《数值分析简明教程》(第二版)王能超课后习题答案

p ( x) = x 2 + bx 2 ( x − 1) ，Q p′( x) = 2 x + 2bx( x − 1) + bx 2 ，代入 p′(1) = 1 ，得 b = −1 ， ∴ p ( x) = x 2 − x 2 ( x − 1) = 2 x 2 − x 3 . x3 + x 2 0 ≤ x ≤1 S ( x) = 3 2 2 x + bx + cx − 1 1 ≤ x ≤ 2 是以 0,1, 2 为节点的三次样条 题 33 设分段多项式 函数，试确定系数 b, c 的值.
yn = yn −1 + hf ( xn −1 , yn −1 ) = yn −1 + h ⋅ ( axn −1 + b)
故 yn −1 = yn −2 + h ⋅ ( axn − 2 + b)
LL y1 = y0 + h ⋅ ( ax0 + b)
将上组式子左右累加，得
yn = y0 + ah( x0 + L + xn −2 + xn −1 ) + nhb = ah(0 + h + 2h L + ( n − 2) h + (n − 1) h) + nhb
其中 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 5 ， (ϕ 0 , ϕ1 ) = (ϕ1 , ϕ 0 ) = 5327 ， (ϕ1 , ϕ1 ) = 7277699 ， ( f , ϕ 0 ) = 271.4 ，
532 a= = 0.9726 547 b = 285 = 0.05 2 ( f , ϕ1 ) = 369321.5 ，解之得 5696 ，∴ y = 0.9726 + 0.05 x .
= ah 2 n(n − 1) / 2 + nhb
题 10 解
yn +1 = yn + hK1 K = f ( xn + ph, yn + qhK1 ) . 选取参数 p 、 q ，使下列差分格式具有二阶精度： 1
将 K1 在点 ( xn , yn ) 处作一次泰勒展开，得
2 K1 = f ( xn + ph, yn + qhK1 ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhK1 f y ( xn , yn ) + O(h ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn )
第二章 题 3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有 的代数精度：
0 （2） （2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
∫
1
1 1 3 f ( x )dx ≈ A0 f ( ) + A1 f ( ) + A2 f ( ) 4 2 4
1 3 ( x − )( x − ) 2 4 dx = 2 A0 = ∫ l0 ( x)dx = ∫ 0 0 1 1 1 3 3 ( − )( − ) 4 2 4 4 ， 1 3 ( x − )( x − ) 1 1 4 4 dx = − 1 A1 = ∫ l1 ( x)dx = ∫ 0 0 1 1 1 3 3 ( − )( − ) 2 4 2 4 ， 1 1 ( x − )( x − ) 1 1 4 2 dx = 2 A2 = ∫ l2 ( x)dx = ∫ 0 0 3 1 3 1 3 ( − )( − ) 4 4 4 2 ， 1 2 1 1 1 2 3 ∴ ∫ f ( x )dx ≈ f ( ) − f ( ) + f ( ) 0 3 4 3 2 3 4 ，
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(wenku.baidu.com)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
0
1
左边＝右边， 当 f ( x) = x 时，有
4
∫ 左边＝
1 5， 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 37 f ( ) − f ( ) + f ( ) = ⋅ ( ) 4 − ⋅ ( ) 4 + ⋅ ( )4 = 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 192 ， 右边＝ 3
1 0
题 15
证 明 ： 对 于 f ( x ) 以 x0 ， x1 为 节 点 的 一 次 插 值 多 项 式 p ( x ) ， 插 值 误 差
f ( x) − p ( x) ≤
( x1 − x0 )2 max f ′′( x) x0 ≤ x ≤ x1 8 . f ( x) − p ( x) =
f ′′(ξ ) ( x − x0 )( x − x1 ) 2! 证 由拉格朗日插值余项得 ，其中 x0 ≤ ξ ≤ x1 ， max f ′′( x) f ′′(ξ ) x ≤ x≤ x f ( x) − p ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) ≤ 0 1 ( x − x0 )( x − x1 ) 2! 2! ( x − x )2 ≤ 1 0 max f ′′( x) x0 ≤ x ≤ x1 8 .
解 由 S (1) = 2 得 2 + b + c − 1 = 2 ，∴ b + c = 1 ；
3 x 2 + 2 x 0 < x <1 S ′( x) = 2 6 x + 2bx + c 1 < x < 2 ，由 S ′(1) = 5 得 6 + 2b + c = 5 ，∴ 2b + c = −1 ； 联立两方程，得 b = −2, c = 3 ， 0 < x <1 6 x + 2 S ′′( x) = ′′(1) = 8 = S + ′′(1) ， 12 x + 2b 1 < x < 2 ， S − 且此时
题 22 采用下列方法构造满足条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = p′(1) = 1 的插值多项式 用待定系数法； 利用承袭性，先考察插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = 1 的插值多项式
2 3 2
p( x) ：
（1） （1） （2） （ 2 ）
+ qh ( f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhK1 f y ( xn , yn ) + O(h 2 ) ) f y ( xn , yn ) + O(h 2 ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhf ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O (h 2 )
1.5 − 1.1 ( 3.0042 + 4 × 3.6693 + 4.4817 ) = 1.47754 6 ；
复化梯形法
0.2 ( 3.0042 + 2 × 3.6693 + 4.4817 ) = 1.48245 1.1 2 . 1 4 π =∫ dx 0 1 + x2 题 17 用三点高斯公式求下列积分值 . 1 x = (t + 1) 2 解 先做变量代换，设 ， 1 1 4 1 8 ⋅ d t = dt ∫ ∫ 1 −1 −1 4 + (t + 1) 2 4 1 2 2 dx 1 + (t + 1) 2 ∫ 4 ＝ 则 0 1+ x
f (4) (ξ ) f ( x ) − p( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0 4! ； 由拉格朗日插值余项得 (4) （2） f ( x ) = 4!
由拉格朗日插值余项得
f ( x) − p( x) =
4! ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 3)( x − 4) . 4!
1.5
5 ≈ × 9
8 8 5 8 + × + × 2 2 3 9 4 + ( 0 + 1) 9 3 4+− + 1 4+ + 1 5 5 = 3.141068 .
2
8
第三章 用欧拉方法求解初值问题 y ′ = ax + b ， y (0) = 0 ： （1） 试导出近似解 yn 的显式表达式； 解 （1）其显示的 Euler 格式为：
而
y( xn +1 ) = y ( xn + h) = y ( xn ) + hy′( xn ) +
h2 y′′( xn ) + O (h 3 ) 2
h2 3 f x ( xn , y( xn )) + f ( xn , y( xn )) f y ( xn , y( xn )) + O(h ) 2 1 1 p = q = 2， 2 时， 考虑其局部截断误差，设 yn = y( xn ) ，比较上两式，当 = y ( xn ) + hf ( xn , y ( xn )) +
S ( x ) 是以 0,1, 2 为节点的三次样条函数.
题 35 解 记残差的平方和为
2 x + 4 y = 11 3 x − 5 y = 3 x + 2 y = 6 用最小二乘法解下列超定方程组： 2 x + y = 7 .
f ( x, y ) = (2 x + 4 y − 11) 2 + (3 x − 5 y − 3)2 + ( x + 2 y − 6)2 + (2 x + y − 7)2 ∂f 830 =0 x= ∂x 273 36 x − 6 y − 102 = 0 ∂ f 113 =0 y = 91 . ∂y 令 ，得 −6 x + 92 y − 96 = 0 ，解之得
f ( x)dx = ∫ x 4 dx =
0
1
左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为 3. 题 8 已知数据表 1.1 x
1.3 3.6693
1.5 4.4817
ex
3.0042
试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 ∫ 解 辛甫生法
1.5
1.1
e x dx
.
∫ ∫
1.5
1.1
e x dx ≈ e x dx ≈
1 1
当 f ( x) = x 时，有
3
∫ 左边＝
1 4， 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 1 f ( ) − f ( ) + f ( ) = ⋅ ( ) 3 − ⋅ ( )3 + ⋅ ( ) 3 = 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 4， 右边＝ 3
1 0
f ( x )dx = ∫ x 3dx =
p( x) .
解 （1） 有四个插值条件， 故设 p ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x ， p′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x ，
a0 = 0 a + a + a + a = 1 0 1 2 3 a1 = 0 a + 2a2 + 3a3 = 1 代入得方程组 1 a0 = 0 a = 0 1 a2 = 2 a = −1 解之，得 3
代入，得
yn +1 = yn + h ( f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhf ( xn , yn ) f y ( xn , y n ) + O (h 2 ) )
yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + ph 2 f x ( xn , yn ) + qh 2 f ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O(h 3 )
题 37 用最小二乘法求形如 y = a + bx 的多项式，使与下列数据相拟合： 19 25 31 38 44 x
2
y
解
19.0
32.3
49.0
2
73.3
97.8
拟合曲线中的基函数为 ϕ 0 ( x) = 1 ， ϕ 0 ( x) = x ，
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ1 ) a ( f , ϕ 0 ) = (ϕ , ϕ ) (ϕ 0 , ϕ 0 ) b ( f , ϕ1 ) ， 其法方程组为 1 0
∴ p ( x) = 2 x 2 − x3 ；
（2）先求满足插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = 1 的插值多项式 p ( x ) ，由 0 为二重零点， 可设 p ( x) = ax ，代入 p (1) = 1 ，得 a = 1 ，∴ p ( x) = x ；
2 2
再求满足插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = p′(1) = 1 的插值多项式 p ( x ) ，可设