专题17 规律探索与阅读理解题(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-探索数学规律(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-探索数学规律（解析版）一、知识点1、常见数列自然数列：1、2、3、4、5……奇数数列：1、3、5、7、9……偶数数列：2、4、6、8、10……等差数列：3、6、9、12、15……等比数列：1、2、4、8、16……质数数列：2、3、5、7、11……平方数列：1、4、9、16、25、36……兔子数列：1、1、2、3、5、8、13……2、数列规律相邻两数的和或差呈现某种规律复合数列：如奇数位呈现一种规律，偶数位呈现另一种规律3、图形规律固定图形—般规律：求和、求差、求积技巧：数字突然变大时多数是乘积变化图形点、线和面之间的递推规律4、分数规律分子与分母呈现单独的规律分子与分母合并后呈现规律 存在一定的周期性：分组5、数阵规律数字间的运算规律 数字间的排列规律二、学习目标1. 我能够积累数列、数阵中的常见规律与分析方法。
2. 我能够通过动手操作、观察等活动，掌握图形间变化的基本规律，并能运用这个规律合理推断下一个图形。
三、课前练习1. 把71化成小数，小数点后面第28位上的数是 ，第2021位上的数是 。
【解答】本题考查循环小数与周期问题，71＝••742851.0，28÷6＝4……4，第28位上的数是8；2021÷6＝336……5，第2021位上的数是5。
2. 根据规律将表格填写完整：【解答】数表的规律为第一列数字是后两列数字之和，填入19。
四、典型例题例题1 按规律填空：（1）1，3，6，11，18，29，（），59【解答】数列规律为∶相邻两数的差构成质数数列，填入42。
（2）31，54，89，1316，2125，（）【解答】该数列规律为：分子是平方数列，分母是兔子数列，结果为3436。
练习1 按规律填空：（1）5，6，19，33，60，（）， 169【解答】计算相邻两数的差为1、13、14、27，找到规律1＋13＝14，13＋14＝27，14＋27＝41，计算60＋41＝101，填入101。
专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。
2017年各地市中考规律探索归纳探究题汇总有参考答案
精心整理2017年各地市中考规律探索归纳探究题汇总1．在一列数：a1，a2，a3，…，a n中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A.1B.3C.7D.9【来源】2017年中考真题精品解析数学（江苏扬州卷）精编word版（解析版）【答案】B【解析】依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，……周期为6，2017÷6=336…1，所以a2017=a1=3，故选B．【点睛】本题考查了数字变化类的规律型问题，然后根据所求得的数字发现规律.2A.180B.182C.184D.186【来源】四川省自贡市初2017【答案】C【解析】二、三、四格.等于等于第二、四格数据的积；所以1113m+=⨯故应选C..探寻规律要认真观察、仔细思3．3．4颗星星，第21颗星星，.....按此规律排列下去，第⑨个图A.116B.144【来源】【答案】B第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选B．考点：规律型：图形的变化类．4．（2017重庆，第10题，4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）A.73B.81C.91D.109【来源】2017年初中毕业升学考试（重庆A卷）数学（带解析）【答案】C【解析】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n 个图形中菱形的个数为：n 2+n+1； 第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91． 故选C ．考点：图形的变化规律.5．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧12PP ，23P P ，34P P ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结12P P ，23P P ，34P P ，…得到螺旋折线（如图），已知点1P （0，1），2P （1-，0），3P （0，1-），则该折线上的点9P 的坐标为（）A ．（6-，24）B ．（6-，25）C ．（5-，24）D ．（5-，25） （第10 所以P 9故选B ．61），从点A 经过一次跳马变换可以到达点2）， A ．13B 过了320+1）÷7×考点：17A ．180B ．182C ．184D ．186【来源】2017年初中毕业升学考试（四川自贡卷）数学（带解析） 【答案】C. 【解析】试题解析：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9， 可得最后一个三个数分别为：11，13，15， ∵3×5﹣1=14，； 5×7﹣3=32； 7×9﹣5=58；∴m=13×15﹣11=184． 故选C ．考点：数字规律.8．如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（） A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π【来源】2017年初中毕业升学考试（四川达州卷）数学（带解析） 【答案】D【解析】解：∵AB =4，BC =3，∴AC =BD =5．转动一次A 的路线长是：904180π⨯=2π，转动第二次的路线长是：905180π⨯=52π，转动第三次的路线长是：903180π⨯=32π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环．故顶点A 转动四次经过的路线长为：52π+32π+2π=6π．∵2017÷4=504…1，∴顶点A 9．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为（）A ．n 3B ．n 6 C.63+n D ．33+n【来源】2017【答案】D ． 【解析】试题解析：∵第一个图需棋子3+3=6； 第二个图需棋子3×2+3=9； 第三个图需棋子3×3+3=12； …∴第n故选：D ．10．a 的值为( ) A.23B.75 C.77D.139【来源】 【答案】B1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23a=11+64=75，故选B ．11．（2017中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ） A.121B.362C.364D.729【来源】2017年初中毕业升学考试（山东德州卷）数学（带解析） 【答案】C【解析】试题分析：①图1，0×3+1=1； ②图2,1×3+1=4； ③图3,4×3+1=13； ④图4,13×3+1=40； ⑤图5,40×3+1=121； ⑥图6,121×3+1=364； 故选C考点:探索规律12．按照一定规律排列的n个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个数的和为768，则n为（）A．9B．10C．11D．12【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北武汉卷）数学（带解析）【答案】A.【解析】试题解析：设后3个的数和为：（-1）n+1×2n-1+（-1）n+2×2n+（-1）n+3×2n+1=768，当n为偶数：整理得出：-5×（-2）n-1=768，则求不出整数，当n为奇数：整理得出：3×2n-1=768，解得：n=9．故选A.考点：数字变化规律.13．（2017贵州省黔东南州，第10题，4如南宋数学家杨辉（约13世纪）所着的（a+b）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算（a+b）20A.2017B.2016C.191D.190【来源】2017【答案】D【解析】试题解析：找规律发现（a+b）3（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n∴（a+b）20故选D．14．“d”的个数，若第n个图形中“d”的个数是78A．11B．【来源】【答案】B【解析】第四个图形有1+2+3+4=10个○，……第n个图形有1+2+3+……+n=(1)2n n+个○，故(1)2n n+=78，解得n=12或n=-13（舍去）.故选：B考点：规律探索15．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是()A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5【来源】2017年初中毕业升学考试（河北卷）数学（带解析）【答案】C.【解析】试题分析：在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从11，在第四次旋转中BM的长从1，在第五次旋转中BM1-变化到1，在第六次旋转中BM=1，故答案选C.16上的点A处，1点出发，沿着射线A O2…按【来源】【答案】A【解析】故选：A17，表示a1=aA．32B．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北十堰卷）数学（带解析）【答案】D.【解析】试题分析：由a1=a7+3（a8+a9）+a10知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对于a7、a8，分别取8、10、12检验可得．∵a1=a2+a3=a4+a5+a5+a6=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10=a7+3（a8+a9）+a10，∴要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，∵a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，若a7=8、a10=10，则a4=10=a10，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=8，则a4=12、a6=4+8=12，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=12，则a4=10+2=12、a6=4+12=16、a2=12+6=18、a3=6+16=22、a1=18+22=40，符合题意；综上，a1的最小值为40，故选：D．考点：数字的变化类18．刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第______个．【来源】2017年中考真题精品解析数学（湖南娄底卷） 【答案】2017．【解析】解：由图可知：第1个图形的火柴棒根数为6； 第2个图形的火柴棒根数为11； 第3个图形的火柴棒根数为16； …由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5，所以可以得出规律：搭第n 个图形需要火柴根数为：6+5（n ﹣1）=5n +1，令5n +1=10086，解得：n =2017． 故答案为：2017．点睛：本题考查了图形的变化类问题，遍规律求解即可．19．19．如图，第一个图形中有1按此规律，第n 个图形中有______个点．【来源】2017【答案】()1312n -．【解析】如图，第一个图形中有1按此规律，第n 个图形中有12（3n -1）个点，【点睛】20．201、3、6、10、15、21、…叫做6是第三个三角形数，…，依此类推，第100【来源】 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，… ∴a n a 100=()10010012+=5050，故答案为：5050．点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =1+2+…+n =()12n n +”．21．如图，Rt△OA 0A 1在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1=90°，∠A 0OA 1=30°，以OA 1为直角边向外作Rt△OA 1A 2，使∠OA 1A 2=90°，∠A 1OA 2=30°，以OA 2为直角边向外作Rt△OA 2A 3，使∠OA 2A 3=90°，∠A 2OA 3=30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA 3A 4，Rt△OA 4A 5，…，Rt△OA 2016A 2017，若点A 0（1，0），则点A 2017的横坐标为______．【来源】山东省济南市槐荫区2018届九年级上学期期中考试数学试题【答案】2016⎝⎭．【解析】由已知可得OA 1OA 2=23⎛ ⎝⎭，OA 3=33⎛ ⎝⎭，……，由此可得OA 2017=20173⎛ ⎝⎭，360°÷30°=12，2017÷12=168…3，由些可知OA 2017所在的射线与OA 1所在射线重合，所以点A 2017的横坐标为：OA 2017×cos30°=2017⎝⎭2016⎝⎭，故答案为：20163⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查规律性问题，解题的关键是能根据已知条件先求出一些相关的量，从中发现规律.22．如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1【来源】2017【答案】1212n n --．【解析】解：∵等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥12△A 1C 1C 2的周长=12，∴△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4112n -，∴△A 1C 1C 2，22212n -12n -故答案为：1212n n --．灵活运用所学知识，属于中考常考题型．23三角：【来源】 【答案】1a 5+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 5． 故答案为：点睛：本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．24．如图，把n 个长为1的正方形拼接成一排，求得71tan ,31tan ,1tan 321=∠=∠=∠C BA C BA C BA ，计算=∠C BA 4tan ，……，按此规律，写出=∠C BA n tan （用含n 的代数式表示）． 【来源】2017年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）数学（带解析）【答案】113,211n n -+.【解析】试题分析：如图，过点C 作CE ⊥A 4B 于E ，易得∠A 4BC=∠BA 4A 1，故tan ∠A 4BC=tan ∠BA 4A 1=14，在Rt △BCE 中，由tan ∠A 4BC=14，得BE=4CE ，而BC=1，则，，而A 4=所以A 4E=A 4，在Rt △A 4EC 中，tan ∠BA 4C=4113CE A E =；根据前面的规律，不能得出tan ∠BA 1C=1101⨯+，tan ∠BA 2C 1211⨯+，tan ∠BA 3C=1321⨯+，tan ∠BA 4C=1431⨯+，则可得规律tan ∠BA n C=211(1)11n n n n =⨯-+-+.故答案为;考点：解直角三角形.25．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，；翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为【来源】2017【答案】（5；13463（+896）3π.【解析】试题解析：如图，作B 3E ⊥x 轴于E ，考点：点的坐标.26．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=，……按此规律，写出tan n BA C ∠=（用含n 的代数式表示）． 【来源】2017年初中毕业升学考试（浙江嘉兴卷）数学（带解析） 【答案】113，211n n -+. 【解析】试题解析：作CH⊥BA 4于H ，由勾股定理得，BA 4A 4，△BA4C的面积=4-2-32=12，∴1212，解得，则A417，∴tan∠BA4C=4CHA H=113，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，∴tan∠BAnC=211n n-+.考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.27．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…C1、C2、C3…在x【来源】【答案】（2【解析】试题分析：（0，1），即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=11，2），同理A3的坐标为（3，4），…An，12n-）．28．设△如图1AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=13如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=16；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=110；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S=．【来源】2017年初中毕业升学考试（山东淄博卷）数学（带解析）【答案】2(1)(2)n n++．【解析】试题分析：如图所示，连接D 1E 1，D 2E 2，D 3E 3，∵图1中，D 1，E 1是△ABC 两边的中点，∴D 1E 1∥AB ，D 1E 1=AB ，∴△CD 1E 1∽△CBA ，且11111DE DE B F A B==12，∴S △CD1E1=14S △ABC =14，∵E 1是BC 的中点，∴S △BD1E1=S △CD1E1=14，∴S △D1E1F1=13S △BD1E1=13×14=112，∴S 1=S △CD1E1+S △D1E1F1=14+112=13，同理可得： 图2中，S 2=S △CD2E2+S △D2E2F2=11918+=16，图3中，S 3=S △CD3E3+S △D3E3F3=131680+=110，以此类推，将AC ，BC边（n+1）等分，得到四边形CD n E n F n ，其面积S n =22111(1)(1)11n n n n +⨯⨯++++=2(1)(2)n n ++，故答11121233,412A B C A B B S S ==30．在平面直角坐标系中，点(,)P x y 经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点(,)P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为1P ，点2P 的终结点为2P ，点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234n P P P P P L L 、、、、、，若点1P 的坐标为(2,0)，则点P 2017的坐标为． 【来源】2017年初中毕业升学考试（内蒙古赤峰卷）数学（带解析）【答案】（2，0）. 【解析】试题分析：求得点P 2、P 3、P 4、P 5的值，即可发现其中规律，即可解题． ∵P 1（2，0），则P 2（1，4），P 3（﹣3，3），P 4（﹣2，﹣1），P 5（2，0）， ∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P 2017坐标与P 1点重合， 故答案为（2，0）．考点：规律型：点的坐标.31．如图，点(1A 上，过点1A 作111A B l ⊥交直线于点1B ，11A B 为边在11OA B ∆外侧作等边三角形111A B C ，再过点1C 作221A B l ⊥，分别交直线1l 和2l 于22,A B 两点，以22A B 为边在22OA B ∆外侧作等边三角形222,A B C 按此规律进行下去，则第n 个等边三角形n n nA B C 的面积为__________.（用含n 的代数式表示）【来源】2017年初中毕业升学考试（辽宁营口卷）数学（带解析）A 1B 1的A 2B 2的A n B nC n 的∵点A 在Rt ∴A 1B 1∵△A 1∴OA 2∴第n考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；探索规律.32．已知12345357911,,,,,25101726a a a a a =-==-==-，则8a =．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析）【答案】1765.【解析】试题分析：由题意给出的5个数可知：a n =221(1)1nn n +-+,所以当n=8时，a 8=1765.考点：数字规律问题.33．如图，有一条折线A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…，它是由过A 1（0，0），B 1（2，2），A 2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y =kx +2与此折线恰有2n （n ≥1，且为整数）个交点，则k 的值为______．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南常德卷）数学（带解析）【答案】12n-．【解析】试题分析：∵A 1（0，0），A 2（4，0），A 3（8，0），A 4（12，0），…，∴A n （4n ﹣4，0）． ∵直线y=kx+2与此折线恰有2n （n≥1，且为整数）个交点，∴点A n+1（4n ，0）在直线y=kx+2上，∴0=4nk+2，解得：k=．故答案为：．34．如图，边长为4的正六边形ABCDEF ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转 60，当=n 【来源】2017【答案】（2，【解析】试题分析：2017×60°÷360°=336…11次时点A 作FH ⊥x轴，，∴F （2，.35……．（写出最简计算结果即可）n=2时，结果为：22213=+；n=3时，结果为：33314=+；所以第n 个式子的结果为：1n n +．故答案为：1nn +．考点：规律型：数字的变化类． 36．如图6，在66´的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a c ?．【来源】2017年初中毕业升学考试（湖北恩施卷）数学（带解析） 【答案】2．【解析】试题分析：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b 和c 有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不确定， 分两种情况：①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1和4，4观察上图可知：第五行缺少1和2，1不能在第1c=1，所以b=4，如下：观察上图可知：第六列缺少1和2，1 再看戊部分：已经有了数字2、3、4、51在第二列，则6在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3和4，4 观察上图可知：第二列缺少5和6，5 观察上图可知：第三行第五列少6所以，a=2，c=1，ac=2；②当6在第一行，42在第2列，c=4，b=1所以6在第四行，则3在第三行，如下： 所以2在第三行，则1在第四行，如下： 综上所述：37．（20172的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三【来源】【答案】2112n ．【解析】试题分析：记原来三角形的面积为s ，第一个小三角形的面积为s 1，第二个小三角形的面积为s 2，…， ∵s 1=?s=?s ，s 2=?s=?s ，s 3=?s ，…… ∴s n =?s=??2?2=.考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形．38．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为．【来源】2017年初中毕业升学考试（黑龙江齐齐哈尔卷）数学（带解析）【答案】【解析】2为直角∴OA 1=1，∵A 1、A 22017÷∴点A 2017∵OA 2017=∴点A 2017399【来源】【答案】【解析】第2第3…第n 个图形中三角形的个数是1+4（n ﹣1）=4n ﹣3， 当n=2017时，4n ﹣3=8065 考点：图形的变化类40．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为． 【来源】2017年初中毕业升学考试（贵州安顺卷）数学（带解析） 【答案】2n+1﹣2． 【解析】试题解析：由题意得OA=OA 1=2， ∴OB 1=OA 1=2，B 1B 2=B 1A 2=4，B 2A 3=B 2B 3=8，∴B 1（2，0），B 2（6，0），B 3（14，0）…， 2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ∴B n 的横坐标为2n+1﹣2． 考点：点的坐标． 41．41．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．【来源】2017年初中毕业升学考试（广西四市卷）数学（带解析） 【答案】（6053，2）．【解析】试题分析：第一次P 1（5，2），第二次P 2（5，1），第三次P 3（7，1），第四次P 4（10，2），第五次P 5（14，2），…发现点P42（1（2（3(1)(2x x +-帮助， 【来源】【答案】（【解析】试题分析：432【来源】【答案】【解析】试题解析：∵第1个图形的周长为2+3=5， 第2个图形的周长为2+3×2=8， 第3个图形的周长为2+3×3=11， …∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053 考点：图形的变化规律.44．44．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个． 【来源】2017年初中毕业升学考试（山东潍坊卷）数学（带解析） 【答案】9n +3．【解析】试题分析：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．故答案为：9n+3．考点：规律型：图形的变化类45．某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第n次拼成的图案用地砖块.…第n46角形A11B2，过点A2作A2B3的横坐标是与1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An 的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标，故答案为：．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征，2、等边三角形的性质47．观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，① ①×2得2S=2+22+23+…+211，②? ②﹣①得 S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017=．【来源】2017年初中毕业升学考试（贵州毕节卷）数学（带解析）【答案】2018312-.【解析】试题分析：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018故答案为：2018312-．考点：规律型：数字的变化类． 48．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9【来源】【答案】【解析】个点， …第n 3(1)2n n +个点； 当n=9故答案为：135．考点：规律型：图形的变化类49．[探究函数4y x x =+的图象与性质]（1）函数4y x x=+的自变量x 的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数4y x x=+的图象大致是；（3）对于函数4y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围.请将下列的求解过程补充完整. 解：∵0x >∴()2224y xx=+=+=+∵2≥∴y ≥. [拓展运用]（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围.【来源】四川省自贡市初2017【答案】（1）0x ≠；（2）C ；（3）4，4；（4）y ≥【解析】试题分析：本题的⑴量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的0x ≠的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当x >95y x x=+-的形式，再按⑶故填：x （2）x ≠0x <时，y 所以函数4y x x=+的图象只在直角坐标系的（3）∵∴y x =+故分别填：44，；（4）∵0x >（这里隐含有y 首先是正数）∴2222599551x x y xx x -+==-+=+-=+∵2≥∴1y ≥.50．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m （30c +=（a ≠0，24b ac -（4）实际上，（3系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2【来源】2017【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3，B （﹣b a ，c D 即可；（2）过点B ，进而得出，即是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x ，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间的关系． 试题解析：（1）如图所示，点D 即为所求；（2）如图所示，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m ）=2，∴，∴m 是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得：A （0，1），B（﹣，）或A （0，），B （﹣，c ）等；，根据三角形相似可得，上式，即，∴比较系数可得= ()2132435(2)n n ⨯⨯⨯+=111111111(1 (23243512)n n n -+-+-+-+-++=111113(1)(2)2(2)2(1)(1221222(1)(2)n n n n n n n n ++-+-++--=⨯++++=2354(1)(2)n n n n +++.52．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +⨯-；（3）计算：232017i i i i ++++.【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南张家界卷）数学（带解析）【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【解析】试题分析：（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2（3试题解析：（1）i 3=i 2i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2故答案为：﹣i ，1；（2）（1+i ）×（3﹣4i ）=3﹣4i+3i ﹣4i 2=3﹣i+4=7﹣i ；（3）i+i 2+i 32017=i ﹣1﹣=i ． 53．我们知道，(n n ++=223n +++结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1，即21；第2行两个圆圈中数的和为22+，即22n ，即2n .这样，该三角形数阵中共有(1)2n n +个【规律探究】将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第1n -行的第一个圆圈中的数分别为1n -，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：22223(123)n ++++=.因此，2222123n ++++=. 【解决问题】 根据以上发现，计算222212320171232017++++++++的结果为.【来源】2017年初中毕业升学考试（安徽卷）数学（带解析）【答案】21n +()()1212n n n ++?()()11216n n n ++1345 【解析】试题分析：先利用转化的而思想来探究2222123n ++++=()()11216n n n ++；再利用公式解决问题. 试题解析：21n +2222123n ++++=()()11216n n n ++1345 222212320171232017++++++++=12017(20171)(220171)116(220171)40351345(12017)3320172⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+=⨯=+⨯ 考点：探究问题、解决问题的能力.。
2023届高考二轮总复习试题 专题七 探索世界与把握规律(含解析)
专题七探索世界与把握规律一、选择题(本大题共16小题,每小题3分,共48分)1.(2022·广东汕头三模)马克思和恩格斯在他们的著作中特别强调的是“辩证”唯物主义,而不是辩证“唯物主义”,特别坚持的是“历史”唯物主义,而不是历史“唯物主义”。
以下有关马克思主义哲学的评价,符合这一论述的是()①实现了自然观和历史观的科学统一②把实践观放在哲学的首要观点位置③把辩证法的观点贯彻到社会历史领域④克服了近代形而上学唯物主义的缺陷A.①②B.②③C.①③D.③④2.2021年10月16日,神舟十三号载人飞船升空后成功进入预定轨道,与天和核心舱完成自主快速交会对接,顺利将3名航天员送入太空。
我国载人航天工程空间站在轨建造阶段第二次载人发射取得圆满成功,这与航空航天科研团队团结合作,经过一系列科学试验验证、突破关键技术是分不开的。
材料表明()①思维与存在具有同一性②人们可以根据事物的固有联系创造新的具体联系③意识活动具有目的性,直接反作用于客观事物④经过实践检验的认识促进科学事业的进步A.①②B.①③C.②④D.③④3.(2022·湖南岳阳考前适应)“元宇宙”原意为“超越宇宙”,目前它是指一个平行并与现实世界映射与交互的、具备新型社会体系的人造空间,由AR、VR、3D等技术支持,具有时空性、真实性、独立性、连接性等属性。
对此下列说法正确的是()①元宇宙是人类创造出来的物质②元宇宙可以映射现实世界生活③元宇宙体现主观人为事物的联系④元宇宙是人类社会的组成部分A.③④B.①②C.②③D.②④4.2021年诺贝尔生理学或医学奖两位获奖科学家的贡献在于“发现温度和触觉感受器”。
他们在各自独立的研究中发现了人体感知温度、压力及疼痛的分子机制,借此让大脑和神经系统更好地感知外部环境,为与触觉相关的生理疾病研究提供了重要依据。
这一研究佐证了()①人脑是思维活动的物质器官②意识是人脑加工改造的产物③意识活动是自然界长期发展的产物④意识只有反映事物的本质才具有能动性A.①②B.①③C.②④D.③④5.(2022·湖南岳阳一模)“美人迈兮音尘阙,隔千里兮共明月”(谢庄)、“云中谁寄锦书来,雁字回时,月满西楼”(李清照)、“但愿人长久,千里共婵娟”(苏轼),古人多以明月寄相思,在他们心中,月亮能够超越空间的阻隔和时光的障碍表达感情。
华师版七上数学精选找规律专题18道-附答案和考点详解
华师版七上数学精选找规律专题18道一．选择题（共6小题）1．观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2018应标在( )A ．第504个正方形的左下角B ．第505个正方形的左上角C ．第504个正方形的右下角D ．第505个正方形的右上角2．一根1m 长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是( ) A ．61()2mB ．71()2mC ．81()2mD ．121()2m3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．60584．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是( )A ．10B ．89C ．165D ．2945．观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：20203的个位数字是()A ．1B ．3C ．7D ．96．观察式子：3211=，332212(12)3+=+=，33322123(123)6++=++=，3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，根据你发现的规律，计算3333335678910+++++的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．2625二．填空题（共4小题）7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．8．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，⋯⋯，移动2019次后，该点所对应的数是 ．9．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为1a ，第二个三角数记为2a ⋯，第n 个三角数记为n a ，计算12a a +，23a a +，34a a +，⋯由此推算399400a a += ．10．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是 ．三．解答题（共8小题）11．观察下列等式的规律，解答下列问题：1122()212a =+，2122()223a =+，3122()234a =+，4122()245a =+，⋯⋯． （1）第5个等式为 ；第n 个等式为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）； （2）设112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．求1231008S S S S +++⋯⋯+的值．12．如图，将连续的奇数1，3，5，7⋯按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2)分别用a，b，c，d，x表示．（1）若17x=，则a b c d+++=．（2）移动十字框，用x表示a b c d+++=．（3）设M a b c d x=++++，判断M的值能否等于2020，请说明理由．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题21342+==213593++==21357164+++==213579255++++==（1）试猜想13579..19++++++=；试猜想13579922222++++⋯+=；（2）试猜想13579(21)(21)(23)n n n+++++⋯+-++++=；（3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示100110031005..19971999+++++．14．观察下面三行数：2-，4，8-，16，32-，64 ⋯①0，6，6-，18，30-，66⋯②1-，2，4-，8，16-，32⋯③（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数有什么关系？ （3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和．15．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是 ； （2）如果继续分割下去，部分的面积为 ；（3）受此启发，请你求出711112482+++⋯+的值．16．探究与应用： 观察下列各式： 13+=2135++= 21357+++= 213579++++= 2⋯⋯问题：（1）在横线上填上适当的数；（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；（3）根据规律计算：(1)(3)(5)(7)(2019)-+-+-+-+⋯+-．（结果用科学记数法表示） 17．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：1132321123232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯ （1）问题发现 观察下列等式：①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③14343113434342334-==-=-⨯⨯⨯⨯，⋯， 猜想并写出第n 个式子的结果：1(1)n n =+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：①111112233420192020+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ； ②1111122334(1)n n +++⋯+=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯． 18．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： （1）当有n 张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？华师版七上数学精选找规律专题18道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2018应标在( )A ．第504个正方形的左下角B ．第505个正方形的左上角C ．第504个正方形的右下角D ．第505个正方形的右上角【分析】根据数字在图形上的变化，寻找规律即可求解． 【解答】解：观察图形的数字的变化规律，可知 (101)423+÷=⋯∴数10应标在第3个正方形的左上角；(141)433+÷=⋯∴数14应标在第4个正方形的左上角；⋯(20181)45043+÷=⋯∴数2018应标在第505个正方形的左上角；故选：B ．【点评】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．一根1m 长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是( ) A ．61()2mB ．71()2mC ．81()2mD ．121()2m【分析】根据题意归纳总结得到一般性规律，确定出所求即可． 【解答】解：第一次剪去全长的12，剩下全长的12， 第二次剪去剩下的12，剩下全长的2111222⨯=， 第三次再剪去剩下的12，剩下全长的23111222⨯=，如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为8881111()()222m ⨯==． 故选：C ．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．6058【分析】设第n 个图形有n a 个〇(n 为正整数），观察图形，根据各图形中〇的个数的变化可找出“13(n a n n =+为正整数）”，再代入2019a =即可得出结论． 【解答】解：设第n 个图形有n a 个〇(n 为正整数），观察图形，可知：1131a =+⨯，2132a =+⨯，3133a =+⨯，4134a =+⨯，⋯， 13(n a n n ∴=+为正整数）， 20191320196058a ∴=+⨯=．故选：D ．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中〇的个数的变化找出变化规律“13(n a n n =+为正整数）”是解题的关键．4．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是( )A ．10B ．89C ．165D ．294【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为05，右边第2位的计数单位为15，右边第3位的计数单位为25，右边第4位的计数单位为35⋯⋯依此类推，可求出结果． 【解答】解：321025153545294⨯+⨯+⨯+⨯=， 故选：D ．【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提． 5．观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：20203的个位数字是() A ．1B ．3C ．7D ．9【分析】根据题意可得出尾数每4个一循环，进而求出答案．【解答】解：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，⋯，∴尾数每4个一循环，3，9，7，1，20204505÷=，20203∴的个位数字是：1．故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方，尾数特征，观察得到每4个数为一个循环组依次进行循环是解题的关键．6．观察式子：3211=，332212(12)3+=+=，33322123(123)6++=++=，3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，根据你发现的规律，计算3333335678910+++++的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．2625【分析】根据题意找到规律：3333322(1)1234(1234)[]2n n n n ++++⋯+=++++⋯+=即可．【解答】解：3211=，332212(12)3+=+=， 33322123(123)6++=++=， 3333221234(1234)10+++=+++=，⋯，3333321234(1234)n n ∴+++⋯+=++++⋯+， 3333335678910+++++333333333(123410)(1234)=+++⋯+-+++ 22(123410)(1234)=++++⋯+-+++ 2210(101)4(41)[][]22⨯+⨯+=-225510=- 2925=．故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 二．填空题（共4小题）7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 41n + 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n 个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5219⨯-=， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为53213⨯-=，⋯，第n 个图案涂有阴影的小正方形的个数为5(1)41n n n --=+． 故答案为：41n +．【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键．8．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，⋯⋯，移动2019次后，该点所对应的数是 1010 ．【分析】先表示出前6次移动后所对应的数，从而得出第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n-，若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +，据此求解可得．【解答】解：第1次移动后对应的数为1， 第2次移动后对应的数为1-， 第3次移动后对应的数为2， 第4次移动后对应的数为2-， 第5次移动后对应的数为3， 第6次移动后对应的数为3-，⋯⋯∴第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n -； 若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +， 当2019n =时，该点所对应的数为2019110102+=， 故答案为：1010．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据前几次的移动得出第n 次移动后，若n 为偶数，则对应的点表示的数为2n -，若n 为奇数，则对应的点表示的数为12n +的规律．9．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为1a ，第二个三角数记为2a ⋯，第n 个三角数记为n a ，计算12a a +，23a a +，34a a +，⋯由此推算399400a a += 51.610⨯或160000 ．【分析】首先计算12a a +，23a a +，34a a +的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论． 【解答】解：21242a a +==；2233693a a +=+==；234610164a a +=+==；⋯∴21(1)n n a a n ++=+；∴25399400400160000 1.610a a +===⨯．故答案为：51.610⨯或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算12a a +，23a a +，34a a +的值可以发现规律为21(1)n n a a n ++=+，发现规律是解决本题的关键．10．填在各正方形中的四个数字之间具有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是 184 ．【分析】正方形中的四个数字之间具有的规律是：左下方格中的数字比左上方格中的数字大2，右上方格中的数字比左上方格中的数字大4，且左下方格中的数字与右上方格中的数字的乘积等于左上方格中的数字与右下方格中数字的和．利用此规律结论可求． 【解答】解：依据正方形中的四个数字之间具有的规律，可得：131511m ⨯=+， 184m ∴=．故答案为：184．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确发现数字的规律是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．观察下列等式的规律，解答下列问题：1122()212a =+，2122()223a =+，3122()234a =+，4122()245a =+，⋯⋯． （1）第5个等式为122()256+ ；第n 个等式为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）； （2）设112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．求1231008S S S S +++⋯⋯+的值．【分析】（1）根据规律写出结论，再将第n 个式子化简；（2）分别计算112S a a =-，234S a a =-，356S a a =-，⋯⋯，100820152016S a a =-．再代入所求式子，可得结论．【解答】解：（1）由题意得：5122()256a =+；122()21n a n n ∴=++；故答案为：122()256+，122()21n n ++；（2）由（1）可知111n a n n =++， 1121111(1)()12233S a a ∴=-=+-+=-，234111111()()344535S a a =-=+-+=-，356111111()()566757S a a =-=+-+=-，⋯⋯⋯1008201520161111()()2015201620162017S a a =-=+-+ 1120152017=-， 1231008S S S S ∴+++⋯+，1111111(1)()()()3355720152017=-+-+-+⋯+-，112017=-， 20162017=． 【点评】此题考查数字的变化规律，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题．12．如图，将连续的奇数1，3，5，7⋯按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2)分别用a ，b ，c ，d ，x 表示． （1）若17x =，则a b c d +++= 68 ． （2）移动十字框，用x 表示a b c d +++= ．（3）设M a b c d x =++++，判断M 的值能否等于2020，请说明理由．【分析】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当17x =时，找出a 、b 、c 、d 的值，将其相加即可求出结论；（2）由12a x =-、2b x =-、2c x =+、12d x =+，即可求出a b c d +++的值；（3）根据2020M =，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，由x 为偶数即可得出M 不能为2020．【解答】解：观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当17x =时，5a =，15b =，19c =，29d =， 515192968a b c d ∴+++=+++=．故答案为：68．（2）12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+， (12)(2)(2)(12)4a b c d x x x x x ∴+++=-+-++++=．故答案为：4x ．（3）M 的值不能等于2020，理由如下： 令2020M =，则42020x x +=， 解得：404x =． 404是偶数不是奇数，∴与题目x 为奇数的要求矛盾，M ∴不能为2020．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a 、b 、c 、d 四个数相加；（2）观察图1，用含x 的代数式表示出a 、b 、c 、d ；（3）由2020M =，列出关于x 的一元一次方程．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题 21342+== 213593++== 21357164+++== 213579255++++==（1）试猜想13579..19++++++= 100 ； 试猜想13579922222++++⋯+= ； （2）试猜想13579(21)(21)(23)n n n +++++⋯+-++++= ； （3）写出过程，请用上述规律计算出最后数值并用科学记数法表示 100110031005..19971999+++++．【分析】（1）根据题目中数字的特点，可以求得所求式子的值； （2）根据题目中式子的特点可以求得所求式子的值； （3）根据题目中的例子和式子的特点可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）213579..1910100++++++==，2135799135995012502222222+++⋯+++++⋯+===， 故答案为：100，1250；（2）2223113579(21)(21)(23)()(2)2n n n n n +++++++⋯+-++++==+， 故答案为：2(2)n +；（3）100110031005..19971999+++++ (1351999)(135999)=+++⋯+-+++⋯+ 22199919991()()22++=-221000500=-(1000500)(1000500)=+⨯- 1500500=⨯ 750000=57.510=⨯．【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、科学记数法，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 14．观察下面三行数：2-，4，8-，16，32-，64 ⋯①0，6，6-，18，30-，66⋯②1-，2，4-，8，16-，32⋯③（1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数有什么关系？（3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和．【分析】（1）观察可看出第一行的数分别是2-的一次方，二次方，三次方，四次方⋯且奇数项是负数，偶数项是正数，用式子表示规律为：(2)n -；（2）观察可知，第②行数比第①行相对应的数大2；第③行数是第①行相对应的数的12； （3）根据规律分别求得第10个数的值，再求其和即可． 【解答】解：（1）(2)n -；（2）第②③行数与第①行数的关系为：第②行数比第①行相对应的数大2；第③行数是第①行相对应的数的12； （3）第一行的第十个数为：1024； 第二行的第十个数为：1026； 第三行的第十个数为：512； 102410265122562++=．故这三个数的和为：2562．【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题要求学生对给出的条件仔细观察从而找出规律．15．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是164； （2）如果继续分割下去，部分的面积为 ；（3）受此启发，请你求出711112482+++⋯+的值．【分析】（1）根据图形和题意，可以得到阴影部分的面积；（2）根据图形和题意，可以得到部分的面积；（3）根据图形和题目中式子的特点，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 阴影部分的面积是：611()264=，故答案为：164； （2）由题意可得， 部分的面积为：1()2n ，故答案为：1()2n ；（3）711112482+++⋯+ 7112=-77212-= 1281128-=127128=． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 16．探究与应用： 观察下列各式： 13+= 22135++= 21357+++= 213579++++= 2⋯⋯问题：（1）在横线上填上适当的数；（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；（3）根据规律计算：(1)(3)(5)(7)(2019)-+-+-+-+⋯+-．（结果用科学记数法表示） 【分析】（1）根据从1开始连续n 个奇数和等于奇数的个数n 的平方即可得；（2）根据以上所得规律列式表示即可； （3）先提取负号，再利用所的规律求解可得． 【解答】解：（1）2132+= 21353++= 213574+++= 2135795++++=⋯⋯故答案为：2、3、4、5；（2）第n 个等式为21357(21)n n ++++⋯++=； （3）原式(135792019)=-+++++⋯+ 21004=-61.00801610=-⨯．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出从1开始连续n 个奇数和等于奇数的个数n 的平方的规律．17．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：1132321123232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯ （1）问题发现 观察下列等式： ①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③14343113434342334-==-=-⨯⨯⨯⨯，⋯， 猜想并写出第n 个式子的结果：1(1)n n =+ 111n n -+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：①111112233420192020+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ； ②1111122334(1)n n +++⋯+=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯． 【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n 个式子的结果；（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）由题目中的式子可得， 111(1)1n n n n =-++， 故答案为：111n n -+； （2）①111112233420192020+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420192020=-+-+-+⋯+-112020=- 20192020=， 故答案为：20192020； ②1111122334(1)n n +++⋯+⨯⨯⨯+ 11111111223341n n =-+-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+， 故答案为：1nn +； （3）1111133********+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 11111111(1)23355799101=⨯-+-+-+⋯+-11=⨯-(1)21011100=⨯210150=．101【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．18．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？【分析】能够根据桌子的摆放发现规律，然后进行计算判断．【解答】解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是64(1)42+-=+．n n第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即62(1)24n n+-=+．（2）中，分别求出两种对应的n的值，或分别求出25n=时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．因为，当25⨯+=>n=时，425210298当25n=时，22545498⨯+=<所以，选用第一种摆放方式．【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．。
专题01 阅读理解之细节理解题(讲义)(解析版)
专题01 阅读理解之细节理解题(讲义)目录考点阅读理解之细节理解题------------------------------------------------------------------------------------------------------1页-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1页-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1页【真题研析·规律探寻】-----------------------------------------------------------------------------------------------------2页考向1 考查直接信息题----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2页考向2 考查间接信息题--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4页考向3 考查数字计算题----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7页【核心提炼·考向探究】----------------------------------------------------------------------------------------------------9页1．命题规律--------------------------------------------------------------------------------------------9页2．细节题的设题方式-----------------------------------------------------------------------------------9页3．常用的解题方法-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10页4．阅读理解之细节理解题的解题关键-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------11页5．细节理解题的实用技巧---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11页【题型特训·命题预测】------------------------------------------------------------------------------------------------------------12页预测考向1 考查直接信息题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12页预测考向2 考查间接信息题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14页预测考向3 考查数字计算题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17页考点 阅读理解之细节理解题考情分析：分析2021-2023年新高考阅读理解细节理解题考向分布。
中考数学复习 专题3 规律探索与阅读理解(精讲)试题
专题三 规律探索与阅读理解毕节中考备考攻略规律探索与阅读理解指的是给出一定条件,让考生认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想,得出结论,并加以验证的数学探索题.纵观近5年毕节中考数学试卷,规律探索与阅读理解多次出现,其中2014年第18题考查数的规律,2017年第20题考查式的计算规律,2018年第20题考查式的计算规律.预计2019年将继续考查规律探索与阅读理解,有可能考查图形规律的探索.从特殊情况入手探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.中考重难点突破数的规律例1 (2018·绵阳中考)将全体正奇数排成一个三角形数阵.根据以上排列规律,数阵中第25行的第20个数是( A )A .639B .637C .635D .633【解析】根据三角形数阵可知,第n 行奇数的个数为n 个,则前(n －1)行奇数的总个数为1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2,第n 行(n≥3)从左向右的第m 个数为第⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n －1）2＋m 个奇数,即2[n （n －1）2＋m －1]＋1＝n 2－n ＋2m －1.把n ＝25,m ＝20代入计算,即可得出答案.式的计算规律例2 (2018·成都中考)已知a ＞0,S 1＝1a ,S 2＝－S 1－1,S 3＝1S 2,S 4＝－S 3－1,S 5＝1S 4,…(即当n 为大于1的奇数时,S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时,S n ＝－S n －1－1),按此规律,S 2 018＝__－a ＋1a__.【解析】S 1＝1a ,S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ,S 3＝1S 2＝－a a ＋1,S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1,S 5＝1S 4＝－(a＋1),S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a,S 7＝1S 6＝1a ,…,由此得出规律：S n 的值每6个一循环.由2 018＝336×6＋2,可得S 2 018＝S 2,继而可得出答案.图形的变化规律例3 (2018·重庆中考A 卷)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为( C )A.12B.14C.16D.18【解析】第①个图案中三角形的个数为2＋2＝2×2＝4； 第②个图案中三角形的个数为2＋2＋2＝2×3＝6； 第③个图案中三角形的个数为2＋2＋2＋2＝2×4＝8； ……第○,n )个图案中三角形的个数为2(n ＋1). 把n ＝7代入2(n ＋1)即可得出答案.坐标的规律例4 (2018·广州中考)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令,从原点O 出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m ,其行走路线如图所示,第1次移动到A 1,第2次移动到A 2,…,第n 次移动到A n ,则△OA 2A 2 018的面积是( A )A .504 m 2B .1 0092 m 2 C .1 0112m 2 D .1 009 m 2【解析】依题可得A 2(1,1),A 4(2,0),A 8(4,0),A 12(6,0),…, ∴A 4n (2n,0),∴A 2 016(即A 4×504)的坐标为(1 008,0). ∴A 2 018(1 009,1).∴A 2A 2 018＝1 009－1＝1 008.∴S △OA 2A 2 018＝12×1×1 008.,1.(2018·十堰中考)如图是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是( B )A .210B .41C .5 2D .2512.(2018·宜昌中考)1261年,我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律,则a,b,c 的值分别为( B )A .a ＝1,b ＝6,c ＝15B .a ＝6,b ＝15,c ＝20C .a ＝15,b ＝20,c ＝15D .a ＝20,b ＝15,c ＝63.(2018·滨州中考)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2, 1＋122＋132＝1＋12×3, 1＋132＋142＝1＋13×4, ……请利用你所发现的规律,计算：1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋192＋1102,其结果为__9910__.4.(2018·随州中考)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,…)和“正方形数”(如1,4,9,16,…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m ＋n 的值为( C )A .33B .301C .386D .5715.(2018·东营中考)如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,…和B 1,B 2,B 3,…分别在直线y ＝15x ＋b 和x 轴上.△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,…都是等腰直角三角形,如果点A 1(1,1),那么点A 2 018的纵坐标是__⎝ ⎛⎭⎪⎫322 017__.6.(2018·桂林中考)将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m 行,第n 列的自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2),….按此规律,自然数2 018记为__(505,2)__.行 \ 列第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 1011 12第4行16 15 14 13……………第n行…………毕节中考专题过关1.(2018·枣庄中考)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 1415 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17……则2 018在第__45__行.2.(2018·张家界中考)观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64, 27＝128, 28＝256,…,则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是( B)A.8B.6C.4D.03.(2018·德州中考)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用下图的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.(a＋b)0 (1)(a＋b)1………………1 1(a＋b)2……………1 2 1(a＋b)3…………1 3 3 1(a＋b)4………1 4 6 4 1(a＋b)5……1 5 10 10 5 1根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为( B)A.84B.56C.35D.284.(2018·绍兴中考)某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品,将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合).现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉,如果作品有角落相邻,那么相邻的角落共享一枚图钉(例如,用9枚图钉将4张作品钉在墙上,如图).若有34枚图钉可供选用,则最多可以展示绘画作品( D)A.16张B.18张C.20张D.21张5.(2018·重庆中考B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去,第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( B)…A.11B.13C.15D.176.(2018·绍兴中考)利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,如图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23＋b×22＋c×21＋d×20,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是( B)7.(2018·济宁中考)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是( C)8.(2018·烟台中考)如图,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为( C)A.28B.29C.30D.319.(2018·遵义中考)每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示,则第2 018层的三角形个数为__4__035__.10.(2018·白银中考)如图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2 018次输出的结果为__1__.11.如图,在数轴上,A1,P两点表示的数分别是1,2,A1,A2关于点O对称,A2,A3关于点P对称,A3,A4关于点O对称,A4,A5关于点P对称,…,依此规律,则点A14表示的数是__－25__.。
规律探索--图形规律(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。
七年级规律探索题答案解析
前言：七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。
高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。
一、规律探索类题型规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题 ②观察 ③分析 ④猜想 ⑤验证，来探索对象的规律。
它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。
题型可涉及填空、选择或解答。
【题型分类】 【1、数字问题】最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是：经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。
如： 1、正整数规律1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数） 2、奇数规律1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数） 3、偶数规律2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数） 4、正、负交替规律变化一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n- （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +-5、平方数规律1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-26、等差数列常识按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如：（1） 1，2，3，4，5，6，… （2） 1，2，4，8，16，32；A 、一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。
2020年中考数学高频重点《数的规律探索》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题17 数的规律探索【达标要求】规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，本节主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”类型.【知识梳理】数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数字,考查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力.常有以下类型:(1)等差数列类.即相邻数字的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一类数.(2)等比数列类.即相邻数字的比值相等.(3)加、减、乘、除、平方规律型.(4)个位数字规律类.在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.【精练精解】1.a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数，如2的差倒数为112=--1，﹣1的差倒数()11112=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．14-C ．43D ．452.观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-）=1134+=⨯1+（1134-），… 请利用你发现的规律，计算：+L，其结果为．3.按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1 4.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．10245.一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n个数为57，则n=（）A．50B．60C．62D．716.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．87.观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）8.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．89.按一定规律排列的一列数依次为：22a-，55a，810a-，1117a，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)10.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．7.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是．8.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD12=AC时，tanα134=；如图2，当CD13=AC时，tanα2512=；如图3，当CD14=AC时，tanα3724=；……依此类推，当CD11n=+AC（n为正整数）时，tanαn= ．9.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）= ．11.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．12.砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y 3=x 3+上，且∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，OA 1=1，则点C 6的坐标是 ．14.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s=1，则a2= ；（2）若s=2，则a0+a1+a2+…+a15= ．15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．16.观察下列式子第1个式子：2×4+1=9=32第2个式子：6×8+1=49=72第3个式子：14×16+1=225=152……请写出第n个式子：．17.如图，直线y13x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，A n﹣1B n﹣1C n﹣1A n中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，S n，则S n可表示为．18.如图，点B1在直线l：y12=x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）19.如图，点A1，A2，A3…，A n在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，∁n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限角平分线OM上，OB1=B1B2=B1B3=…=B n﹣1B n2=a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，A n B n⊥B n∁n，…，则第n个四边形OA n B n∁n的面积是．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y3=于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C 2019B 2019B 2020的面积是 ．21.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S =1+2+22+…+22017+22018①则2S =2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S ﹣S =S =22019﹣1∴S =1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29= ；（2）3+32+…+310= ；（3）求1+a +a 2+…+a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）．22.观察以下等式：第 1个等式：211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明．23.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1=d，a3﹣a2=d，a4﹣a3=d，…，a n﹣a n﹣1=d，…．所以a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？24.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．25.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．专题17 数的规律探索【达标要求】规律探索型问题是指由给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论的问题，本节主要包括“数字规律探索”、“代数式规律探索”类型.【知识梳理】数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数字,考查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力.常有以下类型:(1)等差数列类.即相邻数字的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一类数.(2)等比数列类.即相邻数字的比值相等.(3)加、减、乘、除、平方规律型.(4)个位数字规律类.在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.【精练精解】1.a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数，如2的差倒数为112=--1，﹣1的差倒数()11112=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2019的值是（ ）A ．5B ．14-C ．43D ．45 【答案】D ．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a 2019相同的数即可得解．【详解】∵a 1=5，a 211111154a ===---，a 3211411514a ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，a 43114115a ===--5，… ∴数列以5，14-，45三个数依次不断循环． ∵2019÷3=673，∴a 2019=a 345=． 故选D ．2.观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-）=1134+=⨯1+（1134-），… 请利用你发现的规律，计算：+L ，其结果为 ． 【答案】201820182019． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．+L =1+（112-）+1+（1123-）+…+1+（1120182019-） =2018+111111112233420182019-+-+-++-L =201820182019．故答案为：201820182019．3.按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1B ．（﹣1）n x2n ﹣1C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1D ．（﹣1）n x 2n +1【答案】C ．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】∵x 3=（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，……由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n +1．故选C ．4.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a +b ）n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a +b ）0=1 （a +b ）1=a +b （a +b ）2=a 2+2ab +b 2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C．【分析】由“杨辉三角”的规律可知，令a=b=1，代入（a+b）9计算可得所有项的系数和．【详解】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9=29=512．故选C．5.一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n个数为57，则n=（）A．50 B．60 C．62 D．71【答案】B．【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为57时n的值，本题得意解决．【详解】11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，（12，21），（13，22，31），（14，2 3，32，41），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345678910111110987654321，，，，，，，，，，，∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60．故选B．6.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A．【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【详解】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A．7.观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．8.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．9.按一定规律排列的一列数依次为：22a-，55a，810a-，1117a，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______.(n为正整数)【答案】312 (1)1nnan--⋅+.【解析】第1个数为31112 (1)11a⨯--⋅+，第2个数为23122 (1)21a⨯--⋅+，第3个数为33132 (1)31a⨯--⋅+，第4个数为34142 (1)41a⨯--⋅+，…，所以这列数中的第n个数是312 (1)1nnan--⋅+.故答案为312 (1)1nnan--⋅+.10.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．【答案】14n -．【分析】由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点A n的坐标，再由直线y=kx+2与此折线恰有2n（n ≥1，且为整数）个交点，即可得出点A n+1（8n，0）在直线y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．【详解】∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…，∴A n（8n﹣8，0）．∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1且为整数）个交点，∴点A n+1（8n，0）在直线y=kx+2上，∴0=8nk+2，解得：k14n =-．故答案为：14n -．6.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，2）．【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【详解】由题意得：A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1），A3的坐标为（﹣2，，A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣，A6的坐标为（16，﹣，A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣．∵2019÷6=336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2=﹣22017，纵坐标为2故答案为：（﹣22017，2．7.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是．【答案】（47，16）．【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y1133x=+，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【详解】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…．∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…，∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y13=x13+．∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y=16代入y13=x13+，解得x=47，∴C5的坐标是（47，16）．故答案为：（47，16）．8.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD 12=AC 时，tan α134=； 如图2，当CD 13=AC 时，tan α2512=；如图3，当CD 14=AC 时，tan α3724=；……依此类推，当CD 11n =+AC （n 为正整数）时，tan αn = ． 【答案】22122n n n++．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个，∴tan αn222121(21)1222n n n n n++==+-+． 故答案为：22122n n n ++．9.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．（n 为正整数）【答案】（n）．【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3．在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，由勾股定理得出A1P1==A2P2=，A3P3=P1的坐标为（ 1，P2的坐标为（ 2，P3的坐标为（3），……，得出规律，即可得出结果．【详解】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1=1，OP1=2，∴A1P1===A2P2==，A3P3=……，∴P1的坐标为（ 1，P2的坐标为（ 2），P3的坐标为（3），……，…按照此规律可得点P n的坐标是（n，即（n）故答案为：（n）．10.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D 2019F 2019）= ．【答案】40380．【分析】∵D 1F 1∥AC ，D 1E 1∥AB ，可得1111D F AB DE AC AB-=，因为AB =5，BC =4，则有4D 1E 1+5D 1F 1=20；同理有如下规律4D 2E 2+5D 2F 2=20，…，4D 2019E 2019+5D 2019F 2019=20． 【详解】∵D 1F 1∥AC ，D 1E 1∥AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=． ∵AB =5，BC =4，∴4D 1E 1+5D 1F 1=20，同理4D 2E 2+5D 2F 2=20，…，4D 2019E 2019+5D 2019F 2019=20，∴4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）=20×2019=40380． 故答案为：40380．11.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C 的坐标可表示为 ．【答案】（2，4，2）．【分析】根据点A 的坐标可表示为（1，2，5），点B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论． 【详解】根据题意得：点C 的坐标可表示为（2，4，2）． 故答案为：（2，4，2）．12.砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个． 【答案】3．【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数． 【详解】∵210÷3=70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70=140个金蛋，重新编号为1，2，3， (140)∵140÷3=46...2，∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46=94个金蛋，重新编号为1，2，3， (94)∵94÷3=31…1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31=63个金蛋．∵63＜66，∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．故答案为：3．13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y 3=x 3+上，且∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，OA 1=1，则点C 6的坐标是 ．【答案】（47，．【分析】根据菱形的边长求得A 1、A 2、A 3…的坐标然后分别表示出C 1、C 2、C 3…的坐标找出规律进而求得C 6的坐标．【详解】∵OA 1=1，∴OC 1=1，∴∠C 1OA 1=∠C 2A 1A 2=∠C 3A 2A 3=…=60°，∴C 1的纵坐标为：sin 60°•OC 1=横坐标为cos 60°•OC 112=，∴C 1（12．∵四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，∴A 1C 2=2，A 2C 3=4，A 3C 4=8，…，∴C 2的纵坐标为：sin 60°•A 1C 2=y =+求得横坐标为2，∴C 2（2），C 3的纵坐标为：sin 60°•A 2C 3入y 3=x 3+求得横坐标为5，∴C 3（5，），∴C 4（11，，C 5（23，，∴C 6（47，．故答案为：（47，．14.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s =1，则a 2= ；（2）若s =2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15= ．【答案】（1）105；（2）315．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x ）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和； （2）根据x 的特殊值代入要解答，即把x =1代入时，得到结论．【详解】（1）由图2知：（a +b ）1的第三项系数为0，（a +b ）2的第三项的系数为：1，（a +b ）3的第三项的系数为：3=1+2，（a +b ）4的第三项的系数为：6=1+2+3，…，∴发现（1+x ）3的第三项系数为：3=1+2；（1+x）4的第三项系数为6=1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s=1，则a2=1+2+3+…+14=105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x=1时，a0+a1+a2+…+a15=（2+1）15=315．故答案为：315．15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．【答案】6058．【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【详解】由图可得：第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇．故答案为：6058．16.观察下列式子第1个式子：2×4+1=9=32第2个式子：6×8+1=49=72第3个式子：14×16+1=225=152……请写出第n个式子：．【答案】（2n+1﹣2）×2n+1+1=（2n+1﹣1）2．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大2）与1的和；右边是比左边第一个因数大1的数的平方；②第1个式子的第一个因数是22﹣2，第2个式子的第一个因数是23﹣2，第3个式子的第一个因数是24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是2n+1﹣2，从而能写出第n 个式子．【详解】∵第1个式子：2×4+1=9=32，即（22﹣2）×22+1=（22﹣1）2，第2个式子：6×8+1=49=72，即（23﹣2）×23+1=（23﹣1）2，第3个式子：14×16+1=225=152，即（24﹣2）×24+1=（24﹣1）2，……，∴第n 个等式为：（2n +1﹣2）×2n +1+1=（2n +1﹣1）2． 故答案为：（2n +1﹣2）×2n +1+1=（2n +1﹣1）2． 17.如图，直线y 13=x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB ⊥AM ，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1A n 中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为 ．【答案】42223n n -．【分析】根据直线y 13=x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，可分别求出OA 、OM 的长，得出tan ∠AMO 13=，根据同角的余角相等可得∠OAB =∠AMO ，得出tan ∠OAB 13OB OA ==，进而得出OB 13=，进而表示出S 1，S 2，…，S n ．【详解】在直线y 13=x +1中，当x =0时，y =1；当y =0时，x =﹣3；∴OA =1，OM =3，∴tan ∠AMO 13=． ∵∠OAB +∠OAM =90°，∠AMO +∠OAM =90°，∴∠OAB =∠AMO ，∴tan ∠OAB 13OB OA ==，∴OB 13=．∵12133-=，∴2124()39S ==，易得tan 1113B C CBB tan OAB BC ∠==∠=，∴11111333B C BC AC AB ===，∴1143A B AB =，∴221416()39S S ==，同理可得23211616()99S S S ==，34311616()99S S S ==，…，4442421111222221616422222()()()99933333n n n n n n n n S S ------⎛⎫==⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：42223n n -．18.如图，点B 1在直线l ：y 12=x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点∁n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）【答案】173()22n -+． 【分析】根据点B 1的横坐标为2，在直线l ：y 12=x 上，可求出点B 1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C 1、C 2、C 3、C 4……的横坐标，根据规律得出答案．【详解】过点B 1、C 1、C 2、C 3、C 4分别作B 1D ⊥x 轴，C 1D 1⊥x 轴，C 2D 2⊥x 轴，C 3D 3⊥x 轴，C 4D 4⊥x 轴，……垂足分别为D 、D 1、D 2、D 3、D 4…… ∵点B 1在直线l ：y 12=x 上，点B 1的横坐标为2，∴点B 1的纵坐标为1，即：OD =2，B 1D =1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，1111121111112B D DA C D D A OD B D A D C D =====L ，∴点C 1的横坐标为：212++（32）0，点C 2的横坐标为：212++（32）0+（32）014⨯+（32）152=+（32）054⨯+（32）1 点C 3的横坐标为：212++（32）0+（32）014⨯+（32）1+（32）114⨯+（32）252=+（32）054⨯+（32）154⨯++（32）2 点C 4的横坐标为：52=+（32）054⨯+（32）154⨯+（32）254⨯+（32）3……点∁n 的横坐标为：52=+（32）054⨯+（32）154⨯+（32）254⨯+（32）354⨯+（32）454⨯+L L （32）n ﹣15524=+[（32）0+（32）1×+（32）2+（32）3+（32）4……]+（32）n ﹣1 173()22n -=+ 故答案为：173()22n -+19.如图，点A 1，A 2，A 3…，A n 在x 轴正半轴上，点C 1，C 2，C 3，…，∁n 在y 轴正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在第一象限角平分线OM 上，OB 1=B 1B 2=B 1B 3=…=B n ﹣1B n =，A 1B 1⊥B 1C 1，A 2B 2⊥B 2C 2，A 3B 3⊥B 3C 3，…，A n B n ⊥B n ∁n ，…，则第n 个四边形OA n B n ∁n 的面积是 ．【答案】2238n a ．【分析】过点C 1作C 1E ⊥OB 1于点E ，过点A 1作A 1F ⊥OB 1于点F ，过点B 1分别作B 1H ⊥OC 1于点H ，B 1N ⊥OA 1于点N ，先证明：△B 1HC 1≌△B 1NA 1（AAS ），再证明：△B 1C 1E ≌△A 1B 1F （AAS ），即可证得：C 1E +A 1F =B 1F +OF =OB 1，进而可得：1111111238OB C OB A OA B C S S S a =+=V V 四边形，同理可得：22222328OA B C S a =⋅四边形，33322338OA B C S a =⋅四边形，…，22223388n n n OA B C n a S a n =⋅=四边形． 【详解】如图，过点C 1作C 1E ⊥OB 1于点E ，过点A 1作A 1F ⊥OB 1于点F ，过点B 1分别作B 1H ⊥OC 1于点H ，B 1N ⊥OA 1于点N ．∵∠B 1OC 1=∠B 1OA 1，∴B 1H =B 1N ．∵∠HB 1N =∠C 1BA 1=90°，∴∠HB 1C 1=∠NB 1A 1．∵∠B 1HC 1=∠B 1NA 1=90°，∴△B 1HC 1≌△B 1NA 1（AAS ），∴B 1C 1=B 1A 1． ∵∠C 1B 1F +∠A 1B 1F =90°，∠A 1B 1F =90°，∴∠C 1B 1F =∠B 1A 1F ． ∵∠C 1EB 1=∠B 1FA 1=90°，∴△B 1C 1E ≌△A 1B 1F （AAS ），∴C 1E =B 1F ． ∵∠B 1OA 1=45°，∴∠FA 1O =45°，∴A 1F =OF ，∴C 1E +A 1F =B 1F +OF =OB 1．1111111112OB C OB A OA B C S S S OB =+=V V 四边形•C 1E 1111122OB A F OB +⋅=（C 1E +A 1F ）2221113)2228OB a ===，同理，222222221132)2228OA B C S OB a ===⋅四边形，333222231133)3228OA B C S OB a ===⋅四边形，…，2222221133)2288n n nn OA B C n a S OB n a n ===⋅=四边形． 故答案为：2238n a ．20.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =x 轴交于点A 1，与y 轴交于点A 2，过点A 1作x 轴的垂线交直线l 2：y 3=x 于点B 1，过点A 1作A 1B 1的垂线交y 轴于点B 2，此时点B 2与原点O 重合，连接A 2B 1交x 轴于点C 1，得到第1个△C 1B 1B 2；过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点B 3，过点B 3作y 轴的平行线交l 1于点A 3，连接A 3B 2与A 2B 3交于点C 2，得到第2个△C 2B 2B 3……按照此规律进行下去，则第2019个△C 2019B 2019B 2020的面积是 ．【分析】根据一次函数解析式的求法和相似三角形的性质解答即可．【详解】∵y =x 轴交于点A 1，与y 轴交于点A 2，∴()(12100A A -，，，在y 3x =中，当x =﹣1时，y =，∴113B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，设直线A 2B 1的解析式为：y =kx +b，可得：b k b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得：3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线A 2B 1的解析式为：3y x =，令y =0，可得：x 34=-，∴C 2（34-，0），∴11221111139224388C B B S B C A B =⋅=⨯⨯==V ∵△A 1B 1B 2∽△A 2B 2B 3，∴△C 1B 1B 2∽△C 2B 2B 3，∴2231122223221211()()9C B B C B B S B B A B S B B A B ====V V，∴2231129C B B C B B S S ==V V3342239C B B C B B S S ==V V ，∴△C 2019B 2019B 2020的面积==．21.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S =1+2+22+…+22017+22018①则2S =2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S ﹣S =S =22019﹣1 ∴S =1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29= ； （2）3+32+…+310= ；（3）求1+a +a 2+…+a n的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）．【答案】（1）210﹣1；（2）11332-；（3）①当a =1时，原式=n +1；②当a ≠1时，1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n 111n a a +-=-．【分析】（1）利用题中的方法设S =1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S =2+22+…+29，然后把两式相减计算出S 即可；（2）利用题中的方法设S =1+3+32+33+34+…+310，两边乘以3得到3S =3+32+33+34+35+…+311，然后把两式相减计算出S 即可；（3）利用（2）的方法计算． 【详解】（1）设S =1+2+22+…+29① 则2S =2+22+…+210② ②﹣①得2S ﹣S =S =210﹣1 ∴S =1+2+22+…+29=210﹣1． 故答案为：210﹣1．（2）设S =3+3+32+33+34+…+310①，则3S =32+33+34+35+…+311②，②﹣①得2S =311﹣3，所以S 11332-=，即3+32+33+34+…+31011332-=．故答案为：11332-；（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n ①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+．．+a n +a n +1②，②﹣①得：（a ﹣1）S =a n +1﹣1，分两种情况讨论：①当a =1时，不能直接除以a ﹣1，此时原式=n +1；②当a ≠1时，a ﹣1才能做分母，所以S 111n a a +-=-，即1+a +a 2+a 3+a 4+．．+a n 111n a a +-=-．22.观察以下等式：第 1个等式：211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明． 【答案】（1）21111666=+；（2）()2112121n n n n =+--． 【分析】（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律()2112121n n n n =+--，再利用分式的混合运算法则验证即可． 【详解】（1）第6个等式为：21111666=+． 故答案为：21111666=+； （2）()2112121n n n n =+-- 证明：∵右边()()112112212121n n n n n n n -+=+===---左边，∴等式成立． 故答案为：()2112121n n n n =+--． 23.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d 为 ，第5项是 ．。
规律探索题赏析
，
重复 运算 下去 ， 能得到 一个 固定 的数 就
Ｔ＝ ， 我们 称 它 为数 字 “ 洞 ” 为 何 黑 ． 具 有 如此魔 力 ？通过 认真 的观 察 、 析 ， 一 分 你
定 能 发现 它的奥 秘．
归类 和解 析 ， 以便 给大 家带 来 帮助．
１ 数字 规律
分析 ： 我们取 任 何 一 个 能 被 ３整 除 的正 整数 ， 检验一 个数 是不 是 ３的倍 数 ， 就是 将 该 数 各位 数字 加起来 ， 它 的和能 否被 ３整 除． 看 例 如 ，１ １ １是 ３的 倍 数 ， １１１ 因为 各 位 数 字 加 起 来 的和是 ６ 可 以被 ３整 除． 们选 好 一 个 ， 我
４Ｃ ４ ３Ｂ Ｂ Ｃ ２ ４ ，Ｅ＝ ，Ｅ＝ Ｃ＋ Ｅ＝ ０＋ １
１
＝
，
由Ｄ Ｅ
即 ４
１
＝
，
可 得 Ｅ ＝８（ ， Ｆ ｍ） ， ＝
Ｂ Ｅ＋Ｅ Ｆ＝２ ８＋４
１
—
（ ．由 Ａ ＝ ｍ） Ｂ １
，
即
：
，
可得 Ａ Ｂ：１ ２ ４＋
（ ． ｍ）
ｚ ＋４ ４ｊ Βιβλιοθήκη 万 法 二 ： 长 Ａ 、 Ｄ ＢＣ 父 卡 点 过 点 Ｄ
作 Ｄ Ｆ于 点 Ｅ， 图 ９ 则 Ｄ ＥＬＢ 如 ， Ｅ＝１ Ｃ Ｄ＝
此 影子 长 为 ０ ２ ｍ， 级 台 阶高 为 ０ ３ｍ， ． 一 ． 如 图 ｌ 若 此 时落在 地 面上 的影长 为 ４ ４ｍ， ０， ． 则 树 高 为 ｍ ．
后相加 ， 又得到
９ ＋７ ＋２ ：７ ９ ＋３ ２ ４３ ＋８ ＝ １０８ ． ０
点 评： 认真 审题过程 中， 在 对题 目提供 的 素材要 采用 观察 、 合 、 纳和类 比的思维 方 综 归 法， 把具 体与抽 象 ， 止 与运 动 结 合 起来 ， 静 完
专题217新定义与数字类规律探究问题-2021-2022学年七年级数学上(原卷版)【苏科版】
2021-2022学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.17 新定义与数字类规律探究姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·四川德阳市·九年级二模）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的的第m 行，是该行中的从左向右数的的第n 个数，那么m n +的值是（ ）A ．131B ．130C ．129D ．1282．（2021·河北七年级期末）填在下面各小正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A ．224B ．168C ．212D ．1323（2021·安徽合肥市·九年级二模）已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅，满足条件：12132430,1,2,3,a a a a a a a ==-+=-+=-+⋅⋅⋅，依次类推2021a 的值为（ ）A ．1009-B ．1010-C ．1011-D ．2020-4．（2021·北京北方交大附中第二分校七年级期末）定义：如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记做log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为35125=，所以5log 1253=．则下列说法正确的序号有（ ）①6log 636=；①3log 814=；①若4log (14)3a +=，则50a =；①222log 128log 16log 8=+ A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①5．（2020·湖北武汉市·江夏一中七年级月考）求23201913333+++++的值，可令23201913333S =+++++①，①式两边都乘以3，则2333S =+342020333++++①，①-①得2020331S S -=-，则2020312S -=仿照以上推理，计算出2155++342019555++++的值为（ ） A ．201951- B ．202051- C ．2020514- D ．2010514- 6．（2021·甘肃白银市·七年级期末）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22020的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．87．（2020·江苏徐州市·张双楼矿校七年级月考）计算：123452=2,2=4,2=82=16,2=32，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测20172的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．68．（2021·云南昆明市·九年级二模）一列数123420228,8,8,8,,8⋅⋅⋅，其中个位数字是8的数有（ ） A ．672个 B ．506个 C ．505个 D ．252个9．（2021·贵州铜仁市·九年级一模）一个用数1和0组成的2021位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110……，则这个数码中，数字“0”共有（ ）A ．673B ．674C ．675D ．67610．（2021·云南昆明市·九年级一模）观察下列一组数：13，45-，97，169-，2511，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是（ ） A ．221n n + B ．2(1)21n n n -+ C ．2(1)21n n n -- D ．21(1)21n n n --+ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021·四川宜宾市·七年级期末）我们常用的数是十进制，如32103245310210410510=⨯+⨯+⨯+⨯，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制210110121202=⨯+⨯+⨯，相当于十进制数中的6，543210110101121202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，相当于十进制数中的53．那么二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1）12．（2020·兴化市明升双语学校七年级期中）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，.⋯⋯通过观察，用你所发现的规律确定20202个位上的数是________．13．（2021·山西九年级三模）观察一列数：32，74，118，1516，…，按此规律，这列数的第n 个数是________． 14．（2020·广东九年级专题练习）观察下列式子：22224193,461255,681497⨯+==⨯+==⨯+==，…，根据此规律，第6个等式可以表示为________________．15．（2020·广东九年级专题练习）一组数列：2，5，10，17，26，…，依此类推，第11个数是________． 16．（2020·广东九年级专题练习）观察一列数：12，34-，56，78-，…，按此规律，这一列数的第106个数是________．17．（2021·浙江七年级期中）观察下列各式：①2204-=；①22318-=；①224212-=；①225316-=；①226420-=；……；用含自然数n 的等式表示你发现的规律：__________________．18．（2021·广东江门市·九年级一模）观察下列式子：213142⨯+==，224193⨯+==，2351164⨯+==，…根据上述规律，写一个类似的式子：________．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021·全国七年级）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+…+53＝_______；（2）13+23+33+…+103＝_______；（3）13+23+33+…+n 3＝_______．20．（2021·全国七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a （a ＞0，a≠1）的b 次幂等于N ，即指数式a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，对数式记作：logaN ＝b ．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 24＝2；①因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 416＝2.（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；①43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log 525＝2；①log 327＝3；（3）计算：log 23221．（2020·淮安市黄集九年制学校七年级月考）阅读下面的材料，并完成填空，你能比较两个数20132014 与20142013 的大小吗？为了解决这个问题，先问题一般化，即比较n n+1和（n+1）n 的大小（n≥1的整数）然后从分析n=1、2、3、4、5… 这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想出结论．（1）通过计算比较下列各组两个数的大小（在横线上填上 “＞”“＜”或“＝” ）① 21 12；① 32 23；① 43 34；① 54 45；① 65 56；（2）根据第（1）小题结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n 怎样的大小关系？（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，判断20132014与20142013的大小关系．22．（2020·河北石家庄市·七年级期中）探索规律：1234(1)(1)(1)(1)0-+-+-+-=,请写出： （1）123100(1)(1)(1)(1)-+-+-++-=___________ （2）1232020(1)(1)(1)(1)-+-+-++-=__________（3）123420192020(1)(1)(1)(1)(1)(1)---+---++--- 23．（2020·河南漯河市·七年级期中）记a 1＝﹣2，a 2＝（﹣2）×（﹣2），a 3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……a n ＝n 个-2相乘．（1）填空：a 4＝ ，a 23是一个 （填“正”或“负”）；（2）计算：a 5+a 6；（3）请直接写出2020a n +1010a n +1的值．24．（2020·广西南宁市·七年级期末）定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =．例如：因为328=，所以()()3823g g ==， （1）根据布谷数的定义填空：因为1021024=，所以()1024g =__________．（2）布谷数有如下运算性质：若,m n 为正整数，则()()()g mn g m g n =+，()()n m n g g m g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-． 根据运算性质解答下列各题：①已知()3g p =，求316g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； ①已知()7 2.807g =，求()14g ．。
规律探索性问题(含解析)
规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
2017年中考数学备考专题复习探索规律问题含解析
探索规律问题一、单选题（共7题；共14分）1、（2016•重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A、64B、77C、80D、852、（2016•重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A、43B、45C、51D、533、（2016•邵阳）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A、y=2n+1B、y=2n+nC、y=2n+1+nD、y=2n+n+1 4、（2016•临沂）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A、2n+1B、n2﹣1C、n2+2nD、5n﹣25、（2016•荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A、671B、672C、673D、6746、（2016•永州）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（）A、①②B、①③C、②③D、①②③7、（2016•青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A、（）6B、（）7C、（）6D、（）7二、填空题（共14题；共15分）8、（2016•宁波）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需________根火柴棒．9、（2016•济宁）按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．10、（2016•岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1， P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为________．11、（2016•内江）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________个小圆•（用含n的代数式表示）12、（2016•新疆）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为________．13、（2016•百色）观察下列各式的规律：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=________14、（2016•丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．15、（2016•泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．16、（2016•铜仁市）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要________个铜币．17、（2016•益阳）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是________枚．18、（2016•徐州）如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．19、（2016•青海）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x=________，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y=________．20、（2016•曲靖）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．21、（2016•葫芦岛）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y= x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y 轴，分别交直线y=x和y= x于A2， B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为________（用含正整数n 的代数式表示）三、综合题（共4题；共46分）22、（2016•连云港）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？23、（2016•台州）【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1， y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2， y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．(1)若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；(2)若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k=﹣，b=2，已在x 轴上表示出x 1（如图2所示），请在x 轴上表示x 2 ， x 3 ， x 4 ， 并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值（用含k ，b 的代数式表示）24、（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是；…对任何正整数n ，第n 个数与第（n+1）个数的和等于．(1)经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a ，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n 个数（即用正整数n 表示第n 数），并且证明你的猜想满足“第n 个数与第（n+1）个数的和等于”；(3)设M 表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．25、（2016•北京）已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围x ＞0，下表是y 与x 的几组对应值：y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (2)根据画出的函数图象，写出： ①x=4对应的函数值y 约为________ ②该函数的一条性质：________答案解析部分一、单选题2、【答案】D【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15，…，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．分析：此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．2、【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n =2+ ．令n=8，则a8=2+ =51．故选C．【分析】设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n =2+ ”，结合该规律即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =2+ ”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．2、【答案】B【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n，下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n，∴y=2n+n．故选B．【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案．此题考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律y=2n+n是关键．2、【答案】C【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．2、【答案】B【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．2、【答案】B【考点】实数的运算，定义新运算【解析】【解答】解：①因为24=16，所以此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1= ，所以此选项正确；故选B．【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．2、【答案】A【考点】勾股定理【解析】【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2， DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，∴S n=（）n﹣3．当n=9时，S9=（）9﹣3=（）6，故选：A．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律“S n=（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n=（）n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．二、填空题2、【答案】50【考点】坐标与图形变化-平移【解析】【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；图案②需火柴棒：8+7=15根；图案③需火柴棒：8+7+7=22根；…∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；当n=7时，7n+1=7×7+1=50，∴图案⑦需50根火柴棒；故答案为：50．【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案．此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．2、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解．此题主要考查数列的规律探索，把整数统一为分数，观察找出存在的规律是解题的关键．2、【答案】（504，﹣504）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角平分线上，∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），∴点P2016（504，﹣504），故答案为（504，﹣504）．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．2、【答案】4+n（n+1）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，∴第n个图形有：4+n（n+1）．故答案为：4+n（n+1），【分析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．2、【答案】370【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，∴2n=20，m=2n﹣1，解得：n=10，m=19，∵右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，∴第n个：2n（2n﹣1）﹣n，∴x=19×20﹣10=370．故答案为：370．【分析】首先观察规律，求得n与m的值，再由右下角数字第n个的规律：2n（2n﹣1）﹣n，求得答案．此题考查了数字规律性问题．注意首先求得n与m的值是关键．2、【答案】a2017﹣b2017【考点】多项式乘多项式，平方差公式【解析】【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；…可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，故答案为：a2017﹣b2017【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．2、【答案】-【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【分析】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．2、【答案】226【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案为：226．【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出规律，即可得出a的值．本题考查了数字的变化美；根据题意得出规律是解决问题的关键．2、【答案】n（n+1）【考点】数据分析【解析】【解答】解：n=1时，铜币个数=1+1=2；当n=2时，铜币个数=1+2+2=4；当n=3时，铜币个数=1+2+2+3=7；当n=4时，铜币个数=1+2+2+3+4=11；…第n 个图案，铜币个数=1+2+3+4+…+n= n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．2、【答案】13【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：设第n个图形有a n个旗子，观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．当n=4时，a9=3×4+1=13．故答案为：13．【分析】设第n个图形有a n个旗子，罗列出部分a n的值，根据数值的变化找出变化规律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）”，依次规律即可解决问题．本题考查了规律型中得图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出部分图形的棋子数目，根据数的变化找出变化规律是关键．2、【答案】n（n+1）【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：设第n个图案中正方形的总个数为a n，观察，发现规律：a1=2，a2=2+4=6，a3=2+4+6=12，…，∴a n =2+4+…+2n= =n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【分析】设第n个图案中正方形的总个数为a n，根据给定图案写出部分a n的值，根据数据的变化找出变换规律“a n=n（n+1）”，由此即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律“a n=n（n+1）”．本题属于基础题，难度不大，根据给定图案写出部分图案中正方形的个数，根据数据的变化找出变化规律是关键．2、【答案】63；m（n+1）【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：观察，发现规律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1），∴x=7×（8+1）=63，y=m（n+1）．故答案为：63；m（n+1）．【分析】观察给定图形，发现右下的数字=右上数字×（左下数字+1），依此规律即可得出结论．本题考查了规律型中的图形的变化类以及数字的变化类，解题的关键是找出变换规律“右下的数字=右上数字×（左下数字+1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形中数字的变化找出变化规律是关键．2、【答案】77【考点】等腰三角形的性质，坐标与图形变化-旋转【解析】【解答】解：由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3=5，故第15次翻转后点C的横坐标是：（5+5+6）×5﹣3=77，故答案为：77．【分析】根据题意可知每翻折三次与初始位置的形状相同，第15次于开始时形状相同，故以点B 为参照点，第15次的坐标减去3即可的此时点C的横坐标．本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等腰三角形的性质，解题的关键是发现其中的规律，每旋转三次为一个循环．2、【答案】【考点】等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y= x于点B1，∴B1（2，1）∴A1B1=2﹣1=1，即△A1B1C1面积= ×12= ；∵A1C1=A1B1=1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y轴，交直线y= x于点B2，∴B2（3，），∴A2B2=3﹣= ，即△A2B2C2面积= ×（）2= ；以此类推，A3B3= ，即△A3B3C3面积= ×（）2= ；A4B4= ，即△A4B4C4面积= ×（）2= ；…∴A n B n=（）n﹣1，即△A n B n C n的面积= ×[（）n﹣1]2= ．故答案为：【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据根据变换规律，求得A n B n的长，进而得出△A n B n C n的面积即可．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，根据A n B n的长，求得△A n B n C n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．三、综合题2、【答案】（1）解：分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得，解得：，∴y=﹣2x+10；②当x＞3时，设y= ，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y= ；综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=（2）解：能；理由如下：令y= =1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L【考点】一次函数的应用【解析】【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y= ，把（3，4）代入求出m的值即可；（2）令y= =1，得出x=12＜15，即可得出结论．本题考查了方程式的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．2、【答案】（1）解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…取x1=4，则x2x3=x4=4，…取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越小．当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n的值保持不变，都等于4．当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果x n越来越大（2）解：当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．当x1= 时，随着运算次数n的增加，x n保持不变．理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1∵y1=x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜x n，∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，x n越来越大．同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，x n越来越小．当x1= 时，随着运算次数n的增加，x n保持不变（3）解：①在数轴上表示的x1， x2， x3如图2所示．随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由消去y得到x=∴由①探究可知：m= ．【考点】一次函数的性质【解析】【分析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．（2）分x1＞，x1＜，x1= 三种情形解答即可．（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，x n的值越来越接近两直线交点的横坐标．②根据前面的探究即可解决问题．本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．2、【答案】（1）解：由题意知第5个数a= = ﹣（2）解：∵第n个数为，第（n+1）个数为，∴ + = （+ ）= ×= ×= ，即第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）解：∵1﹣= ＜=1，= ＜＜=1﹣，﹣= ＜＜= ﹣，…﹣= ＜＜= ﹣，﹣= ＜＜= ﹣，∴1﹣＜+ + +…+ + ＜2﹣，即＜+ + +…+ + ＜，∴【考点】分式的混合运算，探索数与式的规律【解析】【分析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；（3）将每个分式根据﹣= ＜＜= ﹣，展开后再全部相加可得结论．本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律= ﹣得到﹣= ＜＜= ﹣是解题的关键．2、【答案】（1）解：如图，（2）2；该函数有最大值【考点】函数的概念【解析】【解答】解：①x=4对应的函数值y约为2；②该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值．【分析】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可；②利用函数图象有最高点求解．。
(word完整版)中考数学规律探索专题复习
中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。
【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。
21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。
有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二 图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： （2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
专题17 规律探索与阅读理解题(原卷版)
专题17 规律探索题与阅读理解题一．选择题（共2小题）1．（2020•扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数2(()axy a x b =+、b 为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足( )A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <2．（2020•盐城）把1~9这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①)，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为( )A ．1B ．3C ．4D ．6二．填空题（共2小题）3．（2020•泰州）以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．4．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取1OA 过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 ．三．解答题（共11小题）5．（2020•南京）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC ABC D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BCC D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由． 6．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A B'与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明+<'+．请完成这个证明．AC CB AC C B'（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．7．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足35x y-=①，237x y+=②，求4x y-和75x y+的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42x y-=-，由①+②2⨯可得7519x y+=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组27,28,x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-=，x y+=；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：*x y ax by c=++，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=．8．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，8MO m=．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：11cos43sin4715︒=︒≈，11sin16cos7440︒=︒≈，3sin22cos68)8︒=︒≈9．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC ∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．10．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B为线段AC（1）在图①中，若20AC cm=，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点()E AE DE>，连接BE，作CF BE⊥，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．11．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I 于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH 的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为4y=+．求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)M，点F是坐标平面内一点，以F为圆为半径作F．若F与直线1相离，点(1,0)N-是F关于直线1的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是l的函数表达式．12．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．13．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB =，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析： ①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大． 推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线； 问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） ； 问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，4CD =，连接AC ．若AC AB =，求sin CAD ∠的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，当2222CD CB CA +=时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于ABC ∆内部，90AEC ABC ∠=︒+∠．设AE u BE=，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示3-，点B 表示1，则点C 表示的数为 ，AC 长等于 ；【找一找】如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B 分别表示实数12-、12+，Q 是AB 的中点，则点 是这个数轴的原点； 【画一画】如图③，点A 、B 分别表示实数c n -、c n +，在这个数轴上作出表示实数n 的点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a 、m 、b 会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数4m b +记作(4)m b ++，用点A 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a 记作8a -，用点B 表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示(2)m b ++、12a -的点F 、G ，并写出(2)m b ++的实际意义；②写出a 、m 的数量关系： ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题17规律探索题与阅读理解题一．选择题（共2小题）1．（2020•扬州）小明同学利用计算机软件绘制函数2(()axy a x b =+、b 为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足( )A ．0a >，0b >B ．0a >，0b <C ．0a <，0b >D ．0a <，0b <【解答】由图象可知，当0x >时，0y <， 0a ∴<；x b =-时，函数值不存在， 0b ∴-<， 0b ∴>；故选：C ．2．（2020•盐城）把1~9这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①)，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为( )A ．1B ．3C ．4D ．6【解答】由题意，可得827x +=+， 解得1x =．故选：A ．二．填空题（共2小题）3．（2020•泰州）以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．【解答】如图所示：点C 的坐标表示为(3,240)︒．故答案为：(3,240)︒．4．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取1OA 过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 ．【解答】111B O B A =，112B A OA ⊥， 112OA A A ∴=，22B A OM ⊥，11B A OM ⊥， 1122//B A B A ∴，112212B A A B ∴=， 22112A B A B ∴=，同法可得233221122A B A B A B ==，⋯， 由此规律可得192020112A B A B =，111tan3031A B OA =︒=⨯=， 1920202A B ∴=， 故答案为192．三．解答题（共11小题）5．（2020•南京）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC ABC D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BCC D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由． 【解答】（1）证明：AD A D AB A B ''=''， ∴AD ABA D AB =''''， CD AC ABC D A C A B ==''''''， ∴CD AC ADC D A C A D ==''''''， ADC ∴∆∽△A D C ''，A A ∴∠=∠'，AC ABA C AB =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''．故答案为：CD AC ADC D A C A D ==''''''，A A ∠=∠'．（2）如图，过点D ，D '分别作//DE BC ，//D E B C ''''，DE 交AC 于E ，D E ''交A C ''于E '． //DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AEAB BC AC==， 同理，A D D E A E AB BC A C ''''''==''''''， AD A D AB A B ''=''， ∴DE D E BC B C ''=''， ∴DE BCD E B C =''''， 同理，AE A E AC A C ''=''， ∴AC AE A C A E AC A C -''-''=''，即EC E C AC A C ''=''， ∴EC ACE C A C =''''， CD AC BCC D A C B C ==''''''， ∴CD DE ECC D D E E C ==''''''， DCE ∴∆∽△D C E '''， CED C E D ∴∠=∠'''， //DE BC ，90CED ACB ∴∠+∠=︒，同理，180C E D AC B ∠'''+∠'''=︒， ACB AC B ∴∠=∠'''， AC CBA C CB =''''， ABC ∴∆∽△A B C '''．6．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线段A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明AC CB AC C B '+<'+．请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A C ''， 点A ，点A '关于l 对称，点C 在l 上， CA CA '∴=，AC BC A C BC A B ''∴+=+=，同理可得AC C B A C BC '''''+=+， A B A C C B ''''<+， AC BC AC C B ''∴+<+；（2）如图③，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，（其中点D 是正方形的顶点）； 如图④，7．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足35x y-=①，237x y+=②，求4x y-和75x y+的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42x y-=-，由①+②2⨯可得7519x y+=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组27,28,x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-=，x y+=；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：*x y ax by c=++，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=．【解答】（1）2728x yx y+=⎧⎨+=⎩①②．由①-②可得：1x y-=-，由1(3①+②)可得：5x y+=．故答案为：1-；5．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：203232 395358m n pm n p++=⎧⎨++=⎩①②，由2⨯①-②可得6m n p++=，5555630m n p∴++=⨯=．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）依题意，得：3515 4728a b ca b c++=⎧⎨++=⎩①②，由3⨯①2-⨯②可得：11a b c++=-，即1*111=-．故答案为：11-．8．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，8MO m=．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．（参考数据：11cos43sin4715︒=︒≈，11sin16cos7440︒=︒≈，3sin22cos68)8︒=︒≈【解答】（1）如图1中，连接OA．由题意，筒车每秒旋转53606056︒⨯÷=︒，在Rt ACO∆中，2.211 cos315OCAOCOA∠===．43AOC∴∠=︒，∴1804327.45-=（秒)．答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时 3.4517AOP∠=⨯︒=︒，431760POC AOC AOP∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，过点P 作PD OC ⊥于D ，在Rt POD ∆中，1cos603 1.5()2OD OP m =︒=⨯=， 2.2 1.50.7()m -=，答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ． （3）如图3中，点P 在O 上，且MN 与O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP MN ⊥，在Rt OPM ∆中，3cos 8OP POM OM ∠==， 68POM ∴∠=︒，在Rt COM ∆中， 2.211cos 840OC COM OM ∠===， 74COM ∴∠=︒，180180687438POH POM COM ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴需要的时间为387.65=（秒)， 答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．9．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC ∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．【解答】（1）如图1中，过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，2BE PN CF ∴===，162PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，故答案为12．（2）如图2中，连接PA ，PC ，在APB ∆中，点E 是AB 的中点，∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 1212ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形，1121121()()PBD ABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形，2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形，()()121211122222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形，1211()()2PBD ABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．（4）如图41-中，结论：2134S S S S -=+．理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ． 由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．10．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为51-． （1）在图①中，若20AC cm =，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点()E AE DE >，连接BE ，作CF BE ⊥，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】（1）点B 为线段AC 的黄金分割点，20AC cm =， 5120(10510)AB cm -∴=⨯=-． 故答案为：(10510)-． （2）延长EA ，CG 交于点M ， 四边形ABCD 为正方形， //DM BC ∴， EMC BCG ∴∠=∠，由折叠的性质可知，ECM BCG ∠=∠，EMC ECM ∴∠=∠， EM EC ∴=，10DE =，20DC =，EC ∴==EM ∴=10DM ∴=，tanDC DMC DH ∴∠===．tan BCG ∴∠=即BG BC ， AB BC =，∴BG AB =， G ∴是AB 的黄金分割点；（3）当BP BC =时，满足题意． 理由如下：四边形ABCD 是正方形， AB BC ∴=，90BAE CBF ∠=∠=︒， BE CF ⊥，90ABE CBF ∴∠+∠=︒，又90BCF BFC ∠+∠=︒， BCF ABE ∴∠=∠，()ABE BCF ASA ∴∆≅∆，BF AE ∴=，//AD CP ，AEF BPF ∴∆∆∽，∴AE AFBP BF=， 当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，AE DE>，∴AF BFBF AB=，BF AE=，AB BC=，∴AF BF AE BF AB BC==，∴AE AE BP BC=，BP BC∴=．11．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I 于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH 的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为4y=+．求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)M，点F是坐标平面内一点，以F为圆为半径作F．若F与直线1相离，点(1,0)N-是F关于直线1的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是l的函数表达式．【解答】（1）①由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数2510DB DE==⨯=，故答案为：D，10．②如图11-中，过点O作OH⊥直线n于H，交O于Q，P．设直线34y x =+交x 轴于43(F -，0)，交y 轴于(0,4)E ， 4OE ∴=，43OF =3tan OF FEO OE ∴∠==， 30FEO ∴∠=︒， 122OH OE ∴==，3PH OH OP ∴=+=，O ∴关于直线n 的“特征数”236PQ PH ==⨯=．（2）如图2中，设直线l 的解析式为y kx b =+． 当0k >时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交F 于E ，N ．由题意，22EN =，45EN NH =， 10NH ∴=，(1,0)N -，(1,4)M ，222425MN ∴=+=，22201010HM MN NH ∴=-=-=， MNH ∴∆是等腰直角三角形， MN 的中点(0,2)K ， 5KN HK KM ∴===，(2,3)H ∴-，把(2,3)H -，(1,4)M 代入y kx b =+，则有423k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得13113k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 的解析式为11133y x =+， 当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133y x =+或37y x =-+．12．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【解答】（1）如图①，过点P 作PE CD ⊥于点E ， 点P 是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心， 15PE cm ∴=，同理：A B ''与AB 之间的距离为15cm ，A D ''与AD 之间的距离为15cm ，B C ''与BC 之间的距离为15cm ，2001515170()A B C D cm ∴''=''=--=， 100151570()B C A D cm ''=''=--=，()170702480A B C D C cm ''''∴=+⨯=四边形， 答：图案的周长为480cm ；（2）连接PE 、PF 、PG ，过点P 作PQ CD ⊥于点Q ，如图②P 点是边长为303cm 的等边三角形模具的中心，PE PG PF ∴==，30PGF ∠=︒，PQ GF ⊥，153GQ FQ cm ∴==，tan3015PQ GQ cm ∴=︒=， 30cos30GQPG cm ==︒，当EFG ∆向上平移至点G 与点D 重合时，由题意可得，△E F G '''绕点D 顺时针旋转30︒，使得E G ''与AD 边重合，DP ∴'绕点D 顺时针旋转30︒到DP ''，∴30305180p p l cm ππ'''⨯==， 同理可得其余三个角均为弧长为5cm π的圆弧，∴(200303100303)254600120320()C cm ππ=-+-⨯+⨯=-+，答：雕刻所得图案的周长为(600120320)cm π-+．13．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，22AB =，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC BC +3.23.53.83.943.93.2（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析： ①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大． 推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线； 问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） ； 问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．【解答】问题1：函数图象如图所示：问题2:（Ⅲ）观察图象可知，2x =时，y 有最大值． （Ⅳ）猜想：2BC a =．故答案为：2，BC =． 问题3：设BC x =，AC BC y +=， 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒AC ∴==y x ∴=+，y x ∴-=222224y xy x a x ∴-+=-， 2222240x xy y a ∴-+-=， 关于x 的一元二次方程有实数根，∴△222442(4)0y y a =-⨯⨯-，228y a ∴， 0y >，0a >， 22y a ∴，当y =时，22240x a -+=22)0a ∴-=，12x x ∴==，∴当BC =时，y 有最大值．问题4：延长AM 交EF 的延长线于C ，过点A 作AH EF ⊥于H ，过点B 作BK GF ⊥于K 交AH 于Q ．在Rt BNE ∆中，90E ∠=︒，60BNE ∠=︒，1BE cm =，tan BEBNE EN∴∠=，)NE cm ∴=， //AM BN ， 60C ∴∠=︒， 90GFE ∠=︒， 30CMF ∴∠=︒， 30AMG ∴∠=︒，90G ∠=︒，1AG cm =，30AMG ∠=︒，∴在Rt AGM ∆中，tan AGAMG GM∠=，)GM cm ∴，90G GFH ∠=∠=︒，90AHF ∠=︒，∴四边形AGFH 为矩形，AH FG ∴=，90GFH E ∠=∠=︒，90BKF ∠=︒∴四边形BKFE 是矩形，BK FE ∴=，2FN FM EF FG EN GM BK AH BQ AQ KQ QH BQ AQ +=+--=++++=++，在Rt ABQ ∆中，4AB cm =，由问题3可知，当BQ AQ ==时，AQ BQ +的值最大，BQ AQ ∴==FN FM +的最大值为2cm ． 14．（2020•南通）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，4CD =，连接AC ．若AC AB =，求sin CAD ∠的值；（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，当2222CD CB CA +=时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于ABC ∆内部，90AEC ABC ∠=︒+∠．设AE u BE =，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．【解答】（1）过点A 作AE BC ⊥于E ，过点C 作CF AD ⊥于F ．AC AB =，3BE CE ∴==， 在Rt AEB ∆中，2222534AE AB BE =-=-=，CF AD ⊥，90D FCD ∴∠+∠=︒，90B D ∠+∠=︒，B DCF ∴∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，AEB DFC ∴∆∆∽，∴EB AB CF CD =， ∴354CF =， 125CF ∴=， 12125sin 525CF CAD AC ∴∠===． （2）如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形．理由：过点D 作DM DC ⊥，使得DM DC =，连接CM ．四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，45DAB DBA ∴∠=∠=︒，45DCM DMC ∠=∠=︒，90CDM ADB ∠=∠=︒，ADC BDM ∴∠=∠，AD DB =，CD DM =，()ADC BDM SAS ∴∆≅∆，AC BM ∴=，2222CD CB CA +=，22222CM DM CD CD =+=，222CM CB BM ∴+=，90BCM ∴∠=︒，45DCB ∴∠=︒，90DAB DCB ∴∠+∠=︒，∴四边形ABCD 是对余四边形．（3）如图③中，过点D 作DH x ⊥轴于H ．(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，1OA ∴=，3OB =，4AB =，22AC BC ==，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒，45CBA CAB ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是对余四边形，90ADC ABC ∴∠+∠=︒，45ADC ∴∠=︒，90135AEC ABC ∠=︒+∠=︒，180ADC AEC ∴∠+∠=︒，A ∴，D ，C ，E 四点共圆，ACE ADE ∴∠=∠，45CAE ACE CAE EAB ∠+∠=∠+∠=︒，EAB ACE ∴∠=∠，EAB ADB ∴∠=∠，ABE DBA ∠=∠，ABE DBA ∴∆∆∽，∴BE AE AB AD =， ∴AE AD BE AB=， 4AD u ∴=， 设(,)D x t ，由（2）可知，2222BD CD AD =+，222222(3)2[(1)(2)](1)x t x t x t ∴-+=-+-+++，整理得22(1)4x t t +=-，在Rt ADH ∆中，AD ==，4)4AD u t ∴==<<，即4)u t <<． 15．（2020•镇江）【算一算】如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示3-，点B 表示1，则点C 表示的数为 ，AC 长等于 ；【找一找】如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B 1-1+，Q 是AB 的中点，则点 是这个数轴的原点； 【画一画】如图③，点A 、B 分别表示实数c n -、c n +，在这个数轴上作出表示实数n 的点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a 、m 、b 会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数4m b +记作(4)m b ++，用点A 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a 记作8a -，用点B 表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示(2)m b ++、12a -的点F 、G ，并写出(2)m b ++的实际意义；②写出a 、m 的数量关系： ．【解答】（1）【算一算】：记原点为O ，1(3)4AB =--=，4AB BC ∴==，5OC OB BC ∴=+=，28AC AB ==．所以点C 表示的数为5，AC 长等于8．故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原点为O ，211)2AB =+--=， 1AQ BQ ∴==，11OQ OB BQ ∴=--= N ∴为原点． 故答案为：N ．（3）【画一画】：记原点为O ，由()2AB c n c n n =+--=，作AB 的中点M ，得AM BM n ==，以点O 为圆心，AM n=长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：=．4m a4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，+=（Ⅰ）；434m b am b a∴+=⨯⨯，即4122分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴+=⨯⨯，即28+=（Ⅱ）；m b a242m b a①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．作OB的中点E，则4==，OG OE aOE BE a==，在数轴负半轴上用圆规截取312则点G即为所求．++的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；m b(2)②方程（Ⅱ）2⨯-方程（Ⅰ）得：4=．m a故答案为：4=．m a。