二阶导数在解高考函数题中的应用
导数中的二阶导问题
二阶导1.设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2， 所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x 2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x 2(x ≥1)， 则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3， 令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．2.已知函数f (x )＝x －ln x －a ，g (x )＝x ＋1x－(ln x )a ＋1，a ∈R. (1)若f (x )≥0在定义域内恒成立，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，求函数g (x )的最小值．解：(1)由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1－a ，∴1－a ≥0，a ≤1，故a 的取值范围是(－∞，1]．(2)当a ＝1时，g (x )＝x ＋1x －(ln x )2，g (x )的定义域是(0，＋∞)．g ′(x )＝1－1x 2－2ln x ·1x ＝x 2－2x ln x －1x 2， 令h (x )＝x 2－2x ln x －1，h ′(x )＝2(x －ln x －1)，由(1)知，h ′(x )的最小值是h ′(1)＝0，∴h ′(x )≥0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，又h (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<0，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2.3.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】的单调区间。
经典高数题举例
经典高数题举例1、函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的导数和二阶导数：解题思路：对f(x) 分别求导即可。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 （一阶导数）f''(x) = 6x + 4 （二阶导数）2、函数f(x) = e^x * sin(x) 的导数：解题思路：使用乘积法则和链式法则进行求导。
f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3、函数f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt 的原函数：解题思路：对被积函数进行积分，然后求出不定积分的原函数。
f(x) = ∫[1, x] (t^2 + 2t) dt = [(1/3)t^3 + t^2]，其中x 是上限。
4、方程组的解：2x + 3y = 104x - 5y = -7解题思路：可以使用消元法或代入法来求解方程组。
解得x = 3，y = 2。
5、函数f(x) = ln(x) 在区间[1, e] 上的定积分：解题思路：计算定积分的值。
∫[1, e] ln(x) dx = [x ln(x) - x]，在区间[1, e] 上。
6、曲线y = x^2 + 3x + 2 在点(1, 4) 处的切线方程：解题思路：求出曲线在给定点处的斜率，然后利用点斜式得到切线方程。
曲线的斜率为f'(x) = 2x + 3，在点(1, 4) 处的斜率为5。
切线方程为y - 4 = 5(x - 1)，即y = 5x - 1。
7、函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5 的极值点和极值：解题思路：计算函数的导数，并解方程找到导数为零的点。
f'(x) = 6x - 4，令f'(x) = 0，解得x = 2/3。
极值点为(2/3, f(2/3))。
极小值为f(2/3) = 19/3。
8、函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) 的周期和振幅：解题思路：观察函数的性质，根据三角函数的性质得到周期和振幅。
从高考模拟试题中窥探二阶导数
从高考模拟试题中窥探二阶导数作者：唐鹰骆妃景来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第07期摘要：二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”，作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数综合性题目时往往会达到事半功倍的效果，本文探讨二阶导数在函数凹凸性、极值、不等式恒成立问题中的作用.关键词：二阶导数；函数凹凸性；极值；不等式；恒成立近几年高考试题或者模拟试题中出现越来越多具有高等数学微积分背景的考题. 虽然高中试题的解法主要是基于高中所学的内容，但是作为中学数学教师，必须要对高等数学微积分中所蕴涵的数学思想方法有较好的认识和把握，要有用微积分观点去认识初等数学的意识，这样才有助于我们对高考命题有全面、深刻的理解和把握. 本文试从几个例子来看二阶导数在函数凹凸性、极值以及不等式恒成立问题中的运用.2. 函数凹凸性的直观性设函数f（x）在区间I上单调递增，我们可以这样理解，随着自变量x的稳定增加，当函数f（x）的增量增加越来越快时，函数图形是凹的；当函数f（x）的增量越来越慢时，函数图形是凸的；当函数f（x）的增量保持不变时，函数图形是直线. 如果f（x）在区间I上单调递减，同样可以类似分析.显然解法2比解法1简洁许多，解法1对考生的计算能力要求非常高，一旦化简不到位，本题就解不出来，而化简是现在高中生的一大弱项，这与初中弱化了因式分解等知识有关，倘若学生能掌握函数凹凸性与二阶导数的关系，那么这道题就会信手拈来！[⇩] 二阶导数与函数极值在高中阶段，判断函数在x0处是否取得极值并判断是极大值还是极小值时，经常是利用函数的导数在x0的两侧的符号来判断，通常需要列表，但列表相对麻烦，而且容易计算错误，特别是对于基础相对较差的文科生，常常会出现列表不完整、计算错误、格式书写不规范等问题. 实际上，我们可以用二阶导数的符号比较快速简便地判断x0是函数的极大值点还是极小值点.[⇩] 二阶导数与不等式恒成立问题不等式恒成立问题是高考试题中常考的内容之一，主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力，不等式恒成立问题的转化过程中出现的难点主要是分离常数和最值的求解，因为如果题目中涉及ex或者lnx时，很难分离常数，就算能够分离，求最值也会遇到困难，这时可以考虑用二阶导数来解决不等式恒成立问题.分析：本题在解决第2问时也可以利用第1问中的结论得到不等式ex≥x+1，但是如果不能根据第1问中的结论得出ex≥x+1这个抽象不等式的话，第2问就无从谈起，束手无策，那么现在我们抛开第1问中的结论，直接从第2问出发，第2问可以转化为当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围，此时分离常数后得a≤，即转化为求g（x）=的最小值，难度相当大，那么下面采用二阶导数的知识解决此问题.强，是高考中的重点和难点，要求学生具备很强的逻辑思维能力，导致很多学生“望题却步”，但往往一般采用二阶导数甚至三阶导数进行研究，有时解法会很简洁，出现“柳暗花明”的局面，使解题事半功倍.总之，二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”. 作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数结合的综合性题目时往往会达到解题事半功倍的效果，所以二阶导数也是高中生可以且应该掌握的知识.。
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题高考数学中，最优化问题是一个重要的考点。
解决最优化问题的一种常用方法是利用微分，通过微分求极值点，进而求得最优解。
本文将介绍如何运用微分技巧解决最优化问题。
1. 寻找极值点在解决最优化问题时，首先需要找到目标函数的极值点。
对于一元函数，我们可以通过求导来找到函数的极值点。
假设有一个函数f(x)，我们先求函数的一阶导数f'(x)。
将f'(x)=0的解所对应的x值称为临界点，再比较临界点和区间端点的函数值，从中找出使f(x)取得极值的点。
2. 检验极值在找到极值点后，需要进行极值的检验。
检验的目的是确认找到的极值点确实是函数的极值点。
我们可以利用二阶导数来进行检验。
首先求解函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数的表达式中。
如果f''(x)>0，则说明该点为极小值点；如果f''(x)<0，则说明该点为极大值点。
如果二阶导数等于0，则说明该点处可能存在拐点。
3. 求解最优解经过前两个步骤，我们已经确定了函数的极值点。
利用找到的极值点，我们可以求解最优解。
最优解取决于最大值或最小值，我们只需要将极值点代入目标函数中，即可得到最优解。
同时，需要注意在一个区间中可能存在多个极值点，需要对每个极值点进行比较，才能找到最优解。
4. 题目拓展：约束条件下的最优化问题除了无约束的最优化问题外，高考数学还常考寻找约束条件下的最优解。
对于这类问题，我们可以通过拉格朗日乘数法来解决。
假设有一个函数f(x,y,z)，同时存在约束条件g(x,y,z)=0。
首先，我们将约束条件g(x,y,z)代入函数f(x,y,z)得到一个新的函数h(x,y,z)。
然后，通过求解新函数h(x,y,z)的极值点，便能得到约束条件下的最优解。
综上所述，微分技巧是解决最优化问题的一种重要方法。
通过寻找极值点、检验极值、求解最优解等步骤，可以有效地解决高考数学中的最优化问题。
第10讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练)(学生版)
第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用二阶导数求函数的极值高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性高频考点三：利用二阶导数求参数的范围高频考点四：利用二阶导数证明不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题（精练）1、函数极值的第二判定定理：若()f x 在0x x =附近有连续的导函数()f x ''，且0()0f x '=，0()0f x ''≠ （1）若0()0,f x ''<则()f x 在点0x 处取极大值； （2）若0()0,f x ''>则()f x 在点0x 处取极小值2、二次求导使用背景（1）求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；（2）对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出. （3）一阶导函数中往往含有x e 或ln x3、解题步骤：设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数()()312cos 12f x x x a x =-++，对于任意的1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12x x <都有()()21120x f x x f x ->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________. 4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））设函数()f x 在区间I 上有定义，若对I 上的任意两个数1x ，2x 和任意的()0,1λ∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称()f x 为I 上的凹函数，若等号不成立，即“<”号成立，则称()f x 在I 上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在(),a b 上的函数()f x ，其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若(),x a b ∀∈，()0f x ''>，那么函数()f x 是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.高频考点一：利用二阶导数求函数的极值1．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上无极值点B ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x >恒成立，则实数a 的最大值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1tx x +的最大值为1e2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()1ln x f x x+=. (1)若函数()f x 在区间2,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当1≥x 时，不等式()1mf x x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数321()e () 1.2xf xg x ax x x ==+++，(1)若0a =，证明：当0x >时，)()f x g x >，当0x <时，()()f x g x <； (2)记函数()()()h x f x g x =-，若0x =是()h x 的极小值点，求实数a 的值．4．（2022·新疆·模拟预测（理））设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()3ln a a x f x x x x=--，且()0f x ≤. (1)求实数a 的值；(2)求证：()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()120e e f x ---<<-；(3)设()()2a F x xf x a x =+-，()21sin 2G x x x b x =++.对[)0,x π∀∈，()()1F x G x +≤恒成立，求实数b 的取值范围.（参考结论：0x →，()21ln 122sin x x x x---+→-）6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()e cos x f x x x =-- (1)讨论函数()f x 在（π-，2π）上极值点的个数； (2)当[]0,x π∈时，()()23sin ln 1f x x m x ≥-+'.其中()'f x 为()f x 的导函数，求实数m 的取值范围.7．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()()212xaf x x x x a =-+-∈R e ． (1)若1x =-为()f x 的取值范围；(2)若()f x 有唯一的极值11e--，证明：1x ∀≥-，()1sin f x x +≥．高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性1．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）设()0,1,0,1,a a b b f x >≠>'≠为函数()x xf x a b =+的导函数，已知()f x 为偶函数，则（ ） A ．()1f 的最小值为2 B ．()f x '为奇函数C ．()f x '在R 内为增函数D ．()f x 在()0,∞+内为增函数2．（2022·江苏·金陵中学高二期末）函数()cos e x f x x ＝．(1)求()f x 在(),ππ-上的单调区间；(2)当0x ≥时，不等式()()22e e 2'-≤x xf x ax 恒成立，求实数a 的取值范围．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥．4．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.5．（2022·北京朝阳·一模）已知()e x f x x a =-，a R ∈.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴重合，求a 的值； (2)若函数()f x 在区间()1,+∞上存在极值，求a 的取值范围；(3)设()()2g x f x =-，在（2）的条件下，试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并说明理由.6．（2022·全国·模拟预测（文））已知()()24e 34,x f x x cx x R c R =---∈∈.(1)当3c =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)设()32e 6xf x x x x ≤+-在[)0,+∞上恒成立，求实数c 的取值范围.高频考点三：利用二阶导数求参数的范围1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3sin 3m f x x x x =-+，若对任意的[)()00x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数m 的取值范围．2．（2022·江苏·已知函数 ()ln f x ax x x =+ 的图象在点 e x = ( e 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 3． (1)求实数 a 的值;(2)若 k Z ∈， 且存在 1x > 使 ()()1k x f x -> 成立， 求 k 的最小值．3．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-. (1)求函数()f x 的极值；(2)令112212()()(),(,()),(,())()h x g x f x A x h x B x h x x x =-≠是函数()h x 图像上任意两点，且满足1212()()1h x h x x x ->-，求实数a 的取值范围；(3)若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x-≥成立，求实数a 的最大值.4．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--. (1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-，求整数k 的最大值.高频考点四：利用二阶导数证明不等式1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值；(2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-；(3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2022·山东·聊城民慧实验高级中学高二阶段练习）已知函数()2e 2x xf x a a x =---(1)若x ≥0时，()f x ≥0，求实数a 的取值范围． (2)当02x π<<时，求证：()4e cos 14xx x x ->-．3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））已知函数()()2l 11n (2)1f x a x x ax a =+--+∈R .(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0a =时，求证：21()(e 1).2≤--x f x x x4．（2022·江西上饶·一模（理））已知函数()()ln 1f x x x a =+-，()e cos 1xg x x =+-，其中e 2.718=…为自然对数的底数.(1)当1a =时，若过点(),m m 与函数()f x 相切的直线有两条，求m 的取值范围；(2)若()0,x ∞∈+，01a ≤≤，证明：()()f x g x <.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ln x f x ae x a -=-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为312y x =-，求a 的值； (2)若a e ≥，证明：()2f x ≥.1．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.2．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．一、填空题1．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数()222ln f x ax x x =--，a R ∈有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_______.2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()1ln g x x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为___________. 3．（2022·福建厦门·高三阶段练习）若函数()ln f x x =和()()2R g x x ax a =+∈的图象有且仅有一个公共点P ，则g (x )在P 处的切线方程是_________.4．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知关于x 的方程233()ln 3ln x t x t t +=有三个实数根，则t 的取值范围是______5．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）已知函数()ln f x x x =+．()f x '为函数()f x 的导函数，若()()ln 11kf x x '>++对任意0x >恒成立，则整数k 的最大值为________． 二、解答题6．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线yg x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．7．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数2()e x f x -=，函数ln ()(,)a x bg x a b x+=∈R 在e x =处取得最大值.(1)求a 的取值范围；(2)当02a <≤时，求证：()()f x g x >.8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数2()e 1x f x ax x =---． (1)当1a =-时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，321()22f x x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2022·四川达州·二模（理））已知：()e x f x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围10．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数()()e 2axf x x =-.(1)若1a =，()f x 的一个零点为()000x x ≠，求曲线()y f x =在0x x =处的切线方程； (2)若当0x >时，不等式()132ln f x a x x x x ⎡⎤⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.。
28.二阶导数意义与函数性质.doc
中国高考数学母题］(第338号)二阶导数意义与函数性质随着高等数学知识在初等数学中的下放，在高考中，出现了越来越多具有高等数学背景的试题，其中，以二阶导数的三种意义为背景的高考试题就是典型的例证.［母题结构］：(1)(极值判断)设f(x)在X。
处二阶可导，且f (Xo)=O, r(Xo) MO,①若r(Xo)<O,则x°是f (x)的极大值点;②若r(xo)>o,则&是f(x)的极小值点;(H)(凹凸定理)若f(x)在(d,b)内二阶可导，①f(x)在(d,b)内的图像是凹曲线。
当xW(d,b)时，r (x) ^0恒成立;② f (x)在(a, b)内的图像是凸曲线。
当xe (a, b)时，广(x) <0恒成立；(in)(拐点定理)曲线凸部和凹部的分界点叫做拐点,f(x)的拐点xo, 一定是使r(xo)-o的点，①若尸(x0)=o,旦r怎)丈0,则X。
是曲线的拐点;②(Xo)=o,且广(Xo)=o,则点X。
不是曲线的拐点.［母题解•析］:(I )①由r(Xo) <0 => f(X)在X=Xo的左右附近单调递减，又f (Xo)=O=>X在X二X。
的左侧时,f(X)>O, X在x=x°的右侧时，广(X)<0 => Xo是f(x)的极大值点;②同理可证；(11)(111)略.1 .极值判断子题类型I ：(2012年安徼高考试题)设函数f(x)二f+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x,,}.(I )求数列{xj ; (n)1S{xn)的前n项和为&,求sinSn.[解析]:(1 )由f (x) = ： +sinx => f (x) = ； +cosx n f (x)=-sinx,令f (x)=0n cosx=-； n x=2n n ±—;又因f (2n2 2 2 3z专)二一#<0顼(2用-号)二g>0nx=2"-亨是f(x)的极小值点= 号SWN)；(1【)由"2n「学fl)厂手，注意到:n(n+l)为偶数nsiEin［n(n+l) 半］f n半;①当n*(k^N )时，sinS…=-—;②当n=3kT (k〉N.)时,sinS n=—;③当n=3k-2(k「N+)时,sinS n=O. 2 -2［点评］:利用二阶导数的符号判断函数极值点的类型，即极值点是极大值点，还是极小值点？可以避免列表的麻烦，十分快捷方便.［同类试题］:1. (2008年湖北高考试题)已知函数f(x)=xW-m2x+l(m为常数，且m>0)有极大值9.(I )求m的值；(II)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直线方程.2. 凹凸定理子题类型II : (1994年全国高考理科试题)己知函数f(x)=tanx, xG (0,三)，若x… x2S (0, ♦),且证明：2 2i［f(x.)+f(x2)］>f(^±^-).2 2［解析］：先证明如下命题:若f(x)在区间(0,号)上连续可导，旦广(X)在区间(0, 5)上单调递增，则当x.,x2e(0,日)，且4M tagx*x・2时，;[f(x)+f (xj]>f (土担)；不妨设0<x.<X2,则由f (x)在区间(0, 9)上单调递增 n f (x)>/ (土三);令g(x) = i［f (x) +f (xj ］-f (壬互)，则g，(x)=广(X)一尸(冷)］>° = g(X)在区间(0, xJ 上单调递增 n g (x) >g S) =0 L £££当 xe (0,乙)时,由 f (x)=tanx=> f (x) =———=>2 cos 2.r ng(x)>0n i [f(x,)+f(x 2)]>f(^-);,〃(x)二竺S>0n r (x)在区间(0,生)上单调递增n L[f(xJ + cosr 2 2f(X2)］>f (峥).一［点评］:①若f (x)在区间D 上是凸函数，则对任意的x b X2,…,x…ED,都有f (P1X1+P2X2+•••+p n x rt ) Npif (xD+p 疔(X2)+・・・+ Pnf (Xn)(其中 P ，>0, Pl+P2+---+Pn=1)；②若 f (x)在区间 D 上是凹函数，则对任意的 Xi, X2,…，Xn^D,都有 f (p 1X l+p 2X 2+—+p n Xn) Plf (Xl) +p 2f (X 2) + —+p n f (Xn)(其中 Pi>0, P1+P2+ —+Pn=1 ),当旦仅当 X1 = X 2= —= Xn 时，等号成立.［同类试题］:2. (2005 年全国 I 高考试题)(1 )设函数 f (x)=xlog2x+(l-x) log-2(1-x) (0<x<l),求 f(x)的最小值；(II)设正数 Pl, P2, P3,…，P2"满足 Pl+P2+P3+・・・+P2, =1，证明:p I 1 OgaP l +P21 Og ?P2+P31()g2P<+- * * +p 2» lOgzP?" Nf.3. 拐点定理子题类型III : (2012年福建高考试题)己知函数f (x)二e'+ax'-ex, a ER.(I) 若曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线平行于x 轴,求函数f(x)的单调区间;(1【)试确定a 的取值范围，使得曲线y=f(x)±.存在雎一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.［解析］：(I )由 f (x) =e'+ax 2-ex => f (x)二e'+2ax-e;由广(l)=0=> a=0=> f (x) =e r -e => f (x)的单调递增区间为(l,+8), 单调递减区间为(-8,1)；(II) 由广(x) =e'+2ax-e => f" (x)=e x +2a 存在零点n a<0,证明如下:①当aHO 时，广(x) =e x +2ax-e 单调递增，设曲线在任 意一点P(xo,f(xo))处的切线为y 二kx+b,则f(x)Nkx+b,当且仅当x=X 。
二阶导数在解高考函数题中的应用
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；（2） 证明：0)()1(≥-x f x .原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xx x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则 递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。
(完整word版)例谈二阶导数在高考题中的应用_4
例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学 高岚龙随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。
尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。
作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。
本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。
一．二阶导数与凸性定义1. 设()f x 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点1x 与2x ，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++<，那么称()f x 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，那么称()f x 在 I 上的图形是凸的； 定理1 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么：（1）若在(,)a b 内()f x '单调增加，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()f x '单调减少，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的；定理 2设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么：（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）分析：我们知道，把汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。
例谈二阶导数在高中数学中的应用
例谈二阶导数在高中数学中的应用作者：王耀民来源：《新校园·中旬刊》2014年第07期摘要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。
导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。
关键词：高中数学；二阶导数；例题分析导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。
主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。
近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。
导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。
一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f"（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。
有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。
请你根据这一发现判断下列命题：（1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；（2）存在三次函数，f"（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054.其中正确命题的序号为。
一阶、二阶导数在含参数的函数问题中的应用
一阶、二阶导数在含参数的函数问题中的应用
作者：马群长
来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第03期
【摘要】针对2018年高考数学试卷中出现的极值问题，利用数学分析中极值的相关定理，一阶、二阶导数这两种数学思想进行求解，最终可得到一致的答案。
【关键词】高考数学；极值问题；导数
纵观近几年的高考真题，极值问题是必考的一个知识点。
如已知某一点是函数的极大（极小）值点，求参数的取值或者参数的取值范围等。
通常情况下，学生会通过利用函数来求解极值点，再由极值点求参数值。
对于高中生来说这是一个难点问题。
为了帮助学生解决这一难点，本文将从函数的一阶导数和二阶导数出发，浅谈函数极值问题的求解。
【参考文献】
[1]欧阳广中.数学分析[M].北京：高等教育出版，2007.
[2]课程教材研究中心.高中数学人教A版选修2-3[D].北京：人民教育出版社，2009.
[3]楊玲.关于基础数学中极值问题的几点思考[J].保山学院学报，2013，32（02）：69-72.。
巧用导数 高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例
巧用导数㊀高效解题以 二次求导 在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陈雯娜(１９９５.１０ )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.１二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凸的[１].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.２二次求导在函数问题中的应用２.１在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[２].２.１.１直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例１㊀讨论函数ｆｘ()＝ｌｎ２(１＋ｘ)－ｘ２１＋ｘ的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为－１ꎬ＋ɕ().对该函数求导可得:ｆᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)ｘ＋１－ｘ２＋２ｘ１＋ｘ()２ꎬ通分得到ｆᶄｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘ１＋ｘ()２.仔细观察该函数不难发２５现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设ｇｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对ｇｘ()求导可得到ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘꎬ再二次求导可得ｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当－１<ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ>０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ<０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在ｘ＝０时有最大值ꎬ又因为ｇᶄ０()＝０ꎬ所以ꎬｇᶄｘ()ɤ０.反推可知函数ｇｘ()在－１ꎬ＋ɕ()上是单调减函数ꎬ在－１<ｘ<０时ꎬｇｘ()>ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()>０ꎬ函数ｆｘ()是单调递增的ꎻ当ｘ>０时ꎬｇｘ()<ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()<０ꎬ函数ｆｘ()是单调递减的.综上ꎬ可知函数ｆｘ()的单调递增区间为－１ꎬ０()ꎬ单调递减区间为０ꎬ＋ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.２.１.２带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１－ｅ－ｘꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[３].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意ｘȡ０ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ显然ａ的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当ａ<０时ꎬ若ｘ>－１ａꎬ则ｘａｘ＋１<０ꎬ那么ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不成立ꎻ当ａȡ０时ꎬａｘ＋１>０ꎬ由ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１移项可得ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘɤ０.此时ꎬ令ｇｘ()＝ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝ｅ－ｘａｘ＋１－ａ()＋ａ－１ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ().根据题干ｘȡ０ꎬ当ａɪ０ꎬ１２[]时可判断出ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()ɤ０ꎬ此时ｇᶄｘ()在定义域内是递减的ꎬｇᶄｘ()ɤｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()单调递减ꎬｇｘ()ɤｇ０()＝０ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论ａ的取值范围ꎬ若ａɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷ꎬ２ａ－１>０ꎬ令ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()＝０ꎬ计算可得ｘ＝２ａ－１ａꎬ当０<ｘ<２ａ－１ａꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()>０ꎬ此时ｇᶄｘ()在该区间上单调递增ꎬｇᶄｘ()>ｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()在０ꎬ２ａ－１ａæèçöø÷上单调递增ꎬｇｘ()>ｇ(０)＝０ꎬ不符合题意ꎬ所以ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不恒成立.所以ａɪ０ꎬ１２[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.２.２在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数ｆ(ｘ)在点ｘ处具有二阶导数ꎬ且ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬｆᵡｘ()ʂ０ꎬ那么当ｆᵡ(ｘ)>０时ꎬ函数３５在点ｘ处取得极小值ꎻ当ｆᵡ(ｘ)<０时ꎬ函数在点ｘ处取得极大值.例３㊀已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－ｅｘ＋２ｘ－１ꎬ求函数ｆｘ()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:ｆｘ()的定义域为Ｒꎬｆᶄｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数ｇｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ求导可得ｇᶄｘ()＝１－ｅｘ.当ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬ当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬ所以ｇｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ即ｆᶄｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆᶄ０()＝１>０.又ｆᶄ－２()＝－ｅ－２<０ꎬｆᶄ２()＝４－ｅ２<０ꎬ则ｆᶄ－２() ｆᶄ０()<０ꎬｆᶄ０() ｆᶄ２()<０ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的ｘ１ɪ－２ꎬ０()ꎬｘ２ɪ０ꎬ２()ꎬ使ｆᶄｘ１()＝ｆᶄｘ２()＝０ꎬ且当ｘɪ－ɕꎬｘ１()和ｘɪｘ２ꎬ＋ɕ()时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ函数单调递减ꎻ当ｘɪｘ１ꎬｘ２()时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ函数单调递增ꎬ故ｆｘ()在ｘ１处取得极小值ꎬ在ｘ２处取得极大值ꎬ即函数ｆｘ()的极值点的个数为２.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.２.３在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例４㊀已知关于ｘ的不等式２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ则整数ｍ的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２ꎬ进行移项㊁化简可得到ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ.此时ꎬ构造函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘꎬ求导可得ｆᶄｘ()＝－２ｘ＋１()ｘ＋２ｌｎｘ()ｘ２＋２ｘ()２ꎬ令ｆᶄｘ()＝０ꎬ则可得到ｘ＋２ｌｎｘ＝０.继续构造函数ꎬ令ｇｘ()＝ｘ＋２ｌｎｘꎬ对其求导可得到ｇᶄｘ()＝１＋２ｘꎬ当ｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬｇᶄｘ()＝１＋２ｘ>０ꎬ则ｇ(ｘ)在ｘɪ０ꎬ＋ɕ()是单调递增函数.又ｇ１２æèçöø÷<０ꎬｇ１()>０ꎬ所以存在一个点ｔɪ１２ꎬ１æèçöø÷ꎬ满足ｔ＋２ｌｎｔ＝０ꎬ当０<ｘ<ｔ时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ则ｆｘ()在０ꎬｔ()上单调递增ꎻ当ｘ>ｔ时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ则ｆｘ()在ｔꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝２(ｌｎｔ＋ｔ＋１)ｔ２＋２ｔ＝１ｔ １ꎬ２().因为ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ所以ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ][ｍａｘꎬ故ｍȡ２ꎬ则整数ｍ的最小值为２[４].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.３结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[１]许国庆.二次求导在解题中的妙用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(１５):５０－５１.[２]白亚军.利用 二次求导 突破函数综合问题[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(０７):１５－１６.[３]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０４):３９.[４]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中 二次求导 的应用[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１８(０９):３６.[责任编辑:李㊀璟]４５。
【2020年高考必备】二阶导数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
2020届高三数学之函数与导数（文理通用）二次求导函数处理（二阶..
韩哥智慧之窗-精品文档精品文档韩哥智慧之窗-精品文档精品文档 1专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。
利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
此时解题受阻。
此时解题受阻。
需要利用需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。
本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为：、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表；的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。
⑤根据列表解答问题。
二、经验分享方法方法 二次求导二次求导使用情景使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m你还可以在算出3,4，选择题排除法。
高考数学二阶导数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题(含答案解析)
高考数学《函数的单调区间》基础知识与专项练习题（含答案解析）单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x ∀∈，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域（2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。
2023新高考二卷数学导数大题二级结论
2023新高考二卷数学导数大题二级结论一、评估主题2023年新高考数学二卷中的导数大题二级结论，作为数学考试中的重要内容，需要我们深入探讨。
这涉及到对导数概念和应用的全面理解，同时也需要考虑到对于高阶数学思维和解题技巧的培养。
我们需要对这一主题进行充分评估，包括数学知识的深度和广度，以及解题方法和策略的讨论，以便撰写一篇高质量的文章。
二、文章撰写1. 前言在这篇文章中，我们将深入探讨2023年新高考数学二卷中的导数大题二级结论。
通过对该题目的分析和讨论，旨在帮助广大学生更好地掌握导数的相关知识，提升数学解题能力。
2. 导数概念的理解在开始具体讨论导数大题二级结论之前，首先需要对导数的概念进行深入理解。
导数作为函数的变化率，是微积分中的重要概念，涉及到函数的切线斜率、极值点和凹凸性等内容。
了解导数的定义和性质，对于后续解题至关重要。
3. 二级结论的探讨在2023年新高考数学二卷中，导数大题中的二级结论往往涉及到函数的极值、拐点等重要内容。
通过对这些二级结论的探讨，我们可以更好地理解导数在实际问题中的应用，培养对数学问题的分析思维和解决能力。
4. 解题方法和策略针对导数大题二级结论的解题方法和策略，我们可以从具体题目出发，探讨如何运用导数相关知识解决实际问题。
通过列举例题和详细分析解题步骤，帮助读者理解解题思路和技巧，提升解题效率和准确性。
5. 个人观点和理解在全面讨论导数大题二级结论的基础上，我们还可以共享自己对这一主题的个人观点和理解。
可以结合实际教学和学习经验，谈谈如何更好地掌握导数相关知识，以及如何在解题过程中发现和解决问题。
6. 总结与回顾在文章的结尾部分，需要对全文进行总结与回顾，概括文章涉及的导数概念、二级结论探讨和解题方法、个人观点和理解等内容，使读者能够全面、深刻和灵活地理解这一主题。
还可以展望未来学习和教学的方向，为读者留下深入思考和讨论的空间。
三、文章结构和格式根据知识的文章格式，我们可以采用从简到繁、由浅入深的方式来探讨主题，使用序号标注进行分段和段落，并在内容中多次提及“2023新高考二卷数学导数大题二级结论”这一主题文字。
高考数学热点必会题型第7讲 导数之二阶导数的应用(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012x a f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b >B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a b c >>例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________.第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()0,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（ ）①()sin cos f x x x =+，②()e x f x x -=-，③()ln 2f x x x =-，④3()21f x x x =-+-. A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >， 由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1， 故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切， 记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=， 所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+， 有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<， 则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值 【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦， 当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减； 当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增， 所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ， 当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减； 当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增； 所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减； 当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增； 所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增， 又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ， 则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈， 当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞， 即得202a a -≤⇒≤， 故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =， 故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭， 所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题： 在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数， 即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩， 解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ， 的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=， 在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-； 令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈， 则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-， 设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='， 令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<， 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =， 故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭， 设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==， 设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->， 于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增， 因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤， 所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=， 令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+， 所以()11132314e e >+>，即a b c >>， 故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有。
试谈二阶导数在解题中的应用
故
（ ～１ ） ， （ ） ＞０ ．
小结
从本质上来讲 ， 本题还是用 导函
数 的正负判断原函数 的增 减性 ， 只不过本题
而判断原函数 的增 减性 ， 从而给解题带来 很 大的方便． 下面我们通 过一些例子来加 以说
明．
， （ 叠 ） 的导 函数的正负不易判断 ， 而利用二 阶
数来解决一些 问题 ， 我 们往往对 函数进行一 次求导运算 ， 进而应用 函数和导数的综合知 识， 解决一些证 明或求参 数的取值 范围的题
ｇ（ ） 一ｌ ｎ ｘ４ －￣
～
，
则 ｇ ｌ （ ） 一 专 一 去＜ ０ ，
故ｇ （ ） 在（ ０ ， １ ） 上递减 ， 所以 ｇ ） ＞ｇ （ １ ） 一 １ ， 所以 厂 （ ） 在（ ０ ， １ ） 上递增． 所以
导数却容易判断 厂 （ 童 ） 的导函数 的正负 ， 收到
了很好 的效果． ， 例２ （ ２ ０ １ ０ 年海南宁夏卷） 设函数， （ ）
例１ （ ２ ０ １ ０年全 国卷 Ｉ ） 函数 ， （ ｚ ） 一
（ ｚ ＋１ ） １ ｎ — ＋ １ ． 证明： （ ｚ 一１ ） 厂 （ ｚ ） ＞０ ． 分析 要证 （ 一 １ ） ． 厂 （ ｚ） ＞０ ， 只 需 证 明
，（ ｚ ） ＜， （ １ ） － － － ０ ，
目， 基本上可 以得 到解 决 ， 但也 有一些题 目， 进行完一次求导运算后 ， 很难 判断一 阶导数 的正 负， 也就很难对原 函数 的增减性作 出判 断， 这将使我们很难继续进行下去． 如果我们
对一 阶导数继续求导 ， 即求原 函数 的二阶导 数， 往往可以收到很好的效果 ， 使得我们能通 过二阶导数 的正负 ， 判断一阶导数的正负， 进
二阶导在函数问题中的应用
二阶导在函数问题中的应用摘要：函数单调性是学生在高中阶段的函数学习中最早接触的一个问题，在高考数学的题目中关于函数单调性类的问题也是非常常见，为更好攻克单调性类题目的解题难关，提升高中生的数学解题效率，本文中我将以二阶导在函数中的应用为例，以两个例题讲解利用二阶导求函数单调性的具体方法及训练策略。
关键词：二阶导数；函数问题；高中数学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-041-01引言：函数f(x)的一阶导函数f’(x)在x的导数即原函数的二阶导数，在数学中，我们将其表示为f’’(x)。
在高中数学中的函数单调性类问题考察中，有很多题目我们可以通过一次求导的方式进行解决，但是也有很多题目在我们一次求导完成后并不能直接判断原函数的单调性质，这时我们就必须对原函数进行二阶求导，因而二阶导数方法在数学题目解决中具有着一定的探究意义，那么在实际解题中我们应该如何利用二阶导函数求证函数的单调性呢？一、第一道例题——根据单调性求大小函数的单调性问题是学生函数学习的基础，其在学生今后的函数学习方面具有着重要的价值，但是很多学生并没有掌握科学的求解方法，尤其是对于那些需要进行二阶求导的问题，总有学生错了又错[1]。
为提升学生在单调性类问题上的解题效率，本部分中我将借助题目分析的方法帮助学生梳理利用二阶导求函数单调性的方法。
例题：已知函数f(x)=sinx/x，且0＜x1＜x2＜1，假如a=sinx1/x1，b=sinx2/x2，求a、b之间的大小关系。
解析：在看到这一题目时我们应该想到要想解决问题，我们就必须先通过分析函数在x∈（0,1）上的单调性，然后再结合题目思考a、b之间的大小关系，其中在分析单调性方面，我们就需要用到二阶求导。
在此题中，已知函数为f(x)=sinx/x，根据这一函数我们可以得到f’(x)=xcosx－sinx/x2，继而根据二阶求导的思想我们又能得到g(x)=xcosx－sinx，g’(x)=﹣xsinx＋cosx－cosx=﹣xsinx。
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
2(1x)ln1(x)x22x (1x)2
设 g (x ) 2 (1 x )l1 n x ( ) x 2 2 x
则 g '(x)2 ln 1 x () 2 x
[g'(x)]' 2x 1x
典型例题讲解
当 1x0时[g， '(x)]'0,g'(x)在 （ 1,0 ）上是增函
当 x 0时 [g'(x)]'0,g'(x)在0（ ， ）上为.减函数
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题
导言
在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考 查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值 以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。 解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求 函数的导数；③求 的零点；④列出 的变化关系表；⑤根据 列表解答问题。
凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中 的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近 年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 f(x),f(x),f(x的)关 系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。
0，即 f x 在区间 1, 上 为增函数，则 fxf1，1此时， f为 x增 函数，所以 fxf1，易0得 (x1)f(x也)成0 立。
综上，(x1)f(x)0得证。
典型例题讲解
例题4、设a 为实数，函数 fxex2x2a,x 。R
（Ⅰ）求 f x 的单调区间与极值；
恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2，) 那么称 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有2f(x1 2x2)2f(x1) 2f(x2)，那么称 在 I 上的图形是凸的；
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浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150）
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2） 证明：0)()1(≥-x f x . 原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x
x x f 1ln )('+
= ，
11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ， max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ . 令,11)('ln )(-=
-=x x g x x x g 则
递减，
时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><<
从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ， 故所求a 的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ； ② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥x
x x x x x x x x f x 时，.
综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形
能力要求较高。
我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证）（要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（
)1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x +-++-+=
2)1(ln 2++
-=x
x x x ，
显然当1=x 时，0)('=x F ， 当10<<x 时，0)(',0ln ,21<<>+
x F x x
x ，
)(x F 在（0,1﹚递减；
当1>x 时，0ln ,21>>+
x x
x ，
)('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得 011ln 2)]'('[2
>+
+=x
x x F ，
从而)('x F 在1>x 时递增，
0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增，
所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ， 故0)(≥x F 成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数()1x
f x e
-=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x f x x ≥+；
（Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤
+，求a 的取值范围．
（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.
（Ⅱ）解法二：由题设1
)(,0+≤
≥ax x x f x ，
若0<a ，则当不恒成立时，1
)(,011+≤
<+-
>ax x x f ax a
x ；
若0)1)(1(1
(,01,0≤--+⇔+≤>+≥-x e ax ax x x f ax a x
）则.
令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则，
0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e
x g x
， )12()]'('[ax a e
x g x
--=-,
∵0≥x ,
”），
时取“仅当从而时，当==
=≤≤-≤
≤∴2
1,0(0)]'('[,
0122
10a x x g a a
∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减，在， ∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减，在 即原不等式成立. 当,120]'('[,0122
1a
a x x g a a -=
=>->
得）令时，
从而当,0)]'('[120>-<
<x g a
a x 时，
此时0)0(')(')1
2,
0()('=>-g x g a a x g 内递增，在，
∴不恒成立内递增，在1
)(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x
x f g x g a a x g .
综上可知，2
10≤
≤a .
由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。
建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。
针对训练：
1、（2010年新课标全国卷第（21）题）： 设函数2
()1x
f x e x ax =---。
（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2、（2008年湖南高考题改编）： 已知函数x
x
x x f +-+=1)1(ln )(2
2
，求函数)(x f 的单调区间。
参考答案： 1、解：（1）略.
（2）a e x f ax e x f x x 2)]'('[,21)('-=--=. ①当,1,122
1≥≥≤≤
x
e
x a a 得由时，
从而递增，在),0[)(',0)]'('[+∞≥x f x f
∴0)0(')('=≥f x f ，0)0()(),0[)(=≥+∞f x f x f 递增，在 ②时，当时，当a x a a 2ln 0,122
1<≤>>
,0)]'('[,2<<x f a e x
∴内递减，在区间)2ln ,0()('a x f ∴,0)0(')('=<f x f
∴0)0()()2ln ,0()(=<f x f a x f 内递减，在区间,不合题意.
综上可知2
1≤
a a 的范围是
2、解：()x f 的定义域是),1(+∞-.
（1）2
2
)
1(21
)1ln(2)('x x x x x x f ++-++=
2
2
)
1(2)1l n ()1(2x x
x x x +--++=
.
设x x x x x g 2)1ln()1(2)(2
--++= 则x x x g 2)1ln(2)('-+=.
x
x x g +-=
12)]'('[.
当）上是增函数；在（时，
,01)(',0)]'('[01-><<-x g x g x
当0>x 时，.0)(',0)]'('[）上为减函数，在（∞+<x g x g
所以),0(0)(',0)0('0)('≠<==x x g g x x g 所以处有最大值，而在
函数在)(x g ),1(+∞-上是减函数.
当;)(,0)(',0)0()(01递增时，x f x f g x g x >=><<- 当递减时，)(,0)(',0)0()(0x f x f g x g x <=<>.
所以，函数)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，递减区间是),0(+∞.。