2015年高中数学导数小题压轴尖子生辅导(有答案)
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高中数学导数压轴小题尖子生辅导
一.选择题(共30小题)
1.(2013•文昌模拟)如图是f(x)=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是()
.C D.
,,即可求得结论.
,
.
2.(2013•乐山二模)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)3
=
,
,
≤
3.(2013•山东)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象.C D.
,得
,得,
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
处的切线的斜率为
由题意可知,得
.
.
4.(2013•安徽)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2
.解得.
,∴,
...D.解:∵
,
x)单调递增;
x=是函数)的极大值点,则,即
,即
∵
=
﹣(
6.(2013•辽宁)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()
)满足
∴
时,dx
∴
∴
,∴
∴
7.(2013•安徽)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)
8.(2014•海口二模)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有恒2
首先根据商函数求导法则,把[
在(
时,有恒成立,即[
在(
9.(2014•重庆三模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数
g(x)=,则g()+=()
,解得
)的对称中心为
∴,
)=2012
10.(2014•上海二模)已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
>
,都有>
+x
11.(2012•桂林模拟)已知在(﹣∞,+∞)上是增函数,则
12.(2012•河北模拟)定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)2
f=
x=时,函数取极大值
<
x x
,)
∴
13.(2012•桂林模拟)设a∈R,函数f(x)=e x+a•e﹣x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()
D.
或
14.(2012•太原模拟)已知定义在R上的函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,且x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立,(其中f′(x)是f(x)的导函数),a=(30.3)f(30.3),b=(logπ3).f(logπ3),
只要比较
又∵=
∴
15.(2012•广东模拟)已知f(x)为定义在(﹣∞,+∞)上的可导函数,且f(x)<f′(x)对于x∈R恒成立,且
y=
从而
y=
16.(2012•无为县模拟)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足,且f′(x)g(x)<f(x)g′(x),
,若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于,则n等于()
解:∵=
∴,即函数
,即,即
∴,即数列是首项为,公比的等比数列,
∴=
17.(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有
则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
在
]
),
∴
∴
18.(2013•文昌模拟)设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则|MN|的最小值为.C D
.
<
x==ln3=(
19.(2011•枣庄二模)设f′(x)是函数f(x)的导函数,有下列命题:
①存在函数f(x),使函数y=f(x)﹣f′(x)为偶函数;
②存在函数f(x)f′(x)≠0,使y=f(x)与y=f′(x)的图象相同;
③存在函数f(x)f′(x)≠0使得y=f(x)与y=f′(x)的图象关于x轴对称.
20.(2011•武昌区模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(﹣4)=﹣1,f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是()
.C
的约束条件画出可行域,最后利用
==
=,∴<