2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.2
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第一章 1.3
题型分类·深度剖析
(1)若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1, 1 +∞), 命题 q: 函数 y=x-x的单调递增区间是[1, +∞), 则( D ) 跟踪训练 2 A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题
必要不充分 条件. (2)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的___________
“綈 p”为真命题的个数是 A.1 B. 2
C.3 D.0
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 含有逻辑联结词命题的真假判断
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 2】
命题 p:将函数 y=sin 2x π 的图像向右平移 个单位得到函数 3 π y=sin2x-3的图像; 命题 q: 函数 π π y = sin x+6 cos 3-x 的最小正周 期为 π, 则命题“p 或 q”“p 且 q” ( )
【例 1】 写出下列命题的否定, 并判断其真假: 1 (1)p: 任意 x∈R, x -x+ ≥0; 4
2
思维升华
(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:存在 x0∈R,x2 0+2x0+劫 2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0 ,使 x3 0+1=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
真
假
假
真
假
假 假
真
真
真
真
真
真
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
高中数学步步高大一轮复习讲义文科专题一PPT课件
故 f(x)的单调递增区间为(-∞,
-1),(0,+∞),单调递减区
间为(-1,0).
第4页/共56页
高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)=x(ex-1) 思维启迪 解析 思维升华
(2)f(x)=x(ex-1-ax),
-ax2.
令 g(x)=ex-1-ax,
(1)若 a=12,求 f(x)的单调区间; g′(x)=ex-a.
思维启迪 解析 思维升华
(2)解 2xln x≥-x2+ax-3, 则 设ha(≤x)2=ln2lxn+x+x+x+3x,3x(x>0), 则h′(x)=x+3x2x-1, ①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)
单调递减, ②当x∈(1,+∞)时,
h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4,对一切
-ax2. (1)若 a=12,求 f(x)的单调区间;
(2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a
求出 f′(x),分析函数的单 调性,得出结论.
的取值范围.
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高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)=x(ex-1)
-ax2. (1)若 a=12,求 f(x)的单调区间;
(2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a
若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时, g′(x)>0,g(x)为增函数,
的取值范围.
而 g(0)=0,
从而当 x≥0 时,g(x)≥0,
即 f(x)≥0.
若 a>1,则当 x∈(0,ln a)时, g′(x)<0,g(x)为减函数,
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3+2 解 由已知得,数列{an}的通项公式
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 为 an=3n+2n-1=3n-1+2n,
-1,…,写出数列{an}的通项 ∴Sn=a1+a2+…+an
=(2+5+…+3n-1)+(2+22+…
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中,a1=1,
当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2n=anSn-12.
(1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=2nS+n 1,求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an=Sn-Sn-1 (n≥2) 后,再同除 Sn-1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3+2
-1,6+22-1,9+23-1,12+24 先写出通项,然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解.
基础知识
题型分类
思想方法
∴S1n=1+2(n-1)=2n-1, ∴Sn=2n1-1. (2)∵bn=2nS+n 1=2n-112n+1
=122n1-1-2n1+1,
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
[数学]步步高大一轮复习讲义数学文科a版【答案解析】版-精品文档
§1.1 集合的概念及其基本运算要点梳理1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2.(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n -1 2n -23.(1){x |x ∈A ,且x ∈B } {x |x ∈U ,且x ∉A } 基础自测 1.{2,4} 2.{x |0<x <1} 3.(2,3)4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,1,-12 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a +2=1,即a =-1时,(a +1)2=0,a 2+3a +3=1与a +2相同,∴不符合题意.当(a +1)2=1,即a =0或a =-2时,①a =0符合要求. ②a =-2时,a 2+3a +3=1与(a +1)2相同,不符合题意. 当a 2+3a +3=1,即a =-2或a =-1.①当a =-2时,a 2+3a +3=(a +1)2=1,不符合题意. ②当a =-1时,a 2+3a +3=a +2=1,不符合题意. 综上所述,a =0,∴2 013a =1.(2) ∵当x =0时,x =x 2-x =x 3-3x =0,∴它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合,则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2-x ,x 2-x ≠x 3-3x ,x ≠x 3-3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠-1且x ≠-2时,{x ,x 2-x ,x 3-3x }能表示一个有三个元素的集合. 变式训练 1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论:①若a =0,则A =R ;②若a <0,则A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <-1a ;③若a >0,则A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-1a <x ≤4a .(1)当a =0时,若A ⊆B ,此种情况不存在.当a <0时,若A ⊆B ,如图:,则⎩⎨⎧4a >-12-1a ≤2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <-8a >0或a ≤-12,又a <0,∴a <-8.当a >0时,若A ⊆B ,如图:,则⎩⎨⎧-1a ≥-124a ≤2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0,∴a ≥2.综上知,当A ⊆B 时,a <-8或a ≥2. (2)当a =0时,显然B ⊆A ;当a <0时,若B ⊆A ,如图:,则⎩⎨⎧4a ≤-12-1a >2,∴⎩⎪⎨⎪⎧-8≤a <0-12<a <0.又∵a <0,∴-12<a <0.当a >0时,若B ⊆A ,如图:,则⎩⎨⎧-1a ≤-124a ≥2,∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0,∴0<a ≤2.综上知,当B ⊆A 时,-12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时,A =B ,由(1)、(2)知,a =2.变式训练 2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ={x |12≤x ≤3},当a =-4时,B ={x |-2<x <2},∴A ∩B ={x |12≤x <2},A ∪B ={x |-2<x ≤3}.(2)∁R A ={x |x <12或x >3},当(∁R A )∩B =B 时,B ⊆∁R A ,即A ∩B =∅.①当B =∅,即a ≥0时,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠∅,即a <0时, B ={x |--a <x <-a },要使B ⊆∁R A ,需-a ≤12,解得-14≤a <0.综上可得,实数a 的取值范围是a ≥-14.例4 A变式训练 4 6 {0,1,2,3}课时规范训练 A 组1.C2.C3.A4.-1或25.{(0,1),(-1,2)}6.187.解 由已知得A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2}.(1)∵A ∩B =[0,3],∴⎩⎪⎨⎪⎧m -2=0,m +2≥3.∴m =2.(2)∁R B ={x |x <m -2或x >m +2},∵A ⊆∁R B ,∴m -2>3或m +2<-1,即m >5或m <-3. 8.解 ∵M ={y |y =x 2,x ∈R }={y |y ≥0},N ={y |y =3sin x ,x ∈R }={y |-3≤y ≤3},∴M -N ={y |y >3},N -M ={y |-3≤y <0},∴M *N =(M -N )∪(N -M )={y |y >3}∪{y |-3≤y <0}={y |y >3或-3≤y <0}. B 组1.C2.B3.A4.A5.a ≤06.-37.(-∞,-3)8.解 由x -5x +1≤0,∴-1<x ≤5,∴A ={x |-1<x ≤5}.(1)当m =3时,B ={x |-1<x <3},则∁R B ={x |x ≤-1或x ≥3},∴A ∩(∁R B )={x |3≤x ≤5}. (2)∵A ={x |-1<x ≤5},A ∩B ={x |-1<x <4},∴有42-2×4-m =0,解得m =8. 此时B ={x |-2<x <4},符合题意,故实数m 的值为8.§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件要点梳理1.判断真假 判断为真 判断为假2.(1)若q ,则p 若綈p ,则綈q 若綈q ,则綈p ,(2)逆命题 否命题 逆否命题 (3)①相同 ②没有3.(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件基础自测 1.3 2.②③ 3.充分不必要 4.C 5.D 题型分类·深度剖析 例1 ②④ 变式训练1 ①③例2 解 (1)在△ABC 中,∠A =∠B ⇒sin A =sin B ,反之,若sin A =sin B ,∵A 与B 不可能互补(∵三角形三个内角和为180°),∴只有A =B .故p 是q 的充要条件.(2)易知,綈p :x +y =8,綈q :x =2且y =6,显然綈q ⇒綈p ,但綈p 綈q ,即綈q 是綈p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,∴p 是q 的必要不充分条件.(4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2,∴p ⇒q 但q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 变式训练2 ①④例3 证明 充分性:当a =0时,方程为2x +1=0,其根为x =-12,方程有一个负根,符合题意.当a <0时,Δ=4-4a >0,方程ax 2+2x +1=0有两个不相等的实根,且1a <0,方程有一正一负根,符合题意.当0<a ≤1时,Δ=4-4a ≥0,方程ax 2+2x +1=0有实根,且⎩⎨⎧-2a<01a >0,故方程有两个负根,符合题意.综上知:当a ≤1时,方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根. 必要性:若方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根. 当a =0时,方程为2x +1=0符合题意.当a ≠0时,方程ax 2+2x +1=0应有一正一负根或两个负根.则1a<0或⎩⎨⎧Δ=4-4a ≥0-2a <01a>0,解得a <0或0<a ≤1.综上知:若方程ax 2+2x +1=0至少有一负根,则a ≤1.故关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.变式训练3 证明 充分性:当q =-1时,a 1=S 1=p +q =p -1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1),当n =1时也成立,于是a n +1a n =p n(p -1)p n -1(p -1)=p (n ∈N *)即数列{a n }为等比数列.必要性:当n =1时,a 1=S 1=p +q ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1). ∵p ≠0,p ≠1,∴a n +1a n=p n (p -1)p n -1(p -1)=p .∵{a n }为等比数列,∴a 2a 1=a n +1a n =p ,又S 2=a 1+a 2=p 2+q ,∴a 2=p 2-p =p (p -1),∴p (p -1)p +q =p ,即p -1=p +q .∴q =-1.综上所述,q =-1是数列{a n }为等比数列的充要条件.课时规范训练 A 组1.D2.B3.A4.充分不必要5.①③④6.[3,8)7.解 由题意p :-2≤x -3≤2,∴1≤x ≤5,∴綈p :x <1或x >5,q :m -1≤x ≤m +1,∴綈q :x <m -1或x >m +1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥1,m +1≤5.∴2≤m ≤4.8.解 设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2<0,a <0}={x |3a <x <a ,a <0},B ={x |q }={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0}={x |x 2-x -6≤0}∪{x |x 2+2x -8>0} ={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4或x >2}={x |x <-4或x ≥-2}.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴綈q ⇒綈p ,且綈pD ⇒/綈q ,则{x |綈q x |綈p },而{x |綈q }=∁R B ={x |-4≤x <-2},{x |綈p }=∁R A ={x |x ≤3a 或x ≥a ,a <0}, ∴{x |-4≤x <-x |x ≤3a 或x ≥a ,a <0},则⎩⎨⎧ 3a ≥-2,a <0或⎩⎨⎧a ≤-4,a <0.综上,可得-23≤a <0或a ≤-4.B 组1.A2.C3.B4.⎝⎛⎭⎫34,1∪(1,+∞) 5.[1,2) 6.①③②④ 7.3或48.解 (1)当a =12时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x -2x -52<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -94x -12<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94, ∴∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94,∴(∁U B )∩A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2+2>a ,∴B ={x |a <x <a 2+2}.①当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}.∵p 是q 的充分条件,∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a +1≤a 2+2,即13<a ≤3-52. ②当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意;③当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1a 2+2≥2,∴-12≤a <13.综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词要点梳理1.(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 2.(3)∀ ∃ (4)①含有全称量词 ②含有存在量词 基础自测1.所有的三角形都不是等边三角形 2.[-4,0] 3.①② 4.A 5.C 题型分类·深度剖析 例1 q 1,q 4变式训练1 解 (1)p ∨q :1是素数或是方程x 2+2x -3=0的根.真命题.p ∧q :1既是素数又是方程x 2+2x -3=0的根.假命题. 綈p :1不是素数.真命题.(2)p ∨q :平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p ∧q :平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题.(3)p ∨q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p ∧q :方程x 2+x -1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈p :方程x 2+x -1=0的两实根的符号不相同.真命题.例2 解 (1)綈p :∃x 0∈R ,x 20-x 0+14<0,假命题.(2)綈q :至少存在一个正方形不是矩形,假 命题.(3)綈r :∀x ∈R ,x 2+2x +2>0,真命题.(4)綈s :∀x ∈R ,x 3+1≠0,假命题. 变式训练2 解 (1)綈p :∃x >0,使x 2-x >0,为真命题.(2)綈q :∀x ∈R,2x +x 2>1,为假命题. 例3 解 ①若p 正确,则由0<⎝⎛⎭⎫12|x -1|≤1,得a >1.②若q 正确,则ax 2+(a -2)x +98>0解集为R .当a =0时,-2x +98>0不合题意,舍去;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a -2)2-4a ×98<0,解得12<a <8. ③∵p 和q 中有且仅有一个正确,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8,∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练3 解 ∵函数y =a x 在R 上单调递增,∴p :a >1,不等式ax 2-ax +1>0对∀x ∈R 恒成立,∴a >0且a 2-4a <0,解得0<a <4,∴q :0<a <4.∵“p ∧q ”为假,“p ∨q ”为真,∴p 、q 中必有一真一假.①当p 真,q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4,得a ≥4;②当p 假,q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4,得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).课时规范训练 A 组1.C 2.A 3.C 4.-22≤a ≤22 5.a >1 6.綈p 、綈q7.解 由命题p 为真知,0<c <1,由命题q 为真知,2≤x +1x ≤52,要使此式恒成立,需1c <2,即c >12,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则p 、q 中必有一真一假,当p 真q 假时,c 的取值范围是0<c ≤12;当p 假q 真时,c 的取值范围是c ≥1. 综上可知,c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )=x 2+2ax +4,由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,∴函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,∴-2<a <2.又∵函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,∴3-2a >1,∴a <1. 又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1,,∴1≤a <2;(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2或a ≥2,a <1,,∴a ≤-2.综上可知,所求实数a 的取值范围为1≤a <2,或a ≤-2. B 组1.C 2.D 3.D 4.⎣⎡⎦⎤0,12 5.(-∞,1] 6.(-∞,-2]∪[-1,3) 7.①③ 8.解 由2x 2+ax -a 2=0得(2x -a )(x +a )=0, ∴x =a2或x =-a ,∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|-a |≤1,∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20+2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a =0,∴a =0或a =2,∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2. ∴命题“p 或q ”为真命题时,|a |≤2,∵命题“p 或q ”为假命题,∴a >2或a <-2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <-2}.§2.1 函数及其表示要点梳理1.(1)数集 任意 唯一确定 y =f (x ),x ∈A (2)定义域 值域 (3)定义域 值域 对应关系 (4)定义域 对应关系2.解析法 图象法 列表法3.都有唯一 一个映射4.函数 非空数集 基础自测1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-12,1,522.①②3.-1 104.23或-1题型分类·深度剖析 例1 (2)(3)变式训练1 解 (1)y =1的定义域为R ,y =x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},∴它们不是同一函数.(2)y =x -2·x +2的定义域为{x |x ≥2},y =x 2-4的定义域为{x |x ≥2或x ≤-2},∴它们不是同一函数.(3)y =x ,y =3t 3=t ,它们的定义域和对应关系都相同,∴它们是同一函数. (4)y =|x |的定义域为R ,y =(x )2的定义域为{x |x ≥0},∴它们不是同一函数.例2 (2) 变式训练2 (1)D (2)A 例3 C 变式训练3 B 例4 0 变式训练4 D 课时规范训练 A 组1.D2.D3.A4.65.16.-347.解 当x ∈[0,30]时,设y =k 1x +b 1,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=030k 1+b 1=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=115b 1=0,∴y =115x .当x ∈(30,40)时,y =2;当x ∈[40,60]时,设y =k 2x +b 2, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2+b 2=260k 2+b 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=110b 2=-2,∴y =110x -2.综上,f (x )=⎩⎨⎧115x , x ∈[0,30]2, x ∈(30,40)110x -2, x ∈[40,60].8.解 当f (x )≤0时,由x 2+2x -3≤0,可得-3≤x ≤1,此时,g (x )=0;当f (x )>0时,由x 2+2x -3>0可得x <-3或x >1,此时g (x )=f (x )=(x +1)2-4.∴g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0 (-3≤x ≤1)(x +1)2-4 (x <-3或x >1),其图象如图所示:B 组1.C2.D3.D4.②④5.(1)a (a 为正整数) (2)166.-27.[-4,2]8.解 (1)∵x =716时,4x =74,∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤74=1,g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=34,∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫34=[3]=3. (2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1,∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3,∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2,3≤16x -4<4.∴716≤x <12.§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式要点梳理1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R ⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π+π2,k ∈Z⑥{x |x ∈R 且x ≠0}2.(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0,+∞) ⑤R ⑥[-1,1] ⑦R 基础自测1.[-1,2)∪(2,+∞)2.{x |-3<x <2}3.(0,+∞)4.x 2+1x 2-1(x ≠0)题型分类·深度剖析 例1 (1)⎝⎛⎭⎫-13,1 (2)(-1,1) 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0,34 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[-1,1],∴12≤2x ≤2,即y =f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12,2,由12≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4.∴f (log 2x )的定义域是[2,4].变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4],(1)有0≤x 2≤4,∴-2≤x ≤2,故f (x 2)的定义域为[-2,2];(2)有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x +1≤4,0≤x -1≤4,∴1≤x ≤3.故f (x +1)+f (x -1)的定义域为[1,3].例3 解 (1)(配方法) y =x 2+2x =(x +1)2-1,y =(x +1)2-1在[0,3]上为增函数,∴0≤y ≤15,即函数y =x 2+2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].(2)(分离常数法) y =x -3x +1=x +1-4x +1=1-4x +1,∵4x +1≠0,∴1-4x +1≠1,即函数的值域是{y |y ∈R ,y ≠1}.(3)方法一 (换元法) 令1-2x =t ,则t ≥0且x =1-t 22,于是y =1-t 22-t =-12(t +1)2+1,由于t ≥0,∴y ≤12,故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法) 容易判断函数y =f (x )为增函数,而其定义域应满足1-2x ≥0,即x ≤12,∴y ≤f ⎝⎛⎭⎫12=12,即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法) 函数定义域为{x |x ∈R ,x >0,且x ≠1},当x >1时,log 3x >0, 于是y =log 3x +1log 3x-1≥2log 3x ·1log 3x-1=1;当0<x <1时,log 3x <0,于是y =log 3x +1log 3x -1=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-log 3x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-log 3x -1 ≤-2-1=-3.故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).变式训练3 解 (1)方法一 (配方法) ∵y =1-1x 2-x +1,又x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34≥34, ∴0<1x 2-x +1≤43,∴-13≤y <1,∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫-13,1. 方法二 (判别式法) 由y =x 2-xx 2-x +1,x ∈R ,得(y -1)x 2+(1-y )x +y =0.∵y =1时,x ∈∅,∴y ≠1,又∵x ∈R ,∴Δ=(1-y )2-4y (y -1)≥0,解得-13≤y ≤1.综上得-13≤y <1,∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫-13,1. (2)方法一 (换元法):设13-4x =t ,则t ≥0,x =13-t 24,于是f (x )=g (t )=2·13-t 24-1-t =-12t 2-t +112=-12(t +1)2+6,显然函数g (t )在[0,+∞)上是单调递减函数,∴g (t )≤g (0)=112,因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,112. 方法二 (单调性法):函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134,当自变量x 增大时,2x -1增大,13-4x 减小,∴2x -1-13-4x 增大,因此函数f (x )=2x -1-13-4x 在其定义域上是一个单调递增函数,∴当x =134时,函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134=112,故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤-∞,112. 例4 解 (1)令x +1x =t ,则t 2=x 2+1x 2+2≥4,∴t ≥2或t ≤-2且x 2+1x2=t 2-2,∴f (t )=t 2-2,即f (x )=x 2-2 (x ≥2或x ≤-2).(2)令2x +1=t ,由于x >0,∴t >1且x =2t -1,∴f (t )=lg 2t -1,即f (x )=lg 2x -1 (x >1).(3)设f (x )=kx +b ,∴3f (x +1)-2f (x -1)=3[k (x +1)+b ]-2[k (x -1)+b ]=kx +5k +b =2x +17.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k =25k +b =17,即⎩⎪⎨⎪⎧k =2b =7.∴f (x )=2x +7. (4)∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,∴2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x .∴f (x )=2x -1x(x ≠0). 变式训练4 解 (1)令t =x +1,∴t ≥1,x =(t -1)2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,∴f (x )=x 2-1 (x ≥1).(2)设f (x )=ax 2+bx +c ,又f (0)=c =3,∴f (x )=ax 2+bx +3,∴f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a =44a +2b =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-1,∴f (x )=x 2-x +3. 课时规范训练 A 组1.C2.B3.C4.C5.(-∞,3]6.⎣⎡⎦⎤2,103 7.[-2,7] 8.解 (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),又f (0)=0,∴c =0,即f (x )=ax 2+bx ,又f (x +1)=f (x )+x +1.∴a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1.∴(2a +b )x +a +b =(b +1)x +1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1a +b =1,解得⎩⎨⎧a =12b =12,∴f (x )=12x 2+12x .(2)由(1)知y =f (x 2-2)=12(x 2-2)2+12(x 2-2)=12(x 4-3x 2+2)=12⎝⎛⎭⎫x 2-322-18, 当x 2=32时,y 取最小值-18,∴函数y =f (x 2-2)的值域为⎣⎡⎭⎫-18,+∞. B 组1.B2.C3.A4.(-1,-910)∪(-910,2] 5.22 6.2837.解 ∵f (x )=12(x -1)2+a -12.∴其对称轴为x =1,即[1,b ]为f (x )的单调递增区间.∴f (x )min =f (1)=a -12=1① f (x )max =f (b )=12b 2-b +a =b②又b >1,由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =3.∴a 、b 的值分别为32、3.8.解 (1)∵函数的值域为[0,+∞),∴Δ=16a 2-4(2a +6)=0,∴2a 2-a -3=0,∴a =-1或a =32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负,∴Δ=16a 2-4(2a +6)=8(2a 2-a -3)≤0.∴-1≤a ≤32.∴a +3>0,∴g (a )=2-a |a +3|=-a 2-3a +2=-⎝⎛⎭⎫a +322+174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤-1,32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤-1,32上单调递减,∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (-1),即-194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤-194,4.§2.3 函数的单调性与最值要点梳理1.(1)f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间D2.(1)f (x )≤M (2)f (x 0)=M (3)f (x )≥M (4)f (x 0)=M 基础自测 1.[1,4] 8 2.43,1 3.(-3,0) 4.A 5.C题型分类·深度剖析例1 (1)解 由2f (1)=f (-1),可得22-2a =2+a ,得a =23. (2)证明 任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=x 21+1-ax 1-x 22+1+ax 2=x 21+1-x 22+1-a (x 1-x 2)=x 21-x 22x 21+1+x 22+1-a (x 1-x 2)=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a . ∵0≤x 1<x 21+1,0<x 2<x 22+1,∴0<x 1+x 2x 21+1+x 22+1<1.又∵a ≥1,∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x )在[0,+∞)上单调递减.(3)解 任取1≤x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a , ∵f (x )单调递增,∴f (x 1)-f (x 2)<0,又x 1-x 2<0,那么必须x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a >0恒成立.∵1≤x 1<x 2⇒2x 21≥x 21+1,2x 22>x 22+1,∴2x 1≥x 21+1,2x 2>x 22+1.相加得2(x 1+x 2)>x 21+1+x 22+1⇒x 1+x 2x 21+1x 22+1>22,∴0<a ≤22. 变式训练1 (1)证明 任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). ∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.例2 解 令u =x 2-3x +2,则原函数可以看作y =12log u 与u =x 2-3x +2的复合函数.令u =x 2-3x +2>0,则x <1或x >2,∴函数y =212log (32)x x -+的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).又u =x 2-3x +2的对称轴x =32,且开口向上.∴u =x 2-3x +2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而y =12log u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y =212log (32)x x -+的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).变式训练2 解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数.由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数,∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).例3 (1)证明 方法一 ∵函数f (x )对于任意x ,y ∈R 总有f (x )+f (y )=f (x +y ),∴令x =y =0,得f (0)=0,再令y =-x ,得f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0, f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1-x 2).又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),因此f (x )在R 上是减函数. 方法二 设x 1>x 2,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2+x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2). 又∵x >0时,f (x )<0,而x 1-x 2>0,∴f (x 1-x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在R 上为减函数. (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数,∴f (x )在[-3,3]上也是减函数, ∴f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f (-3)与f (3).而f (3)=3f (1)=-2,f (-3)=-f (3)=2,∴f (x )在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2. 变式训练3 解 (1)∵当x >0,y >0时,f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y ),∴令x =y >0,则f (1)=f (x )-f (x )=0.(2)设x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1,∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1,∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0,∴f (x 2)>f (x 1),即f (x )在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数.∴f (x )min =f (1)=0,f (x )max =f (16),∵f (4)=2,由f ⎝⎛⎭⎫x y =f (x )-f (y ), 知f ⎝⎛⎭⎫164=f (16)-f (4),∴f (16)=2f (4)=4,∴f (x )在[1,16]上的值域为[2,4]. 课时规范训练 A 组1.B2.D3.A4.[3,+∞)5.①③6.(1,+∞)7.(1)证明 设x 2>x 1>0,设x 2-x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)-f (x 1)=⎝⎛⎭⎫1a -1x 2-⎝⎛⎭⎫1a -1x 1=1x 1-1x 2=x 2-x 1x 1x 2>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上是单调递增的.(2)解 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,又f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递增, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (2)=2.∴易得a =25. 8.解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 21-1<0,x 22-1<0.-1<x 1x 2<1,∴x 1x 2+1>0,∴(x 2-x 1)(x 2x 1+1)(x 21-1)(x 22-1)>0. 因此,当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),此时函数在(-1,1)上为增函数.B 组1.B2.B3.C4.(-∞,0)∪(1,3]5.a >0且b ≤06.[1,+∞)7.①③④8.解 (1)任取x 1,x 2∈[-1,1],且x 1<x 2,则-x 2∈[-1,1],∵f (x )为奇函数,∴f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)·(x 1-x 2),由已知得f (x 1)+f (-x 2)x 1+(-x 2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在[-1,1]上单调递增.(2)∵f (x )在[-1,1]上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧x +12<1x -1,-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1.∴-32≤x <-1.(3)∵f (1)=1,f (x )在[-1,1]上单调递增.∴在[-1,1]上,f (x )≤1.问题转化为m 2-2am +1≥1,即m 2-2am ≥0,对a ∈[-1,1]成立,下面来求m 的取值范围. 设g (a )=-2m ·a +m 2≥0.①若m =0,则g (a )=0≥0,对a ∈[-1,1]恒成立.②若m ≠0,则g (a )为a 的一次函数,若g (a )≥0,对a ∈[-1,1]恒成立,必须g (-1)≥0,且g (1)≥0, ∴m ≤-2,或m ≥2,∴m 的取值范围是m =0或m ≥2或m ≤-2.§2.4 函数的奇偶性与周期性要点梳理1.f (-x )=f (x ) f (-x )=-f (x ) 2.(1)相同 相反 (2)①奇函数 ②偶函数 ③奇函数 3.(1)f (x ) (2)存在一个最小 基础自测1.132.②③3.-9 4.(-1,0)∪(1,+∞) 5.C 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9-x 2≥0x 2-9≥0,得x =±3,∴f (x )的定义域为{-3,3}.又f (3)+f (-3)=0,f (3)-f (-3)=0,即f (x )=±f (-x ).∴f (x )既是奇函数,又是偶函数. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 1+x ≥01+x ≠0,得-1<x ≤1.∵f (x )的定义域(-1,1]不关于原点对称,∴f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0|x +3|-3≠0,得-2≤x ≤2且x ≠0,∴f (x )的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.∴f (x )=4-x 2(x +3)-3=4-x 2x,∴f (x )=-f (-x ),∴f (x )是奇函数. 变式训练1 解 (1)由1-x1+x>0⇒-1<x <1,定义域关于原点对称.又f (-x )=lg 1+x 1-x =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-lg 1-x1+x =-f (x ),故原函数是奇函数. (2)由2+x2-x≥0且2-x ≠0⇒-2≤x <2,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. (3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x >0时,f (x )=x 2+x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2-x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2-x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2+x =f (x ),故原函数是偶函数.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x 2-2|-2≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴f (x )=lg (1-x 2)-(x 2-2)-2=-lg (1-x 2)x 2. ∵f (-x )=-lg[1-(-x )2](-x )2=-lg (1-x 2)x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数.例2 解 (1)令x =y =0⇒f (0)=0,令y =-x ,则f (x )+f (-x )=0⇒f (-x )=-f (x )⇒f (x )在(-1,1)上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2,而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1-x 21-x 1x 2<0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2>0,即当0<x 1<x 2<1时,f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,1)上单调递减.(3)由于f ⎝⎛⎭⎫12-f ⎝⎛⎭⎫15=f ⎝⎛⎭⎫12+f ⎝⎛⎭⎫-15=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-151-12×5=f ⎝⎛⎭⎫13, 同理,f ⎝⎛⎭⎫13-f ⎝⎛⎭⎫111=f ⎝⎛⎭⎫14,f ⎝⎛⎭⎫14-f ⎝⎛⎭⎫119=f ⎝⎛⎭⎫15,∴f ⎝⎛⎭⎫12-f ⎝⎛⎭⎫111-f ⎝⎛⎭⎫119=2f ⎝⎛⎭⎫15=2×12=1. 变式训练2 解 ∵y =f (x )为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y =f (x )在(-∞,0)上也是增函数,且由f (1)=0得f (-1)=0.若f [x (x -12)]<0=f (1),则⎩⎨⎧x (x -12)>0x (x -12)<1即0<x (x -12)<1,解得12<x <1+174或1-174<x <0.若f [x (x -12)]<0=f (-1),则⎩⎨⎧x (x -12)<0x (x -12)<-1,由x (x -12)<-1,解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1+174或1-174<x <0}.例3 (1)证明 ∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解 ∵x ∈[2,4],∴-x ∈[-4,-2],∴4-x ∈[0,2],∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2=-x 2+6x -8,又f (4-x )=f (-x )=-f (x ), ∴-f (x )=-x 2+6x -8,即f (x )=x 2-6x +8,x ∈[2,4].(3)解 ∵f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1.又f (x )是周期为4的周期函数,∴f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7)=…=f (2 008)+f (2 009)+f (2 010)+f (2 011)=0,∴f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 011)=0. 变式训练3 2.5 课时规范训练 A 组1.B2.A3.B4.A5.-16.-1 7.-38.解 (1)当a =0时,f (x )=x 2,f (-x )=f (x ) ,函数是偶函数.当a ≠0时,f (x )=x 2+ax (x ≠0,常数a ∈R ),取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0;f (-1)-f (1)=-2a ≠0,∴f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f (1)=2,即1+a =2,解得a =1,这时f (x )=x 2+1x ,任取x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=(x 21+1x 1)-⎝⎛⎭⎫x 22+1x 2=(x 1+x 2)(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫x 1+x 2-1x 1x 2. 由于x 1≥2,x 2≥2,且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+x 2>1x 1x 2,∴f (x 1)<f (x 2), 故f (x )在[2,+∞)上是单调递增函数. B 组1.A2.C3.B4.(1)(2)(3) 5.0 6.②③⑤7.(1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x =1对称,有f (x +1)=f (1-x ),即有f (-x )=f (x +2).又函数f (x )是定义在R 上的奇函数,故有f (-x )=-f (x ).故f (x +2)=-f (x ). 从而f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),即f (x )是周期为4的周期函数. (2)解 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0. x ∈[-1,0)时,-x ∈(0,1],f (x )=-f (-x )=--x ,故x ∈[-1,0]时,f (x )=--x .x ∈[-5,-4]时,x +4∈[-1,0],f (x )=f (x +4)=--x -4.从而,x ∈[-5,-4]时,函数f (x )=--x -4.8.解 (1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0.(2)令x 1=x 2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=12f (1)=0.令x 1=-1,x 2=x 有f (-x )=f (-1)+f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16). 又f (x )在(0,+∞)上是增函数.∴0<|x -1|<16,解之得-15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |-15<x <17且x ≠1}.§2.5 二次函数要点梳理 1.(2)①ax 2+bx +c (a ≠0) ②a (x -m )2+n (a ≠0) ③a (x -x 1)(x -x 2) (a ≠0) 基础自测 1.2 2.[1,2] 3.6 4.(-∞,-2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 方法一 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),依题意有⎩⎨⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b24a =8,解之,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7,,∴所求二次函数为y =-4x 2+4x +7.方法二 设f (x )=a (x -m )2+n ,a ≠0,∵f (2)=f (-1),,∴抛物线对称轴为x =2+(-1)2=12.∴m =12,又根据题意函数有最大值为n =8,∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解之,得a =-4.∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 方法三 依题意知:f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),a ≠0.即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max =8,即4a (-2a -1)-a24a=8,解之,得a =-4或a =0(舍去).∴函数解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y =a (x -3)2+4,将(2,2)代入可得a =-2,∴y=-2(x -3)2+4,即x >2时,f (x )=-2x 2+12x -14.当x <-2时,即-x >2,又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=-2×(-x )2-12x -14, 即f (x )=-2x 2-12x -14.∴函数f (x )在(-∞,-2)上的解析式为f (x )=-2x 2-12x -14.(2)函数f (x )的图象如图:(3)由图象可知,函数f (x )的值域为(-∞,4].例2 解 (1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6],∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,∴要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.(3)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-6,6],且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +3,x ∈(0,6]x 2-2x +3,x ∈[-6,0],∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].变式训练2 解 f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -a 22-4a ,对称轴为x =a2,顶点为⎝⎛⎭⎫a 2,-4a . ①当a2≥1,即a ≥2时,f (x )在区间[0,1]上递增.∴y max =f (1)=-4-a 2.令-4-a 2=-5,∴a =±1<2(舍去).②当0<a 2<1,即0<a <2时,y max =f ⎝⎛⎭⎫a 2=-4a ,令-4a =-5,∴a =54∈(0,2). ③当a2≤0,即a ≤0时,f (x )在区间[0,1]上递减,此时f (x )max =f (0)=-4a -a 2.令-4a -a 2=-5,即a 2+4a -5=0,∴a =-5或a =1(舍去).综上所述,a =54或a =-5.例3 解 (1)由f (0)=1得,c =1.∴f (x )=ax 2+bx +1.又f (x +1)-f (x )=2x ,∴a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x ,即2ax +a +b =2x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =2,a +b =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-1.因此,f (x )=x 2-x +1.(2)f (x )>2x +m 等价于x 2-x +1>2x +m ,即x 2-3x +1-m >0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上单调递减,∴g (x )min =g (1)=-m -1,由-m -1>0得,m <-1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(-∞,-1). 变式训练3 解 (1)∵f (x )=x 2+mx +n ,∴f (-1+x )=(-1+x )2+m (-1+x )+n =x 2-2x +1+mx +n -m =x 2+(m -2)x +n -m +1, f (-1-x )=(-1-x )2+m (-1-x )+n =x 2+2x +1-mx -m +n =x 2+(2-m )x +n -m +1. 又f (-1+x )=f (-1-x ),∴m -2=2-m ,即m =2.又f (x )的图象过点(1,3), ∴3=12+m +n ,即m +n =2,∴n =0,∴f (x )=x 2+2x ,又y =g (x )与y =f (x )的图象关于原点对称,∴-g (x )=(-x )2+2×(-x ),∴g (x )=-x 2+2x . (2)∵F (x )=g (x )-λf (x )=-(1+λ)x 2+(2-2λ)x ,当λ+1≠0时,F (x )的对称轴为x =2-2λ2(1+λ)=1-λλ+1,又∵F (x )在(-1,1]上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1+λ<01-λ1+λ≤-1或⎩⎪⎨⎪⎧1+λ>01-λ1+λ≥1,∴λ<-1或-1<λ≤0.当λ+1=0,即λ=-1时,F (x )=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ的取值范围为(-∞,0]. 课时规范训练 A 组1.D2.A3.B4.y =12(x -2)2-1 5.0≤m ≤146.0或-17.解 f (x )=(x -a )2+a -a 2,当a <-1时,f (x )在[-1,1]上为增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)=1+3a =-2,f (1)=1-a =2⇒a =-1(舍去);当-1≤a ≤0时,⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a -a 2=-2,f (1)=1-a =2⇒a =-1; 当0<a ≤1时,⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a -a 2=-2,f (-1)=1+3a =2⇒a 不存在;当a >1时,f (x )在[-1,1]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=1+3a =2,f (1)=1-a =-2⇒a 不存在.综上可得a =-1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图象关于直线x =1对称. 而二次函数f (x )的对称轴为x =-b2a ,∴-b2a=1.① 又f (x )=x 有等根,即ax 2+(b -1)x =0有等根,∴Δ=(b -1)2=0.②由①②得b =1,a =-12.∴f (x )=-12x 2+x .(2)∵f (x )=-12x 2+x =-12(x -1)2+12≤12,如果存在满足要求的m ,n ,则必需3n ≤12,∴n ≤16.从而m <n ≤16<1,而x ≤1,f (x )单调递增,∴⎩⎨⎧f (m )=-12m 2+m =3mf (n )=-12n 2+n =3n ,可解得m =-4,n =0满足要求.∴存在m =-4,n =0满足要求. B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2,525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1,31277.[1,+∞)8.证明 (1)由于f (x )=x 2+(2t -1)x +1-2t .∴f (x )=1⇔(x +2t )(x -1)=0,(*)∴x =1是方程(*)的根,即f (1)=1,因此x =1是f (x )=1的实根,即f (x )必有实根. (2)当12<t <34时,f (-1)=3-4t >0,f (0)=1-2t =2⎝⎛⎭⎫12-t <0. f ⎝⎛⎭⎫12=14+12(2t -1)+1-2t =34-t >0,又函数f (x )的图象连续不间断.因此f (x )=0在区间(-1,0)及⎝⎛⎭⎫0,12上各有一个实根.§2.6 指数与指数函数要点梳理1.(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a - n a ± na ③a④a ⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)-a (a <0)2.(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1a m n 1na m ⑥0 没有意义 (2)①a r +s ②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0,+∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数 基础自测1.(1)x 23 (2)(a +b )34 (3)m 52 2.7 3.(-2,-1)∪(1,2) 4.3 5.B题型分类·深度剖析例1 解 (1)原式=23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭+121500-⎛⎫ ⎪⎝⎭-105-2+1=23827⎛⎫- ⎪⎝⎭+12500-10(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679. (2)原式=5-2-1-(5-2)2=(5-2)-1-(5-2)=-1.(3)原式=1122323311233ba b a b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=3111111226333a b +-++--=ab -1. 变式训练1 解 (1)原式=1323⎛⎫⎪⎝⎭×1+()1342×142+(132×123)6-1323⎛⎫⎪⎝⎭=2+4×27=110. (2)令13a =m ,13b =n ,则原式=m 4-8mn 3m 2+2mn +4n 2÷⎝⎛⎭⎫1-2n m ·m =m (m 3-8n 3)m 2+2mn +4n 2·m 2m -2n=m 3(m -2n )(m 2+2mn +4n 2)(m 2+2mn +4n 2)(m -2n )=m 3=a . 例2 (1)D (2)0<a <1、b <0 (3)1 变式训练2 (1)A(2)解 函数y =|3x -1|的图象是由函数y =3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴 上方得到的,函数图象如图所示.当k <0时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图象无交点,即方 程无解;当k =0或k ≥1时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的 图象有唯一的交点,∴方程有一解;当0<k <1时,直线y =k 与函数y =|3x -1|的图象有两个不同交点,∴方程有两解. 例3 解 令t =a x (a >0且a ≠1),则原函数化为y =(t +1)2-2 (t >0). ①当0<a <1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎡⎦⎤a ,1a ,此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ,1a 上为增函数. ∴f (t )max =f ⎝⎛⎭⎫1a =⎝⎛⎭⎫1a +12-2=14,∴⎝⎛⎭⎫1a +12=16,∴a =-15或a =13. 又∵a >0,∴a =13.②当a >1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ,a ,此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ,a 上是增函数. ∴f (t )max =f (a )=(a +1)2-2=14,解得a =3(a =-5舍去). 综上得a =13或3.变式训练3 解 (1)当x <0时,f (x )=0,无解;当x ≥0时,f (x )=2x -12x ,由2x -12x =32,得2·22x -3·2x -2=0,看成关于2x 的一元二次方程,解得2x =2或-12,∵2x >0,∴x =1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝⎛⎭⎫22t -122t +m ⎝⎛⎭⎫2t -12t ≥0,即m (22t -1)≥-(24t -1),∵22t -1>0, ∴m ≥-(22t +1),∵t ∈[1,2],∴-(22t +1)∈[-17,-5], 故m 的取值范围是[-5,+∞). 课时规范训练 A 组1.B2.D3.D4.m <n5.16.12或327.-2。
【VIP专享】2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点,线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要;特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、,实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒,体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身: 生,师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三: 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ,预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和, 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一,课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教, 些体所居归在生蚓前回运的 润;4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔,处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ?了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什,的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动,境?大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏:要利明蚯?类 处适哪构虫系察:的特的特用确蚓等 ,于些特适。蛔章形殊形征板,这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构,五小物典, 滑生?重生鸟内学构,学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的,肠相是系习于点动鸟 ?、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生?8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这;,哪物教相,理适为方引些2鸟,育同师.知应单面导鸟掌类结了;?生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过,抄;察吗动少是们理生报5蛔?物,与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类?主或应节成趣的为要濒的课情关什特临?就危感系么征灭来害教;?;绝学,育,习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答;的3.情通况过,了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关:系线,形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设;置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征;3.线形动物和环节动物的主要特征。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章-2.5
对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)
是偶函数,则 m+μ=________.
思维启迪 解析 答案 思维升华
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
指数函数的图像、性质
【例 2】 (1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华
图所示,其中 a,b 为常数,则下列
数学 北(文)
§2.5 指数与指数函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.分数指数幂
mn (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a n =
am
(a>0,m,
1
n∈N+,且
n>1);正数的负分数指数幂的意义是
m
an
n =
am(a>0,m,n NhomakorabeaN+,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0 ;0 的负 分数指数幂 没有意义 .
2
a
3
10a 2
2b
3
b2
2
=85.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
指数函数的图像、性质
【例 2】 (1)函数 f(x)=ax-b 的图像如
图所示,其中 a,b 为常数,则下列
结论正确的是
()
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
(2)若函数 f (x) e-(x)2 (e 是自然
【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.2等差数列及其前n项和课件 理 北师大版解析
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 A.14 (1)设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1 ( C ) C.28 D.35 B.21 +a2+…+a7 等于
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30
60 =________.
解析 (1)∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,
大 值; 在等差数列{an}中, a1>0, d<0, 则 Sn 存在最____ 若 a1<0,
小 值. d>0,则 Sn 存在最____
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) × (5) × (6) √
解析
B B C
-49
题型分类·深度剖析
a+b A= 2 如果 ,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项.
基础知识·自主学习
要点梳理
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d ,(n,m∈N+). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n,(k,l,m,n∈N+), 则 ak+al=am+an .
知识回顾 理清教材
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 A.63
等差数列的性质及应用
(1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6 ( C.36 D.27 ( ) ) B.45
=36,则 a7+a8+a9 等于
(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146, 且所有项的和为 390,则这个数列的项数为
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章_数列
常考题型强化练——数列A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1.设等差数列{a n }前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A .6B .7C .8D .92.已知{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5等于( )A .35B .33C .31D .293.已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足2a n -a 1=S 1·S n (a 1≠0,n ∈N +),则a 7等于( ) A .16B .32C .64D .1284.已知等差数列{a n }的公差d =-2,a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是( )A .-78B .-82C .-148D .-1825.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若-a m <a 1<-a m +1(m ∈N +,且m ≥2),则必定有( ) A .S m >0,且S m +1<0 B .S m <0,且S m +1>0 C .S m >0,且S m +1>0D .S m <0,且S m +1<0二、填空题 6.若数列{a n }满足1a n +1-1a n =d (n ∈N +,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列,已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=________.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n -a n ,则数列{a n }的通项公式a n =__________. 8.已知等比数列{}a n 中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8的值为_____.三、解答题9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N +,a 3=5,S 10=100. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +2n ,求数列{b n }的前n 项和T n .10.已知等差数列{a n }的前三项为a -1,4,2a ,记前n 项和为S n .(1)设S k =2 550,求a 和k 的值;(2)设b n =S nn,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n -1的值.B 组 专项能力提升 (时间:25分钟)1.已知数列{a n }是首项为a 1=4的等比数列,且4a 1,a 5,-2a 3成等差数列,则其公比q 等于( )A .1B .-1C .1或-1 D. 22.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是第一象限的两个点,若1,x 1,x 2,4依次成等差数列,而1,y 1,y 2,8依次成等比数列,则△OP 1P 2的面积是 ( )A .1B .2C .3D .43.已知数列{a n}满足:a 1=1,a n=⎩⎨⎧1+2a n2, n 为偶数,12+2a n -12, n 为奇数,n =2,3,4,…,设b n =a 2n -1+1,n =1,2,3,…,则数列{b n }的通项公式是________. 4.某音乐酒吧的霓虹灯是用,,三个不同音符组成的一个含n +1(n ∈N +)个音符的音符串,要求由音符开始,相邻两个音符不能相同.例如n =1时,排出的音符串是,;n =2时,排出的音符串是,,,;…….记这种含n +1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n .故a 1=0,a 2=2.则 (1)a 4=________;(2)a n =________.5.已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n =12-12a n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设f (x )=log 3x ,b n =f (a 1)+f (a 2)+…+f (a n ),T n =1b 1+1b 2+…+1b n ,求T 2 012;(3)若c n =a n ·f (a n ),求{c n }的前n 项和U n .。
2015步步高高中数学文科文档第六章 6.3
§6.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q __表示. 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =a 1·q n -1.3.等比中项若G 2=a ·b _(ab ≠0),那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·q n -m ,(n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n .(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n , 当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为__q n __.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列. ( × ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( × ) (3)如果{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( × )(4)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列. ( × )(5)若{a n }是等比数列,则S 1·S 2·…·S k =0(k ≥2,k ∈N )的充要条件是a n +a n +1=0. ( √ ) (6)设{a n }是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ,Z ,则Y (Y -X )=X (Z -X )恒成立.( √ ) 2.(2013·江西)等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.24答案 A解析 由x,3x +3,6x +6成等比数列得,(3x +3)2=x (6x +6). 解得x 1=-3或x 2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24.3.(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10等于 ( )A.7B.5C.-5D.-7答案 D解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=a 1q 3+a 1q 6=2,a 5a 6=a 1q 4×a 1q 5=a 21q 9=-8, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3=-12,a 1=-8,∴a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=2,a 5a 6=a 4a 7=-8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=-2,a 7=4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-12,a 1=-8,∴a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7.4.(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =________;前n 项和S n =________. 答案 2 2n +1-2解析 设等比数列的公比为q ,由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40. 得20q =40,且a 1q +a 1q 3=20,解之得q =2,且a 1=2. 因此S n =a 1(1-q n )1-q=2n +1-2.5.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n +2=3a n +1-2a n ,则{a n }的前n 项和S n =________. 答案 2n -n -1解析 ∵a n +2=3a n +1-2a n ,∴a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),∴a n +2-a n +1a n +1-a n=2,∴数列{a n +1-a n },是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴ a n +1-a n =2n -1,∴a 2-a 1=20,a 3-a 2=21,a 4-a 3=22,…,a n -a n -1=2n -2,∴a n -a 1=20+21+…+2n -2=1-2n -11-2=2n -1-1,∴a n =2n -1-1,∴S n =(20+21+…+2n -1)-n =1-2n1-2-n =2n -n -1.题型一 等比数列的基本运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中,若a 4-a 2=6,a 5-a 1=15,则a 3=________. 思维启迪 利用等比数列的通项公式与前n 项和公式列方程(组)计算. 答案 (1)B (2)4或-4解析 (1)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1a 1(1-q 3)1-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4q =12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9q =-13(舍去),∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=4(1-125)1-12=314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3-a 1q =6a 1q 4-a 1=15,两式相除,得q 1+q 2=25,即2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-16q =12.故a 3=4或a 3=-4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在等比数列{a n }中,a 1=1,公比为q ,且|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于( )A.9B.10C.11D.12(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ) A.3B.4C.5D.6(3)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n }的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158答案 (1)C (2)B (3)C 解析 (1)∵a 1=1,∴a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10, 即a m =a 1·q 10,∴m =11.故选C.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3=a 4-2, ①3S 2=a 3-2 ②①-②得3a 3=a 4-a 3,即4a 3=a 4,则q =a 4a 3=4.(3)若q =1,则由9S 3=S 6得9×3a 1=6a 1, 则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q ,解得q =2.故a n =a 1q n -1=2n -1,1a n =(12)n -1.所以数列{1a n }是以1为首项,以12为公比的等比数列,其前5项和为S 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.题型二 等比数列的性质及应用例2 (1)在等比数列{a n }中,各项均为正值,且a 6a 10+a 3a 5=41,a 4a 8=5,则a 4+a 8=________.(2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________.思维启迪 利用等比数列的项的性质和前n 项和的性质求解.答案 (1)51 (2)-12解析 (1)由a 6a 10+a 3a 5=41及a 6a 10=a 28,a 3a 5=a 24, 得a 24+a 28=41.因为a 4a 8=5,所以(a 4+a 8)2=a 24+2a 4a 8+a 28=41+2×5=51.又a n >0,所以a 4+a 8=51. (2)由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠1,S 10-S 5S 5=-132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5, 故q 5=-132,q =-12.思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6等于( )A.5 2B.7C.6D.4 2(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *),已知a m -1·a m +1-2a m =0,且T 2m -1=128,则m 的值为( )A.4B.7C.10D.12(3)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和,且S 3=8,S 6=7,则a 4+a 5+…+a 9=________. 答案 (1)A (2)A (3)-78解析 (1)把a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9看成一个整体,则由题意,知它们分别是一个等比数列的第1项,第4项和第7项,这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列{a n }的各项均为正数,所以a 4a 5a 6=(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)=5×10=5 2. (2)因为{a n }是等比数列,所以a m -1a m +1=a 2m , 又由题中a m -1a m +1-2a m =0,可知a m =2.由等比数列的性质可知前(2m -1)项积为T 2m -1=a 2m -1m, 即22m -1=128,故m =4.(3)根据等比数列的性质,知S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列,即8,7-8,S 9-7成等比数列,所以(-1)2=8(S 9-7).解得S 9=718.所以a 4+a 5+…+a 9=S 9-S 3=718-8=-78.题型三 等比数列的判定例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1 (n ≥2),且a n +S n=n .(1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.思维启迪 (1)由a n +S n =n 及a n +1+S n +1=n +1转化成a n 与a n +1的递推关系,再构造数列{a n -1}.(2)由c n 求a n 再求b n . (1)证明 ∵a n +S n =n , ①∴a n +1+S n +1=n +1.②②-①得a n +1-a n +a n +1=1,∴2a n +1=a n +1,∴2(a n +1-1)=a n -1, ∴a n +1-1a n -1=12,∴{a n -1}是等比数列. 又a 1+a 1=1,∴a 1=12,∵首项c 1=a 1-1,∴c 1=-12,公比q =12.又c n =a n -1,∴{c n }是以-12为首项,以12为公比的等比数列.(2)解 由(1)可知c n =⎝⎛⎭⎫-12·⎝⎛⎭⎫12n -1=-⎝⎛⎭⎫12n , ∴a n =c n +1=1-⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时,b n =a n -a n -1=1-⎝⎛⎭⎫12n -⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n -1 =⎝⎛⎭⎫12n -1-⎝⎛⎭⎫12n =⎝⎛⎭⎫12n .又b 1=a 1=12代入上式也符合,∴b n =⎝⎛⎭⎫12n . 思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法,另外第(2)问中要注意验证n =1时是否符合n ≥2时的通项公式,能合并的必须合并.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2.(1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1=1及S n +1=4a n +2,有a 1+a 2=S 2=4a 1+2. ∴a 2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n +1=4a n +2, ①S n =4a n -1+2, ②①-②,得a n +1=4a n -4a n -1, 所以a n +1-2a n =2(a n -2a n -1). ∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1,故{b n }是首项b 1=3,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n =a n +1-2a n =3·2n -1,所以a n +12n +1-a n 2n =34,故{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列. 所以a n 2n =12+(n -1)·34=3n -14,得a n =(3n -1)·2n -2.等比数列求和忽视公比q 的范围致误典例:(5分)设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和S n >0(n =1,2,3,…).则q 的取值范围为________.易错分析 本题易忽视q 的范围,由于等比数列求和公式中分两种情况q =1和q ≠1,而本题未说明q 的范围,求解时应分类讨论,而不能直接利用公式S n =a 1(1-q n )1-q .解析 因为{a n }为等比数列,S n >0, 可以得到a 1=S 1>0,q ≠0, 当q =1时,S n =na 1>0; 当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q>0,即1-q n1-q >0(n =1,2,3,…),上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1-q <0,1-q n <0,(n =1,2,3,…), ①或⎩⎪⎨⎪⎧1-q >0,1-q n>0,(n =1,2,3,…). ②解①式得q >1,解②式,由于n 可为奇数,可为偶数, 得-1<q <1.综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 答案 (-1,0)∪(0,+∞)温馨提醒 在应用公式S n =a 1(1-q n )1-q 或S n =a 1-a n q 1-q 求和时,应注意公式的使用条件为q ≠1,而当q =1时,应按常数列求和,即S n =na 1.因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分q =1和q ≠1两种情况进行讨论,体现了分类讨论思想.方法与技巧 1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },{1a n }也是等比数列. (2)a 1a n =a 2a n -1=…=a m a n -m +1. 2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法:a n +1a n =q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列;也可用a n a n -1=q (q是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法:a 2n +1=a n a n +2(a n a n +1a n +2≠0,n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列.失误与防范1.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1.(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10等于( ) A.4B.5C.6D.7答案 B解析 利用等比数列的性质和通项公式求解.∵a 3·a 11=16,∴a 27=16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数, ∴a 7=4.又∵a 10=a 7q 3=4×23=25, ∴log 2a 10=5.故选B.2.等比数列{}a n 中,|a 1|=1,a 5=-8a 2.a 5>a 2,则a n 等于 ( )A.(-2)n -1B.-(-2)n -1C.(-2)nD.-(-2)n答案 A解析 ∵|a 1|=1,∴a 1=1或a 1=-1. ∵a 5=-8a 2=a 2·q 3,∴q 3=-8,∴q =-2. 又a 5>a 2,即a 2q 3>a 2,∴a 2<0. 而a 2=a 1q =a 1·(-2)<0,∴a 1=1. 故a n =a 1·(-2)n -1=(-2)n -1.3.(2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1等于( ) A.13B.-13C.19D.-19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q , 由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1, 即a 3=9a 1,q 2=9, 又a 5=a 1q 4=9,所以a 1=19.4.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,则该数列的项数是 ( )A.13B.12C.11D.10答案 B解析 设该等比数列为{a n },其前n 项积为T n , 则由已知得a 1·a 2·a 3=3,a n -2·a n -1·a n =9, (a 1·a n )3=3×9=33,∴a 1·a n =3,又T n =a 1·a 2·…·a n -1·a n , T n =a n ·a n -1·…·a 2·a 1,∴T 2n =(a 1·a n )n ,即7292=3n ,∴n =12. 5.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 33+…+a 2n 等于( )A.(3n -1)2B.12(9n -1) C.9n -1D.14(3n -1) 答案 B解析 ∵a 1+a 2+…+a n =3n -1,n ∈N *,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,∴当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,∴a n=2·3n-1,故数列{a2n}是首项为4,公比为9的等比数列.因此a21+a22+…+a2n=4(1-9n)1-9=12(9n-1).二、填空题6.等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q 为________. 答案 3解析 由a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1得 a 4-a 3=2(S 3-S 2)=2a 3, ∴a 4=3a 3,∴q =a 4a 3=3.7.(2012·江西)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________. 答案 11解析 利用“特殊值”法,确定公比.由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q ,则a 1(q 2+q -2)=0. 由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去), 则S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-(-2)53=11.8.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q 的值为________. 答案 -2解析 由已知条件得2S n =S n +1+S n +2, 即2S n =2S n +2a n +1+a n +2,即a n +2a n +1=-2.三、解答题9.已知等差数列{a n }满足a 2=2,a 5=8. (1)求{a n }的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列{b n }中,b 1=1,b 2+b 3=a 4,求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =2a 1+4d =8.∴a 1=0,d =2.∴a n =a 1+(n -1)d =2n -2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ,则由已知得q +q 2=a 4, ∵a 4=6,∴q =2或q =-3.∵等比数列{b n }的各项均为正数,∴q =2.∴{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1.10.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a na n +3(n ∈N *).(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n+12是等比数列,并求{a n }的通项公式a n ;(2)数列{b n }满足b n =(3n -1)·n2n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)由a n +1=a n a n +3得1a n +1=a n +3a n =1+3a n ,即1a n +1+12=3(1a n +12),又1a 1+12=32, 所以{1a n +12}是以32为首项,3为公比的等比数列,所以1a n +12=32×3n -1=3n2,即a n =23n -1. (2)b n =n2n -1.T n =1×120+2×121+3×122+…+(n -1)×12n -2+n ×12n -1,T n 2=1×121+2×122+…+(n -1)×12n -1+n ×12n , 两式相减得T n 2=120+121+122+…+12n -1-n ×12n =2-n +22n ∴T n =4-n +22n -1.B 组 专项能力提升 (时间:30分钟)1.已知{a n }是首项为1的等比数列,若S n 是{a n }的前n 项和,且28S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为 ( )A.158或4B.4027或4C.4027D.158 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q =1时,由a 1=1,得28S 3=28×3=84. 而S 6=6,两者不相等,因此不合题意.当q ≠1时,由28S 3=S 6及首项为1,得28(1-q 3)1-q =1-q 61-q .解得q =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1+13+19+127=4027.2.(2013·福建)已知等比数列{a n }的公比为q ,记b n =a m (n -1)+1+a m (n -1)+2+…+a m (n -1)+m ,c n =a m (n -1)+1·a m (n -1)+2·…·a m (n -1)+m (m ,n ∈N *),则以下结论一定正确的是 ( )A.数列{b n }为等差数列,公差为q mB.数列{b n }为等比数列,公比为q 2mC.数列{c n }为等比数列,公比为qm 2D.数列{c n }为等比数列,公比为qm m 答案 C解析 ∵b n =a m (n -1)(q +q 2+…+q m )∴b n +1b n =a mn (q +q 2+…+q m )a m (n -1)(q +q 2+…+q m )=a mn a m (n -1)=q m (常数). b n +1-b n 不是常数. 又∵c n =(a m (n -1))m q1+2+…+m=(a m (n -1)q )m ,∴c n +1c n =(a mn a m (n -1))m =(q m )m =qm 2(常数). c n +1-c n 不是常数. ∴选C.3.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n =2(a n -1+a n -2+…+a 2+a 1) (n ≥2,n ∈N *),这个数列的通项公式是______________________________________________________.答案 a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =12×3n -2, n ≥2 解析 由已知n ≥2时,a n =2S n -1 ①当n ≥3时,a n -1=2S n -2②①-②整理得a na n -1=3 (n ≥3), ∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,2×3n -2, n ≥2. 4.已知在正项数列{a n }中,a 1=2,点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上,数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2-x 2=1上知,a n +1-a n =1, ∴数列{a n }是一个以2为首项,以1为公差的等差数列, ∴a n =a 1+(n -1)d =2+n -1=n +1.(2)证明 ∵点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,∴T n =-12b n +1,① ∴T n -1=-12b n -1+1(n ≥2),②m +12①②两式相减得b n =-12b n +12b n -1(n ≥2),∴32b n =12b n -1,∴b n =13b n -1(n ≥2). 令n =1,得b 1=-12b 1+1,∴b 1=23,∴{b n }是一个以23为首项,以13为公比的等比数列.5.(2013·天津)已知首项为32的等比数列{a n }不是..递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =S n -1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列, 所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3, 于是q 2=a 5a 3=14.又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n =32×⎝⎛⎭⎫-12n -1=(-1)n -1·32n . (2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎫-12n =⎩⎨⎧1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1=32,故0<S n -1S n ≤S 1-1S 1=32-23=56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大, 所以34=S 2≤S n <1,故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-712.综上,对于n ∈N *,总有-712≤S n -1S n ≤56.56,最小项的值为-712.所以数列{T n}最大项的值为。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1
§6.1 数列的概念及简单表示法1. 数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项. 2. 数列的分类3.数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和解析法. 4. 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作这个数列的通项公式.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n =1)S n -S n -1 (n ≥2).1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n =1+(-1)n +12.( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对任意n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n .( √ )(5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2. ( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=12a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项.( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( )A .15B .16C .49D .64答案 A解析 ∵S n =n 2,∴a 1=S 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15.3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于( )A .1B .9C .10D .55答案 A解析 ∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1. 可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1. 即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1.4. (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n =________.答案 (-2)n -1解析 当n =1时,a 1=1;当n ≥2时, a n =S n -S n -1=23a n -23a n -1,故a n a n -1=-2,故a n =(-2)n -1. 当n =1时,也符合a n =(-2)n -1. 综上,a n =(-2)n -1.5. (2013·安徽)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n …分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行, 且所有梯形A n B n B n +1A n +1的面积均相等.设OA n =a n ,若a 1=1, a 2=2,则数列{a n }的通项公式是________. 答案 a n =3n -2 解析 由已知221111++++++=n n n n n n n n A B B A A BB A S S 梯形梯形112211++++++∆∆∆∆-=-n n n n n n n n A O B A O B A O B A O B S S S S ,即S △OBnAn +11222++++∆∆=n n n n A O B A O B S S由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n +OA 2n +2=2OA 2n +1,即a 2n +a 2n +2=2a 2n +1, 因此{a 2n }为等差数列且a 2n =a 21+3(n -1)=3n -2,故a n =3n -2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,…;(2)12,34,78,1516,3132,…; (3)-1,32,-13,34,-15,36,…;(4)3,33,333,3 333,….思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系.解 (1)各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以a n =2n -12n .(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以a n =(-1)n·2+(-1)nn.也可写为a n=⎩⎨⎧-1n,n 为正奇数,3n ,n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93,993,9993,9 9993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…, 所以a n =13(10n -1).思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征,应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.(1)数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式是a n =________________.(2)数列{a n }的前4项是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是a n =________.答案 (1)(-1)n ·(6n -5) (2)2n +1n 2+1解析 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6,故通项公式为a n =(-1)n (6n -5).(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132+1,2×4+142+1,故a n =2n +1n 2+1.题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式:(1)S n =2n 2-3n ; (2)S n =3n +b .思维启迪 当n =1时,由a 1=S 1,求a 1;当n ≥2时,由a n =S n -S n -1消去S n ,得a n +1与a n 的关系.转化成由递推关系求通项. 解 (1)a 1=S 1=2-3=-1, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-3n )-[2(n -1)2-3(n -1)]=4n -5, 由于a 1也适合此等式,∴a n =4n -5. (2)a 1=S 1=3+b , 当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =(3n +b )-(3n -1+b )=2·3n -1.当b =-1时,a 1适合此等式. 当b ≠-1时,a 1不适合此等式. ∴当b =-1时,a n =2·3n -1;当b ≠-1时,a n =⎩⎪⎨⎪⎧3+b , n =1,2·3n -1, n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.当n =1时,a 1若适合S n -S n -1,则n =1的情况可并入n ≥2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示.已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n +1,则其通项公式为________________.答案 a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =16n -5,n ≥2解析 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1+1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n +1-[3(n -1)2-2(n -1)+1] =6n -5,显然当n =1时,不满足上式.故数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,6n -5,n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则通项a n =________.(2)数列{a n }中,a 1=1,a n +1=3a n +2,则它的一个通项公式为a n =________. (3)在数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +23a n .则{a n }的通项公式为________.思维启迪 观察递推式的特点,可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式. 答案 (1)n (n +1)2+1 (2)2×3n -1-1 (3)a n =n (n +1)2解析 (1)由题意得,当n ≥2时, a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =2+(2+3+…+n )=2+(n -1)(2+n )2=n (n +1)2+1.又a 1=2=1×(1+1)2+1,符合上式,因此a n =n (n +1)2+1.(2)方法一 (累乘法)a n +1=3a n +2,即a n +1+1=3(a n +1), 即a n +1+1a n +1=3, 所以a 2+1a 1+1=3,a 3+1a 2+1=3,a 4+1a 3+1=3,…,a n +1+1a n +1=3.将这些等式两边分别相乘得a n +1+1a 1+1=3n.因为a 1=1,所以a n +1+11+1=3n,即a n +1=2×3n -1(n ≥1), 所以a n =2×3n -1-1(n ≥2),又a 1=1也满足上式,故数列{a n }的一个通项公式为a n =2×3n -1-1.方法二 (迭代法) a n +1=3a n +2,即a n +1+1=3(a n +1)=32(a n -1+1)=33(a n -2+1) =…=3n (a 1+1)=2×3n (n ≥1), 所以a n =2×3n -1-1(n ≥2),又a 1=1也满足上式,故数列{a n }的一个通项公式为a n =2×3n -1-1.(3)由题设知,a 1=1.当n >1时,a n =S n -S n -1=n +23a n -n +13a n -1.∴a n a n -1=n +1n -1. ∴a n a n -1=n +1n -1,…,a 4a 3=53,a 3a 2=42,a 2a 1=3. 以上n -1个式子的等号两端分别相乘,得到a n a 1=n (n +1)2,又∵a 1=1,∴a n =n (n +1)2.思维升华 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现a n =a n -1+m 时,构造等差数列;当出现a n =xa n -1+y 时,构造等比数列;当出现a n =a n -1+f (n )时,用累加法求解;当出现a na n -1=f (n )时,用累乘法求解.(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n -1n a n -1(n ≥2),则a n =________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1(n ∈N +),则a 5等于( )A .-16B .16C .31D .32答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n =n -1n a n -1 (n ≥2),∴a n -1=n -2n -1a n -2,…,a 2=12a 1.以上(n -1)个式子相乘得 a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n.(2)当n =1时,S 1=2a 1-1,∴a 1=1. 当n ≥2时,S n -1=2a n -1-1, ∴a n =2a n -2a n -1, ∴a n =2a n -1.∴{a n }是等比数列且a 1=1,q =2, 故a 5=a 1×q 4=24=16.数列问题中的函数思想典例:(12分)已知数列{a n }.(1)若a n =n 2-5n +4, ①数列中有多少项是负数?②n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值.(2)若a n =n 2+kn +4且对于n ∈N +,都有a n +1>a n .求实数k 的取值范围.思维启迪 (1)求使a n <0的n 值;从二次函数看a n 的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式f (n )=n 2+kn +4.f (n )在N +上单调递增,但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究单调性. 规范解答解 (1)①由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N +,∴n =2,3.∴数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.[4分]②∵a n =n 2-5n +4=⎝⎛⎭⎫n -522-94的对称轴方程为n =52.又n ∈N +,∴当n =2或n =3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.[8分](2)由a n +1>a n 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N +,所以-k 2<32,即得k >-3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N +上的二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实数k 的取值范围,使问题得到解决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析:本题易错答案为k >-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.方法与技巧1. 求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n 或(-1)n+1来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2. 强调a n 与S n 的关系:a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n =1)S n -S n -1 (n ≥2).3. 已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有两种常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式. 失误与防范1. 数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列a n =f (n )和函数y =f (x )的单调性是不同的. 2. 数列的通项公式不一定唯一.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1. 数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( )A.(-1)n +12B .cos n π2C .cosn +12πD .cosn +22π 答案 D解析 令n =1,2,3,…逐一验证四个选项,易得D 正确.2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ≥1),则a 6等于( )A .3×44B .3×44+1C .45D .45+1答案 A解析 当n ≥1时,a n +1=3S n ,则a n +2=3S n +1, ∴a n +2-a n +1=3S n +1-3S n =3a n +1,即a n +2=4a n +1, ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列.又a 2=3S 1=3a 1=3,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1(n =1),3×4n -2(n ≥2). ∴当n =6时,a 6=3×46-2=3×44.3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10等于( )A .15B .12C .-12D .-15答案 A解析 由题意知,a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)] =3×5=15.4.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1,则数列{a n }( )A .有最大项,没有最小项B .有最小项,没有最大项C .既有最大项又有最小项D .既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1,令t =(23)n -1,t ∈(0,1],t 是减函数,则a n =t 2-t =(t -12)2-14,由复合函数单调性知a n 先递增后递减. 故有最大项和最小项,选C.5.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =n n +1,则1a 5等于( )A.56B.65C.130D .30答案 D解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n n +1-n -1n =1n (n +1),所以1a 5=5×6=30.二、填空题6.已知数列{n 2n 2+1},则0.98是它的第________项.答案 7解析 n 2n 2+1=0.98=4950,∴n =7.7. 数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N +,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=________.答案6116解析 由题意知:a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2, ∴a n =(n n -1)2(n ≥2),∴a 3+a 5=(32)2+(54)2=6116.8.已知{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N +,a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是________. 答案 (-3,+∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N +,都有a n +1>a n , 即(n +1)2+λ(n +1)>n 2+λn ,整理,得 2n +1+λ>0,即λ>-(2n +1).(*)因为n ≥1,所以-(2n +1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 方法二 (函数法)设f (n )=a n =n 2+λn ,其图像的对称轴为直线n =-λ2,要使数列{a n }为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数, 故只需满足f (1)<f (2),即λ>-3. 三、解答题9.数列{a n }的通项公式是a n =n 2-7n +6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?解 (1)当n =4时,a 4=42-4×7+6=-6.(2)令a n =150,即n 2-7n +6=150,解得n =16或n =-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n =n 2-7n +6>0,解得n >6或n <1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (n +1)10n,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有,说明理由.解 a n +1-a n =9n +1(n +2)10n +1-9n (n +1)10n =9n 10n ·8-n 10, 当n <8时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ;当n =8时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ;当n >8时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 8=a 9>a 10>a 11>…,故数列{a n }有最大项,为第8项和第9项,且a 8=a 9=98×9108=99108. B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第1个格子,在格子中每次可向前跳1格或2格,那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A .8种B .13种C .21种D .34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ,则到达第n 个格子的方法有两类:①向前跳1格到达第n 个格子,方法种数为a n -1;②向前跳2格到达第n 个格子,方法种数为a n -2,则a n =a n -1+a n -2,由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2.数列{a n }满足a n +a n +1=12(n ∈N +),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A .5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n +a n +1=12(n ∈N +), ∴a 1=12-a 2=12-2,a 2=2,a 3=12-2,a 4=2,…, 故a 2n =2,a 2n -1=12-2. ∴S 21=10×12+a 1=5+12-2=72. 3. 若数列{n (n +4)(23)n }中的最大项是第k 项,则k =________. 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k +4)(23)k ≥(k +1)(k +5)(23)k +1k (k +4)(23)k ≥(k -1)(k +3)(23)k -1,所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2-2k -9≤0,由k ∈N +可得k =4. 4. 已知数列{a n }满足前n 项和S n =n 2+1,数列{b n }满足b n =2a n +1,且前n 项和为T n ,设c n =T 2n +1-T n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)判断数列{c n }的增减性.解 (1)a 1=2,a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2).∴b n =⎩⎨⎧ 23(n =1)1n (n ≥2).(2)∵c n =b n +1+b n +2+…+b 2n +1=1n +1+1n +2+…+12n +1, ∴c n +1-c n =12n +2+12n +3-1n +1 =12n +3-12n +2=-1(2n +3)(2n +2)<0, ∴{c n }是递减数列.5. 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n +1=S n +3n ,n ∈N +.(1)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(2)若a n +1≥a n ,n ∈N +,求a 的取值范围.解 (1)依题意,S n +1-S n =a n +1=S n +3n ,即S n +1=2S n +3n ,由此得S n +1-3n +1=2(S n -3n ). 即b n +1=2b n ,又b 1=S 1-3=a -3, 因此,所求通项公式为b n =S n -3n =(a -3)2n -1,n ∈N +. (2)由(1)知S n =3n +(a -3)2n -1,n ∈N +, 于是,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2n -1-3n -1-(a -3)2n -2 =2×3n -1+(a -3)2n -2, a n +1-a n =4×3n -1+(a -3)2n -2 =2n -2[12(32)n -2+a -3], 当n ≥2时,a n +1≥a n ⇒12(32)n -2+a -3≥0⇒a ≥-9. 又a 2=a 1+3>a 1.综上,所求的a 的取值范围是[-9,+∞).。
步步高文科高考数学一轮复习1
§1.1 集合旳概念及其基本运算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素 (1)集合元素旳三个特征:__拟__定__性___、_互__异__性___、
__无__序__性___. (2)元素与集合旳关系是__属__于__或_不__属__于___关系,
用符号____或_____表达.
2 .
2
a
2.
综上知,当A B 时,a<-8或a≥2.
6分
(2)当a=0时,显然B A;
当a<0时,若B A,如图,
4 则 a
1 a
1 2, 2
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时,若B A,如图,
则4 a
1 a
2
1 2 ,
a a
2 . 2
0
a
2.
综上知,当B A时, 1 a 2
4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算旳常用措施,其中利用数轴图示法要尤其注意端点 是实心还是空心.
5.要注意A B、A∩B=A、A∪B=B、 这五个关系式旳等价性.
返回
B.{1,4,5}
(B )
C.{4,5}
D.{1,5}
解析 ∵A={1,2,3},B={2,3,4},
∴A∩B={2,3}.
又U={1,2,3,4,5},
∴ U(A∩B)={1,4,5}.
2.已知三个集合U,A,B及元素间旳关系如图所示,
则( UA)∩B等于
(A )
A.{5,6}
B.{3,5,6}
思想措施 感悟提升
措施与技巧
1.集合中旳元素旳三个性质,尤其是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验,要注重符号 语言与文字语言之间旳相互转化.
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§6.2 等差数列及其前n 项和1. 等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母__d __表示. 2. 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3. 等差中项如果A =a +b2,那么A 叫作a 与b 的等差中项.4. 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d ,(n ,m ∈N +).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N +),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N +)是公差为md 的等差数列.5. 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d .6. 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7. 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值.1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N +,都有2a n +1=a n +a n +2. ( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数. ( × ) (5)数列{a n }满足a n +1-a n =n ,则数列{a n }是等差数列.( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( √ )2. 设{a n }为等差数列,公差d =-2,S n 为其前n 项和,若S 10=S 11,则a 1等于 ( )A .18B .20C .22D .24答案 B解析 因为S 10=S 11,所以a 11=0. 又因为a 11=a 1+10d ,所以a 1=20.3. (2012·辽宁)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于 ( )A .58B .88C .143D .176答案 B解析 S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 4+a 8)2=88.4. (2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m等于( )A .3B .4C .5D .6答案 C解析 a m =2,a m +1=3,故d =1, 因为S m =0,故ma 1+m (m -1)2d =0,故a 1=-m -12,因为a m +a m +1=5, 故a m +a m +1=2a 1+(2m -1)d =-(m -1)+2m -1=5, 即m =5.5. (2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为________. 答案 -49解析 由题意知a 1+a 10=0,a 1+a 15=103.两式相减得a 15-a 10=103=5d ,∴d =23,a 1=-3.∴nS n =n ·⎝⎛⎭⎫na 1+n (n -1)2d =n 3-10n 23=f (n ), 令f (x )=x 3-10x 23,x >0,f ′(x )=13x (3x -20).令f ′(x )=0得x =0(舍)或x =203.当x >203时,f (x )是单调递增的;当0<x <203时,f (x )是单调递减的.故当n =7时,f (n )取最小值,f (n )min =-49. ∴nS n 的最小值为-49.题型一 等差数列的基本运算例1 在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.思维启迪 等差数列基本量的计算,基本思想就是根据条件列方程,求等差数列的首项与公差.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d . 由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3,解得d =-2. 从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)可知a n =3-2n , 所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n -n 2.由S k =-35,可得2k -k 2=-35, 即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N +,故k =7.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7等于( )A .12B .13C .14D .15(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=12,S 4=20,则S 6等于( ) A .16B .24C .36D .48(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12B .1C .2D .3答案 (1)B (2)D (3)C解析 (1)由题意得S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25,故a 3=5,公差d =a 3-a 2=2,a 7=a 2+5d=3+5×2=13.(2)∵S 4=2+6d =20,∴d =3,故S 6=3+15d =48. (3)∵S n =n (a 1+a n )2,∴S n n =a 1+a n 2,又S 33-S 22=1,得a 1+a 32-a 1+a 22=1,即a 3-a 2=2, ∴数列{a n }的公差为2. 题型二 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于 ( )A .63B .45C .36D .27(2)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( )A .13B .12C .11D .10(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 014,S 2 0142 014-S 2 0082 008=6,则S 2 013等于( )A .2 013B .-2 013C .-4 026D .4 026思维启迪 (1)根据S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列解此题;(2)利用a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2求n ;(3)数列{S nn }为等差数列.答案 (1)B (2)A (3)C解析 (1)由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列.即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,故选B.(2)因为a 1+a 2+a 3=34,a n -2+a n -1+a n =146, a 1+a 2+a 3+a n -2+a n -1+a n =34+146=180, 又因为a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2, 所以3(a 1+a n )=180,从而a 1+a n =60, 所以S n =n (a 1+a n )2=n ·602=390,即n =13.(3)由等差数列的性质可得{S nn }也为等差数列.又∵S 2 0142 014-S 2 0082 008=6d =6,∴d =1.故S 2 0132 013=S 11+2 012d =-2 014+2 012=-2, ∴S 2 013=-2×2 013=-4 026,故选C.思维升华 在等差数列{a n }中,数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列;{S nn }也是等差数列.等差数列的性质是解题的重要工具.(1)设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( )A .14B .21C .28D .35(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 答案 (1)C (2)60解析 (1)∵a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4, ∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.(2)∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列, ∴2(S 20-S 10)=S 10+S 30-S 20, ∴40=10+S 30-30,∴S 30=60. 题型三 等差数列的前n 项和及其最值例3 (1)在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值;(2)已知数列{a n }的通项公式是a n =4n -25,求数列{|a n |}的前n 项和.思维启迪:(1)由a 1=20及S 10=S 15可求得d ,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用S n 是关于n 的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号. 解 (1)方法一 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.∴a n =20+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-53=-53n +653. ∴a 13=0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13=S 12=12×20+12×112×⎝⎛⎭⎫-53=130.方法二 同方法一求得d =-53.∴S n =20n +n (n -1)2·⎝⎛⎭⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝⎛⎭⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N +,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 方法三 同方法一求得d =-53.又由S 10=S 15得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值. 且最大值为S 12=S 13=130.(2)∵a n =4n -25,a n +1=4(n +1)-25, ∴a n +1-a n =4=d ,又a 1=4×1-25=-21.所以数列{a n }是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.令⎩⎪⎨⎪⎧a n =4n -25<0, ①a n +1=4(n +1)-25≥0, ②由①得n <614;由②得n ≥514,所以n =6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|=a 7=4×7-25=3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则T n=⎩⎨⎧21n +n (n -1)2×(-4) (n ≤6)66+3(n -6)+(n -6)(n -7)2×4 (n ≥7)=⎩⎪⎨⎪⎧-2n 2+23n (n ≤6),2n 2-23n +132 (n ≥7).思维升华 求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:①利用等差数列的单调性,求出 其正负转折项;②利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;③将等差数列的前 n 项和S n =An 2+Bn (A 、B 为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值.(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .9(2)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a k +a 4=0,则k =________. 答案 (1)A (2)10解析 (1)设该数列的公差为d ,则a 4+a 6=2a 1+8d =2×(-11)+8d =-6,解得d =2, 所以S n =-11n +n (n -1)2×2=n 2-12n =(n -6)2-36,所以当S n 取最小值时,n =6. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 9-S 4=0,即a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0,5a 7=0,故a 7=0. 而a k +a 4=0,故k =10.等差数列的最值问题典例:(15分)(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是( )A .5B .6C .7D .8(2)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. (3)设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n 的值为( )A .5B .6C .5或6D .11思维启迪 (1)由已知分析等差数列项的变化规律、符号.(2)等差数列前n 项的和S n 是关于n 的二次函数,可将S n 的最大值转化为求二次函数的最值问题.(3)根据条件确定数列最后的非负项.解析 (1)依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0;又数列{a n }是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6,选B.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,代入求和公式得,S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2=-n 2+21n =-(n -212)2+(212)2,又因为n ∈N +,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.(3)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大,选C. 答案 (1)B (2)110 (3)C温馨提醒 (1)求等差数列前n 项和的最值常用的方法:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;②利用等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A 、B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)注意区别等差数列前n 项和S n 的最值和S n 的符号.方法与技巧1.等差数列的判断方法(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N +)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列.2.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量,通过建立方程(组)获得解.3.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a ,a +d ,a +2d ;(2)a -d ,a ,a +d ;(3)a -d ,a +d ,a +3d 等,可视具体情况而定. 失误与防范1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数,当公差d =0时,a n 为常数. 2.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1.(2012·福建)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( )A .1B .2C .3D .4答案 B解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+4d =10,a 1+3d =7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2.∴d =2.方法二 ∵在等差数列{a n }中,a 1+a 5=2a 3=10, ∴a 3=5.又a 4=7,∴公差d =7-5=2.2.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( )A .a 1+a 101>0B .a 2+a 100<0C .a 3+a 99=0D .a 51=51答案 C解析 由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101 =a 1+a 1012×101=0. 所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.3.已知等差数列{a n }中,a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186答案 C解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2=a 1+d =6a 5=a 1+4d =15,所以a 1=3,d =3, b n =a 2n =a 1+(2n -1)d =6n , S 5=5(b 1+b 5)2=5(6+6×5)2=90,因此选C 项.4.(2013·辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列;p 4:数列{a n +3nd }是递增数列.其中的真命题为 ( )A .p 1,p 2B .p 3,p 4C .p 2,p 3D .p 1,p 4答案 D解析 由于p 1:a n =a 1+(n -1)d ,d >0, ∴a n -a n -1=d >0,命题p 1正确. 对于p 2:na n =na 1+n (n -1)d ,∴na n -(n -1)a n -1=a 1+2(n -1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关. 故数列{na n }不一定递增,命题p 2不正确. 对于p 3:a n n =a 1n +n -1n d ,∴a n n -a n -1n -1=-a 1+dn (n -1),当d -a 1>0,即d >a 1时,数列{a nn }递增,但d >a 1不一定成立,则p 3不正确. 对于p 4:设b n =a n +3nd , 则b n +1-b n =a n +1-a n +3d =4d >0. ∴数列{a n +3nd }是递增数列,p 4正确. 综上,正确的命题为p 1,p 4.5.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A .24B .48C .60D .84答案 C解析 由a 1>0,a 10·a 11<0可知d <0,a 10>0,a 11<0, ∴T 18=a 1+…+a 10-a 11-…-a 18 =S 10-(S 18-S 10)=60,故选C. 二、填空题6.(2013·广东)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________.答案 20解析 设公差为d ,则a 3+a 8=2a 1+9d =10, ∴3a 5+a 7=4a 1+18d =2(2a 1+9d )=20.7. S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5=________.答案 -1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1+d =6a 1+6×52d ,a 1+3d =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=7,d =-2, ∴a 5=a 4+d =1+(-2)=-1. 8.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N +),则a 10=________. 答案 14 解析 由已知1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, ∴a 10=14. 三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 2=8,前10项和S 10=185.求数列{a n }的通项公式a n .解 设数列{a n }的公差为d ,因为a 2=8,S 10=185,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =810a 1+10×92d =185,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=5d =3, 所以a n =5+(n -1)×3=3n +2,即a n =3n +2.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1<0,S 2 015=0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值;(2)求n 的取值集合,使a n ≥S n .解 (1)设公差为d ,则由S 2 015=0⇒2 015a 1+2 015×2 0142d =0⇒a 1+1 007d =0, d =-11 007a 1,a 1+a n =2 015-n 1 007a 1, ∴S n =n 2(a 1+a n )=n 2·2 015-n 1 007a 1=a 12 014(2 015n -n 2). ∵a 1<0,n ∈N +,∴当n =1 007或1 008时,S n 取最小值504a 1.(2)a n =1 008-n 1 007a 1,S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n -n 2)≤1 008-n 1 007a 1. ∵a 1<0,∴n 2-2 017n +2 016≤0,即(n -1)(n -2 016)≤0,解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016,n ∈N +}.B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为( ) A .11B .19C .20D .21答案 B解析 ∵a 11a 10<-1,且S n 有最大值, ∴a 10>0,a 11<0,且a 10+a 11<0,∴S 19=19(a 1+a 19)2=19·a 10>0, S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0, 故使得S n >0的n 的最大值为19.2.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 答案1941 解析 ∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 答案 6766解析 设所构成数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4, 解得⎩⎨⎧ a 1=1322,d =766,∴a 5=a 1+4d =1322+4×766=6766. 4.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110.(1)求a 及k 的值;(2)设数列{b n }的通项b n =S n n,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n . 解 (1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a , 由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2,所以S k =ka 1+k (k -1)2·d =2k +k (k -1)2×2=k 2+k . 由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10.(2)由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1),则b n =S n n=n +1, 故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2. 5.(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =-3,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3. 所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n -1)=-3n +5或a n =-4+3(n -1)=3n -7. 故a n =-3n +5或a n =3n -7.(2)当a n =-3n +5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n -7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n -7|=⎩⎪⎨⎪⎧-3n +7,n =1,2,3n -7,n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n =1时,S 1=|a 1|=4;当n =2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n | =5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n -7)=5+(n -2)[2+(3n -7)]2=32n 2-112n +10. 当n =2时,满足此式.综上,S n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,32n 2-112n +10,n ≥2.。