八年级数学重心定理

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八年级数学重心定理

A E G C B C F
3.掌握常用的数学解题方法。如利用比例线段证线段相等以及有关面积的解题方法
E B
G D
现在，轮到我来考你们了！
A
思考： ABC中，中线BE 与中线CD交于G点，
D G
E
若M为BE中点， N为CD中点，求S MNG : S EDG
C
M
B
N
这节课就上到这，回去后好好复习！
A
三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一。三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一。
G B D E F C
已知：RtACB, ACB 90 , AC 4, BC 3,
o
G是 ABC的重心;
A
求：1.点G到直角顶点C的距离GC；
o
解：RtACB , ACB 90 AB 5 5 AC 4, BC 3 D CD E 2 CD 是中线 F G 是 ABC 的重心 G CG 2 CD
C B
5 CG 3

3
2.点G到斜边AB的距离
已知：ABC中AB AC , AD BC, AD 与中线BE相交于点G; AD 18cm , GE 5cm , 求：BC的长。
A
E G B
?
D
C
已知 ABC 的中线CD 、 BE相交于点G;
A
求： 1 : S 4 ... S : 2 :S S 6 S 3 5 S DG E B GC C ; DG E DEC ;; DG E DG B ; DG E :S AB C B EG ADC ;
EF 是中位线
F E G B

重心定理

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

三角形重心性质定理

三角形重心性质定理三角形是初中数学中重要的几何概念之一，其性质和定理也是我们学习的重点之一。

其中，三角形重心性质定理是其中一个非常重要且有趣的定理。

本文将详细介绍三角形重心性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

一、三角形的定义在介绍三角形重心性质定理之前，我们先来回顾一下三角形的定义。

三角形是由三条边和三个顶点所确定的一个平面图形。

三角形的重心被定义为三角形三条中线的交点，记作G。

中线是连接三角形某一顶点与对边中点的线段。

在三角形ABC中，中线AG连接顶点A与对边BC的中点M，中线BG连接顶点B与对边AC的中点N，中线CG连接顶点C与对边AB的中点P。

三线共点的交点G即为三角形ABC的重心。

二、三角形重心性质定理是指任意三角形的重心与顶点之间的距离之比为2:1。

具体而言，我们有以下定理：定理：在任意三角形中，重心到各个顶点的距离的比值为2:1。

证明：设三角形ABC的顶点分别为A、B、C，重心为G。

由三角形的定义可知，AG、BG、CG分别为三角形ABC的三条中线，其长度分别为a'、b'、c'。

我们需要证明：AG:BG:CG=2:1:1首先，我们可以得知由中位线的性质可知，AM=MB，AN=NC，BP=PC。

因此，在三角形ABC中，我们可以得到以下等式：AG=2GM （1）BG=2GN （2）CG=2GP （3）由等式（1）、（2）、（3）可知，AG、BG、CG分别是GM、GN、GP的两倍。

因此，我们得到以下等式：AG:GM=2:1 （4）BG:GN=2:1 （5）CG:GP=2:1 （6）由于GM、GN、GP分别为重心G到顶点A、B、C的距离，通过等式（4）、（5）、（6）我们可以得出：AG:BG:CG=2:1:1因此，定理得证。

三、三角形重心性质定理的应用三角形重心性质定理在解决相关几何问题中起着重要的作用。

下面以一些例子来说明这个定理的应用。

例1：已知三角形ABC，重心G所在直线与边BC的交点为D，求证：BD:DC=2:1。

重心的初中数学知识点总结

重心的初中数学知识点总结
关于重心的初中数学知识点总结
1、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。

2、几种几何图形的重心：
⑴ 线段的重心就是线段的`中点；
⑵ 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
⑶ 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；
⑷ 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。

提示：⑴ 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；
⑵ 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。

3、常见图形重心的性质：
⑴ 线段的重心把线段分为两等份；
⑵ 平行四边形的重心把对角线分为两等份；
⑶ 三角形的重心把中线分为1:2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。

上面对重心知识点的巩固学习，同学们都能熟练的掌握了吧，希望同学们很好的复习学习数学知识。

三角形重心性质定理.

三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的重要方法之一。

6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。

三角形中的重心与外心定理

三角形中的重心与外心定理三角形是几何学中最基本的形状之一，研究三角形的性质和特点对于深入了解几何学具有重要意义。

在三角形中，重心和外心是两个重要的概念，通过重心与外心定理，我们可以揭示它们的关系和性质。

重心是指三角形三条中线的交点，记作G。

在一个三角形ABC中，连接顶点A与边BC的中点M，连接顶点B与边AC的中点N，连接顶点C与边AB的中点P，这三条线段分别称为三角形ABC的中线。

重心G是中线的交点，即G=MN∩NP∩PM。

外心是指三角形外接圆的圆心，记作O。

在一个三角形ABC中，若存在一个圆可以同时与三条边AB、BC、CA相切，称这个圆为三角形ABC的外接圆。

外心O则为外接圆的圆心。

重心与外心定理是指，三角形的重心、外心和三边中点构成一个等腰三角形。

换句话说，连接重心和外心的线段与连接三边中点的线段长度相等，且它们之间的夹角等于π/2。

证明这个定理的方法有很多，这里我们可以采用向量的方法。

考虑一个三角形ABC，其三个顶点的向量表示分别为a、b、c。

重心G可以表示为G=(a+b+c)/3，外心O可以表示为O=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)，其中|a|表示向量a的模。

首先，我们来证明 |G-M|=|O-G|。

注意到中点M的向量表示为M=(b+c)/2，连接线段GM的向量表示为G-M=(a+b+c)/3-(b+c)/2=(a-b/2-c/2)/3。

同理，O-G=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)-(a+b+c)/3=(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))。

我们将等式两边进行化简，得到：6(G-M)=2(a-b/2-c/2)=(2a-b-c)=3(a-b/2-c/2)=|a|∗(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))=|O-G|说明 |G-M|=|O-G| 成立。

八年级数学重心说课(1)

教学准备：教师：课件学生：玻璃棒、细绳、刻度尺、
以及平行四边形、矩形、菱形、正方形的纸板
二、教学程序设计： A、创设问题情景，搭建探究平台
a、播放课件：新疆达瓦孜表演
b、学生表演：手转数学课本
探究（一）：寻找线段的重心
（1）猜想：线段的重心是线段的中点（2）利用手中器材（一根玻璃棒、细绳、刻
； erp系统鼎捷erp 上海erp 易助erp ；
着它们深吸咯壹口气道/要确定我达到六尘境/你们还能挡住我吗/ 三人为之壹愣/此刻の马开抪过确定五尘境/但战斗力单打独斗の话/谁都奈何抪咯它/三人合力/都要袅心翼翼才能困住它/要确定它达到六尘境/马开破开它们の领域就要容易の多咯/再想要借着境界の优势困住马开极难/可确定/// "偏偏你只有五尘境/未曾达到六尘境/说什么也没有用/" 三人着马开摇咯摇头/着马开满确定冷色/ 马开笑咯起来/笑容灿烂/这种笑容让三人突然有种抪好の预感/其到外の几佫修行者也面色古怪/心想马开笑什么/ "六尘境而已/我想要达到/有数种办法可以达到/既然你们想/我就给你们壹种最为震撼の /" 马开望着它们/嘴角の笑容更加灿烂/洁白の牙齿露出来/这壹幕让三人皱眉/抪知道马开话里面の意思/ 开什么玩笑?六尘境和五尘境代表着壹次蜕变/它能轻易达到?马开这确定吓唬谁呢? "你当我们会信吗/三人嗤笑/着马开满确定抪屑/ "抪需要你们信/我会做给你们の/"马开大笑/身影腾空而起/ 下壹刻/到场の所有人都动容/ 为咯（正文第壹二八壹部分做给你们看）第壹二八二部分疯狂之举到众人瞪大眼睛中/马开取出咯壹物/这壹物让所有人都愣愣の着马开/ 到马开手中/确定壹团雨雾圣液/色泽闪动/吸引着每壹佫人の眼球/其天地纹理闪动抪息/让众人都瞪圆眼睛/都出咯这液体の抪凡/ 当然

重心定理

A 求：1.点G到直角顶点C的距离GC； D E G F B 2.点G到斜边AB的距离； 3.过G作GH‖AB，求GH的长。
C
H
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与中线BE相交于点G; AD 18cm, GE 5cm, 求：BC的长。
A
G
10
E B G B C
?
6
D
EF 是中位线
F E G B
A
BC BG ‖ EF BC EF GE 1 BC 2 EF BC C 2 EF 1 BG 2 GE 1

F
H G
E
B A
H
G D
E
BD BG 2 HE BD ‖ HE GE 1 BD 2HE
B
D
A
寻找三角形的重心
A G D
B
D
AHale Waihona Puke CBCG’
G
B C
D M
判断题
１、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边的距离的两倍。 2、三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一。
A
G B D E F C
已知：RtACB , ACB 90o , AC 4, BC 3, G是的ABC重心;
2.要灵活应用三角形的重心定理进行计算或证明。
这节课就上到这，回去后好好复习！
DC AC 2 HE AE 1 DC 2HE
‖ HE BD
B
D
C
H D
E C
BD CD
三角形的三条中线交于一点
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的重心定理

初二数学重心知识点

初二数学重心知识点
初二数学重心知识点如下：
1. 重心定义：一个平面图形的重心是指平面图形内所有点的坐
标平均值的点，即平面图形的质心。

2. 重心的位置：对于一个均匀分布的平面图形，重心位于几何
图形的对称轴上。

3. 三角形的重心：三角形的重心是三条中线的交点，即三个顶
点与对应中线交点的中点。

4. 四边形的重心：四边形的重心是对角线的交点的中点。

5. 合并图形的重心：当两个或多个平面图形合并成一个新图形时，新图形的重心可以由原来图形的重心根据面积的加权平均得到。

6. 求重心的方法：根据不同几何图形，求重心可以采用不同的
方法。

例如，对于三角形可以使用中线的交点，对于四边形可以使用
对角线的交点，对于不规则图形可以将其分解成多个规则图形来求解。

7. 重心的应用：重心是很多实际问题中的重要概念，例如在工
程设计中确定物体的平衡点、计算物体的形心位置等。

三角形重心判定定理

三角形重心判定定理三角形的重心判定定理，这可真是个有趣又实用的东西呢。

咱们先得知道啥是三角形的重心。

你可以把三角形想象成一个特别的“地盘”，而重心呢，就像是这个地盘的中心平衡点。

就好比你有一个三角形的木板，要是你想在一个点上把这个木板稳稳地顶起来，这个点就是重心。

那怎么找到这个重心呢？这就和重心判定定理有关啦。

三角形的重心是三条中线的交点。

啥是中线呢？就是从三角形的一个顶点到它对边中点的连线。

这就好比从三角形的一个“角尖”拉一条线到对边的正中间。

那为啥三条中线的交点就是重心呢？这就有点像三个人一起抬东西，得找到一个大家都能平衡受力的点。

咱们可以拿生活中的事儿来类比。

你看那杂技表演，有时候会有几个人一起举着一个特别大的三角形架子，上面还站着个人呢。

这几个人站的位置就很有讲究，得让整个架子稳稳当当的，这个稳定的点其实就类似三角形的重心。

要是这几个人站的位置不对，就像中线没找对，那这个架子可就东倒西歪啦，站在上面的人估计得摔个大跟头，那可就糟透了！再说说这个重心判定定理在实际解题或者做图形分析里的用处。

你要是想知道一个三角形的重心位置，就去找它的三条中线。

就像寻宝一样，中线就是你的线索。

找到三条中线，它们相交的那个点就是重心。

比如说，在一些工程制图里，要是设计一个三角形的结构部件，知道重心在哪就特别重要。

如果重心偏了，这个部件在使用的时候可能就不稳定，就像盖房子，要是房梁的重心不对，房子可能就有危险啦。

在数学里，三角形重心还有一些有趣的性质呢。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1。

这就像是一种神秘的比例关系，好像三角形自己内部有一套很精准的规则。

你可以把它想象成一种力量的分配，从顶点到重心的力量和从重心到对边中点的力量是按照2:1的比例来的。

这就好比在一场拔河比赛中，两边的力量是有一定比例关系的，这样才能达到一种平衡。

还有啊，这个重心判定定理在很多数学证明里也很有用。

当你要证明一些和三角形内部线段比例或者位置关系有关的问题时，想到重心这个特殊的点，就像找到了一把打开难题大门的钥匙。

数学八年级下人教版19.4课题学习重心课件

A
A
D G
B
DA C
B
C
G’
G
B
DM C
归纳
A
6k 6k
G
3k k 2k
B
关于线段：
DM
C
DG : AG : AD 1: 2 : 3
DM : MC: DC: BC 1: 2 : 3 : 6
GM : AC 1: 3
关于面积： ……
判断题
1、等边三角形三条高的交点就是它的重心.
2、三角形的重心到一边的距
EF 是中位线
A
F B
G
E C
EF EF
‖ BC
1 BC
BC EF BC
BG
GE 2
2
EF 1
FH
E
G
BG 2 GE 1
HE G
HE ‖BD BD BG 2 HE GE 1
B
D
BD 2HE
B
D
A
CHE
HE ‖BD DC AC 2 HE AE 1
DC 2HE
G
D E
F
AC 4,BC 3
G是ABC的重心
AB
5
CCGD是中32 C线D
CD
5 2
C
B CG 5
3
2.点G到斜边AB的距
离
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与中线BE相交于点G;AD 18cm,GE 5cm, 求：BC的长。
A
E G
B
?
D
C
已知ABC的中线CD、BE相交于点G;
离等于这边上中线长的三分之
一. 三角形的重心到一
A
边中点的距离等于这边

相似三角形的重心定理与三角形重心

相似三角形的重心定理与三角形重心相似三角形是数学中一个重要的概念，它们具有相同的形状但可能不同的大小。

研究相似三角形的性质可以帮助我们更好地理解三角形的几何特征。

在相似三角形中，重心定理是一项重要的定理，它与三角形的重心之间有密切关系。

本文将介绍相似三角形的重心定理以及与三角形重心的相关内容。

一、相似三角形的重心定理相似三角形的重心定理是指：在两个相似三角形中，它们的重心之间的连线与两个三角形的对应边平行且等于对应边的比值。

具体来说，在两个相似三角形ABC和A'B'C'中，它们的顶点分别为A、B、C和A'、B'、C'，且相似比为k，则连接相似三角形的重心G和G'的连线GG'与对应边BC和B'C'平行且等于对应边的比值k。

根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. GG'与BC和B'C'平行。

这是因为由于三角形ABC和A'B'C'的相似性，它们的形状相同，所以连线GG'与基底边BC和B'C'平行。

2. GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。

由于相似三角形的对应边成比例，所以GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。

通过这个定理，我们可以获得有关相似三角形中的重心和对应边之间的关系。

利用这个定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质和特点。

二、三角形重心三角形的重心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点，通常用符号G表示。

重心是一个三角形的重要几何点之一，有许多有趣的性质和应用。

在一个三角形ABC中，重心G的坐标可以通过三个顶点的坐标来确定。

设三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则重心G的坐标为：G([(x1+x2+x3)/3], [(y1+y2+y3)/3])。

重心定理

重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，因而得名重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

重心图形知识点总结初中

重心图形知识点总结初中一、平面图形的重心对于平面图形来说，它的重心是指在图形内部某个点，通过这个点，可以将图形的质量均匀地分配。

1. 直线段的重心直线段AB的重心在其中点C处。

2. 三角形的重心三角形的重心是三条中位线的交点G，即重心G是三角形三条中位线的交点。

3. 四边形的重心四边形的重心G是对角线交点O点与它的对边的中点连线的交点。

4. 正多边形的重心正多边形的重心在其内切圆的中心处。

5. 不规则图形的重心不规则图形的重心可以通过裁定法来求得。

即用一张薄纸将图形剪下来，然后将重心点放在支点上，使薄纸保持平衡，这时支点所在的位置就是图形的重心。

二、立体图形的重心对于立体图形来说，它的重心是指在图形内部某个点，通过这个点，可以将图形的质量均匀地分配。

1. 直方体的重心直方体的重心在其对角线的交点O点处。

2. 圆柱体的重心圆柱体的重心在其轴线上的中点处。

3. 球体的重心球体的重心在其球心处。

4. 锥体的重心锥体的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。

5. 圆锥的重心圆锥的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。

总结：每种图形都有其特定的求重心方法，而且这些方法可以通过几何分析和推导得到。

在解题时，我们可以根据图形的形状和性质来确定如何求其重心。

三、重心在实际生活中的应用重心在实际生活中有着广泛的应用，如：1. 设计建筑结构时，需要考虑建筑物的重心位置，以确保建筑物的稳定性和安全性。

2. 在机械设计中，需要考虑机械零件的重心位置，以确保机械能够平衡稳定地运动。

3. 在航天航空领域，需要考虑航空器和航天器的重心位置，以确保飞行器的平衡和飞行稳定性。

4. 在运动和运动器材设计中，需要考虑物体的重心位置，以确保运动器材的平衡性和稳定性。

总之，重心在许多领域都有着广泛的应用，它不仅仅是一个抽象的几何概念，还是实际生活中需要考虑的重要因素。

结语重心是平面图形和立体图形的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有着重要的应用。

2012中考数学考点三角形重心性质定理

2012中考数学考点三⾓形重⼼性质定理三⾓形重⼼性质定理湖北省黄⽯市下陆中学　宋毓彬三⾓形重⼼性质定理1．三⾓形重⼼性质定理课本原题（⼈教⼋年级《数学》下册习题19.2第16题）在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。

BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否⼀定过点O？为什么？（提⽰：作BO中点M，CO的中点N。

连接ED、EM、MN、ND）分析：三⾓形三条中线的交点是三⾓形的重⼼（第⼗九章课题学习《重⼼》）。

这道习题要证明的结论是三⾓形重⼼的⼀分析三⾓形的重⼼将三⾓形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重⼼到三⾓形某⼀顶点的距离是到该顶点个重要数学性质：三⾓形的重⼼将三⾓形的每条中线都分成对边中点距离的2倍。

证法1：（根据课本上的提⽰证明）取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。

（如图1）∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB⼜ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平⾏四边形∴GM=GD，⼜AM=MG，则AG=2GD同理可证：CG=2GF，BG=2GE点评：证法1是利⽤中点构造三⾓形中位线，从⽽得到平⾏四边形，再利⽤平⾏四边形性质得到中线上三个线段之间的相点评等关系。

证法2：延长BE⾄F，使GF=GB，连接FC。

∵G是BF的中点，D是BC的中点∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF∴AG=FC，即GD=AG点评：利⽤线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从⽽利⽤全等三⾓形的性质及三⾓形中位线的性点评质证明结论。

证法3：取EC中点M，连DM，利⽤平⾏线分线段成⽐例及E是AC中点可证得相同的结论。

（证明过程略）2.三⾓形重⼼性质定理的应⽤⑴求线段长例1　如图3所⽰，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重⼼，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。

重心定理——精选推荐

重⼼定理重⼼定理三⾓形的三条中线交于⼀点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三⾓形的重⼼.外⼼定理三⾓形的三边的垂直平分线交于⼀点．这点叫做三⾓形的外⼼.垂⼼定理三⾓形的三条⾼交于⼀点．这点叫做三⾓形的垂⼼.内⼼定理三⾓形的三内⾓平分线交于⼀点．这点叫做三⾓形的内⼼.旁⼼定理三⾓形⼀内⾓平分线和另外两顶点处的外⾓平分线交于⼀点．这点叫做三⾓形的旁⼼．三⾓形有三个旁⼼．三⾓形的重⼼、外⼼、垂⼼、内⼼、旁⼼称为三⾓形的五⼼．它们都是三⾓形的重要相关点．中位线定理三⾓形的中位线平⾏于第三边且等于第三边的⼀半．三边关系定理三⾓形任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边．三⾓形⾯积计算公式S(⾯积)=a(边长)h(⾼)/2---三⾓形⾯积等于⼀边与这边上的⾼的积的⼀半[编辑本段]勾股定理在Rt三⾓形ABC中，A≤90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BCA〉90度，则AB·AB+AC·AC>BC·BC[编辑本段]梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯⾸先证明的。

它指出：如果⼀条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成⽴：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满⾜(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

利⽤这个逆定理，可以判断三点共线。

另外,有很多⼈会觉得书写这个公式⼗分烦琐,不看书根本记不住,下⾯从别⼈转来⼀些⽅法帮助书写为了说明问题，并给⼤家⼀个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。

三角形的重心性质定理

三角形重心性质定理1.三角形重心性质定理课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）在Z\ABC中，BD、CE是边AC、AB ±的中线，BD与CE相交于O。

BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点0?为什么？（提示：作BO中点C0的中点N。

连接ED、EM、MN. ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。

这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质:三角形的重心将三角形的每条中线都分成：！：2两部分,其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。

证法X （根据课本上的提示证明）取GA、GB 中点M、N,连接MN. ND、DE、EM.（如图1）•••卜血是厶GAB的中位线，•••MN〃AB, MN= 2 AB2又ED 是Z\ACB 的中位线，•••DE〃AB, DE= 2 AB•••DE〃MN, DE=MN,四边形MNDE是平行四边形Z.GM=GD> 又AM=MG,贝lj AG=2GD同理可证：CG=2GF, BG=2GE点评：i正法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。

证法2：延长BE至F,使GF=GB,连接FC。

•••G是BF的中点，D是BC的中点2•••GD 是ABFC 的中位线，GD//FC, GD二㊁FC由GD〃FC, AE=CE,易证AAEG^ACEF丄•••AG=FC,即GD=2 AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。

证法3：取EC中点M,连DM,利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。

（证明过程略）2•三角形重心性质定理的应用⑴求线段长例1如图3所示，在RtAABC中.ZA=30° ,点D是斜边AB的中点，当G是Rt AABC的重心，GE丄AC于点E,若BC=6cm,则GE= cm。

初中数学重心是什么的交点

初中数学重心是什么的交点
三角形重心性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

什么是垂心
三角形垂心，指的是三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。

内心定义
三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

八年级数学重心定理