《振动力学》作业资料(含答案解析)
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
令 引起的静变形为 ，则有：
，即
令 + 引起的静变形为 ，同理有：
得：
则系统的自由振动可表示为：
其中系统的固有频率为：
注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得：
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
和 相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
利用 和 可得：
1.4在图E1.4所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有频率。
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：
振动力学课后答案
1.8 图示为一周期性方波。
（1）将它展成傅里叶级数；（2）比较（1）的级数与例1.1中的级数，你观察到方波相位前移1/4周期时有什么效应？ 解：一个周期内函数P(t)可以表示为()P P t P ⎧=⎨-⎩ 由于区间[0，T]内()P t 关于2T堆成，一周内面积为0，故0a =0。
()2cos t Tn t ta x n tdt T ω+=⎰320223022cos cos cos p n tdt n tdt n tdt πππωωωππωωωωωωπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰322203022sin sin sin p n n n n n n πππωωωππωωωωωωπωωω⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦040Pn π⎧⎪=⎨⎪⎩ ()2sin t Tn t tb x n tdt T ω+=⎰320223022sin sin sin p n tdt n tdt n tdt πππωωωππωωωωωωπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰322203022cos cos cos p n n n n n n πππωωωππωωωωωωπωωω⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎣⎦= 0 ∴图示方波的傅里叶级数展开式为：()11,3,41sin()cos 2nt n n n P P a n t n t nπωωπ===+=∑∑ 0411(cos cos 3cos 5)35P t t t ωωωπ=+++ 比较例1.1，可以得到：相位前移1/4周期后，傅里叶级数的每一项函数由奇函数变为偶函数，但各分量的幅值不变。
320,22322t t t πππωωωππωω<<<<<<n n 为奇数为偶数2.8 求图所示的系统的固有频率，其中钢丝绳的刚度为k 1.滑轮质量忽略不计。
解：对于系统，钢绳等效为弹性系数为k 1的弹簧。
则每个弹簧的变形分别为：11mg k λ=224mg k λ= 334mgk λ=总变形12312344mg mg mgk k k λλλλ=++=++系统等效刚度为： 12323131244e k k k mgk k k k k k k λ==++系统的固有频率为：n ω==2.27 一个有阻尼的弹簧质量系统，质量是10Kg ，弹簧静伸长时1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm 减至0.16cm ，求阻尼系数c 。
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
振动习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x tx t x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=&xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I MI 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
振动力学习题集含答案
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
2.4在图E2.4所示系统中，已知m， ， ， 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4
解：
取坐标轴 和 ，对连接点A列平衡方程：
即：
（1）
对m列运动微分方程：
即：
（2）
由（1），（2）消去 得：
图E2.7
解：
，
s=1时共振，振幅为：
（1）
远离共振点时，振幅为：
（2）
由（2）
由（1）
， ，
故：
2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
图E1.9答案图E1.9
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图E1.12
解：
平面在液体中上下振动时：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
2.9如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
振动力学习题集含答案
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
，
，
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
振动力学课程作业
《振动力学》2015春节学期作业一、无阻尼自由振动1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w,机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当①=0时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。
2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。
在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。
求该系统的固有频率。
（忽略刚性杆件和弹簧的质量）（答案：①喈喘一D）（答案：①=)3、如图所示，悬臂梁长为L,截面抗弯刚度为EI,梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚 度为k ，求系统的固有频率。
4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有 角频率。
（答案：①）君篇5、如图所示，抗弯刚度为EI = 30义106（N ・m 2）的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为k = 300（N / m ）。
忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为W = 1000（N ）的物块自由振动的周期。
（答案:T=0.533s ）借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。
每根柱子的长为L,抗弯刚度为 EI 。
试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。
（管柱的质量忽略不计） 6、一个重W 的水箱， （答案：）（答案：T = 2)1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数c '：在弹簧上悬挂一薄板A ,先测出薄板在空气中 的振动周期J 然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期「设液体对薄板的阻力等于2A c ′ -其 中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。
如薄板重W ，试有测得的数据T 和T 2，求出粘性系数c 。
空 气对薄板的阻力不计。
»2 冗 W 二~~—（答案：C ’二祈口22 一 T ：）12（答案：196Ns/m ）3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。
《振动力学》作业资料(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学各章作业题解（）
振动⼒学各章作业题解（）第02章单⾃由度系统的振动2.1 ⼀根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简⽀架，两⽀承间跨度l 1=2m ，⼀端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的⾃由振动频率。
【提⽰：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=，11.77n st gk gQ ωδ=== 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?，A 端与B 端由弹簧⽀承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所⽰。
略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1⽶处，重为Q =4900 N 的物块⾃由振动的周期。
【解法1：通过计算静变形求解。
A ，B 弹簧受⼒为3Q 和23Q，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ??--==?。
周期为：1222 1.08nT gδδππω+===s 。
解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。
A ，B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产⽣单位变形需要的⼒，利⽤解法1中计算的静变形结果）195k k =；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =；总等效刚度为：12111eq k k k =+。
周期为22 1.08neqQT gk ππω===s 。
】 2.4 ⼀均质刚杆重为P ，长度为L 。
A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在⽔平位置时平衡。
弹簧质量不计，求杆在竖直⾯内旋转振动时的周期。
【解：利⽤定轴转动微分⽅程：21()32st P l l P k a a g ??δ=-- ，2st lk a P δ=，得：22103P l k a g+= ， 222/3223n Pl g l PT ka a gkπππω===】题 2-1 图BAQl 1 l 2题 2-2 图2m1mQkkAB 题 2-4 图lakA CB2.8 ⼀个重为98 N 的物体，由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧⽀承着（简化为标准m-k-c 振动系统），在速度为1 cm/s 时其阻⼒为0.98 N 。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学参考答案
得
c 3ka 2 0 m ml 2 3ka 2 ml 2
1 1 1 k1 2 a 2 k 3 2 b 2 k 2 2 l 2 2 2 2
2 pn
所以，有 2-7
k1 a 2 k 3b 2 k 2 l 2 p I O m1 a 2 m2 l 2
mg k
其中 为两根杆的静形变量，由材料力学易知
2-3 求题 2-3 图中系统的固有频率，悬臂梁 端点的刚度分别是 k1 和
=
mgh 24 EJ
24 EJ k = h3
3
k3
，悬臂梁的质量忽略不
计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为 k1 和 k3 的弹簧，因此，k1 与 k2 串联，设总刚度为 k1 ˊ。 k1 ˊ与 k3 并联，设总刚度为 k2 ˊ。k 2 ˊ与 k4 串联，设总刚度 为 k 。即为
2 pn n2
2 pn
k 48020 24.01 x 0 x 0.03 m 2000 ，0 ，0 m/s。
故通解为
x e nt (C1 cos pd t C2 sin pd t )
其中，
pd
2 pn n 2 4.875
。
（代入初始条件，当 t=0 时，x=0, c1 =0 c2 x
2 2
，求系统的固
有频率。
解：设曲臂顺时针方向转动的
角为广义坐标，
系 统 作 简 谐 运 动 ， 其 运 动 方 程 为
s i np (n t )
T
。
很小，系统的动能为
1 1 1 2 m1 (a ) 2 m2 (l )2 I O 2 2 2
振动力学习题集
《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn = 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。
求系统的固有频率。
图解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn = 和U T =可得：()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学参考答案
请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则 =设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： 其中2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为，，2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中、和是mg k δ=δδ324mgh EJ =k 324EJ h "m x kx =-3n 24mh EJ p =2aah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθg h a l ga h l p T n 3π23π2π222===1k 3k 21211k k k k k+='212132k k kk k k ++='4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1J 2J 3J θF sin α2θαFhmgθF三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。
振动力学参考答案
代入初始条件，得
kb ca 2 ml 4m 2l 4
2
2
4
C1 x0 0, C 2
1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2 2-10 如题 2-10 图所示，质量为 2000 kg 的重
物以 3 cm/s 的速度匀速运动， 与弹簧及阻尼器相 撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m， c =1960 Ns/m，问重 物在碰撞后多少时 间达到 最大振 幅 ? 最大振幅是多少? 解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动 微分方程为
得
c 3ka 2 0 m ml 2 3ka 2 ml 2
1 1 1 k1 2 a 2 k 3 2 b 2 k 2 2 l 2 2 2 2
2 pn
所以，有 2-7
k1 a 2 k 3b 2 k 2 l 2 p I O m1 a 2 m2 l 2
2 n
2-6
如题 2-6
图所示，刚性曲臂 绕支点的转动惯量 为
I0
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转 动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间 的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
1 1 11 1 x x 2 m2 x 2 m2 r 2 I T m1 x 2 2 22 2 R2 r
总能量
m
O
(F ) 0
，
k1 1a m1 ga k3 3b k 2 2 l 0
2-8
一长度为 l、 质量为 m 的均质刚性杆铰
（A） 由题意可知，系统势能为
V
接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数
《振动力学》习题集(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学(部分)课后答案 (刘延柱 著) 高等教育出版社
= ωn x 和 T = U 可得： 利用 x
ωn =
3(2m + m1 )g 2(3m + m1 )l
1.2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点 系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。
k
A a R C
T= k 2 和 k3 相当于串联，则有：
1 2 Jθ 2
θ = θ 2 + θ3 , k2θ 2 = k3θ 3
以上两式联立可得：
θ2 =
系统的势能为：
k3 k2 θ , θ3 = θ k 2 + k3 k 2 + k3
U=
1 2 1 1 1 ⎡ k (k + k3 ) + k2 k3 ⎤ 2 k1θ + k2θ 22 + k3θ32 = ⎢ 1 2 ⎥θ 2 2 2 2⎣ k 2 + k3 ⎦
+ (k1 + k2 )x + (c1 + c2 )x = k1 x + c1 x m x + cx + kx = k1 A1 sin ω1 + c1 A1ω1 cos ω1t m x c = c1 + c2 ， k = k1 + k2 ， ωn =
（1）的解可参照释义（2.56） ，为： （1）
k
θ
图 E1.2
解： 如图，令 θ 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T=
1 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 3 2 I Bθ = ⎜ mR 2 + mR 2 ⎟θ = mR 2θ 2 2⎝ 2 4 ⎠
《振动力学》习题集(含标准答案)
《振动力学》习题集(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T &&+=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T &&&+=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω=&和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ωml m 1 x1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ&&&mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn =&和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ωkk A Ca R θ1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ&J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn =&和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ωkk 2 kJ1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
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《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
求固有频率。
图E1.4答案图E1.4解：对m 进行受力分析可得：33x k mg =，即33k mgx =mg ba a F +=2x x 2如图可得：()()22221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212221212110++=+-+='+=()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0321222123011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=则等效弹簧刚度为：()()2123223123212k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：()()()[]222132212321bk a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ω1.7 质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图E1.7所示。
确定系统由此产生的自由振动。
图E1.7答案图E1.7解：对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：211121v m gh m =，即gh v 21=对整个系统由动量守恒可得：()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22110+=令2m 引起的静变形为2x ，则有：22sin kx g m =α，即kg m x αsin 22=令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：()kg m m x αsin 2112+=得：kg m x x x αsin 12120=-=则系统的自由振动可表示为：t xt x x n nn ωωωsin cos 00 +=其中系统的固有频率为：21m m kn +=ω注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：t v t x x n nn ωωωsin cos 00-=1.9 质量为m 、长为l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图E1.9所示。
以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。
若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：l l c a a k I ⋅-⋅-=θθθ， 231ml I =033222=++θθθka cl ml ， 223ml ka n =ωn ml cl ξω2322=， 32 1123mkl a c m c n <⇒<⋅=ωξa a k lmg ⋅=⋅02θ， 202ka mgl=θl c1.12 面积为S 、质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。
作用于薄板的阻尼力为Sv F d 2μ=，2S 为薄板总面积，v 为速度。
若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。
求系数μ。
图E1.12解：平面在液体中上下振动时：02=++kx x S xm μ2T m k n πω==， dn d T πξωω212=-=n n m S m S ωμξξωμ=⇒= 22， kS 222μξ=kS k 2221μξ-=-2020220222T T T ST mk S k T T d dd -=⇒-=πμμππ2.1 图E2.2所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。
求系统动力学方程和稳态响应。
图E2.1答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)解：等价于分别为1x 和2x 的响应之和。
先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：()()x c x k x c c x k k xm 112121+=++++ t A c A k kx x c xm 1111111cos sin ωωω+=++（1）21c c c +=，21k k k +=，mk k n 21+=ω （1）的解可参照释义（2.56），为：x k 2x2 (11x k - )11x xc -1()()()()()()()22211111222111121cos 21sin s s t kA c s s t kA k t Y ξθωωξθω+--++--=（2）其中：n s ωω1=，21112ss tg -=-ξθ ()()()212122122122112121k k c c k k k k c s ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+ωωξ()()()()()21212212212122112122121222 121k k c c m k kk k c c k k m s s +++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-ωωωωξ故（2）为：()()()()()()()()211212212212121212112122122121111111111sin cos sin θθωωωωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=t c c m k kc k A c c m k k t A c t A k t x()()m k k c c tgk k m k k c tg s s tg 2121121121212111211112ωωωωξθ-++=+-+=-=--- 11112k c tg ωθ-=考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-++=--=∑i i i i i i i ii i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω12212112122212221222sin2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。
已知，︒=30α，m =1 kg ，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
图 T 2-1答案图 T 2-1解：0sin kx mg =α，1.049218.91sin 0=⨯⨯==kmg x αcm70110492=⨯==-m k n ωrad/st t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm2.2 如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。
求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
图 T 2-2答案图 T 2-2解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：W 2W 1tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=2.4 在图E2.4所示系统中，已知m ，1k ，2k ，0F 和ω，初始时物块静止且两弹簧均为原长。
求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：()0sin 012211=+-+-t F x x k x k ω即：()t F x k x k k ωsin 022121+=+（1）对m 列运动微分方程：()1222x x k xm --=即：12222x k x k xm =+ （2）由（1），（2）消去1x 得：x k)1x x k - 2xm (2k2t k k kF x k k k k xm ωsin 2120221212+=++（3）故：()21212k k m k k n +=ω由（3）得：()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=t t k k m k F t x n n n ωωωωωωsin sin 22212022.5在图E2.3所示系统中，已知m ，c ，k ，0F 和ω，且t =0时，0x x =，0v x= ，求系统响应。
验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
图E2.3解：()()()θωωωξω-++=-t A t D t C e t x d d t cos sin cos 0()()2220211s s kF A ξ+-⋅=，2112sstg-=-ξθ ()θθcos cos 000A x C A C x x -=⇒+==t ω()()()()θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--t A t D t C et D t C e t x d d d d td d t sin cos sin sin cos 000()ddd A Cv D A D C v xωθωωξωθωωξωsin sin 00000-+=⇒++-==求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。