例析排列组合中的球与盒子问题
高中数学排列与组合练习 (8)
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛 砖引玉． 例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选 择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个 球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空 盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看， 可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然 后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数 例3 几种？ 【错解1】 排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种 情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种． 【错解2】 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无 序组合；分类为加，分步为乘．
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排列组合典型问题-分球入盒
分球入盒问题高二数学组朱育璋分球入盒问题（球在盒子的分布情况）是概率中常见的一类题型，如：（1）生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况（设一年365天）；（2）书籍分堆问题： 6 本画册分给 3 份，每份至少一本（3）名额分配问题：7 个参赛名额分给不同班级（4）有n 封信随机的投放在N 个信筒中（筒内信数不限）；此类问题具有背景丰富，应用广泛等特点。
本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题分析【例1】按下列要求分配6个不同的小球，各有多少种不同的分配方式（1）分成三份， 1 份1 个，1 份2个， 1 份3个；（2）甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得2个，一人得3个；分析：（1）为典型无序分组问题，可分三步完成，即拿出一个做第一份，拿出2个做第二份，拿出3个做第三份，完成分组，对于（2）为有序分组问题，可采取先按（1）分组，再进行分配，即排列。
归纳：从1,2 问区分分组要求与分配要求，并掌握基本方法。
另外，举出类似问题，一起归结为：不同小球投入相同的盒子，不同小球投入不同的盒子（3）分成三份， 1 份 4 个，另外两份每份 1 个；（4）甲、乙、丙三人中，一人得4个，另外两人每人得 1 个；分析：（3 ）与（ 1 ）问题类型相同，同为分组要求，不同的地方：出现两份小球数目一样，即有均分组，此时按原方法计算会导致重复计算，举例：不妨记6个球为A、B、 C D E、F,若第一步取了ABCD第二步取了E,第三步取了F,记该种分法为（ABCD，E,F），则同样分法中还有（ABCD,F,E），共2种情况，而这2种情况仅是E，F的顺序不同,从排列角度易算出不同的分法为A22,需在原基础上除以A22,消去顺序。
归纳：在分组中出现均分组情况，需要消序，即除以均分组的组数全排列数【例2】按下列要求分配 6 个相同的小球，各有多少种不同的分配方式（1）分成三份， 1 份1 个，1 份2个， 1 份3个；（2）甲、乙、丙三人中，一人得 1 个，一人得2个，一人得3个；一.（1）通过穷举的办法算出结果，认识到分法差异在于各组小球数量的相对性二.（2）分法差异在于不同的小组小球的数量，方法：先定数量分配，再分配入盒。
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题）（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理，每个小球都有六种放法答案：66。
（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理，第一个小球有6种放法第二个小球有5种放法……第六个小球有1种放法即6*5*4*3*2*1；思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A6 6。
答案：720。
（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。
解析：平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF，首先从6个球中选出2个，为C2 6；然后从剩下的4个球中选出2个，为C2 4；最后剩下2个球，为C2 2；但是：C2 6取出AB球、C2 4取出CD球、剩EF球；C2 6取出AB球、C2 4取出EF球、剩CD球；C2 6取出CD球、C2 4取出AB球、剩EF球；C2 6取出CD球、C2 4取出EF球、剩AB球；C2 6取出EF球、C2 4取出AB球、剩CD球；C2 6取出EF球、C2 4取出CD球、剩AB球；得到的结果是一样的，故按照C2 6C2 4C2 2组合完成后还应除去A3 3，答案：C2 6C2 4C2 2/A3 3（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。
解析：平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C2 6C2 4C2 2/A3 3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A3 3的排列答案：C2 6C2 4C2 2（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。
解析：非平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，首先从6个球中选出1个，为C1 6；然后从剩下的5个球中选出2个，为C2 5；最后剩下3个球，为C3 3；注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，因此C1 6C2 5C3 3即为最后结果，不需要再除以A3 3答案：C1 6C2 5C3 3（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
“球放盒子里”的排列组合解题策略
分析
题 目要求 每个 盒子不空 ， 且盒 子和球都 相 同， 因
此， 只有一种放法 ， 事实上也 可以看成是将 ４拆 分成正 整数
的和 ： ４ ＝ １ ＋ １ ＋ ２ ， 而且 只有 这一 唯一 的拆 法 ， 像这 类 问题
都可 以用拆数 的方法来解 决． 变题 把 ７个相 同 的球 放 入 ４个 相 同的盒 子里 ， 要 求 每个盒子至少一个球 ， 共有 多少 种放法． （ 解： ７＝ｌ＋１ ＋ｌ ＋
以用球 放盒子中这类 问题来解 决 ， 为此 ， 下 面我们 简单地 介
绍 球放 盒子 中有 限制条件 的排 列组 合问题的处理办法． 问题 ： 把 ４个相 同或 不相 同 的球放 入相 同 或不 相 同的
分析
先找 出空盒 子 ， 然 后转 化 为例 ３的情 形 ， 共有
Ｃ Ｘ ３＝１ ２种不 同放法． 例 ５ 把 ４个不 同的球放入 ３个相 同的金子里 ， 要求每 个盒子至少一个球 ， 共有 多少种放法．
的和．
分析
本题应先 取后 排 ， 根据 题 意有 一个 盒子 放 ２个
球， 其余盒 子各 放 １ 个球 ， 因此 ， 有ｃ ２ 乙 ： Ｉ 乙 １ 。 ＝ ７ ２ 种．
把 ７个相 同 的球 放人 ４个 相 同的 盒子里 ， 要求 例 ８ 把 ４个 不同的球 放入 ４个 不同的盒子里 。 要求有 １个盒子 空， 共有 多少种放法？ 分析 先将空 盒子取出来 ， 然 后转 化为例 ７问题 ， 共有
７ ３ ＋ ３ 有 ： ７ ｏ ： ２ ＋ ２ ＋ ３ 有 擎 ： ｌ ０ ５
２ ＾２
种， 共有 ３ ０ １ 种． ） 例 ６ 把 ４个不 同的球 放入 ４个 相同的盒子里 ， 要求有 １个盒子 空， 共有多少种放法？ 分析 先拆数 ： ４＝ ０＋ｌ ＋１ ＋２ ， 只要取 ２个球 即可 ， 因
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
数学竞赛教案：第57讲 排列与组合
第 讲 排列与组合本节主要有：排列组合公式及应用；处理排列组合问题的常用方法：如插空法、捆绑法等；可重复排列及圆排列公式等基本内容． A 类例题例1四个不同的小球放入编号1、2、3、4、的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。
分析 排列组合中诸如把教师医生分到各所学校；把不同的小球放入盒中等问题都可以归类为分组问题，分组问题解题的原则是：“分组先分堆”．解 把4个球分成“2、1、1”三堆，有22111224A C C C 种分法，把三堆球分别放入四个盒子的任三个中，有34A 种放法，由乘法原理，恰有一个空盒的放法共有22111224A C C C ·34A =144种．说明：本题也可以分类讨论求解，若1号盒空，2号盒放二个球，3、4号盒各放一个球有2224A C ⋅=12种放法；同理，若1号盒空，3号盒放2个球，2、4号盒各放一个球也是12种放法；1号盒空，4号盒放2个球，2、3号盒各放一个球同样是12种放法。
所以，1号盒空共有12×3 = 36种放法。
故满足题设的总放法种数为4×36 = 144种。
例2 6名同学排成一排。
（1）其中甲、乙两个必须排在一起的不同排法有______种.(1997年全国高考题)（2）甲乙两人不能相邻的排法有______种．分析 排列组合中，处理“在与不在”、“邻与不邻”、“接与不接”等问题时，常常利用捆绑法或插空法．解⑴把甲、乙两人看作1人，这样6个人可看成5个人，共有55A 种排法，甲、乙两人有2种顺序，故共有55A ·24022=A 种． ⑵ 先排其他4名同学，有44A 种，再把甲乙两人插入到4名同学的5个空挡中有25A 种，所以共有44A ·25A =480种． 情景再现1．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方式共有 （ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 (1998年全国高考题)2．某校从5名优秀学生干部中选出4人分别参加“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每一个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案有（ ）种A ．90B ．180C ．270D ．540 B 类例题例3 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是A 57B 49C 43D 37(1998年全国数学联赛)分析 正方体中，共线三点组的两个端点可能有三种情形：①两端点都是顶点；②两端点都是面的中心；③两端点都是棱的中点，除此之外没有别的情形．解 两端点都是顶点的共线组有2828=C 个，两端点都是面的中心的共线组有3个，两端点都是棱的中点的共线组有182312=⨯个。
排列组合常考问题及讲解
“排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.常考题型精析题型一排列问题例1 (1)(2015·)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.点评求解排列问题的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1 (1)(2014·)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24(2)(2015·)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个题型二组合问题例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2 (1)(2014·)在8奖券中有一、二、三等奖各1，其余5无奖.将这8奖券分配给4个人，每人2，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)(2)从3名骨科、4名脑外科和5名科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)题型三排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？点评(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)(2014·)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130高考题型精练1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2792.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.203.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!4.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种5.(2015·模拟)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4，从中任取3，要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4846.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A.96B.84C.60D.487.将序号分别为1,2,3,4,5的5参观券全部分给4人，每人至少1，如果分给同一人的2参观券连号，那么不同的分法种数是________.8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有______种.9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在2015年国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.10.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.11.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？答案精析专题8 概率与统计第35练“排列、组合”常考问题常考题型精析例1 (1)1 560 (2)480解析(1)依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言.(2)方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).变式训练1 (1)D (2)B解析(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.(2)由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.例2 解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法；②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至少有3名外籍搜救队队员共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.变式训练2 (1)60 (2)590解析(1)把8奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种).∴骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.例3 解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13A22＝144(种).(2)“恰有1个盒有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种).变式训练3 (1)480 (2)D解析 (1)分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.(2)在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C 25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35×2种.故共有C 15×2＋C 25×2＋A 25＋C 25C 13×2＋C 35×2＝130(种)，故选D. 高考题型精练1.B [无重复的三位数有：A 39＋A 12A 29＝648个. 则有重复数字的三位数有：900－648＝252个.]2.C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C.] 3.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.] 4.D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种， 所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).]5.C [分两类：第一类，含有1红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有 264＋208＝472(种).]6.B [可依次种A 、B 、C 、D 四块，当C 与A 种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类加法计数原理知不同的种法总数为36＋48＝84.]7.96解析将5参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种数共有4A44＝96.8.60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种).9.72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.10.(1)90 (2)9×10n解析从左右对称入手考虑.(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个.(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个.11.48解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种；②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种.所以共48种.12.解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.。
典型排列组合问题的处理方法
严子超（贵州省毕节市民族中学 ５５１７００）严子超２００５年毕业于贵州师范大学数学与应用数学专业，理学学士，中小学一级教师，市级骨干教师。
排列组合是高中数学中比较独特的内容，是教学中的一个难点，也是高考的热点．其解题思路既有一般规律性、又有很强的技巧性．在解题过程中极易“重复”或“遗漏”．因此在解排列组合问题时，要善于提炼方法、归纳总结、举一反三、触类旁通．本文针对一些常见题型和思维方法加以归纳，供参考．１．特殊元素或特殊位置“优先法” 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可从这些特殊元素或特殊位置入手，先处理特殊元素或特殊位置，再处理其它元素或位置．例１ １名歌手和４名观众排成一排照相留念，若歌手不排在两端，共有多少种不同的排法解法１ 优先考虑特殊位置，先排两端．从４名观众中选２人排两端，有Ａ２４种不同的排法，再排剩下的三个位置，有Ａ３３种不同的排法，由分步计数原理知，共有不同的排法Ａ２４·Ａ３３＝７２（种）．解法２ 优先考虑特殊元素，先排歌手．因为歌手不排在两端，所以歌手只能从剩下的３个位置选１个排，有Ａ１３种排法，然后４名观众站在另外４个位置，有Ａ４４种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１３·Ａ４４＝７２（种）．注 对特殊元素或特殊位置作特殊的照顾，容易找到通向成功之路的入口处．若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，要先满足特殊位置的要求，再处理其它位置．如果特殊元素或特殊位置不止一个时，要注意正确的分类和分步，避免重复和遗漏．２．元素相邻问题“捆绑法” 要求某些元素必须相邻的问题，可采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素捆绑在一起视为“一个元素”与其它元素进行排列，然后再将这些相邻的元素进行内部排列．例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，英语书２本，其它书３本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，共有多少种不同的排法？解 将数学书与英语书分别捆在一起看成两个不同的元素，再与其它３本书一起排列，有Ａ５５种不同排法，再将３本数学书内部进行自排有Ａ３３种排法，２本英语书内部进行自排有Ａ２２种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３Ａ２２＝１４４０（种）．注 要求某些元素必须排在一起的问题，要先把相邻元素进行捆绑．处理此类问题一般遵循“先整体，后局部”的原则．３．元素不相邻问题“插空法” 要求某些元素不相邻的问题，可先排其它没有限制条件的元素，然后在已经排好的元素·４１·２０２０１２之间的间隙和两端的空位插入不相邻的元素，使问题得以解决．例３ ４名学生和２位老师站成一排合影，２位老师不相邻的不同排法共有多少种？解 分两步进行：第一步，由于２位老师不相邻，所以先将４名学生排序，有Ａ４４种不同排法．第二步，将２位老师分别插入４名学生之间的间隙及首尾两个空位中，有Ａ２５种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ４４·Ａ２５＝４８０（种）．注 “元素不相邻问题”也称为“元素相离问题”，处理时先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入已排好的各元素之间和两端的空位中．４．选排混合问题“先选后排法” 对于排列问题与组合问题混在一起时，应先用组合公式将符合题意的元素选出，再利用排列公式进行排列．例４ 从１，２，３，４，５，６，７这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中共有多少个不同的奇数？解 先从１，３，５，７四个奇数中选择两个有Ｃ２４种不同选法，再从２，４，６三个偶数中选择两个有Ｃ２３种不同选法，由于个位数字必须是奇数，所以先排个位有Ｃ１２种排法，其余三个元素进行十位，百位，千位三个位置的全排．由分步计数原理可知，共有不同的奇数Ｃ２４Ｃ２３Ｃ１２Ａ３３＝２１６（个）．注 从几类元素中取出符合题意的若干元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法来处理．此方法是解决排列组合混合问题最基本的方法．５．正难反易问题“间接法” “间接法”又称“排除法”、“总体淘汰法”．有些问题从正面考虑较为错综复杂而不易得出答案时，可以从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果．即先不考虑题目限制条件，求出所有的排列数，然后再排除不符合条件的排列数．一般解含有“至少”、“至多”等限制条件的排列组合问题，可用此方法．例５ 某校开设Ａ类选修课３门，Ｂ类选修课４门，某同学从中共选３门，若要求两类课程中各至少选一门，则共有多少种不同的选法？解 先不考虑限制条件，从７门选修课中选３门共有Ｃ３７种不同选法，所选３门选修课均为Ａ类有Ｃ３３种不同选法，均为Ｂ类有Ｃ３４种不同选法，由分步计数原理可知，共有不同的选法Ｃ３７－Ｃ３３－Ｃ３４＝３０（种）．注 对某些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而其反面情况却比较简单，可考虑从问题的反面入手，会让你进入“柳暗花明”的境界．６．顺序一定问题“先排后除法” “先排后除法”也称为“缩倍法”．要求某些元素必须保持一定顺序的排列问题，可以采用缩小倍数的方法来处理．即先把顺序一定的元素与其它元素一起进行全排列，再用全排列数除以顺序一定元素的全排列数．例６ 某工程队有６项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这６项工程的不同排法共有多少种解 依题意，丁必须在丙完成后立即进行，故可以把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件，使其与其它四个进行排列，共有Ａ５５种排法，在所有这些排法中，甲，乙，丙相对顺序固定共有Ａ３３种排法，·５１·２０２０１２由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３＝２０（种）．注 对“定序型”问题，若将ｎ个元素排成一排，其中要求ｍ（ｍ≤ｎ）个元素顺序一定．可先将ｎ个元素进行全排列有Ａｎｎ种排法，ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的全排列有Ａｍｍ种排法，由于要求ｍ个元素顺序一定，因此只能取其中的某一种排法，则共有ＡｎｎＡｍｍ种不同排列方法．７．标号排位问题“分步处理法” 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．要求某些元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排下一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例７ 毕业前夕，同室四人各写了一张毕业赠言，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的毕业赠言，则四张毕业赠言共有多少种不同的分配方式？解 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的毕业赠言分别标号为１，２，３，４．第一步，甲取其中一张，有３种方式；第二步，假设甲取２号，则乙的取法可分两类：（１）乙取１号，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（２）乙取３号或４号（２种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的．由分步计数原理可知，四张毕业赠言共有不同的分配方式３×（１＋２）＝９（种）．注 本例实际上也属于错位排列问题，即把编号为１至４的４个小球放入编号为１到４的４个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不相同，共有多少种不同的放法８．可重复排列问题“求幂法” “求幂法”又称为“住旅店法”，允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排各元素的位置，一般地：把ｎ个不同元素没有限制地放入到ｍ个不同的盒子中，共有ｍｎ种不同的方法．例８ 现有６名同学去听同时进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，共有多少种不同的选法？解 因为每位同学均有５个课外知识讲座可以选择，第一名同学有５种选法，第二名同学有５种选法，以此类推．问题就转化为：将６个不同的元素没有限制地放入到５个不同的盒子中，由分步计数原理可知，共有不同的选法５×５×５×５×５×５＝５６（种）．注 允许可以重复排列的问题，实际上就是信箱模型．一般地，把ｎ封不同的信投到ｍ个不同的信箱的排列数共有ｍｎ种．９．不同元素分配问题“先分组后分配法” 对于不同元素的分配问题，可以按需分配（即定人又定数可以直接取），也可以按照先分组再分配的方式处理．分组时，如果是平均分组，则要注意去除组间顺序，避免重复计数．例９ 将６位志愿者分成４组，其中两个组各２人，另两个组各１人，分赴世博会的四个不同场馆服务，共有多少种不同的分配方案？解 先分组，由于有２个是平均分组，所以两个两人组的分法有Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２种，两个１人组的分法有Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２种，由分步计数原理再进行分配，共有不同的分配方案Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２·Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２·Ａ４４＝１０８０（种）．·６１·２０２０１２注 在分组时，组与组无顺序．若有平均分组，一定要除以平均分组的组数的阶乘，避免重复计数．１０．相同元素分配问题“隔板法” 对于相同元素的分配问题，可以采用“隔板法”来处理．问题的一般形式：ｎ个相同小球放入ｍ（ｍ≤ｎ）个不同的盒子里，有多少种放法？（１）若要求每个盒子里至少放一个小球，则问题等价于ｎ个相同的小球排成一排，从ｎ－１个间隙中插入ｍ－１块隔板，把它们隔成ｍ段即可，共有Ｃｍ－１ｎ－１种不同的放法．（２）若允许某些盒子空着，则相当于在ｎ＋ｍ－１个位置中，选ｍ－１个位置称为隔板，把ｎ个位置分成ｍ份，共有Ｃｎ－１ｎ＋ｍ－１种不同的放法．例１０ 某校准备参加２０２０年高中数学联赛，把１０个选手名额分配到高三年级的８个教学班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？解 因为１０个名额没有差别，所以问题等价于把１０个相同小球放入８个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数．就是把１０个名额看成１０个相同的小球分成８堆，每堆至少一个，可以在１０个小球的９个空位中插入７块木板，每一种插法对应着一种分配方案，因此，不同的分配方案共有Ｃ７９＝３６种．注 运用隔板法必须同时具备两个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完．同时还要注意，盒子是否有空．１１．多排问题“一排法” 把元素排成几排的排列问题称为多排问题．如果没有其他条件限制，可归结为一排考虑，再分段处理．例１１ ８名同学排成前后两排，每排４名，其中男生甲和女生乙要排在前排，男生丙排在后排，共有多少种不同的排法？解 男生甲和女生乙在前半段四个位置中选排２个，有Ａ２４种排法，男生丙排在后半段的四个位置中，有Ａ１４种排法，其余５名同学在剩下的５个位置上任意排列，有Ａ５５种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１４Ａ２４Ａ５５＝５７６０（种）．注 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排来处理．１２．圆排问题“线排法” 把ｎ个不同元素放在圆周上的ｎ个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首、尾之分，因此可将某个元素固定展成线排，其它的ｍ－１元素全排列．即总数为（ｎ－１）！种．例１２ ５对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，共有多少种不同的站法？解 首先可让５位姐姐站成一圈，属于圆排列问题，有Ａ４４种站法，然后在让妹妹插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有２种方式，由分步计数原理可知，共有不同的站法２４×２５＝７６８（种）．注 对于普通圆排列：ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ；ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…；ａｎ，…，ａｎ－１在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，所以ｎ个元素的圆排列数有ｎ！ｎ种．特别地，从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素作圆形排列，共有１ｍＡｍｎ种不同的排法．总之，排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活多变，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，只要我们平时认真分析，思考，遵循排列组合问题的解题原则，寻找解题的最佳策略，就能轻松解决问题，从而在解题中立于不败之地．·７１·２０２０１２。
排列组合——小球盒子模型
① ② ③A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BCB —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CEAC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB排列组合——小球盒子模型例1. 5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2个和第3个盒子各放2个，有多少种不同的方法？解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③从5个小球种选出1个放入第1个盒子里有C 15种方法，从剩下的4个小球中选出2个放入第2个盒子里面有C24种方法，把剩下的2个球放入剩下的1个盒子里，有1种方法，所以共有302415=⋅C C 种方法。
例2. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若有两个盒子各放2个，1个盒子放1个，有多少种不同的放法？解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③从3个盒子中选1个盒子放1个球有C13种方法，从5个球中选择1个放进去有C15种方法，从剩下的4个球中选择2个放进剩下的2个盒子中的1个里面有C24种方法，把剩下的2个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有90241513=⋅⋅C C C 种方法。
① ② ③ A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB② ① ③ A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB③ ① ② A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB放1个球的盒子 放2个球的盒子 放1个球的盒子 放2个球的盒子 放1个球的盒子 放2个球的盒子例3. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子至少放1个，有多少种不同的放法？ 解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③ 分成2类第1类和例2相同，共有90241513=⋅⋅C C C 种方法；第2类，从3个盒子中选1个盒子放3个球有C13种方法，从5个球中选择3个放进去有C35种方法，从剩下的2个球中选择1个放进剩下的2个盒子中的1个里面有C12种方法，把剩下的1个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有60123513=⋅⋅C C C 种方法，所以共有1506090=+种方法。
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++展开式中共有多少项？ 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法 解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有27C =21267=⨯种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于11--m n C . 四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有19C 种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有110C 种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有2119C 110C 452910210=⨯==C 种. 或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即453692919=+=+C C 种.例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有2126721271716=⨯==C C C 种.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于12-+m n C .五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有2661718C C C 种分法，对情况1-2-5有552718C C C 种分法，对情况1-3-4有443718C C C 种分法，对情况2-2-4有2442628C C C 种分法，对情况2-3-3有2333628C C C （注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有2661718C C C +552718C C C +443718C C C +2442628C C C +2333628C C C =966种. 结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1272148553866287718=+++C C C C C C C ；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法 解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法”就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即96633A =5796种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.例8 将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）.A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取7个分别放到对应标号的盒子中，有710C 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法. 故满足题意的放法有2710C =240种，选B. 八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的12776233=A ，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.它也等价于“8封信投到3个邮箱里”,应该有38=6561种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ种.。
排列组合21种例题
高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种4.标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A、C2C：C：种B、3c：2C；C：种C、G：C；A3种D6.全员分配问题分组法：例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种(2)从1,2,3・,100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？(3)从1,2,3,…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A[jB)=n(A)n(B)-n(ApB).例10.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
球与盒子的排列组合问题(精华版)
球与盒子的排列组合问题（精华版）首先看一下分类，主要有8种：1）球同，盒同，无空箱2）球同，盒同，允许空箱3）球同，盒不同，无空箱4) 球同，盒不同，允许空箱5) 球不同，盒相同，无空箱6）球不同，盒相同，允许空箱7) 球不同，盒不同，无空箱8）球不同，盒不同，允许空箱做这种题型关键是要对号入座，下面的解释分析统一假设m个球，n个盒子。
先从最简单入手，第8种，每个球都有n种选择，所以是n m剩下的我们先从前四种（数字都不会太大，且分析较简单）开始。
做题时一看到球同，盒同，就想到凑数法，事实证明这是最快的一种方法。
如第（1）种，假设m=7，n=4.它的情况只有 1 1 1 41 12 31 2 2 2这3种情况，所以答案是3.第（2）种是在第（1）种的基础上延伸它的情况如下0，0，0，70，0，1，60，0，2，50，0，3，40，1，1，50，1，2，40，1，3，30，2，2，31，1，1，41，1，2，31，2，2，2所以答案是11种。
第（3）种，典型的插板法（不懂的网上搜一下）。
记住就行1-n1-m C第（4）种，是上面方法的延伸，同样记住就行1-n1-nm C下面分析球不同的（５）（６）（７）３种情况先给各位献上一张表，大家别看到数字就害怕了，其实也就是类似与乘法口诀表，（５）（６）（７）的答案都可以在这个表上找到。
看一下图上的数字是怎么来的，看下面解释第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1第二 S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形所以第（5）种即：N不同球，M同箱子，无空箱。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。
排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。
集合是常用的工具之一。
为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个）∴比2015大的四位数共有237个。
高中数学排列组合：全错位排列问题详解
第二步：将剩余的
4
个名额分到这
6
个班里，由隔板法知，此时，有
C
5 9
种不同分法。由分
步计数原理知，共有
C
5 9
种不同分法。
C
5 9
=C
4 9
=
98 43
7 2
6 1
=126（种）。
答：某校召开学生会议，要将 10 个学生代表名额，分配到某年级的 6 个班中，若
每班至少 1 个名额，有 126 种不同分法.
(1).一般地，设 n 个编号为 1、2、3、… 、i、…、j、…、n 的不同元素 a1、a2、a3、…、 ai、…、aj、…、an，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的全错位 排列数为 Tn ，则 T2=1，T3=2，Tn= (n-1) ( Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
(2).递推关系的确立
aj 不排 i 位
表（2）
此时，ai 仍排在 j 位，aj 不排在 i 位，则 aj 有 n-1 个位置可排，除 ai 外，还有 n-1 个元
素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为 n-1 个元素全错位排列，排列数为 Tn-1，
由乘法原理和加法原理可得：Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有
种不同的放
法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限
制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，
则不同的坐法有
种.
解析：可以分类解决：
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例析排列组合中的球与盒子问题
作者：华瑞芬
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第09期
在排列组合问题中有这样一类问题，把一些小球投入到几个盒子中，给出一定的限制条件，求有多少种不同的方法.下面分类例析，希望对提高同学们的解题技能能够有所帮助.
一、 m个不同的球放入n个不同的盒子
此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步.把“一个球放进盒子”作为第一步，共分m 步，每一步都有n种不同的放法，所以把m个不同的球放入n个不同的盒子，共有nm种不同的放法.求解此类问题的关键在于分清谁是球，判断的标准为“球”必须都放完.
此类问题不仅要求“球”必须放完，而且要求每个盒子不空.求解此类问题时，首先要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择.。