n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着重要的应用。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算n阶行列式的情况。
本文将介绍n阶行列式的计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用行列式的概念。
首先，我们来看n阶行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，可以表示为一个由n个元素构成的表达式。
在这个表达式中，每个元素都属于不同的行不同的列，并且每个元素都有一个符号因子。
符号因子的取值规则是，当元素的行标和列标的奇偶性不同时，符号因子为正；当元素的行标和列标的奇偶性相同时，符号因子为负。
通过这个规则，我们可以得到n阶行列式的表达式。
接下来，我们将介绍n阶行列式的计算方法。
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下步骤进行：1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的计算n阶行列式的方法。
该方法的核心思想是将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算。
具体步骤如下：对于n阶方阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式记作Aij，其计算公式为Aij = (-1)^(i+j) Mij，其中Mij为去掉第i行第j列后得到的n-1阶行列式。
利用代数余子式计算n阶行列式的公式为，|A| = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中a1j、a2j、...、anj为第j列的元素，A1j、A2j、...、Anj为对应元素的代数余子式。
通过代数余子式法，我们可以将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算，从而简化了计算的复杂度。
2. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的思想，可以用来计算n阶行列式。
该方法的核心思想是通过计算n阶行列式的各个元素的代数余子式，从而逐步简化问题规模，最终得到行列式的值。
具体步骤如下：针对n阶行列式，首先计算第一行（或第一列）的各个元素的代数余子式，然后利用代数余子式的值计算n阶行列式的值。
假设我们已经知道了n-1阶行列式的计算方法，那么我们可以利用n-1阶行列式的计算方法来计算n阶行列式。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算
a1a2 ...an
0 a1a2 ...an (1 1 / ai )
i 1
3
1、递推法
D 例1：计算行列式
2n
an cn an bn dn 0 0 c n 1 0 0 a n 1 0 0 a1 c1 b1 d1
bn
dn
解：D2 n
1 a1 Dn
ri r1
1 1 a2 1
... 1
... ...
1 1 , 其 中a1a 2 ...a n 0
... 1 a n
ai (i 1,...,n) 解 : 第一行的 (1)倍分别加到各行 i列提取公因子
1 a2 0 a1 a1
各列加到 第c一 列 a
r2 n ri c2 n ci
cn 0 0
( 1) 2 n 2 ( 1) 2 n 2
bn1
(andn bncn )D2( n1)
d n 1
(and n bncn )...(a1d1 b1c1 )
4
练习：计算下列行列式
x y 1. D y y y x y y y y x y y y y y x y
x y y y 答 ：x( x y ) ( x 2 y )[ ] x y x 2y x
2
0 1 2 3 1 0 1 2 2、Dn 2 1 0 1 3 2 1 0
2.
0
5
4、注意将公共因子提出 行列式外。
1
x a 8(2)计算行列式Dn a
a ... a x ... a a ... x
解 ： 将 第一行的 (1)倍分别加到各行 , 把行列式化为箭头型
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。
例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。
但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。
这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。
【关键词】n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法ISome methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinantthe mathematical induction adding the edge method目录1引言 (1)2 计算行列式的基础方法 (2)2.1利用行列式的定义来计算 (2)2.2化为三角形法 (3)2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列) (4)2.4逐行(列)处理 (5)3加边法 (6)4 展开 (8)5利用已知行列式公式计算法 (10)(1)三角形公式 (10)(2)范德蒙公式 (10)(3)爪型行列式公式 (11)(4)ab行列式公式 (13)6 数学归纳法 (13)7递推法 (16)8 拆项法 (18)9 利用多项式的性质 (21)10 利用矩阵分块理论 (21)1 乘法公式的应用 (22)2 定理2 (22)3 定理3 (23)11 小结 (25)参考文献 (26)致谢 (26)1引言行列式是研究线性代数的一个重要的工具，在线性方程组、矩阵、二次型中要用到行列式，在数学的其他分支里也常常要用到行列式。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
N阶行列式的几种常见的计算方法
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １２ｎ１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
ｎ－ １
１ ｘ１ － １ ｘ１ （ｘ１ － １） … ｘ１ （ｘ１ － １）
ｎ－ １
１ ｘ２ － １ ｘ２ （ｘ２ － １） … ｘ２ （ｘ２ － １） ＝
…… … … …
ｎ－ １
１ ｘｎ － １ ｘｎ （ｘｎ － １） … ｘｎ （ｘｎ － １）
# ２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ × （ｘｉ － ｘｊ ）－ １"ｊ＜ｉ"ｎ
·１２·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
将第一列的1倍加到其它各列得dn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn将此?列式拆分为两项得dnv200?01x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn2x1x2?xn1x1?xn111x2?xn12????1xn?xn1n100?01x11x1x11?xn11x111x21x2x21?xn12x21?????1xn1xnxn1?xn1nxn12x1x2?xn1jinxixjx11x21?xn11jinxixj2x1x2?xnx11x21?xn11jinxixj
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，通常用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 代数余子式法：代数余子式法是一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A的任意元素a_{ij}，求出它的代数余子式M_{ij}，即将第i行和第j列的元素划去，剩下的元素按原来的顺序排列成一个(n-1)阶矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。
2) 根据代数余子式的符号规律，得到每个代数余子式的符号。
即当i+j为偶数时，代数余子式的符号为正；当i+j为奇数时，代数余子式的符号为负。
3) 将每个代数余子式与对应的元素相乘，得到n个乘积，并将这些乘积相加，即可得到行列式的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种特殊的行列式计算方法，适用于线性方程组的求解。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]和一个n维向量B=[b_1，b_2，...，b_n]，假设该线性方程组的解存在且唯一，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A，计算它的行列式D。
2) 对于矩阵A的每一列，将向量B替换到对应的列下，形成一个新的矩阵A'。
然后计算新矩阵A'的行列式D'。
3) 行列式D'除以行列式D，即可得到线性方程组的解。
4. 特殊矩阵的行列式计算方法：对于一些特殊的矩阵，可以使用特定的计算方法来求解行列式。
常见的特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵等。
对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，然后计算对角矩阵的行列式。
对于三角矩阵，行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于反对称矩阵，行列式的值等于0。
行列式的计算方法包括代数余子式法、拉普拉斯展开法、克拉默法则和特殊矩阵的行列式计算方法。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的矩阵形式选择合适的计算方法，可以有效地计算行列式的值。
试举例说明行列式的计算方法
L L L L L L L
a1n L a kn L ain L a nn
三 :
a i1 + a k 1 L ai1 L a n1
rk ri
ri + rk
a11 L a k1 = L a i1 L a n1
a12 L an2 L ai2 L an2
L L L L L L L
a1n L a kn L a in L a nn
:
= a + ( 1)
n
n +1
( 1) a
n
n2
= a a
n
n2
逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn 与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关 系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn －2等结构相同），再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法。
例4： 证明
三 :
x 0 Dn = L 0 an
i i
n
②
三 :
①与②除去符号外，具有相同的数值， 但排列 i1 L ii L ik L jn 与 i1 L ik L ii L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶 性． ①、②的符号相反，即①+②=0．
jn
三 性质5 性质 :行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得． 性质6 性质 :把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得． 性质7 性质 :对换行列式中两行（列）位置，行列式反号． 证：
1
L a njn 的符号为 ( 1) N ( j1 j2 L jn ) 2
(不算元素本
身所带的符号); (3) 一阶行列式 | a |= a, 不要与绝对值记号相 混淆.
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法
行列式是一个数学概念，它表示一个方阵的特征值的乘积减去另一种特征值的乘积的结果。
计算 n 阶行列式的方法有多种，常用的方法有展开法和化简法。
一、展开法：
1. 选择任意一行或一列作为基准行或基准列。
2. 按照基准行或基准列上的元素依次乘以所对应的代数余子式，即行列式中除此行此列的元素所组成的子行列式。
3. 正负交替地将乘积结果相加，得到最终的行列式的值。
二、化简法：
1. 利用行列式的性质进行化简，如行列式的性质之一：行列式与转置行列式相等。
2. 利用行列式的性质进行行变换或列变换，将行列式转化为更容易计算的形式，如将行列式进行行变换，将某一行的倍数加到其他行上。
3. 重复进行行变换或列变换，直到行列式化简为上三角行列式或下三角行列式。
4. 上三角行列式或下三角行列式的计算方法为将主对角线上的元素相乘，得到最终行列式的值。
需要注意的是，计算 n 阶行列式较为繁琐，因此在实际计算时可以利用计算机软件或在线工具进行计算，以提高准确性和效率。
n阶行列式的若干计算方法
n 阶行列式的若干计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ijji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
矩阵的行列式的计算公式
矩阵的行列式的计算公式
矩阵的行列式是一个非常重要的概念，在线性代数中有广泛应用。
行列式是一个标量，可以用来判断矩阵的行列关系以及矩阵的可逆性。
矩阵的行列式计算公式如下：
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算公式为：
det(A) = ∑(-1)^(i+j) * A(ij) * M(ij)
其中，i、j为行列式中的第i行第j列元素；A(ij)为该元素的值；M(ij)为该元素的代数余子式。
代数余子式的计算公式为：
M(ij) = (-1)^(i+j) * det(Aij)
其中，Aij为划去矩阵A的第i行第j列后得到的n-1阶子阵。
在计算行列式的过程中，我们可以选择任意一行或一列进行展开，然后递归地计算每个元素的代数余子式，并将其相加。
例如，对于一个3阶方阵A，我们可以选择第一行进行展开，得到：
det(A) = A(11) * M(11) - A(12) * M(12) + A(13) * M(13) 其中，M(11) = det(A22)*det(A33) - det(A23)*det(A32)，M(12) = det(A21)*det(A33) - det(A23)*det(A31)，M(13) =
det(A21)*det(A32) - det(A22)*det(A31)。
将每个元素的值和其对应的代数余子式代入公式中，即可计算出行列式的值。
需要注意的是，行列式的计算复杂度为O(n!)，当n较大时，计
算量会非常大。
因此，在实际计算中，我们通常会采用LU分解、高斯消元等方法，来求解矩阵的行列式。
线性代数1-3 n阶行列式的计算
311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解： 将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章 行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1
xy2
x
0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y
xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章 行列式
Dn Dn1 2n
第一章 行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )
0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章 行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.
行列式的计算法则
行列式的计算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域都有重要应用。
行列式的计算法则是指在给定一个n阶方阵时，如何通过一定的规则来计算其行列式的值。
本文将介绍行列式的计算法则，包括展开定理、性质与性质的应用、克拉默法则等内容。
一、展开定理对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过展开定理来进行。
展开定理的基本思想是将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合。
具体来说，对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式来表示：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n其中，a11, a12, ..., a1n分别为矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别为a11, a12, ..., a1n对应的代数余子式。
代数余子式的计算可以通过递归的方式来进行，即将n阶方阵的行列式表示为n个n-1阶子式的线性组合，直至计算到1阶方阵的行列式为止。
二、性质与性质的应用在行列式的计算中，有一些性质可以帮助简化计算过程。
这些性质包括行列式的转置、行列式的倍乘、行列式的相加等。
具体来说，对于一个n阶方阵A和一个标量k，有以下性质：1. 行列式的转置：det(A^T) = det(A)2. 行列式的倍乘：det(kA) = k^n det(A)3. 行列式的相加：det(A + B) ≠ det(A) + det(B)这些性质可以在实际计算中帮助简化行列式的计算过程，特别是在展开定理的应用中。
通过这些性质，我们可以将一个复杂的n阶方阵的行列式计算简化为一系列简单的步骤，从而提高计算效率。
三、克拉默法则在线性代数中，克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
具体来说，对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A为一个n阶方阵，b为一个n维列向量，x为一个n维未知向量，如果A的行列式不为0，那么方程组有唯一解，并且可以通过以下公式来表示：xi = det(Ai) / det(A)其中，Ai是将A的第i列替换为b得到的新矩阵，det(Ai)为新矩阵的行列式。
习题课：n阶行列式的计算
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
特征题4. “三线型”行列式. 除某一行，某一列以及对角 线（或次对角线）元素非零歪，其余元素均为 0的行列式， 主要求法是化为三角形行列式计算. 例4:
a0 1 Dn 1 1 1
n
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 (ai 0) an
1 n 答案：(a0 ) ai i 1 ai i 1
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
x2 x2 m x2
xn xn xn m
xn m)
答案 : Dn (m)n1 ( x1
特征3：“两条线型”的行列式，直接展开降阶. 例3.
a1 Dn
b1 a2 b2 an 1 bn 1 an
bn
答案：Dn a1a2
an (1) b1b2
n1
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
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n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。
性质3用数k 乘行列式的某一行(列),等于用数k 乘此行列式,即kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n ===⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121112112121112111。
第i 行(列)乘以k ，记为k r i ×(或k c i ×)。
推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。
性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21221111211+++=。
则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。
性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。
例4计算x a a ax a a a x D n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯=。
解xa a a x a a n x D n r r r n ⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯111])1([)(21−+=+++a x a x a n x −−−+=⋯⋮⋮⋮⋯⋯0000111])1([1)]()1([−−−+=n a x a n x 例5一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =−=⋯则称n D 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =−知ii ii a a =−，即0,1,2,,ii a i n==⋯故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n n n n nn na a a a a a D a a a a a a −=−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由行列式的性质TDD =1213112232132331230000n n n n n n na a a a a a D a a a a a a −−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a −=−−−−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)n nD =−当n 为奇数时，得n n D D −=，因而得0=n D 。
4．利用行列式按行（列）展开=+++jn in j i j i A a A a A a ⋯2211),,2,1,(0n j i ji ji D⋯=⎩⎨⎧≠=例6计算1314211311023351−−−−−=D 。
解34012113110272016−−−−=D 3411127216)1(23−−−−=+5517520)1)(1(1071125020)1(22−=−−−=−−−=+5．利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素11a ，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘111a 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难。
）（2）对第一行分别乘13121,,,n a a a −−−⋯加到第n ⋯,3,2行对应元素上去；（目的：第一列11a 以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素13121,,,n a a a ⋯以下的元素全部化为零。
这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素),2,1(,n i a ii ⋯=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。
例7计算1314211311023351−−−−−=D 。
解1192101110160551003351−−−−−=D 11103200112033515−−−−=1120320011103351)5(−−−−−=1300320011103351)5(−−−−−−=211000320011103351)5(−−−−−=55−=6．利用递推公式递推公式法：对n 阶行列式n D 找出n D 与1−n D 或n D 与21,−−n n D D 之间的一种关系——称为递推公式（其中,n D 21,−−n n D D 等结构相同），再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法。
例8证明1221100001000001n n n n x x D x a a a a a x−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n −−−=+++++≥⋯证明：将n D 按第1列展开得12321100001000001n n n n x xD x x a a a a a x −−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11000100(1)001n nx a x +−−+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1n n a xD −=+由此得递推公式：1n n n D a xD −=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD −−−=+=++212n n n a a x x D −−=++111n nn n a a x a x x −−==++++⋯⋯7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式范德蒙行列式111121122122211211111−−−−−−−=n n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x D ⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯⋯∏≤<≤−=ni j j i x x 1)(例9计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x −−−−−−+++=++++++⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥−−−==−∏⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯8．利用加边法计算n 阶行列式加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例10计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：1100nn na a D D =⋯⋮1211002,,1100100n i a a a x i n xx−=+−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第行减第1行（箭形行列式）12110000000njn j a a a a xx x x=+=∑⋯⋯⋯⋯11n j nj a x x =⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑9．利用数学归纳法例11计算n 阶行列式1221100001000001n n n n x x D x a a a a a x−−−−=−+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：用数学归纳法.当n =2时212211()x D x x a a a x a −==+++212x a x a =++假设n =k 时，有12121k k k k k kD x a x a x a x a −−−=+++++⋯则当n =k+1时，把1+k D 按第一列展开，得11k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a −−+=+++++⋯12111k k k k k x a x a x a x a +−+=+++++⋯由此，对任意的正整数n，有12121n n n n n nD x a x a x a x a −−−=+++++⋯10．利用拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例12计算行列式n D =11212212n nn na a a a a a a a a λλλ+++⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯解：n D =1212212n n n n a a a a a a a a a λλ++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯1222000n n n na a a a a λλλ+++⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯122000n nna a a a λλ=⋯⋯⋮⋮⋯⋮⋯11n D λ−+1211n n a D λλλ−=+⋯……1211ni n i i a λλλλ=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑⋯上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。