函数的极限(定义及性质)
第二节函数的极限
1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
函数的极限定义及性质
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
是否一定有
？
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
则存在
( A < 0 )
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
推论 若在
的某去心邻域内
, 且
则
思考: 若条件改为
是否必有
不能!
如
定义. 设函数
大于某一正数时有定义,
若
则称常数
时的极限,
几何解释:
记作
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线 .
A 为函数
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
内容小结
1. 函数极限的
或
定义
2. 函数极限的性质:
保号性定理
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
或
时, 有
当
几何解释
2. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
结论：
例. 给定函数
讨论
时
的极限是否存在 .
解: 利用结论 .
因为
显然
所以
不存在 .
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
函数极限的定义
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明 函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
1.3 函数的极限
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
函数的极限
若 0 ， 使 得 x U ( x0 , ) , 都 有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要 使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理 若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?
函数与极限：函数极限的概念
函数与极限：函数极限的概念在数学中，函数极限是函数理论中的重要概念之一，它在解析几何、微分学和积分学等领域中有着广泛的应用。
函数极限可以帮助我们理解函数的行为和性质，在研究数学问题时起到至关重要的作用。
本文将从函数极限的定义、基本性质以及在实际问题中的应用三个方面探讨函数极限的概念。
一、函数极限的定义函数极限的定义是通过数列的极限来描述的。
设有一个函数 f(x)，当自变量 x 无限接近于某个数 a 时，如果对于任意一个数ε（ε>0），总存在另一个数δ（δ>0），使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 范围内时，都有 |f(x) - L| < ε，那么我们称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作：lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的基本性质1. 函数极限的唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，则该极限是唯一的，即该极限值与取近点的方法无关。
2. 极限的四则运算：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，则有以下性质：(1) lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；(2) lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)；(3) lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
3. 极限的保序性：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，并且f(x) ≤ g(x)，则有lim(x→a) f(x) ≤ lim(x→a) g(x)。
4. 复合函数的极限：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，并且g(x) 在 x 趋于 f(a) 时的极限存在，则复合函数 g[f(x)] 在 x 趋于 a 时的极限存在，且有lim(x→a) g[f(x)] = lim(u→f(a)) g(u)。
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限以及导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖的关系。
本文将探讨函数的极限与导数之间的联系，并说明它们在数学中的重要性。
一、函数的极限的定义与性质函数的极限是研究函数在某一点处的趋势及其极限值的一种方法。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ(不论它多么小，但大于0)，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，那么就称函数f(x)在x=a处有极限A（或说f(x)的极限为A），记作lim {x→a} f(x) = A。
函数的极限具有唯一性和局部有界性的性质。
即在一个点的左右两侧的极限值相等，且函数在该点的邻域内有界。
二、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念，它表示函数在某一点上的斜率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处，若极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|{x=a}。
导数具有唯一性和几何意义的性质。
例如，对于导函数f'(x)存在的函数f(x)，f'(x)就代表了f(x)在x点处的切线斜率。
三、函数的极限与导数之间存在着重要的联系，可以说导数的概念是由极限引出的。
1. 极限为导数的特殊情况若函数f(x)在点x=a处的极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么该极限值就是f(x)在x=a处的导数f'(a)。
此时，函数的极限值和导数值是相等的。
2. 导数的连续性若函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)存在，且f(x)在点x=a处连续，那么可以得出结论：函数f(x)在点x=a处的极限lim {x→a} f(x)存在。
3. 极限的重要性极限是导数存在的前提，它为导数的计算提供了基础。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
函数极限的定义
第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
高数1.2极限的定义与性质
的值任意地接近常数A,
则称当
时函数
于是在例1.1.8中
定理1.2.2 .
例1.1.9 设
求
解
如图
所以不Leabharlann 在。有一类特别地、重要的极限
定义1 .2.4. 若
时 , 函数
则称函数
为
时的无穷小 .
例1.1.10 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.11 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.12 如图
2.001
1.001
1.999
0.999
2.01
1.01
1.99
0.99
2.1
1.1
1.9
0.9
一般地，我们有
定义1.2.1 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
或
反之，
若不存在这样的常数 A，
则称当
时
没有极限或极限不存在。
则例1.2.1可表示为
的值任意地接近常数A,
函数
如果当x充分接近
时，
则称
定义1.2.2 设函数
在点
右（或左）邻域内有定义 ,
（或
函数
如果当x从
的右侧（左侧）充分接近
时，
的值任意地接近常数A,
则称
在
处的右（或左）
函数
记作
极限为A,
有时记为
（或
例1.2.6. 设函数
讨论
时
的左右极限是否存在 .
解:
如图
例1.2.7 设函数
求
解
如图，
和
由这两个例子，得一般地
函数极限知识点总结
函数极限知识点总结一、函数极限的定义和符号表示1. 函数极限的定义设函数y=f(x)，当自变量x在某一点a的某个邻域内变化时，如果函数值y=f(x)随着x在a附近取值的变化而不断地趋近于某个确定的常数L，那么我们就说函数y=f(x)当x趋于a 时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
上述定义可以用以下式子表示：lim(x→a)f(x)=L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限为L。
2. 函数极限的符号表示在表示函数极限时，我们通常还需要使用一些特殊的符号，如：lim(x→a)f(x)=L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→∞)f(x)=L，表示当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→-∞)f(x)=L，表示当x趋于负无穷大时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→a+0)f(x)=L，表示当x从右侧趋于a时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→a-0)f(x)=L，表示当x从左侧趋于a时，函数f(x)的极限为L。
以上是函数极限的定义和常见符号表示，接下来我们将讨论函数极限的性质和计算方法。
二、函数极限的性质和计算方法在计算函数极限时，我们需要了解一些函数极限的性质和计算方法。
这些性质和计算方法对于求解函数极限的问题非常重要。
下面我们来逐一介绍这些性质和计算方法：1. 函数极限存在的必要条件设函数y=f(x)，如果lim(x→a)f(x)存在，则f(x)在点x=a处必须有定义。
也就是说，只有在函数在某一点的邻域内有定义，我们才能讨论该点处的极限是否存在。
2. 函数极限的唯一性如果lim(x→a)f(x)存在，且为有限数L，则该极限是唯一的，即只有一个确定的极限值。
3. 函数极限的保号性若当x在某一点的某一邻域内，有f(x)≥g(x)，且lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，则L≥M。
4. 两个函数极限之和的性质如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，那么lim(x→a)(f(x)+g(x))=L+M。
07-第7讲函数极限概念
函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.
1. x x0 时, 函数 f ( x) 的极限
定义
0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f ( x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f ( x) 当 x x0 时的极限 ,
成立, 则称 a 为 f ( x) 当 x x0 时的右极限 , 记为
x x0
lim f ( x) a
0
或 f ( x) a ( x x ) , 也可记为 f ( x0 0) a .
定义
0, 若 0, 当0 x0 x 时,
| f ( x) a |
例10
x 1, 设 f ( x) x 1,
2
x 1 , 求 lim f ( x) 。 x1 x 1
2
解
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2
x 1
1. x 时, 函数 f ( x) 的极限
定义
0, 若 X 0, 使当 x X 时, 有
| f ( x) a |
成立, 则称函数 f ( x) 当 x 时, 极限存在 ,
常数 a 为其极限值 , 记为
x
lim f ( x) a ,
或记为 f ( x) a ( x ) .
lim f ( x ) 2
x 1
例11
求
x lim . x0 | x |
解
x x lim lim lim 1 1 x 0 | x | x 0 x x0
函数的极限
2( x 2 − 1) 2( x − 1)( x + 1) = f ( x) = x −1 x −1
2.自变量趋于有限值时函数的极限
问题: 问题 : 函数 y = f ( x ) 在 x → x 0 的 过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于 无限趋近于确定值 趋近于确定值 A.
函数在点x=1处没有定义.
任给ε > 0,
2
x2 − 1 ∵ f ( x) − A = − 2= x −1 x −1
要使 f ( x ) − A < ε ,
只要取 δ = ε ,
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
sin x 观察函数 当 x → +∞ 时的变化趋势. x
播放
问题: 问题: 函数 y = f ( x ) 在 x → ∞ 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于 无限趋近于确定值 趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时 , f ( x ) = 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“ 如何用数学语言刻划函数“无限接近” 无限接近”？
x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x0 +
左极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时, 恒有 f ( x ) − A < ε. (left-hand limit)
f ( x0 ) = A.
极限抵消条件
极限抵消条件极限抵消条件是指在某些情况下，两个看似不同的极限可以通过一些技巧被转化成相同的形式，从而达到抵消的效果。
它在数学和物理学中都有广泛应用，特别是在微积分、复变函数、量子场论等领域。
一、极限的定义和性质1.1 极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋近于某一值时，函数值也趋近于某一个确定的值。
具体来说，设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义（即除了x0本身外），如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)当x 趋近于x0时以L为极限。
1.2 极限的性质（1）唯一性：如果一个函数存在极限，则这个极限是唯一的。
（2）局部有界性：如果一个函数在点x0处存在极限，则它在该点附近必定有界。
（3）保号性：如果一个函数在点x0处存在极限且不等于零，则它与其符号相同。
二、常见的极限抵消条件2.1 需要抵消的极限形式在实际问题中，经常会遇到需要抵消的极限形式，包括以下几种：（1）$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$（2）$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$（3）$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$（4）$\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$2.2 极限抵消条件针对上述常见的需要抵消的极限形式，可以采用以下一些常见的极限抵消条件：（1）夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足在点x0的某个去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim_{x\rightarrowx_0}g(x)=L=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)$，则函数f(x)当$x\rightarrow x_0$时以L为极限。
极限的定义与性质
极限的定义与性质极限是微积分中的重要概念，它不仅在数学领域有广泛应用，而且在物理、经济学等学科中也起着重要作用。
本文将探讨极限的定义与性质，以及它在数学和实际问题中的应用。
一、极限的定义极限可以用来描述函数或数列在趋近某一值时的性质。
在数学领域中，我们用符号来表示极限。
设函数f(x)在无穷接近c的时候趋近于L，我们可以将其表示为：lim(x→c) f(x) = L其中，lim表示“极限”，x→c表示x无限接近c，f(x)表示函数f(x)，L表示极限值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限值是唯一的。
如果极限值存在，那么就对应唯一一个数值。
2. 局部性：极限与函数在除了极限点以外的其他点的取值无关。
即函数在极限点附近的取值并不能决定极限的存在与否。
3. 保号性：如果函数在极限点附近始终大于（小于）一个数A，那么极限值也大于（小于）A。
这一性质在判断函数的单调性时非常有用。
4. 夹逼定理：夹逼定理是极限理论的一个重要定理。
它可以用来判断函数极限的存在与求值。
夹逼定理的基本思想是通过比较两个函数的大小，确定待求函数的极限。
三、极限的应用极限理论在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 连续性：极限理论为研究函数的连续性提供了基础。
我们可以通过判断函数在某一点的极限是否存在来确定函数在该点是否连续。
2. 导数与微分：导数是函数在某一点的极限，它与函数在该点的斜率以及切线有密切关系。
微分学的基本理论都是建立在极限的概念上。
3. 积分与面积：定积分的求解也需要运用到极限的概念。
通过将函数细分为无限个小区间，再求和这些小区间的面积，可以得出定积分。
4. 物理问题：物理学中的运动学问题、力学问题等，通常也需要用到极限理论。
例如，求速度的瞬时变化率、加速度等都需要通过极限的概念进行求解。
综上所述，极限的定义与性质是微积分中的重要概念。
它不仅为我们理解和解决数学问题提供了框架，也为其他学科的发展提供了基础。
极限的基本概念
极限的基本概念在数学中，极限是一个基本概念，它在微积分以及其他许多数学领域中扮演着重要的角色。
极限使我们能够研究函数的性质和行为，并解决实际问题。
本文将介绍极限的基本概念及其应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的值的趋势。
常用的极限符号是lim。
具体来说，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个实数c时，如果函数f(x)的值无限接近于一个常数L，我们就将L称为函数f(x)在x趋于c时的极限。
用符号表示为：lim (x→c) f(x) = L其中，lim表示极限，x→c表示x趋向于c，f(x)表示函数f关于x的取值，L表示极限的值。
二、极限的性质极限有一些基本的性质，我们可以利用这些性质来求解极限。
1. 极限的唯一性定理：如果函数f(x)在x趋于c时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 极限的四则运算法则：- 两个函数的极限之和等于极限的和：lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之差等于极限的差：lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之积等于极限的积：lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之商等于极限的商（假设除数不为0）：lim(x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x)3. 极限的复合运算法则：如果g(x)在x趋于c时的极限存在且lim (x→c) g(x) = L，而f(x)在x趋于L时的极限存在，则复合函数f(g(x))在x趋于c时的极限也存在，且lim (x→c) f(g(x)) = lim (x→L) f(x)。
三、极限的应用极限在微积分中具有广泛的应用。
函数极限的定义
定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义，如
果存在常数 A，对于任意给定的正数ε,总存在正数δ
使得满足0 < x − x0 < δ的一切 x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A < ε,那末常数 A就叫
函数 f ( x)当 x → x0时的极限,记作
lim f ( x) =
x→ x0
注：(1)
ε反映
A f(
x
或 f ( x) → A(当x )与A的接近程度，
→ x0 )
δ反映在
x无限
接近 x0的过程中， x与x0接近到什么程度就能
使f ( x)与A的距离小于 ε，δ依赖于 ε .
(2)由定义可知极限 lim f ( x) = A存在与否与 x→ x0
x≥0
y
lim f ( x) = lim x = 0
x → 0+
x → 0+
f(x)=-x
f(x)=x
lim f ( x) = lim (− x) = 0
x → 0−
x → 0−
0
x
所以 lim | x |= 0. x→0
x −1 例3. 设 f ( x) = 0 x + 1
x<0 x=0 x>0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
说明
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
目录 上页 下页 返回 结束
例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
目录
上页
下页
返回
结束
3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
目录
上页
下页
返回
结束
推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
x 0 x 0
显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
目录 上页 下页 返回 结束
3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
( A 0)
思考: 若条件改为 f ( x ) 0 , 是否必有 A 0 ?
不能!
如
目录
上页
下页
返回
结束
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0, X 0,
A 为函数
x
lim f ( x ) A
x X 或 x X
第四节 目录
上页
下页
返回
结束
y
x0 x0 x0
y x 1
1 O 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
目录 上页 下页 返回 结束
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
x x0
时函数极限的定义
lim f ( x ) A 或
当 f ( x)
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
目录 上页 下页
A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
返回 结束
两种特殊情况 :
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 当 f ( x) A
时, 有
几何解释
x0
x
目录 上页 下页 返回 结束
2. 左极限与右极限
左极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x 0 , x 0 )
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1 .
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结