0 同解，故 r AT A r A
3、设 A , B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A1 ， A B 都是正定矩阵 (1) 因为 A 正定,存在可逆矩阵 C , 使得 A CT C , 从而 A1 (CTC)1 C1(CT )1 C1(C1)T , 推出 A1 正定 (2) 任取 X 0 , X T (A B)X X T AX X T BX 0 , 推出 A B 是正定矩阵.
0 6 3 6 6 0 0 2 1 2 2 0
1 2

0
1
0 0
2 2 3

4 2 2 1 2 2

第4章二次型练习题

1 2 （标准形 f 2 y12 y 2 ；规范形 f = z12 + z22 2
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ，（1）用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换的矩阵 C ；（2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。（规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ，求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ；（2）写出二次型的规范性；（3）写出二次型的负惯性指数及符号差。（

高等代数第5章二次型 5.4 恒正二次型

4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 K 1) A(1,2,L ,k) M O
ak1 L
a1k M

Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11 K a1k 2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
其中，c j

cis , 0,
当 j is , s 1, 2,L ,k 当 j is , s 1, 2,L , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 ,L ,cik ) f (0,L ,0,ci1 ,0,L ,ci2 ,0,L ,cik ,0,L ,0)

1
0,
P3 A 0.
f 正定.
n
2) f ( x1, x2,K , xn ) xi2
xi x j
i 1
1i jn
（习题7）

1
1
1 L
2
1
2 1

解： f ( x1, x2 ,K , xn )的矩阵
A

2 L 1
1
L 1
L L L
2 L
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为
z12 z22 L zn2 .

高等代数之二次型习题

当t充分大时，k (t) 为严格主对角占优的行列式，且
t aii aij , (i 1,2, , n), ji
k (t ) 0(k 1,2, , n), 从而tE A正定的.
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0, 证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0. 证: 假设任意实n维向量X，有 X' AX 0,
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于 1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A', r( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D (D为对角阵)
又因为 C',C 1,(C 1 )' (C' )1均为可逆矩阵，
所以有C' AC D1 D2 Dr
0
d1
D1
A A',则 X ' AX ( X ' AX )' X '( A)X X ' AX 即X ' AX 0
充分性取 X i (0, ,1, ,0) 取 X i j(i j)
i A i aii 0
X AX aii aij a ji a jj 0
从而 aij a ji (i j).
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从而A的所有主子式大于或等于0，故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.
.
s
2.设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) (ai1 x1 ai2 x2 ain xn )2 i 1
证明：f ( x1, x2, , xn ) 的秩等于矩阵
则可经线性替换X=CY，二次型化为 f ( x1 , x2 , , xn ) ky12 其中 y1 a1 x1 a2 x2 an xn

二次型基础练习及参考答案

二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：，，，，，，，，， . 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔ ⇔ .二. 判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使T C AC B =，则A 与B 合同. （）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7、若实二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四. 证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使0=+P P A T .2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明1-A 也是正定矩阵.第五章二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，秩为 2，正惯性指数为 1 ，标准形为22212112x x -，规范形为2221x x -. 二次型的矩阵必须是对称矩阵.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵.设A 是对称矩阵, A 与B 合同, 则AC C B T =, 其中C 是可逆矩阵, 于是AC C C A C AC C B T T T T T T ===)(, 所以B 也是对称矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由它的秩所唯一确定.因为复二次型的规范形为22221r y y y +++ , 其中r 是二次型的秩. 4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ >0，i=1,2,…,n.该二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21, 二次型正定的充要条件是其矩阵的顺序主子式都大于零, 于是有0,0211>>d d d , 得0,03212>>d d d d 又, 得03>d ,…, 依次下去得所有n i d i ,...,2,1,0=>.反之,若n i d i ,...,2,1,0=>,则对于任意的nn Rc c c ∈),...,,(21,0),...,,(222221121>+++=n n n c d c d c d c c c f , 所以二次型正定.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：0 ， E ， -E ， E 11，-E 11 , E 11+E 22 , -(E 11+E 22) , E 11-E 22 ，E 11+E 22-E 33， E 11-E 22+E 33 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔|A|的顺序主子式均大于零⇔ 对任意的n n R c c c ∈),...,,(21, 0),...,,(21>n c c c f .二. 判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同. （ F ）应该是存在可逆矩阵.2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）当A 是奇数阶矩阵时, 结论成立.4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ T ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零. 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ）非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）这是因为1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑= -1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑, 所以它们的秩相等, 正负惯性指数互为相反数.三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 写出该二次型的秩, 正惯性指数和符号差. 这是一个什么二次型(正定,负定,不定)解法1：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100431043114900040001434310001001103034000110001000103033101123231212r r c c r r c c E A . 经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +- 解法2. (配方法) 22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---=23232221322222149)43(4)(64)(x x x x x x x x x x ++--=--- 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=3332221143x y x x y x x y , 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232114343y x y y x y y y x , 则二次型化为标准形:222221231212231239(,,)32644f x x x x x x x x x y y y =---=-+. 该二次型的秩为3, 正惯性指数是2, 符号差为1. 这是一个不定二次型.四. 证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.证明：因为A 是负定矩阵，所以-A 是正定矩阵, 于是存在可逆矩阵Q 使得Q T (-A)Q=-E, 则A= --(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.证明: 由于A, B 都是正定矩阵, 所以AX X X f T =)(, BX X X g T =)(都是正定二次型, 所以对任意的n T n R c c c ∈=),...,,(21α,0)(,0)(>=>=ααααααB g A f TT0)(>+=+ααααααB A B A T T T , 所以A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明*A 和1-A 也是正定矩阵.证明: 因为A A A A A T T ==-1, 所以A 与1-A 合同, 由A 正定, 得1-A 正定.对于*A , 因为1*||1-=A A A , 由A 正定得|A|>0, 所以0||1>A . 再由1-A 正定得1-A 的所以顺序主子式均大于零, 而*A 的k 阶顺序主子式等于kA ||1乘以1-A 的一个相应的k 阶顺序主子式, 所以*A 的所有k 阶顺序主子式大于零. *A 正定.。

线性代数二次型习题及答案

第六章二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵．显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ，于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵．再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵．方法二记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零．由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵．证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ．即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵，正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ，再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ，原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值．在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零．由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ，故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =．证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．方法二必要性同方法一，以下证明充分性．由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=，于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零．证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数．证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。

高等代数_二次型的考研真题

而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差（或是正负惯性指数相同）Th11.8 结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自正特征根，负特征根的个数是相等的（或是秩相等，正特征根个数相等）。
结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自正特征根，负特征根的个数是相等的。
1 2 3、练习：与在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ；；； 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 4 0 1 1 1 0 0 ,B 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 讨论A，B的相似和合同关系
1 1 3、A 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 练习：与在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ；；； 1 2 1 2 1 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
考研真题 1、f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的秩为2 (1)求c及其二次型矩阵的特征值 (2) f 1表示何种二次曲面。 2、设A为m阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵，证明 BT AB为正定阵 RankB n
阶实对称阵正定的特征值全大于2981016对于阶实对称矩阵有正交矩阵使得的特征根而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差或是正负惯性指数相同th118结论
n 阶实对称阵 A正定 A的特征值全大于0.
由P298 Th10.16，对于n阶实对称矩阵A, 有正交矩阵T , 使得 1 1 . T 1 AT T T AT n 1 , , n为A的特征根

高等代数_李海龙_习题第9章二次型

第九章二次型9.1 二次型与对称矩阵1．证明：一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．证明：设A 为n 阶非奇异的对称矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P ，使'P AP B =，其中10,0,1,2,,0i n b B b i nb ⎛⎫ ⎪=≠= ⎪ ⎪⎝⎭，故11(')P A P B ----=，从而1111()()''''B P A P B BB B B P AP ----===，111111111111(')'(')()()''[()''()]'[()'']A P P APP P B P A P B P P B P A P B P ------------===所以，A 与1A -合同．2．对下列每一矩阵A ，分别求一可逆矩阵P ,使'P AP 是对角形式： (i)121211113A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭； (ii) 0111101111011110A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；(iii)1111142112411111A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭；解：用矩阵的合同变换法或二次型的配方法可得，(i)11231013001P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； (ii) 111122111122100120001P ⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭；(iii)1112010100010010P --⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭．3．写出二次型3311||iji j i j x x==-∑∑的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．解：此二次型的矩阵为012101210A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭作合同变换012100,101,010210001A I ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11120021100,1222004001⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭,B P →所以，令11122233311121122001x y y x P y y x y y ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭得原二次型3311||iji j i j x x==-∑∑＝2231231242y y y --．4．令A 是数域F 上一个n 阶反对称矩阵，即满足条件'A A =-．证明： (i) A 必与如下形式的一个矩阵合同；01010*******⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(ii) 反对称矩阵的秩一定是偶数．(iii) 数域 F 上两个n 阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．证明：(i)用数学归纳法．当n =1时，A =(0)合同于(0)．下面设A 为非零反对称矩阵．当n =２时，1212001010a A a ⎛⎫⎛⎫=→⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故A 与0110⎛⎫⎪-⎝⎭合同．假设n k ≤时结论成立，今考察1n k =+的情况．这时11111111000k k k k k k k k a a A a a a a ++++⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭如果最后一行(列)元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，否则经过行列的同时对换,可设10k k a +≠,最后一行和最后一列都乘以11k k a +,则A 化为 1100110k k a b a b⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭再利用1，－1将最后两行两列的其它非零元素化为零，则A 又化为111100000000010010k k b b --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭由归纳假设知111101010000k k b b --⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭与合同，从而A 合同于矩阵011001100110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭再将最后两行和两列交换到前面去，便知结论对 1k +成立，从而对任意阶数的反对称矩阵结论成立．(ii) 由(i)，A 与一个秩为偶数的矩阵合同，故A 的秩为偶数．(iii) 必要性：合同的两个矩阵的秩相等．充分性：若A ，B 都与(i)中形式的矩阵合同，则A 与B 合同．9.2 复数域和实数域上的二次型1．设S 是复数域上的一个n 阶对称矩阵．证明，存在复数域上的一个矩阵A ，使得'S A A =．证明：设S 的秩为r ，则存在复数域上的一个可逆矩阵P 使0'00rIP SP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而000000000r r r I I I '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令000r I B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又令1A BP -=，则得'S A A =．2．证明：任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：00,2;00,21001v v v vI I n v I n v I ⎛⎫⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭若若证明：设A 为任一n 阶可逆复对称矩阵，则A 合同于n I ．若n 为偶数，令2nv =，则00vn v II I ⎛⎫= ⎪⎝⎭合同于00v v I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以A 合同于00v vI I ⎛⎫ ⎪⎝⎭．若n 为奇数，令12n v -=，则0000001v n v I I I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同于0000001v vI I ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 合同于000001vvI I ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．3．证明：任何一个n 阶可逆实对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一22000000000000v vv vn v n v I I I I I I --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭或证明：设A 合同于00vn v I I -⎛⎫⎪-⎝⎭ 当 212nv n ⎧⎪⎪≤⎨-⎪⎪⎩ 200n v I -⎫⎪⎪⎪-⎝⎭合同于20000vv n v I I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭当212n v n ⎧⎪⎪>⎨-⎪⎪⎩ 令n v r -=，00v n v I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同于200000r r n r I I I -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同于200000vvn v I I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．4．证明：一个实二次型12(,,,)n q x x x 可以分解成两个实系数n 元一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：或者q 的秩等于１，或者q 的秩等于2并且符号差等于０．证明：必要性设1111()()n n n n q a x a x b x b x =++++ ．A ．若上式右边两个一次式系数成比例，即i i b ka =，1,2,,i n = ．不妨设10a ≠，令1112222n nn n y a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩便有21q ky =．故二次型q 的秩为１．B ．若两个一次式系数不成比例．不妨设1212a a b b ≠．令111222112233n nn nn n y a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩便有12g y y =，再令11221233n n y z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩则221212q y y z z ==-．故二次型q 的秩为２，符号差为０．充分性 A.若q 的秩为1，则可经非退化线性替换使21q ky =，其中y 1为12,,,n x x x 一次齐次式，即11122n n y a x a x a x =+++ ．所以21122()n n q k a x a x a x =+++ ．B ．若q 的秩为２，符号差为０，则可经非退化线性替换使22121212()()q y y y y y y =-=+-．其中12,y y 为12,,,n x x x 一次齐次式，即11122n n y a x a x a x =+++ ，21122n n y b x b x b x =+++ ．故q 可以表示成两个一次齐次多项式的乘积．5．令543406453,010332609A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭证明：A 与B 在实数域上合同，并且求一个可逆矩阵P ，使得'P AP B =．证明概要：通过计算可知，存在可逆矩阵S ，T 使得1''10S AS T BT ⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭，所以11()'()ST A ST B --=．求得110301P ST -⎛⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．6．确定实二次型1234212n n x x x x x x -+++ 的秩和符号差．解：作非退化线性替换2121222121,2,,i i ii i i x y y i n x y y ---=+⎧=⎨=-⎩原二次型化为222212212n n y y y y --++- ．所以该二次型的秩为2n ，符号差为0．7．确定实二次型 ayz +bzx +cxy 的秩和符号差．解：若,,a b c 全为零，则秩与符号差都等于0．若,,a b c 不全为零，不妨设0c ≠，作非退化线性替换111110110001x x y y z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式221111111111ax z ay z bx z by z cx cy =++-+-2221111122a b a b ab c x z c y x z c c c +-⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令 212121102012001a b c x x a b y y c z z +⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭原式222222ab cx cy z c =--(1)对,a b 之一不等于0可得与(1)类似的式子．总之，如果,,a b c 不全为零，当0abc =时，秩为2，符号差为0；当0abc >时，秩为3，符号差为1-；当0abc <时，秩为3，符号差为1．8．证明：实二次型11()(1)n niji j ij i j x xn λ==++>∑∑ 的秩和符号差与λ无关．证明：此二次型的矩阵为222312344221222n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ++++⎛⎫ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ 2121100020001000n n λ+---+⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭000100000000000λ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1000010000000000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩与符号差都与λ无关．9.3 正定二次型1．判断下列二次型是不是正定的：(i) 2221231213102344x x x x x x x -+++(ii) 22212312132355484x x x x x x x x x +++--解：(i)不是；(ii)是． 2． λ取什么值时，实二次型22221231223314()222x x x x x x x x x x λ+++--+是正定的？解：由四个主子式大于零得不等式组，解之得，1λ>．3．设A 是一个实对称矩阵，如果以A 为矩阵的实二次型是正定的，那么就说A 是正定的．证明，对于任意实对称矩阵A ，总存在足够大的实数t ，使得tI +A 是正定的．证明概要：任取tI +A 的一个顺序主子式D k (t )，由于D k (t )是关于t 的最高次项系数为1的k 次多项式，从而对充分大的t , D k (t )的符号与最高次项符号一致，从而D k (t )＞0．4．证明：n 阶实对称矩阵A ＝(a ij )是正定的，必要且只要对任意121k i i i n ≤<<<≤ ，k 阶子式1112121222120,1,2,,k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a i na a a >=证明：充分性是显然的．必要性：设A=(a ij )，111212122212k k k k k k i i i i i i i ii i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121k i i i n ≤<<<≤再设12(,,,)'n f x x x X AX = ．因A 是正定的，故对不全为零的数12,,,n x x x ，都有12(,,,)0n f x x x > ，而对不全为零的数12,,,k i i i x x x ，有12(0,,,0,,,,0,,0)0k i i i f x x x > ，但对变量12,,,ki i i x x x 的以A k 为矩阵的二次型12(,,,)k i i i g x x x 来说有1212(,,,)(0,,,0,,,,0,,0)0k k i i i i i i g x x x f x x x =>故g 是正定的，从而A k 正定，即det A k >0．5．设A=(a ij )是一个n 阶正定实对称矩阵．证明：1122det nn A a a a ≤当且仅当A 是对角型矩阵时，等号成立．证明：用数学归纳法证明．当A 为１阶正定实对称矩阵时结论显然成立．假设对n-1阶正定实对称矩阵此结论成立．现在对n (≥2)阶正定实对称矩阵证明结论成立．设'n inn PB A B a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111111111n n n n n a a P a a -----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11n n n a B a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令11101n n I P B F ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1110'0'n nn n P F AF a B P B ---⎛⎫= ⎪-⎝⎭．因为Pn-1正定实对称矩阵，所以11n P --也为正定实对称矩阵，因为11'0n B P B --≥，当且仅当B =0时等号成立．因为'1F F ==，所以111''(')n nn n A F A F F AF P a B P B ---===-，故1n n n A P a -≤，当且仅当0B =时，等号成立．根据归纳假设1112211n n n P a a a ---≤ ，当且仅当1n p -为对角型矩阵时，等号成立．所以1122nn A a a a ≤ 当且仅当A 为对角型矩阵时，等号成立．6．设A=(a ij )是任意n 阶实矩阵．证明：2222121()nj j nj j A a a a =≤+++∏(阿达马不等式)证明：因为(')''A A A A =．当||0A ≠时，11()'(')A A A A I --=，所以'A A 为正定实对称矩阵．21122121****'**n i i ni i nin i a aA A a ===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由上一题得：2222121'()nj j nj j A A A a a a ==≤+++∏ ．当0A =时结论显然成立．9.4 主轴问题1．对于下列每一矩阵A ，求一个正交矩阵U ，使得'U AU 具有对角形式： (i)a b A b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (ii) 211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (iii)5200220000520022A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 解：略．结果为(i)U ⎛= ⎝; (ii)U ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪;(iii)0000000U ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．设A 是一个正定对称矩阵．证明，存在一个正定对称矩阵S 使得2A S =．证明：设A 是一个正定对称矩阵，12,,,n λλλ 为A 得特征根，那么存在正交矩阵U ，使得12'n U AU λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,1,2,,i i n λ>= ．所以12'n A U U λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭''U U U U⎫⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎝令'S U U⎫⎪= ⎪⎝，则S是正定对称矩阵，且2A S=．3．设A是一个n阶可逆实矩阵．证明，存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U，使得A US=．证明：因为A是n阶可逆实矩阵。

《高等代数(二次型与线性空间部分)》

数学系05级《高等代数（二次型与线性空间部分）》试题及答案（2006年3月27日，满分：120分）命题人：胡付高一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα 与向量组12,,,t βββ 都线性无关，则12,,,s ααα ,12,,,t βββ 也线性无关；（×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基；（√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ- ，使得 1121,,,,n αβββ- 作成V 的一组基；（√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=；（×）5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的；（√）6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα 到12,,,n βββ 的过渡矩阵是可逆的；（√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间；（×）8．集合{},0n n W A A P A ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间；（×） 9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；（×）10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤．（√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-．2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =．3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+．5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6．设基12,,,n ααα 到基12,,,n βββ 的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ 到基12,,,n γγγ 的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ 到12,,,n ααα 的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ．8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0． 9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)．10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n nf x x x a x a x a n x =-+-++- 正定的充分必要条件是常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC =2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα 线性表出，但不能由121,,,r ααα- 线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--= ．证明只需证明向量组{}121,,,,r r αααα- 与{}121,,,,r αααβ- 等价：易知{}121,,,,r αααβ- 可由与{}121,,,,r r αααα- 线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα 线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++ ，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα- 线性表出，矛盾），于是 11111r r r r r rk k k k k αααβ--=----+ ，因而{}121,,,,r r αααα- 可由{}121,,,,r αααβ- 线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα- 与{}121,,,,r αααβ- 等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解（1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭由二次型是正定的⇔它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到10λ->，(2)0λλ->，2(3)0λλ->，它等价于3λ>，即二次型是正定的3λ⇔>．（2）当3λ=时，二次型可化为222121323()()()0x x x x x x -+-+-≥，故二次型是半正定的．注对（2）还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2，负正惯性指数为0．六、设A 、B 是两个固定的n 级矩阵，证明：（1）{},n n W X X P AX XB ⨯=∈=是n n P ⨯的一个子空间；（2）当A B =是主对角元两两互异的对角矩阵时，W 是什么样的子空间，并求W 的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）．（共14分）解（1）因为0W ∈，故W φ≠，对,X Y W ∀∈，即AX XB =，AY YB =，得()()A X Y AX AY XB YB X Y B +=+=+=+，于是X Y W +∈，设k P ∈，又由()()()()A kX k AX k XB kX B ===，得到kX W ∈，因此W n n P ⨯的一个子空间；（2）W 是所有n 级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为1122,,,nn E E E ，dim Wn =．七、设1(1,1,3,7)α=-，2(2,1,0,1)α=-，3(1,1,1,1)α=-，4(1,2,1,0)α=（1）分别写出生成子空间12(,)L αα与34(,)L αα的基和维数；（2）求1234(,,,)L αααα的一组基和维数；（3）求1234(,)(,)L L αααα⋂的维数．（共15分）解（1）12,αα为12(,)L αα的一组基，34,αα为34(,)L αα的一组基，它们的维数都为2；（2）由12111211111201033011001471100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，1234(,,,)L αααα的一组基可取为123,,ααα，故它的维数为3；（3）注意到12341234(,)(,)(,,,)L L L αααααααα+=，由维数公式即得1234(,)(,)L L αααα⋂的维数=2231+-=．八、补充题（共15分，本题得分可以计入总分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式作成的线性空间，a P ∈．（1）验证{}1()()0,()[]n V f x f a f x P x ==∈是[]n P x 的一个子空间；（2）求1V 的一组基及维数；（3）记2V P =，则2V 也是数域P 上的一个子空间，试证明：12[]n P x V V =⊕．证明（1）因为10V ∈，所以1V φ≠，设1(),()f x g x V ∈，k P ∈，则()0,()0f a g a ==，且()()[]n f x g x P x +∈，因此()()0f a g a +=，()0kf a =，故1()()f x g x V +∈，1()k f x V ∈，即1V 是[]n P x 的一个子空间；（2）对()[]n f x P x ∀∈，()f x 一定可以表成形式210121()()()()n n f x c c x a c x a c x a --=+-+-++- （*）若1()f x V ∈，则0()0f a c ==，即得21121()()()()n n f x c x a c x a c x a --=-+-++- ，注意到 21(),(),,()n x a x a x a ---- 都属于1V ，且线性无关，它们构成了1V 的一组基，1dim 1V n =-；（3）2V 是一个一维子空间，1为它的一组基，由（*）式即得12[]n P x V V ⊆+，故12[]n P x V V =+，又1212dim()dim []dim dim n V V P x n V V +===+，故12[]n P x V V =⊕．注对（2）式也可以用数学分析中Taylor 公式()1()()()!k n k k f a f x x a n ==-∑得到（*）；对（3）也可以设12()f x V V ∀∈⋂，则210121()1()()()n n f x c c x a c x a c x a --=⋅=-+-++- ，比较两端次数得 0,0,1,2,,1i c i n ==- ，即()0f x =，从而{}120V V ⋂=，即12V V +为直和．。

高等代数二次型单元测验

0 0 0
9
如果实对称矩阵
A 与矩阵
B

0
1
2

合同,则二次型
X T AX 的规范形是__________________________
0 2 1
3
4
0
0
1

10.

2
2
0
0

0 0 1 6

0
0
1
5

共3页第1页
山东理工大学<<高等代数>>二次型单元考试试卷纸
3、设 A , B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A1 ， A B 都是正定矩阵
4、证明：一个实二次型可分解成两个成比例的一次齐次多项式的乘积的充分要条件是它的秩是 1.
共3 页第 3 页
1 1 1
2、设矩阵 A 1 2
0

,
求可逆矩阵
P,
使得
PT AP 成为对角形.
1 0 1
4 2 2
3、已知方阵
A

2
4
2

，并且
2 2 4
AB A 3B ，求 B
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山东理工大学<<高等代数>>二次型单元考试试卷纸
（ A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 四、证明题（40 分） 1、设 A , B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0，则 r(A) r(B) n .

大学高等代数二次型试题

第五章二次型 §1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1)称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij jia a i j=<由于ijj ix xx x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n iji ji j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x ax x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个n n ⨯矩阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭(2) 它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ijji a a i j n== ,所以AA =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n nnn n nn nij iji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x ax x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪'===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AXX x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时jiija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX''== ,且B B A A ='=',,则B A =.定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式0≠ijc,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换CYX =得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =TC A C ．4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.习题6.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211xx y x x y x x y 得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.习题6.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x1122． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ΛΛ设矩阵其中为实数.（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.习题六 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为.4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为.8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =.二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 3. , T T Tn f X AX A A X CY f Y BY ====如果元二次型（其中）可经可逆线性变换化为则下列结论不正确的是（）.(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n (D) A 合同于单位矩阵22212312323123 (,,)(2)(23)(3)( ).() 1 () 1 () 1 ()1f x x x x ax x x x x x ax A a B a C a D a =+-+++++<-≠-≠>6.二次型正定的充要条件是7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ). (A)1 (B) -1 (C) 2 (D)-2 9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.222123123121323123(,,)55266 2.(1);(2)(,,)1f x x x x x cx x x x x x x c f x x x =++-+-=2. 已知二次型的秩为求和二次型矩阵的特征值指出方程表示哪种二次曲面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型. 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换1123212331232221231(22)31 (22)31(22)342,x y y y x y y y x y y y f y y y ⎧=++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩=+-化为了标准形求该二次型。

高等代数习题-二次型汇编

= -(2y1 - y3 )2 + y32 + 4y22 ;
(2)
再令
ìïïïïíïïïïî
z1 z2 z3
= = =
2y1 y2 , y3 ,
-
y3
,
(3)
则得
原式 =-z12 +4z22 + z32 .
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1
８
c11 x1 + c12 x2 +L+ c1n xn = 0,
c21
x1
+ c22 x2
+L+ c2n xn
=
0,
M
c
p1
x1
+ cp 2 x2
+L + cpn xn
= 0,
c
x p+1,1 1
+
cp+1,2 x2
+L + cp +1n,
xn
= 1,
M
cn1x1 + cn2 x2 +L + cnn xn =1.
-6 130
故由定理知, 原二次型为正定二次型.
４
例 7、判别10x12 + 8x1 x2 + 24x1 x3 + 2x22 − 28x2 x3 + x32 二次型是否正定:
解：二次型的矩阵为
10 4 12
A
=
4
2 −14 .
12 −14 1
因为
| A |< 0 ,
由定理知, 原二次型非正定.
这说明 X ' AX 为多元零多项式, 故有

高等代数二次型

宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存
在F上的一个非异矩阵P，使得 PA PB
那么称B与A合同。
矩阵的合同关系的性质：
① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为
由 PA PB可以得出
实二次型的惯性指标.、符号差等概念。
2．掌握实二次型的惯性定律. 三.重点、难点：
实二次型的惯性定律.
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.
9.2.1 复二次型的典范形
定理9. 2. 1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.
同。
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j ,Di(k)和Tij(k)容易看出，
P i j P ij;D i( k ) D i( k )T ; i( k j) T i( k j)
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称矩阵来说，定理成立。设A(aij)是一个n阶矩阵.
1 0
0
0 0 1
3 2
1 2
3
化为
3y12
6y22
8 3
y32.
1
3 2
y1 y2
3 4
y3 y4
0
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例2 分别用配方法和合同变换法化二次型

线性代数二次型练习题及答案

第六章二次型一、填空题1、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 120212021，则相应的二次型为__________。

2、二次型()323121321642,,χχχχχχχχχ+-=f 的矩阵是_________，该二次型的秩是__________ 3、二次型()323121232221321822532,,χχχχχχχχχχχχ+-+++=f 的矩阵为__________。

4、A 、B 均为n 阶方阵，且A 与B 合同，)()(_______R ,4=B =A 则R 。

5、实二次型2322213χχχ+-=f 的秩为_________，正惯性指数为_________，负惯性指数为________，符号差为_________。

6、设()23222121321222,,χχχχχχχχ+++=f ，则二次型矩阵是________，其顺序主子式_________1=A ，_______,2=A ________3=A ，()________,,321是χχχf 二次型。

7、设()3221232221321222,,χχχχχχχχχχt f ++++=，则当t 满足条件_______时，该二次型是正定的。

二、选择题1、如果A 、B 都是正定的n 阶实对称矩阵，则AB 一定是（）（A ）实对称矩阵（B ）正交矩阵（C ）正定矩阵（D ）可逆矩阵2、二次型()233222312121321246,,χχχχχχχχχχχχt f +++++=，当t=（）时，其秩为2。

（A ）0；（B ）2；（C ）87；（D ）1 3、实二次型()322221214321434,,,χχχχχχχχχχ-++=f ，则其正惯性指数=（）（Ａ）１；（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４４、实二次型()AX =T χχχχn f,...,,2,1为正定的充分必要条件是（）（A ）;0>A （B ）负惯性指数为零（C ）存在n 阶矩阵C ，使C C T=A（D ）对任意()0,0,...,,21>AX X ≠=X T T有n χχχ三、计算题1、用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出所用变换X=PY ()4342324131214321222222,,,χχχχχχχχχχχχχχχχ++--+=f2、问λ取何值时下列二次型正定)(31212322212212χχχλχχλχχ++-++=f答案：一、（1）()322123222132144,,χχχχχχχχχχ++++=f（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--032301210；3 （3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112 （4）4；（5）3，2，1，1；（6）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200021011，1，1，2，正定（7）22<t二、（1）D ；（2）C （3）B （4）D三、1、标准形为242322213y y y y +++-，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=P 21210212121021210212121021212、01<<-λ。

高代-二次型

第五章二次型练习与测试题一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为 __ ，正惯性指数为，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同： .二、判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三、计算1．用可逆线性替换将二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．求二次型3231213212),,(x x x x x x x x x f -+=的标准形，并写出所作的非退化线性代换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()n nn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)nnij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数自测题一、填空题(每小题3分,共15分)1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为．2．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为类．3．两个n 元实二次型等价的充分必要条件是． 4．A 正定⇔ ．⇔ ． ⇔ ．5．某四元二次型有标准形24232221432y y y y ++-，则其规范形为．二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分）1．n 元实二次型Ax x x x x f n '21),,,(= 的符号差与秩有相同的奇偶性． 2．n 阶实对称矩阵A 若满足0||>A ，则A 正定． 3．A 为n 阶复对称矩阵，则A 与A -合同．4．设A ，B 分别是n m ,阶正定矩阵，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00也是正定矩阵．三、计算题（每小题15分，共45分）1．用可逆线性替换将二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++=化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出f 的正惯性指数与符号差．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ．矩阵2)(A kI B +=其中k 为实数，I 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3．已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过非退化线性变换化为标准形23222152y y y f ++=，求a 的值及所作的线性变换．四、证明题（每小题10分，共20分）1．A 为实对称矩阵，B 为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T ，使AT T '为对角形，I BT T ='．2．设A 为3级实对称矩阵，且O I A A A =-+-35323，证明A 为正定矩阵．小测验五姓名学号一、填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n nf x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同：，，，，，，，，， .二、判断题2、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使CAC B '=，则A 与B 合同. （）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三、求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四、证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2、实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数。

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则得
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解：当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个正， r − 1 个正， M 2 1 0 个正，个正，个正， 0 1 个负个负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
ì x1 = (w1+ w2 + iw3 )/2, ï ï ï ï í x2 = ( w1- w2 + i w3 ) / 2, ï ï ï ï î x3 = w1,
由于 A 的任意 k 级顺序主子式所对应的矩阵 Ak ( k > 1) 与 A 同类型,
1 | Ak |= ( k + 1) > 0 , 2
k
由定理知, 原二次型为正定二次型. ;
例 9、判别
å xi + å xi xi+1 二次型是否正定:
n 2 i =1 i=1
n-1
解：二次型的矩阵为
解：二次型的矩阵为
６
é1 t 5ù ê ú A = êê t 4 3úú . ê 5 3 1ú ë û 由定理知, 当 A 的所有顺序主子式都大于零时, 即 1 t 5 1 t 2 1> 0, = 4 -t > 0, t 4 3 =-t 2 + 30t -105 > 0 t 4 5 3 1
时, 原二次型为正定的, 联立得
５
1 1 2 1 1 O 2 . A= O O O 1 O 1 2 1 1 2
A 的 k 级顺序主子式为
1 1 2 | Ak |=
1 2 1 O O 1 2 1 1 = 2
k
2 1
1 2 O O O O 2 1 1 2 O
ì ï 4 - t 2 > 0, ï í 2 ï ï î-t + 30t -105 > 0. 但此不等式组无解, 即不存在 t 值, 使原二次型为正定的. 例 11、证明: 如果 A 是正定矩阵, 那么 A 的主子式全大于零, 所谓主子式就是行指标与列指标相同的子式.
证：
设正定矩阵 A = ( aij )n ×n , 它的任意一个 m 阶主子式为 ak1 k1 | A(m ) |= M L ak1km M ,
a11x12 + 2a12 x1x2 + 2a13 x1x3 + L + 2a1n x1xn
2 2 + a22 x2 + 2a23 x2 x3 + L + 2a2n x2 xn + L + ann xn = 0.
这说明 X ' AX 为多元零多项式, 故有
３
a11 = a22 = L = ann = 0 , 即有
O O O 1 1 2
2
1 = 0 0 2 0
k
k
1 3 0 2
0
0
0 0 0
0 0 0 k +1 k
1 0 4 1 3 0 0
0
0
1 = ( k + 1) > 0 , 2
由定理知, 原二次型为正定二次型
2 2 例 10、 t 取什么值时, x12 + 4x2 + x3 + 2t x 1 x2 +10 x 1 x3 + 6 x2 x3 二次型是正定的
由式(4)得替换矩阵
(4)
é1 ê 1 ê2 ê ê1 T =ê -1 ê2 ê0 0 ê ê ë
1ù ú 2ú ú 1ú ú, 2ú 1 úú ú û
１
é1 ê ê2 ê 验算: T ' AT = ê 1 ê ê1 ê ëê 2
é1 ù ê 1 0 ú é 0 -2 1 ù ê 2 úê 2 ú êê 1 úê - 1 0 ú ê -2 0 1 úú ê úê ê2 ú ë 1 1 0 úû ê 1 1ú ê0 úû 2 ê ë
例 14、设 A 为一个 n 级实对称矩阵, 且 | A |< 0 , 证明: 必存在实 n 维向量 X ≠ 0 ,
使 X ' AX < 0 . 证：因| A |< 0 , | A |≠ 0 , 故 R( A ) = n ; 又 A 非正定, 故必存在非退化线性替换 X = C −1Y , 使
第九章
二次型
例 1. (I) 用非退化线性替换化 -4 x1x2 +2 x1x3 + 2x2 x3 二次型为标准型, 并利用矩阵
验算所得结果；(II) 把上述二次型进一步化为规范型, 分实系数、复系数两种情形; 并写出所作的非退化线性替换。解： (I) 用配方法. 令
ì x1 = y1 + y2 , ï ï ï ï í x2 = y1 - y 2 , ï ï ï ï î x3 = y3 ,
2 f = w12 + w22 + w3 .
则复二次型的规范型为
例 2. 证明:
él1 ê ê ê ê ê ê ë
l2
ù ú ú ú ú O ú l n úû
与
éli1 ê ê ê ê ê ê êë
li2
ù ú ú ú ú O ú ú lin úû
合同, 其中 i1i2 L in 是 1,2,L , n 的一个排列.
a12
L a1k
当 t 充分大时 , 它为主对角占优的行列式 , 由第三章补充题 10 之 2), 可得 Vk ( t ) > 0 , 从而 tE + A 是正定的.
例 13、证明: 如果 A 是正定矩阵, 那么 A−1 也是正定矩阵.
证：因 A 是正定矩阵, 故 X ' AX 为正定二次型. 作线性替换 X = A−1Y , 由第四章习题 24 知, A−1 也是对称矩阵, 得 ( A−1 ) ' = A−1 , 故 X ' AX = Y '( A−1) ' AA− 1Y = Y ' A−1Y , 从而 Y ' A−1Y 为正定二次型, 故 A−1 为正定矩阵.
则
2 2 原式 =-4 y12 + 4 y22 + 4 y1y3 = -4 y12 + 4 y1 y3 - y2 3 + y3 + 4 y2
(1)
= -(2 y1 - y3 ) 2 + y32 + 4y22 ;
(2)
再令
ì z1 = 2 y1 - y3 , ï ï ï ï í z2 = y2 , ï ï ï ï î z3 = y3 ,
ak mk1 L akmk m 然后, 作两个二次型 X ' AX 和 Y ' A( m)Y . 对任意 Y0 = (bk1 ,L , bkm ) ≠ 0 ,有 X 0 = (c1 ,L, cn ) ≠ 0 , 其中
b , 当i = k1 , k2 ,L , k m时， ci = i 0, 其它．
证：
L a1n t + a11 a12 a t + a22 L a2n 21 , tE + A = M M M an2 L t + ann an1 它的 k 级顺序主子式为
７
t + a11 Vk (t ) = a21 M ak 1
t + a22 L a2 k , M M ak 2 L t + akk
r −2 个负 r −1 个负 r 个负
共计 r + 1 个类. 但秩 r 又可分别取 n, n − 1, L,2,1,0 , 故共有 1 + 2 + 3 + L + n
= ( n + 1)( n + 2) 个类. 2
2 例 6、判别 99x12 - 12 x1 x2 + 48x1 x3 + 130 x2 2 -60 x2 x3 + 71x3 二次型是否正定:
由于 aij + a ji = 0 , 故
X ' AX = ∑ ( aij + a ji ) xi x j = 0 .
i≠ j
充分性.
设对任给 X , 有 X ' AX = 0 , 即