离散数学(7.7树与生成树)

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【例 7.5.4】求图 7.5.4(0) 中有权图的 最小生成树。 • 解: 因为 图中n＝8， 所以按算法 要执行n－1＝7次， 其过程见图7.5.4中 (1)~(7)。
图 7.5.4
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【例7.5.5】求图7.5.5中有权图G的最 小生成树。 • 解: 因为 图中n＝8， 所以按算法 要执行n－1＝7次。
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此方法又称为“避圈法”。 其 要点是， 在与已选取的边不成圈的边 中选取最小者。 具体步骤如下： • 1) 在G中选取最小权边， 置边 数i＝1。 • 2) 当i＝n－1时， 结束。 否则， 转3)。 • 3) 设已选择边为 e1, e2, …, ei， 在G中选取不同于e1, e2, …, ei 的边 ei+1, 使｛ e1, e2, …, ei ,ei+1｝无圈且ei+1是满
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(6) 证明由第(5)条可推出树的定义。 显然连通。若有圈,则圈上任意两 点间有两条通路,此与通路的唯一性矛盾。 证毕。 • 由定理 7.5.2 所刻画的树的特征可 见： 在结点数给定的所有图中， 树是边 数最少的连通图， 也是边数最多的无圈 图。 由此可知， 在一个（n， m）图G中， 若m＜n－1， 则G是不连通的； 若m＞n －1， 则G必定有圈。
Hale Waihona Puke Baidu
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小结：本节介绍了树、生成树和最 小生成树的概念、树的六种等价定义 及最小生成树的求法。 • 重点 : 掌握六种等价定义及最小生 成树的求法。 • 作业: P327 (2),(3),(6) •
(3)
(2),(3)都与(1)矛盾。所以T中至少有两片树叶。证毕。
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定理7.5.2一个无向图（n, m）图T是树, 当且仅当下列5条之一成立。(或者说,这5 条的任一条都可作为树的定义。) (1)无圈且m=n-1。 (2) 连通且m=n-1。 (3) 无圈 , 但增加任一新边 , 得到且仅得到 一个圈。 (4) 连通但删去任一边 ,图便不连通 (n≥2)。 (5) 每一对结点间有唯一的一条通路。
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显然若图 G 是森林， 则 G 的每 个连通分支是树。 如图7.5.1(a)所示的 是一棵树；(b)所示的是森林。
图 7.5.1 树和森林示意图
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• 【例7.5.1】判断图 7.5.2中各图是否 为树.
图 7.5.2
定理7.5.1 任一树T中,至少有两片树叶(n≥2时)。
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证：因为 T是一棵n≥２的（n， m）
树， 所以由定理7.5.1， 有

i 1
n
deg(i ) 2m 2(n 1) 2n 2
(1)
若T中的无树叶， 则T中每个顶点的度数≥2,则
Σdeg(vi)≥2n,
（ 2）
若 T中只有一片树叶，则 T 中只有一个结点度数为 1, 其它结 点度数≥2, 所以

i 1
n
deg(i ) 2(n 1) 2n 2
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(4)证明由第(3)条可推出第(4)条。 若图不连通,则存在两个结点vi和vj, 在vi和vj之间没有路,若加边(vi,vj)不会产生 简单回路（圈）,但这与假设矛盾。由于T 无圈,所以删去任一边,图便不连通。 • (5) 证明由第(4)条可推出第(5)条。 • 由连通性知,任两点间有一条路径, 于是有一条通路。若此通路不唯一,则T中 含有简单回路,删去此回路上任一边,图仍连 通,这与假设不符,所以通路是唯一的。
• 7.5.2无向图中的生成树与最小生成树
(Spanning Trees and Minimal Spanning Trees ) • 定义7.5.2 若无向(连通图)G的生成子
图是一棵树， 则称该树是G的生成树， 记 为TG。 生成树TG中的边称为树枝。 图G 中其它边称为TG的弦。 所有这些弦的集合 称为TG的补。 • 如图7.5.3中(b)、 (c)所示的树T1、 T2 是 (a) 图的生成树， 而 (d) 所示的树 T3 不 是(a)图的生成树。 一般的， 图的生成树 不唯一。
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【例 7.5.2】T是一棵树 ,有两个 2度结点，一
个3度结点，三个 • 4度结点，T有几片树叶？ • 解： 设树T有x片树叶，则T的结点数 • n=2+1+3+x • T的边数 n • m= 2m deg( vn )-1=5+x • 又由
i 1 i
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得
2 · （5+x）=2·2+3·1+4·3+x
图 7.5.3
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考虑生成树T1， 可知e1， e2， e3， e4是T1的树枝， e5， e6， e7是T1的弦， 集 合｛e5， e6， e7｝是T1的补。 生成树有其 一定的实际意义。
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【例7.5.3】某地要兴建５个工厂， 拟修
筑道路连接这５处。 经勘测其道路可依如 图7.5.3(a)图的无向边铺设。 为使这５处都 有道路相通， 问至少要铺几条路？ • 解 这实际上是求 G 的生成树的边数 问题。 • 一般情况下， 设连通图G有n个结点，
i 1 i 1
k
k
得出矛盾。所以T是连通且m=n-1的图。
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(3)证明由第(2)条可推出第(3)条。 首先证明T无圈。对n作归纳证明。 n=1时,m=n-1=0,显然无圈。 假设结点数为n-1时无圈,今考察结 点数是n的情况。此时至少有一个结点v其度 数deg(v)=1。我们删去v及其关联边得到新 图T′,根据归纳假设T′无圈,再加回v及其关联 边又得到图T,则T也无圈。 • 其次,若在连通图T中增加一条新边(vi, vj ), 则由于T中由vi到vj存在一条通路,故必有一 个圈通过vi, vj 。若这样的圈有两个，则去掉
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定义7.5.3 设G＝〈V ,E〉是一连 通的有权图，则 G 的生成树 TG 为带权生 成树 , TG 的树枝所带权之和称为生成树 TG的权,记为C(TG ) 。G中具有最小权的 生成树TG称为G的最小生成树。 • 求最小生成树问题是有实际意义 的。 • 如要建造一个连接若干城市的铁 路网络， 已知城市 vi 和 vj 之间直达铁路 的造价， 设计一个总造价为最小的铁路
图 7.5.5
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【例7.5.6】图7.5.6所示的赋权图G表示 七个城市 a,b,c,d,e,f,g 及架起城市间直接 通讯线路的预测造价 。 试给出一个设计方 案使得各城市间能够通讯且总造价最小,并 计算出最小造价。
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图7.5.6
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解 : 该问题相当于求图的最小生成树 问题，此图的最小生成树为图 7.5.6 中 的TG ,因此如图TG架线使各城市间能够 通讯，且总造价最小，最小造价为： • Ｗ(Ｔ)＝１＋３＋４＋８＋９＋23＝ 48
• 树是图论中的一个重要概念。 早在 1847 年克希霍夫就用树的理论来 研究电网络， 1857年凯莱在计算有机 化学中Ｃ2H2n+2的同分异构物数目时也 用到了树的理论。 而树在计算机科学 中应用更为广泛。 本节介绍树的基本 知识， 其中谈到的图都假定是简单图。
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定义7.5.1 一个连通无圈无向图 称为无向树(简称为树)。 记作 T。树中 度数为1的结点称为树叶（或终端结 点）， 度数大于１的结点称为分枝点 （或内点， 或非终端结点）。 一个无 圈图称为森林。
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证:(1)证明由树的定义可知T无圈。 下证m=n-1。
对n作归纳。 n=1时,m=0,显然m=n-1。 假 设 n=k 时 命 题 成 立 , 现 证 明 n=k+1时也成立。 • 由于树是连通而无圈,所以至少有 一个度数为1的结点v,在T中删去v及其关 联边,便得到k个结点的连通无圈图。由 归纳假设它有k-1条边。再将顶点v及其 关联边加回得到原图T,所以T中含有k+1
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(2)证明由第(1)条可推出第(2)条。 用反证法。若图不连通,设T有k个连 通分支(k≥2)T1,T2,…,Tk,其结点数分别是 n1,n2,…,nk,边数分别为m1,m2,…,mk,
n
i 1
k
i
n, mi m
i 1
k
于是
m mi (ni 1) n k n 1
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树与生成树(Trees and Spanning Trees) 7.5.1 无向树(Undirected Trees) 7.5
• 7.5.2无向图中的生成树与最小生成树 (Spanning Trees and Minimal Spanning Trees )
7.5.1 无向树(Undirected Trees)