《数值分析简明教程》(第二版)王能超课后习题答案
数值分析第二版课后答案
数值分析第二版课后答案【篇一：《数值分析简明教程》第二版(王能超编著)课后习题答案高等教育出版社】p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不3超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1?1000.两端取自然对数得k?b?a1????10?3，得到k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2x2、（p.11，题2）证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用1二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。
2【解】由于f(x)?ex?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.又f(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.b?a11由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100. 2222ln10?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分两端取自然对数得k?ln20.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：1?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1因为|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有两位有效数字； 21?3因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；2因为|e?x1|?0.01828??0.05??r1??r2?|e?x1|0.05??1.85%； x12.7|e?x2|0.05??1.85%； x22.71|e?x3|0.0005??0.0184%。
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程第二版课后习题答案（供参考）
数值分析简明教程第⼆版课后习题答案（供参考）0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。
【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案
532 a= = 0.9726 547 b = 285 = 0.05 2 ( f , ϕ1 ) = 369321.5 ，解之得 5696 ，∴ y = 0.9726 + 0.05 x .
yn = yn −1 + hf ( xn −1 , yn −1 ) = yn −1 + h ⋅ ( axn −1 + b)
故 yn −1 = yn −2 + h ⋅ ( axn − 2 + b)
LL y1 = y0 + h ⋅ ( ax0 + b)
将上组式子左右累加，得
yn = y0 + ah( x0 + L + xn −2 + xn −1 ) + nhb = ah(0 + h + 2h L + ( n − 2) h + (n − 1) h) + nhb
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(4)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
1.5
5 ≈ × 9
8 8 5 8 + × + × 2 2 3 9 4 + ( 0 + 1) 9 3 4+− + 1 4+ + 1 5 5 = 3.141068 .
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
“数值计算方法”习题解答
“数值计算方法”习题解答配套教材：数值分析简明教程，王能超 编著，高等教育出版社，第二版第二章 数值积分2.1 机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈hhh f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；⎰++≈10210)43()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；⎰+≈1000)()0(41)()3(x f A f dx x f 。
【解】 （1）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++)3(32)2(0)1(22020210h A A A A h A A A解得：h A h A A 34,3120===，即：⎰-++-≈h h h f f h f hdx x f )]()0(4)([3)(，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(1627123)2(232)1(1210210210A A A A A A A A A解得：31,32120-===A A A ，即：])43(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩⎪⎨⎧==324300x A即：⎰+≈1)32(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2)(x x f =公式亦成立，而对3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
2、（p.95，习题6）给定求积节点,43,4110==x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案(习题3)
数值分析P97页 习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112p n n n n n n c n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数 所以在均收敛。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程第二版课后习题答案 高等教育出版社
算法1、 （，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分误差1．（，题8）已知e=…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x ex f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x，71.22=x，x 2=2.71，718.23=x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K xe ，所以7.21=x有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K xe ，所以71.22=x亦有两位有效数字； 因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K xe ，所以718.23=x有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.5 − 1.1 ( 3.0042 + 4 × 3.6693 + 4.4817 ) = 1.47754 6 ；
复化梯形法
0.2 ( 3.0042 + 2 × 3.6693 + 4.4817 ) = 1.48245 1.1 2 . 1 4 π =∫ dx 0 1 + x2 题 17 用三点高斯公式求下列积分值 . 1 x = (t + 1) 2 解 先做变量代换，设 ， 1 1 4 1 8 ⋅ d t = dt ∫ ∫ 1 −1 −1 4 + (t + 1) 2 4 1 2 2 dx 1 + (t + 1) 2 ∫ 4 ＝ 则 0 1+ x
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(4)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
1 1
当 f ( x) = x 时，有
3
∫ 左边＝
1 4， 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 1 f ( ) − f ( ) + f ( ) = ⋅ ( ) 3 − ⋅ ( )3 + ⋅ ( ) 3 = 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 4， 右边＝ 3
1 0
f ( x )dx = ∫ x 3dx =
+ qh ( f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhK1 f y ( xn , yn ) + O(h 2 ) ) f y ( xn , yn ) + O(h 2 ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhf ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O (h 2 )
0
1
左边＝右边， 当 f ( x) = x 时，有
4
∫ 左边＝
1 5， 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 37 f ( ) − f ( ) + f ( ) = ⋅ ( ) 4 − ⋅ ( ) 4 + ⋅ ( )4 = 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 192 ， 右边＝ 3
1 0
解 由 S (1) = 2 得 2 + b + c − 1 = 2 ，∴ b + c = 1 ；
3 x 2 + 2 x 0 < x <1 S ′( x) = 2 6 x + 2bx + c 1 < x < 2 ，由 S ′(1) = 5 得 6 + 2b + c = 5 ，∴ 2b + c = −1 ； 联立两方程，得 b = −2, c = 3 ， 0 < x <1 6 x + 2 S ′′( x) = ′′(1) = 8 = S + ′′(1) ， 12 x + 2b 1 < x < 2 ， S − 且此时
题 22 采用下列方法构造满足条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = p′(1) = 1 的插值多项式 用待定系数法； 利用承袭性，先考察插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = 1 的插值多项式
2 3 2
p( x) ：
（1） （1） （2） （ 2 ）
S ( x ) 是以 0,1, 2 为节点的三次样条函数.
题 35 解 记残差的平方和为
2 x + 4 y = 11 3 x − 5 y = 3 x + 2 y = 6 用最小二乘法解下列超定方程组： 2 x + y = 7 .
f ( x, y ) = (2 x + 4 y − 11) 2 + (3 x − 5 y − 3)2 + ( x + 2 y − 6)2 + (2 x + y − 7)2 ∂f 830 =0 x= ∂x 273 36 x − 6 y − 102 = 0 ∂ f 113 =0 y = 91 . ∂y 令 ，得 −6 x + 92 y − 96 = 0 ，解之得
代入，得
yn +1 = yn + h ( f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhf ( xn , yn ) f y ( xn , y n ) + O (h 2 ) )
yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + ph 2 f x ( xn , yn ) + qh 2 f ( xn , yn ) f y ( xn , yn ) + O(h 3 )
第二章 题 3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有 的代数精度：
0 （2） （2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
∫
1
1 1 3 f ( x )dx ≈ A0 f ( ) + A1 f ( ) + A2 f ( ) 4 2 4
1 3 ( x − )( x − ) 2 4 dx = 2 A0 = ∫ l0 ( x)dx = ∫ 0 0 1 1 1 3 3 ( − )( − ) 4 2 4 4 ， 1 3 ( x − )( x − ) 1 1 4 4 dx = − 1 A1 = ∫ l1 ( x)dx = ∫ 0 0 1 1 1 3 3 ( − )( − ) 2 4 2 4 ， 1 1 ( x − )( x − ) 1 1 4 2 dx = 2 A2 = ∫ l2 ( x)dx = ∫ 0 0 3 1 3 1 3 ( − )( − ) 4 4 4 2 ， 1 2 1 1 1 2 3 ∴ ∫ f ( x )dx ≈ f ( ) − f ( ) + f ( ) 0 3 4 3 2 3 4 ，
p ( x) = x 2 + bx 2 ( x − 1) ，Q p′( x) = 2 x + 2bx( x − 1) + bx 2 ，代入 p′(1) = 1 ，得 b = −1 ， ∴ p ( x) = x 2 − x 2 ( x − 1) = 2 x 2 − x 3 . x3 + x 2 0 ≤ x ≤1 S ( x) = 3 2 2 x + bx + cx − 1 1 ≤ x ≤ 2 是以 0,1, 2 为节点的三次样条 题 33 设分段多项式 函数，试确定系数 b, c 的值.
题 15
证 明 ： 对 于 f ( x ) 以 x0 ， x1 为 节 点 的 一 次 插 值 多 项 式 p ( x ) ， 插 值 误 差
f ( x) − p ( x) ≤
( x1 − x0 )2 max f ′′( x) x0 ≤ x ≤ x1 8 . f ( x) − p ( x) =
f ′′(ξ ) ( x − x0 )( x − x1 ) 2! 证 由拉格朗日插值余项得 ，其中 x0 ≤ ξ ≤ x1 ， max f ′′( x) f ′′(ξ ) x ≤ x≤ x f ( x) − p ( x ) = ( x − x0 )( x − x1 ) ≤ 0 1 ( x − x0 )( x − x1 ) 2! 2! ( x − x )2 ≤ 1 0 max f ′′( x) x0 ≤ x ≤ x1 8 .
∴ p ( x) = 2 x 2 − x3 ；
（2）先求满足插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = 1 的插值多项式 p ( x ) ，由 0 为二重零点， 可设 p ( x) = ax ，代入 p (1) = 1 ，得 a = 1 ，∴ p ( x) = x ；
2 2
再求满足插值条件 p (0) = p′(0) = 0 ， p (1) = p′(1) = 1 的插值多项式 p ( x ) ，可设
p( x) .
解 （1） 有四个插值条件， 故设 p ( x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x ， p′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x ，
a0 = 0 a + a + a + a = 1 0 1 2 3 a1 = 0 a + 2a2 + 3a3 = 1 代入得方程组 1 a0 = 0 a = 0 1 a2 = 2 a = −1 解之，得 3
= ah 2 n(n − 1) / 2 + nhb
题 10 解
yn +1 = yn + hK1 K = f ( xn + ph, yn + qhK1 ) . 选取参数 p 、 q ，使下列差分格式具有二阶精度： 1
将 K1 在点 ( xn , yn ) 处作一次泰勒展开，得
2 K1 = f ( xn + ph, yn + qhK1 ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn ) + qhK1 f y ( xn , yn ) + O(h ) = f ( xn , yn ) + phf x ( xn , yn )
f (4) (ξ ) f ( x ) − p( x ) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0 4! ； 由拉格朗日插值余项得 (4) （2） f ( x ) = 4!
由拉格朗日插值余项得
f ( x) − p( x) =