2015年高中数学导数小题压轴尖子生辅导(有答案)

高中数学导数压轴小题尖子生辅导
一．选择题（共30小题）
1．（2013•文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）
．C D．
，，即可求得结论．
，
．
2．（2013•乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）3
=
，
，
≤
3．（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象．C D．
，得
，得，
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
处的切线的斜率为
由题意可知，得
．
．
4．（2013•安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2
．解得．
，∴，
．．．D．解：∵
，
x）单调递增；
x=是函数）的极大值点，则，即
，即
∵
=
﹣（
6．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）
）满足
∴
时，dx
∴
∴
，∴
∴
7．（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）
8．（2014•海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒2
首先根据商函数求导法则，把[
在（
时，有恒成立，即[
在（
9．（2014•重庆三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
g（x）=，则g（）+=（）
，解得
）的对称中心为
∴，
）=2012
10．（2014•上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有
＞
，都有＞
+x
11．（2012•桂林模拟）已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则
12．（2012•河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）2
f=
x=时，函数取极大值
＜
x x
，）
∴
13．（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）
D．
或
14．（2012•太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），
只要比较
又∵=
∴
15．（2012•广东模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，且
y=
从而
y=
16．（2012•无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
，若有穷数列（n∈N*）的前n项和等于，则n等于（）
解：∵=
∴，即函数
，即，即
∴，即数列是首项为，公比的等比数列，
∴=
17．（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有
则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
在
]
），
∴
∴
18．（2013•文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D
．
＜
x==ln3=（
19．（2011•枣庄二模）设f′（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题：
①存在函数f（x），使函数y=f（x）﹣f′（x）为偶函数；
②存在函数f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同；
③存在函数f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称．
20．（2011•武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）
．C
的约束条件画出可行域，最后利用
==
=，∴＜
，所以＜
的代数式要考虑点
21．（2011•雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则+＞；④如果y=f（x）
或y=
=sinx+≥，当sinx=时取等号，而
或
，该函数在（+＞
22．（2011•万州区一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上
23．（2010•河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有，2
[
在（
恒成立，即[
在（
24．（2010•惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上
为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）
，当∈
25．（2010•黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则
的导数形式，再判断增减性，从而得到答案．
从而
单调递增，故
26．（2010•龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，f（x）g（x）
=a x，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）
．C D．
=
=
∴
∴
之间的概率是
27．（2010•成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范．C．
函数在区间（
]
28．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）
[][[
cos
cos+
，
∈[，]
）[，
）[，
29．（2009•天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成
30．（2009•陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x n的值．C D
××。