江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整

2010年江苏省普通高等学校非理科专业第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin limx x x x→- = 16 2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242e tan sec 1x x x x x+++ 3） 设由y xx y =确定(),y y x =d d y x =则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰ e x C x -+ 6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7d 8d x y -7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则z z x y ∂∂+=∂∂ 12z- 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则169二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。

22ln e 2ln ,axxx x ax a x≤⇔≤⇔≥解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln xf x x= 的最大值。

（2分） 令()()221ln 0x f x x -'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分） 故a 的最小值为 2e. （1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分）则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分）()()()()()0d d ,x xF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰ （3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x f x x F F x f x '===⎰令则 （3分）()()()()()11100011d d d 0F f x x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()111d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰ （3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰ （4分）四、（12分）求广义积分421d .1x x +∞-⎰22221111d d 2121x x x x+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分） 111arctan ln22241x x x +∞+∞+=+- （4分） 11arctan 2ln 3.424π=-- （4分） 五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

()()()()00000001,ln ,,1ln ,,0,0e,x x y x y x x x x y x x '-=-∴+=--==Q 解设切点为切线方程为用代入可解得.exy =-于是切线的方程为 （3分）()e 22111e ln d 3V x x ππ=-⎰ （3分）e 211e ln 2ln d 13e x x x x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ （3分）()()e 111e e e 2ln 2ld e e 221.1333e x x x πππππ⎡⎤⎛⎫=--+=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰（3分）六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BCAD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

() ,08,8,, ,22BC x AD y x y x y xAB BE AD AE BE ==<<<--=⊥===解令则设则2222233V BE AE BE x BE AE x πππ⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭()()()22828282.22312x y x x y x y y x y ππ⎡⎤--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）()()()()()()()()2820, 2.3828228280,12V y x x x V y x y x y x y x y y y ππ∂=--=⇒=∂∂=-+--+++-+-=⎡⎤⎣⎦∂()24,,x y P =⇒=令设2,4 （4分） ()()2222828,20,333V V A y B x P P P P x x y πππ∂∂==--=-==-=∂∂∂2222162,0,0,23V C y B AC A P P y πππ∂==-=-∆=-=-<<∂2,4x y V ∴==时,取最大值。

即3,2,4AB BC AD === 为所求的值。

（4分） 注：对V 的表达式应用平均不等式求最大值也对。

七、（12分）求二重积分()22cossin d d ,Dx y x y +⎰⎰其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥1122000d d d d x x y y y x =+⎰⎰解原式 （4分）220cos d sin d x x y y=+⎰⎰ （2分）()()()2222220sin cos cos sin d cos sin sin d x y t t t t t t t ππ===⋅+⋅⎰⎰令2221cos 2cos d 4d .24t t tt πππ+===⎰⎰（分） （2分）2008年江苏省普通高等学校非理科专业第九届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx xπ→∞+=--，则=a ________________；=b ________________. 2、()=+∑=∞→nk n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f Λ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxxx ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________.6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz________________.8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。

三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=badx x f 0.证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a=⎰。

四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3=旋转一周所得立体的体积。

五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。

六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+Ddxdy y x 122。

2006年江苏省普通高等学校非理科专业第八届高等数学（本科三级）竞赛题一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L2.()23001lim 1xt x e dt x-→-=⎰3.)lim0x ax b →+∞+=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D=二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =+在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省普通高等学校非理科专业第七届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题一、 填空题（每小题5分，共40分）4．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22224116141lim n n n n n Λ________________. 2.21arctan lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→________________. 3. 若0→x 时，x x x x 2cos cos sin -与kcx 为等价无穷小，则=c ________________. 4. ()()x x x f -=1ln 4，则4>n 时，()()=0n f ________________.5. 设函数yxz arctan=，则()=-1,1dz ________________. 6.()=-+⎰dx x x x xx x 2sin cos cos sin ________________ .7.()()[]=+-⎰-a axdx x f x f sin ________________.8.设D ：+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ，()⎩⎨⎧≤≤=其他010x x x f 则()()⎰⎰=+Ddxdy y x f y f ________________.二、（10分）设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导；()()()2221,a b dx x f a a f ba -==⎰，求证：在()b a ,内至少存在一点u ，使得()()1'+-=u u f u f 。