江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整

2010年江苏省普通高等学校非理科专业

第十届高等数学（本科三级）竞赛题

一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin lim

x x x x

→- = 1

6 2）()

2arctan e tan ,x y x x y '=+=则

()2

4

2e tan sec 1x x x x x

+++ 3） 设由y x

x y =确定(),y y x =d d y x =则

()()()()

2

2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()

2

cos ,n y x y

==则 12cos 22

n n x π-⎛⎫+

⎪⎝

⎭

5） 21e d x

x x x

-=⎰ e x C x -+ 6）设 2,

,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

f 可微，()()123,22,3,23,f f ''

==则

()()

d z

,2,1x y ==7d 8d x y -

7) 设函数 (),F u v 可微，由 (

)2

2

,0F x z y z

++=确定(),,z z x y =则

z z x y ∂∂+=∂∂ 12z

- 8）设

22:2,0,

d D

D x y x y x y +≤≥=则

16

9

二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。

22ln e 2ln ,ax

x

x x ax a x

≤⇔≤⇔≥

解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln x

f x x

= 的最大值。 （2分） 令()()

2

21ln 0x f x x -'=

= 得e,x = （2分）

由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时

()2

e e

f =

所以为其最大值， （2分） 故a 的最小值为 2

e

. （1分）

三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110

d d f x x x f x x =⎰⎰

，

求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0

d 0.f x x ξ

=⎰

证法1：令()()()0d ,x

F x x t f t t =-⎰ （3分）

则()()()()()()11

1

0=0,

11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰

应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分）

()()()()()0

d d ,x x

F x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而

于是 ()()()0

d d 0.F f t t f x x ξξ

ξ'===⎰⎰ （3分）

证法2 ()()()()()0

d ,00,,x

F x f x x F F x f x '===⎰

令则 （3分）

()()()()()111

000

11d d d 0F f x x x F x x x F x F x x

'∴===-⎰⎰⎰

()()()1

1

1d ,d 0,F F x x F x x =-⇒

=⎰⎰ （3分）

应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1

d 10,F x x F F ξξ=-=⎰

于是 ()()0

d 0.F f x x ξ

ξ=

=⎰ （4分）

四、（12分）求广义积分

421

d .1x x +∞

-⎰

22221111

d d 2121x x x x

+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分） 1

11arctan ln

222

41x x x +∞+∞+=

+- （4分） 11

arctan 2ln 3.424

π

=

-- （4分） 五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

()()()()000

0000

1

,ln ,,1

ln ,,0,0e,x x y x y x x x x y x x '-=-∴+=-

-==Q 解设切点为切线方程为用代入可解得

.e

x

y =-于是切线的方程为 （3分）

()e 2

2111e ln d 3V x x ππ=-⎰ （3分）

e 211

e ln 2ln d 13e x x x x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦

⎰ （3分）

()()e 111e e e 2ln 2ld e e 221.133

3e x x x πππππ⎡⎤⎛⎫

=--+=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰（3分）

六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BC

AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

(

) ,08,8,, ,22

BC x AD y x y x y x

AB BE AD AE BE ==<<<--=

⊥===解令则设则

2222233V BE AE BE x BE AE x πππ⎛⎫

=⋅+=+ ⎪⎝⎭

()()()22828282.22312

x y x x y x y y x y ππ⎡⎤--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）

()()()()()()()()2820, 2.3

828228280,12V y x x x V y x y x y x y x y y y ππ

∂=--=⇒=∂∂=-+--+++-+-=⎡⎤⎣

⎦∂

()24,,x y P =⇒=令设2,4 （4分） ()()2222828,20,333

V V A y B x P P P P x x y πππ∂∂==--=-==-=∂∂∂