2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.2

§6.2 等差数列及其前n 项和

1． 等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项

如果A ＝a ＋b

2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．

4． 等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．

5． 等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)

2d .

6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．

( × )

(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．

( √ ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数． ( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．

( × )

(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．

( √ )

2． 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于 ( )

A ．18

B ．20

C ．22

D ．24

答案 B

解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.

3． (2012·辽宁)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于 ( )

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176

答案 B

解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)

2

＝88.

4． (2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m

等于

( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

答案 C

解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)

2d ＝0，

故a 1＝－m －1

2，

因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.

5． (2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小

值为________． 答案 －49

解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝10

3.

两式相减得a 15－a 10＝10

3＝5d ，

∴d ＝2

3

，a 1＝－3.

∴nS n ＝n ·

⎝⎛⎭

⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 2

3＝f (n )， 令f (x )＝x 3－10x 23，x >0，f ′(x )＝1

3x (3x －20)．

令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝20

3.

当x >20

3时，f (x )是单调递增的；

当0

3时，f (x )是单调递减的．

故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.

题型一 等差数列的基本运算

例1 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．

思维启迪 等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]

2＝2n －n 2.

由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N ＋，故k ＝7.