曲线积分与曲面积分习题与答案

第十章 曲线积分与曲面积分

(A)

1．计算()⎰+L

dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。

2．计算⎰

+L

ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。

3．计算()⎰+L

ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，

()π20≤≤t 。

4．计算⎰+L

y x ds e

2

2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一

角限所围成的扇形的整个边界。

5．计算⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+L ds y x 34

34，其中L 为摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限的一段弧。

6．计算

⎰

+L

ds y

x z 2

22

，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。

7．计算⎰L

xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。

8．计算⎰-+L

ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线

段AB 。

9．计算()⎰-+++L

dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直

线。

10．计算()()⎰---L

dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()

t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：

11．计算()()⎰-++L

dy x y dx y x ，其中L 是：

1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；

2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

12．把对坐标的曲线积分()()⎰+L

dy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其

中L 为：

1）在xoy 平面沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。 13．计算

()()

⎰-+-L

x x

dy mx y e dx my y e

cos sin 其中L 为()t t a x sin -=，

()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。

14．确定λ的值，使曲线积分()()

⎰

-++-βα

λλdy y y x dx xy x

4214

564与积分路径

无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。

15．计算积分()()⎰++-L

dy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和x

y =2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。

16．利用曲线积分求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =所围成的图形的面积。 17．证明曲线积分()()

()

()⎰

-+-4,32

,12232

366dx xy y x dx y xy

在整个xoy 平面与路径

无关，并计算积分值。

18．利用格林公式计算曲线积分

()()

⎰-+-+L

x x dy ye x x dx e y x xy x xy

2sin sin 2cos 222

，其中L 为正向星形

线3

23

23

2a

y x =+()0>a 。

19．利用格林公式，计算曲线积分()()⎰-+++-L

dy x y dx y x 63542，其中L 为三顶点分别为()0,0、()0,3和()2,3的三角形正向边界。

20．验证下列()()dy y x Q dx y x P ,,+在整个xoy 平面是某函数()y x u ,的全微分，并求这样的一个()y x u ,，()()dy ye y x x dx xy y x y 128832322++++。

21．计算曲面积分()

⎰⎰∑

+dx y x 22，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平

面上方的部分。

22．计算面面积分()

⎰⎰∑

+--ds z x x xy 222，其中∑为平面和三坐标闰面所围

立体的整个表面。

24．求抛物面壳()

22

2

1y x z +=

()10≤≤z 的质量，壳的度为z t =。 25．求平面x z =介于平面1=+y x ，0=y 和0=x 之间部分的重心坐标。 26．当∑为xoy 平面的一个闭区域时，曲面积分()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,与二重积分

有什么关系？

27．计算曲面积分⎰⎰∑

++ydzdx xdydz zdxdy 其中∑为柱面122=+y x 被平面

0=z 及3=z 所截的在第一卦限部分的前侧。

28．计算

⎰⎰∑

++dxdy z dxdz y dydz x 2

22式中∑为球壳()()2

2

b y a x -+-

()22

R c z =-+的外表面。

29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积

()()()⎰⎰∑

++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中∑是

平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。

30．利用高斯公式计算曲面积：

1）⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，

a y =，a z =所围成的立体的表面和外侧。

2）()()⎰⎰∑

-+-xdydz z y dxdy y x ，其中∑为柱面122=+y x 与平面0=z ，3

=z 所围立体的外表面。

31．计算向理αρ

穿过曲面∑流向指定侧的通量：