二阶导数在解高考函数题中的应用
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浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150）
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2） 证明：0)()1(≥-x f x . 原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x
x x f 1ln )('+
= ，
11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ， max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ . 令,11)('ln )(-=
-=x x g x x x g 则
递减，
时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><<
从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ， 故所求a 的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10< x x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立. 对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形 能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明： 证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证）（要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（ )1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x +-++-+= 2)1(ln 2++ -=x x x x ， 显然当1=x 时，0)('=x F ， 当10< x F x x x ， )(x F 在（0,1﹚递减； 当1>x 时，0ln ,21>>+ x x x ， )('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得 011ln 2)]'('[2 >+ +=x x x F ， 从而)('x F 在1>x 时递增， 0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增， 所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ， 故0)(≥x F 成立，原不等式成立. 例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题） 设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1 x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1 x f x ax ≤ +，求a 的取值范围． （原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地. （Ⅱ）解法二：由题设1 )(,0+≤ ≥ax x x f x ，