八年级数学正方形拔高拓展题专项练习(20200710162331)

八年级数学正方形拔高拓展题专项练习

拓展： 1.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．，且EF 交正方形外角的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．

90AEF DCG 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证，所以．

AME ECF △≌△AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一

点”，其它条件不变，那么结论

“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论

“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A D

F

C G E

B 图1A D F

C G E B 图2A

D F

C G

E B 图3

绕正方形ABCD的中心O顺时

是全等图形，则当正方形A′OB′C′

2.如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′

针旋转的过程中．

（1）证明：CF=BE；

（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

3.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC,交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE=1cm，求BF的长。

4.如图，正方形ABCD 和直角△ABE ，∠AEB=90°，将△ABE 绕点O 旋转180°得到△CDF

（1）在图中画出点

O 和△CDF ，并简要说明作图过程（2）若AE=12，AB=13,求EF 的长。

5.边长为的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A,C 不重合）。连接BP,将BP 22绕点B 顺时针旋转90°得到BQ,连接QP,QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线于AD （或AD 的延长线）交于点F 。

（1）连接CQ ，求证CQ=AP

(2)设AP=x ，CE=y ，试写出y 与x 的函数关系式，并求当x 为何值时，（相似证明）

3

8CE BC （3）猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论。

6.问题背景：

如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件，易得

△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。

类比研究：

如图2，在正三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD,BE,CF两两相交与D,E,F三点（D,E,F 三点不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明。

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由。

（3）进一步探究发现，在（2）的条件下，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b,AB=c，请探

究a，b，C满足的

等量关系。