工程力学弯曲变形
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形引言梁纯弯曲变形是工程力学中的一个重要概念。
在结构力学和土木工程中，梁是一种常见的结构元素，承受着各种外部荷载。
当外部荷载作用于梁上时，梁会发生变形。
本文将探讨梁在纯弯曲状态下的变形特性和相关的理论基础。
纯弯曲的概念纯弯曲是指梁所受的外部荷载仅产生弯矩作用，而不产生剪力作用。
在梁的纵轴上，上部受拉，下部受压，梁在这种状态下发生弯曲变形。
纯弯曲情况下，梁的截面仅发生弯矩引起的形状变化，并不会发生剪切变形。
纯弯曲对于大跨度的梁和悬臂梁等结构具有重要意义。
纯弯曲变形的理论基础梁纯弯曲变形的理论基础可以通过两种方法进行分析：理论分析和数值分析。
理论分析理论分析方法中，我们可以利用梁的弯矩-曲率关系来分析纯弯曲变形。
弯矩-曲率关系描述了梁截面上的弯矩和截面曲率之间的关系。
根据弯矩-曲率关系，我们可以计算出梁的曲率分布，从而得到梁的变形情况。
此外，利用材料力学中的应力-应变关系，还可以计算出梁截面上的应力分布。
数值分析数值分析方法中，我们可以使用有限元方法来模拟梁的纯弯曲变形。
有限元方法将梁划分为许多小的单元，通过求解弯矩和力的平衡方程，可以得到梁单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
纯弯曲变形的计算纯弯曲变形的计算依赖于梁的几何形状、材料特性和外部荷载。
常见的计算方法包括：基于梁理论的计算基于梁理论的计算方法适用于简单、均匀截面的梁。
在这种方法中，我们可以使用梁的截面形状和材料性质，通过弯矩-曲率关系计算出梁的曲率分布。
进一步，可以计算出梁的位移、剪力和应力等参数。
基于有限元分析的计算基于有限元分析的计算方法适用于复杂截面的梁。
在这种方法中，我们将梁划分为许多小的单元，并求解每个单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
梁纯弯曲变形的应用梁纯弯曲变形的应用广泛，特别是在土木工程和结构设计中。
通过对梁的纯弯曲变形进行分析，可以确定梁的合适截面形状和尺寸，以满足其承受的外部荷载要求。
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法悬臂梁是工程力学中常见的结构形式，它广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。
在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题至关重要。
本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并介绍相应的计算方法。
首先，我们来讨论悬臂梁的受力情况。
悬臂梁在受力时主要承受弯矩和剪力。
弯矩是悬臂梁上各点受力引起的弯曲效应，它使悬臂梁产生弯曲变形。
剪力则是悬臂梁上各点受力引起的剪切效应，它使悬臂梁产生剪切变形。
在实际工程中，我们需要计算和分析悬臂梁上各点的弯矩和剪力分布，以确保悬臂梁的安全性和稳定性。
悬臂梁的弯矩和剪力分布可以通过力学原理和结构力学知识进行计算。
在计算弯矩时，我们可以利用悬臂梁的受力平衡条件和弹性力学理论，根据悬臂梁上各点的受力情况和几何特征，推导出弯矩的计算公式。
而剪力的计算则需要考虑悬臂梁上各点的剪力平衡条件和结构特性，通过应力分析和静力平衡原理，得出剪力的计算公式。
除了计算弯矩和剪力分布，我们还需要了解悬臂梁的弯曲变形问题。
悬臂梁在受力时会发生弯曲变形，这对于悬臂梁的设计和施工具有重要影响。
弯曲变形可以通过弹性力学理论进行分析和计算。
我们可以利用悬臂梁的几何特征、材料性质和受力情况，推导出弯曲变形的计算公式。
通过计算弯曲变形，我们可以评估悬臂梁的变形程度，以及对结构的影响。
在实际工程中，为了更准确地计算悬臂梁的受力和弯曲变形，我们通常会借助计算机软件进行数值模拟和分析。
数值模拟可以更精确地模拟悬臂梁的受力和变形情况，提供更准确的计算结果。
同时，数值模拟还可以帮助工程师优化悬臂梁的设计方案，提高结构的安全性和稳定性。
总结起来，工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题是一个重要的研究领域。
通过分析悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题，我们可以了解悬臂梁的力学特性，为悬臂梁的设计和施工提供依据。
同时，借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以更准确地计算悬臂梁的受力和变形情况，提高工程的安全性和稳定性。
工程力学：弯曲变形 习题与答案
一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。
A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。
A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。
A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。
A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。
A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。
A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。
A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。
关于它们的最大挠度正确的是（）。
A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。
A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学六 弯曲变形解析
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
简支梁。 根据原超静定梁A端横截面转角θA=0这一变形条件, 即可进而建立补 充方程以求解MeA。 建议读者按此自行算出全部结果。 以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。 此时可建立两个变形几何方程, 因而补充方程也就有两个。 这样, 解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。 对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解, 则将不够简便, 此时就宜采用其 他方法。
但弹性模量E值则是比较接近的。 2.调整跨度 梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比, 跨度减小时, 转角和挠度就会有更 大程度的减小。 例如均布载荷作用下的简支梁, 其最大挠度与跨度的四次方成 正比, 当其跨度减小为原跨度的1/2时, 则最大挠度将减小为原挠度的1/16。 故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。 在有些情况下, 可以增设梁的中 间支座, 以减小梁的跨度, 从而可显著地减小梁的挠度。 但这样就使梁成为超 静定梁。 图10-10a、 b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静 定梁的挠曲线大致形状, 可以看出后者的挠度远较前者为小。 在有可能时, 还 可将简支梁改为两端外伸的梁。 这样, 既减小了跨度, 而且外伸端的自重与两 支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、 b), 从而相互抵消一部分。 这也就提高了梁的刚度。 例如桥式起重机的桁架钢梁 就常采用这种结构形式(图10-11c), 以达到上述效果。
下述关系
因为挠曲线为一平坦的曲线, θ值很小, 故有 tanθ≈θ(c) 由式(b)、式(c)两式可见, 梁横截面的转角应为
式(d)表明转角θ可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。 它表 示梁横截面位置的x与该截面的转角θ之间的关系, 通常称为转角方程。 在图10-2所示的坐标系统中, 挠度w以向上为正, 向下为负; 转角θ则以逆时针 转向为正, 顺时针转向为负。
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结悬臂梁是工程力学中常见的结构，其受力和弯曲变形问题一直是研究的焦点。
本文将对悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法进行总结。
一、悬臂梁的受力分析在工程实践中，悬臂梁常常承受着外部力的作用，因此对其受力进行准确的分析至关重要。
悬臂梁的受力分析主要包括弯矩和剪力的计算。
1. 弯矩的计算悬臂梁在受力时会产生弯矩，弯矩的计算可以通过弯矩方程进行。
弯矩方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯矩的表达式。
2. 剪力的计算悬臂梁在受力时还会产生剪力，剪力的计算同样可以通过力的平衡原理和材料的本构关系进行推导。
剪力方程可以通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的剪切应力-剪切应变关系进行分析得到。
二、悬臂梁的弯曲变形分析除了受力分析外，悬臂梁的弯曲变形也是需要考虑的重要问题。
弯曲变形是指悬臂梁在受力作用下产生的弯曲形变，主要表现为悬臂梁的中性面发生偏移和悬臂梁上各点的位移。
1. 弯曲形变的计算弯曲形变的计算可以通过弯曲方程进行。
弯曲方程是基于力的平衡原理和材料的本构关系推导出来的，通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到弯曲形变的表达式。
2. 中性面的偏移和位移的计算中性面的偏移和位移是悬臂梁弯曲变形的重要表现形式。
中性面的偏移可以通过弯曲方程和几何关系进行计算，位移可以通过位移方程进行计算。
通过这些计算，可以得到悬臂梁上各点的位移和中性面的偏移情况。
三、悬臂梁的计算方法总结为了更准确地分析和计算悬臂梁的受力和弯曲变形问题，工程力学中提出了一系列计算方法。
常见的计算方法包括静力学方法、力学性能方法和有限元方法等。
1. 静力学方法静力学方法是最常用的计算方法之一，它基于力的平衡原理和材料的本构关系进行分析和计算。
通过对悬臂梁上各点的力平衡和材料的应力-应变关系进行分析，可以得到悬臂梁的受力和弯曲变形情况。
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
工程力学弯曲变形(H)详解
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l F
x
l
v( x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v 2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
第七章 弯曲变形
二、弯曲变形的基本概念
(x)
A x l
x
l
v( x)
B
F
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程
正负号确定——确定坐标系:
v
x
x
M 0, v 0
第七章 弯曲变形
M 0, v 0
§7-3
用积分法求弯曲变形
EIv M ( x )
EIv M ( x) dx C
EIv M ( x)dxdx Cx D
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
弯曲变形
解：
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIv x x 2 2
y
q
B
x l x
A ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0时，v 0 x l 时，v 0
第七章 弯曲变形
ql 3 B 24 EI
5ql 4 384 EI
x
l 2
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。 解： M ( x) P(l x)
y
A
P
x
B
EIv P(l x)
工程力学弯曲变形
三、挠度与转角的关系
tan dw , arctan(dw)
dx
dx
在小变形下 tan dw w' (x)
dx
§12-2 挠曲轴近似微分方程
纯弯曲：
1M
EI
非纯弯曲：
1 M (x)
(x) EI
（略去剪力对梁变形的影响）
由高数知识可知，平面曲线 w w(x) 上任一点的曲率为
d2w
EI
d2w2 dx 2
bF l
x F(x a)
转角方程
EI1( x)
bF 2l
x2
C1
挠曲轴方程
EI2( x)
bF 2l
x2
F 2
(x
a)2
C2
EIw1( x)
bF 6l
x3
C1 x
D1
EIw2( x)
bF 6l
x3
F 6
( x a)3
C2x
D2
⑶ 确定积分常数
EIw1 (0)
叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。
应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。
工 具：附录D 注 意：
（1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。
例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。
1 EI
[ bF 2l
x2
F 2
( x a)2
Fb (b2 6l
l 2 )]
挠曲轴方程
w2( x)
1 EI
[ bF 6l
工程力学2第六章 弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
d2y EI 2 EIy'' M ( x ) dx n
由弯矩的叠加原理知： 所以， 即，
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
ymax
x2
a
b
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
Fb 2 Fb 2 EI 1 x1 (l b2 ) 2l 6l
Fb 3 Fb 2 EIy1 x1 ( l b 2 ) x1 6l 6l
转角
4、挠度与转角的关系 （ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope) 挠度 向上为正,向下为负. 转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结和应用
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结和应用悬臂梁是工程力学中常见的结构，广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。
在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力和弯曲变形问题是非常重要的。
本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并总结计算方法的应用。
首先，我们来看悬臂梁的受力问题。
悬臂梁在受到外力作用时，会产生弯矩和剪力。
弯矩是指梁上各截面的内力矩，剪力则是指梁上各截面的内力。
悬臂梁的受力分析可以通过力的平衡条件和应力应变关系来进行。
在计算弯矩时，可以采用弯矩图的方法。
首先，根据悬臂梁的几何形状和受力情况，确定悬臂梁上各截面的受力状态。
然后，根据悬臂梁的几何形状和受力情况，绘制出悬臂梁的弯矩图。
弯矩图可以直观地反映出悬臂梁上各截面的弯矩大小和分布情况。
通过弯矩图，可以计算出悬臂梁上任意一点的弯矩值。
在计算剪力时，可以采用剪力图的方法。
剪力图是指悬臂梁上各截面的剪力大小和分布情况。
通过剪力图，可以计算出悬臂梁上任意一点的剪力值。
剪力图的绘制方法与弯矩图类似，只需要将受力状态和几何形状绘制在图上即可。
其次，我们来看悬臂梁的弯曲变形问题。
悬臂梁在受到外力作用时，会发生弯曲变形。
弯曲变形是指悬臂梁在受力作用下，横截面发生的变形。
悬臂梁的弯曲变形可以通过应力应变关系和位移分析来进行。
在计算弯曲变形时，可以采用弹性力学理论中的梁的弯曲理论。
根据梁的弯曲理论，可以得到悬臂梁上各截面的弯曲曲率和弯曲角。
通过弯曲曲率和弯曲角，可以计算出悬臂梁上任意一点的位移值。
位移值可以用来评估悬臂梁在受力作用下的变形情况。
除了受力和弯曲变形问题的分析，我们还可以应用计算方法来解决实际工程问题。
例如，在桥梁设计中，我们可以通过计算方法来确定悬臂梁的截面尺寸和材料选择。
在楼房设计中，我们可以通过计算方法来评估悬臂梁的受力和变形情况，从而确定合适的结构方案。
总之，悬臂梁的受力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
通过分析和计算方法的应用，我们可以更好地理解悬臂梁的受力和变形规律，为实际工程问题的解决提供理论依据和技术支持。
工程力学 第八章 弯曲变形
(+)
x
" 〈 0 )
(-)
M = ρ EI z
1
y
( y " 〉 0 )
M = ±y" EIz
或
E Iy " = ± M
如图： 与弯矩的符号相反 与弯矩的符号相反。 如图：y”与弯矩的符号相反。
EIy " = − M ( x )
§8-3用积分法求梁的变形
一.积分求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程: 一次积分 两次积分
P
EIy" = −
2 y P 2 EIy ' = − x + C 4 P 3 EIy = − x + Cx + D 12
x
l 2
l 2
由边界条件： 由边界条件： x = 0时， y = 0
得：D = 0
Pl 2 得： C = 16
l 由对称条件： 由对称条件： x = 时，y ' = 0 2
CL9TU7
[例8-6]求图示梁 、D两处的挠度 yB、 yD 。 例 求图示梁B、 两处的挠度 求图示梁
CL9TU26
解：
q ( 2a ) qa ( 2a ) 14 qa (↓ ) yB = + = 8 EI 3EI 3EI
4 3 4
y B 2qa (2a ) 8qa (↓) yD = + = 2 48 EI 3EI
3 4
[例8-7]求图示梁C点的挠度 yC。 7]求图示梁C 求图示梁
解：
yc
5qa 4 1 = × 384EI 2
§8-5 梁的刚度条件
一、刚度条件
ymax f ≤[ ]; l l
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形分析方法
工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形分析方法工程力学是一门研究物体受力和变形规律的学科，它在工程设计和结构分析中起着重要的作用。
悬臂梁作为一种常见的结构形式，在工程中广泛应用。
本文将介绍悬臂梁受力和弯曲变形的分析方法。
首先，我们来了解悬臂梁的基本概念。
悬臂梁是指一端固定，另一端悬空的梁结构。
在实际工程中，悬臂梁常见于桥梁、起重机械等场合。
悬臂梁的受力和变形分析是工程设计中的重要环节。
悬臂梁的受力分析是指确定悬臂梁各个部位受力大小和受力方向的过程。
在受力分析中，我们需要考虑悬臂梁的自重、外力和支座反力等因素。
一般来说，悬臂梁受力主要包括弯矩、剪力和轴力。
弯矩是指悬臂梁在外力作用下产生的弯曲力矩，剪力是指悬臂梁在外力作用下产生的剪切力，轴力是指悬臂梁在外力作用下产生的轴向力。
通过受力分析，我们可以计算出悬臂梁各个部位的受力大小和受力方向，为工程设计提供依据。
悬臂梁的弯曲变形分析是指确定悬臂梁在受力作用下产生的弯曲变形大小和变形形态的过程。
弯曲变形是指悬臂梁在外力作用下产生的横向位移。
在弯曲变形分析中，我们需要考虑悬臂梁的几何形状、材料特性和外力大小等因素。
一般来说，悬臂梁的弯曲变形可以通过弯曲方程进行计算。
弯曲方程是描述悬臂梁弯曲变形规律的数学方程，它可以通过假设悬臂梁为一根弹性梁材料，利用力学原理推导得出。
通过弯曲变形分析，我们可以了解悬臂梁在受力作用下的变形情况，为工程设计提供参考。
在悬臂梁的受力和弯曲变形分析中，我们常用的方法有解析法和数值法。
解析法是指通过数学分析和推导，得出悬臂梁受力和变形的解析解。
解析解可以直接给出悬臂梁各个部位的受力大小和变形情况，具有较高的精度和准确性。
数值法是指通过数值计算和近似方法，得出悬臂梁受力和变形的数值解。
数值解可以通过计算机模拟和数值计算得到，具有较高的效率和灵活性。
在实际工程中，我们可以根据具体情况选择解析法或数值法进行悬臂梁的受力和弯曲变形分析。
总之，悬臂梁受力和弯曲变形分析是工程力学中的重要内容。
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x
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
连续条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
y
2
F
6
（4）确定积分常数 由边界条件
x
x 0 qA 0 wA 0
A x
EIz
B
wB
代入上面两式
qB
1 Fl2 C 0 1Fl3 D0
2
6
l
C 1 Fl2 D 1 Fl 3
2
6
（5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程 2、挠曲线近似微分方程 纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
1 M
EIz
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的 高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。 但此时弯矩不再为常数。
1 M (x)
(x) EIz
2021年3月13日星期六
§6-1、工程中的弯曲变形问题
工程中的弯曲变形问题
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
d2y
dx 2 < 0
x
dx
O
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
截面的挠度w 即为 y
所以
d 2w
1
dx2
M (x)
[1 ( dw)2 ]3 EIz
称为挠曲线的微分方程
dx
略去高阶小量，得
1
d 2w dx2
M (x) EI z
所以挠曲线的近似微分方程为：
d 2w dx2
置有关，可以表示为关于 x 的函数。
挠度方程（挠曲线方程）
w f1(x)
转角方程
q f2(x)
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形
y
q
C’
A
C
x
B’
q
wB
w
B
x
挠度和转角的正负号规定
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
F
w |x1a w |x20
A
B
q |x1a q |x20
l
a
b
x1 x2
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形 例6-3-1
如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 w B 。
F
A x
EIz l
B
wB
qB
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
y
A x
F
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
x
M (x)F(xl)
B
wB
EIz
qB （2）挠曲线近似微分方程
E w IM (x ) F (x l)
l
（3）积分
q E IE w IF (x l)d x C 1 2 F (x l)2 C
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
由数学知识可知： d 2 y
y
1
dx2
M (x) > 0
M (x) > 0
[1 ( dy )2 ]3
dx
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的 O
d2y dx 2 > 0
x
符号与挠曲线的二阶导数符号一致
y
d2y
M (x) < 0
M (x) < 0
1
dx2
[1 ( dy )2 ]3
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 钻床的立柱和摇臂
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 叠板弹簧
工程力学弯曲变形
2021年3月13日星期六 常州大学机械学院力学教研室
§6-2、挠曲线的微分方程
挠曲线的微分方程
2021年3月13日星期六
M (x) EI z
由上式进行积分，就可以工求程出力学梁弯曲横变截形 面的转角和挠度。
2021年3月13日星期六 常州大学机械学院力学教研室
§6-3、用积分法求弯曲变形
用积分法求弯曲变形
பைடு நூலகம்
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 w M (x) EI z
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变
成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
y
q
B’
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度
C’
q
wB
w
某截面的法线方向与x轴
A
C
B
x
x 的夹角称为该截面的转角
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位
对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）
EIzq EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确
定其大小。
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-2、挠曲线的微分方程
1、梁的变形
挠度和转角的关系
y
q
C’
A
C
x
B’
q
wB
w
B
x
w d y tanq
dx
在小变形假设条件下
taqnq
w dy tanq q
dx
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
E w I1 F (x l)2 d x C x D 1 F (x l) 3 C D x
2
6
2021年3月13日星期六
工程力学弯曲变形
§6-3、用积分法求弯曲变形
q E IE w IF (x l)d x C 1 F (x l)2 C
E w I1 F (x l) 2 d x C x D 2 1 F (x l) 3 C D x
§6-3、用积分法求弯曲变形
边界条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在约束处的转角或挠度可以确定
F
A
B
x 0 w |x0 0 q |x0 0
l x
F
x 0 w |x0 0 q |x0 0
A
B
l
x l w |xl 0 q |xl 0