大学物理(上册)_电相互作用和静电场(7)
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2
q
dr r
r
o
R1 d V
(r R1 )
( R1 r R2 )
0
(r R2 )
取半径r，厚度dr的同心球壳为积分元
dV 4r 2dr
W
V R2 1 1 q 2 2 2 0 r E dV 0 r ( ) 4 r dr 2 R 1 2 2 40 r r
稳恒电场
静电场： 相对于观察者静止的电荷周围的电场
静电感应: 电荷瞬间宏观定向运动 介质极化: 电荷瞬间微观定向运动 只讨论实现 平衡后电场
0
有源 性质：
D dS
s
( S内)
q
有势（保守）
稳恒电场：
E dl 0
L
存在电荷宏观定向运动.（电流）
通过截面S的电流强度I不变 通过截面内各点电流密度 j 不变
电容器储能变化：
2 1 ' 2 1 V W C V CV 2 (C ' C ) 0 2 2 2
由功能原理：
A外 A W
V2 ' 1 A外 W A (C C ) V 2 ( C ' C ) ( C ' C )V 2 2 2 0 L 1 ' 2 ( C C )V ( r 1)V 2 0 b 2 ln a
dI qnu dS
I
q dI j n0 qnu dS
大小：通过与该点 E 垂直的单位截面的电流
方向：与
q的漂移运动方向（
I
E方向）相同
j
分布：电流线
其切向即 j 方向
R2 R1 80 r R1 R2 q2
q
R2
W
q
dr r
r
o
R1 d V
R2 R1 80 r R1 R2 q2
又：
q2 W 2C
由：
q2 q2 R2 R1 2C 8 0 r R1 R2
得：
R1 R2 C 40 r R2 R1
a , b , L ,r [例] 圆柱形电容器（
能量转换过程：
外力做功 电场能减少
对电源充电
F
C
Q
2）.断开电源 极板电量Q不变，电源不做功. 电容器储能变化
Q 2 Q 2 C 2V 2 1 1 W ( ' )0 ' 2C 2C 2 C C
r
b o a
L
由功能原理
CV 2 (C C ' ) 0 r L 2 ( 1 ) V 0 A外 W r ' b 2C ln a
能量转换过程： 外力做功 电场能增加
F
思考题：1. p254 9.9.3
插入电介质 不断开电源 断开电源
不变量
增大量
减小量
U , E C , q , D ,W
q , D
C
U , E ,W
2. 比较 p253 [例二]和 p266 9-41
对电子采用不同模型计算，结果数量级相同.
§ 9.10
?
第三篇 相互作用和场 第九章 电相互作用和静电场
第九章第七讲
本章共7讲
§ 9.9
静电场的能量
一. 电容器的能量 电容器（储能元件）储能多少？ 模型： 极板电量 板间电压
0
dq
0Q 0 U
q
将 Q 由负极移向 正极板的过程
Q
U
u
q
0
Q
储能 = 过程中反抗电场力的功.
0
dq
L
拉出介质层后：
2 0 r L b ln a
2 0 L C C b ln a
'
1）不断开电源 两板电势差= 电源端电压= V 保持不变， 什么量变化？ 怎么变？
F
C
V
极板电量变化:
Q C'V CV (C' C )V 0
有电荷回流电源 ， 电源做功：
A V Q V 2 (C' C ) 0
稳恒电流
空间电荷分布不变（流入= 流出），电场分布不变
一. 电流密度矢量
1. 电流的形成 传导电流 电流 运流电流 位移电流
载流子： 自由电子、正负离子、
电场
电子—空穴对、库柏对、 孤子…
金属导电的经典解释： 电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动. 频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动——漂移运动.
）
1. 保持与端电压 V 的电源连接.将介质层从电容器 内拉出，求外力的功. 2. 断开电源，将介质层拉出.求外力的功. 分析
b o a
共同点：电容器电容变化(变小)。
r
L
不同点： 保持与电源连接 V 不变，Q 可变.电源要做功； 断开电源 Q不变. 电源不做功.
b o a
解： 原电容：
C
r
漂移速率 u： 比较
104 103
m s 1
热运动平均速率： 102 103
m s 1
m s 1
电场传播速率：
3 108
由金属导电的经典解释（载流子q的漂移运动）表示 通过垂直于I 指向的截面 S 的电流强度：
Q qn S ut I qnu S t t
W 1 1 2 we 0 r E ED V 2 2
2 .电场能量
W we dV
V
V
1 1 EDdV 0 r E 2dV V 2 2
[例]用能量法推导球形电容器（ R1 .R2 . r ）电容公式
q
R2
解：设极板带电量
q
0
E
q 40 r r
q
Q
U
u
q
0
Q
计算：
q dA u dq dq C
A
电容器的能量:
dA
Q
0
q Q2 dq C 2C
Q2 1 1 2 W C ( U ) QU 2C 2 2
二.
电场能量
1.电场能量密度 以平行板电容器为例 C
0 r S
d
U Ed
1 1 0 r S 2 2 1 2 W C ( U ) E d 0 r E 2V 2 2 d 2
其疏密 j 大小
I
I 与 j 的关系：
dS
n
dI jdS jdScos j dS
I
S
dS
j
E
j dS
通过某截面的电流强度即电流密度 矢量 j 通过该面的通量.
3. 稳恒电流条件：穿过封闭曲面S的 j 通量为零
q
dr r
r
o
R1 d V
(r R1 )
( R1 r R2 )
0
(r R2 )
取半径r，厚度dr的同心球壳为积分元
dV 4r 2dr
W
V R2 1 1 q 2 2 2 0 r E dV 0 r ( ) 4 r dr 2 R 1 2 2 40 r r
稳恒电场
静电场： 相对于观察者静止的电荷周围的电场
静电感应: 电荷瞬间宏观定向运动 介质极化: 电荷瞬间微观定向运动 只讨论实现 平衡后电场
0
有源 性质：
D dS
s
( S内)
q
有势（保守）
稳恒电场：
E dl 0
L
存在电荷宏观定向运动.（电流）
通过截面S的电流强度I不变 通过截面内各点电流密度 j 不变
电容器储能变化：
2 1 ' 2 1 V W C V CV 2 (C ' C ) 0 2 2 2
由功能原理：
A外 A W
V2 ' 1 A外 W A (C C ) V 2 ( C ' C ) ( C ' C )V 2 2 2 0 L 1 ' 2 ( C C )V ( r 1)V 2 0 b 2 ln a
dI qnu dS
I
q dI j n0 qnu dS
大小：通过与该点 E 垂直的单位截面的电流
方向：与
q的漂移运动方向（
I
E方向）相同
j
分布：电流线
其切向即 j 方向
R2 R1 80 r R1 R2 q2
q
R2
W
q
dr r
r
o
R1 d V
R2 R1 80 r R1 R2 q2
又：
q2 W 2C
由：
q2 q2 R2 R1 2C 8 0 r R1 R2
得：
R1 R2 C 40 r R2 R1
a , b , L ,r [例] 圆柱形电容器（
能量转换过程：
外力做功 电场能减少
对电源充电
F
C
Q
2）.断开电源 极板电量Q不变，电源不做功. 电容器储能变化
Q 2 Q 2 C 2V 2 1 1 W ( ' )0 ' 2C 2C 2 C C
r
b o a
L
由功能原理
CV 2 (C C ' ) 0 r L 2 ( 1 ) V 0 A外 W r ' b 2C ln a
能量转换过程： 外力做功 电场能增加
F
思考题：1. p254 9.9.3
插入电介质 不断开电源 断开电源
不变量
增大量
减小量
U , E C , q , D ,W
q , D
C
U , E ,W
2. 比较 p253 [例二]和 p266 9-41
对电子采用不同模型计算，结果数量级相同.
§ 9.10
?
第三篇 相互作用和场 第九章 电相互作用和静电场
第九章第七讲
本章共7讲
§ 9.9
静电场的能量
一. 电容器的能量 电容器（储能元件）储能多少？ 模型： 极板电量 板间电压
0
dq
0Q 0 U
q
将 Q 由负极移向 正极板的过程
Q
U
u
q
0
Q
储能 = 过程中反抗电场力的功.
0
dq
L
拉出介质层后：
2 0 r L b ln a
2 0 L C C b ln a
'
1）不断开电源 两板电势差= 电源端电压= V 保持不变， 什么量变化？ 怎么变？
F
C
V
极板电量变化:
Q C'V CV (C' C )V 0
有电荷回流电源 ， 电源做功：
A V Q V 2 (C' C ) 0
稳恒电流
空间电荷分布不变（流入= 流出），电场分布不变
一. 电流密度矢量
1. 电流的形成 传导电流 电流 运流电流 位移电流
载流子： 自由电子、正负离子、
电场
电子—空穴对、库柏对、 孤子…
金属导电的经典解释： 电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动. 频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动——漂移运动.
）
1. 保持与端电压 V 的电源连接.将介质层从电容器 内拉出，求外力的功. 2. 断开电源，将介质层拉出.求外力的功. 分析
b o a
共同点：电容器电容变化(变小)。
r
L
不同点： 保持与电源连接 V 不变，Q 可变.电源要做功； 断开电源 Q不变. 电源不做功.
b o a
解： 原电容：
C
r
漂移速率 u： 比较
104 103
m s 1
热运动平均速率： 102 103
m s 1
m s 1
电场传播速率：
3 108
由金属导电的经典解释（载流子q的漂移运动）表示 通过垂直于I 指向的截面 S 的电流强度：
Q qn S ut I qnu S t t
W 1 1 2 we 0 r E ED V 2 2
2 .电场能量
W we dV
V
V
1 1 EDdV 0 r E 2dV V 2 2
[例]用能量法推导球形电容器（ R1 .R2 . r ）电容公式
q
R2
解：设极板带电量
q
0
E
q 40 r r
q
Q
U
u
q
0
Q
计算：
q dA u dq dq C
A
电容器的能量:
dA
Q
0
q Q2 dq C 2C
Q2 1 1 2 W C ( U ) QU 2C 2 2
二.
电场能量
1.电场能量密度 以平行板电容器为例 C
0 r S
d
U Ed
1 1 0 r S 2 2 1 2 W C ( U ) E d 0 r E 2V 2 2 d 2
其疏密 j 大小
I
I 与 j 的关系：
dS
n
dI jdS jdScos j dS
I
S
dS
j
E
j dS
通过某截面的电流强度即电流密度 矢量 j 通过该面的通量.
3. 稳恒电流条件：穿过封闭曲面S的 j 通量为零