人教版高中数学必修4课件全册课件
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高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-
α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.
2024版完整版高中数学必修一全册课件
完整版高中数学必修一全册课件目录•高中数学必修一概述•集合与函数概念•基本初等函数（Ⅰ）•函数的应用•空间几何体•点、直线、平面之间的位置关系01高中数学必修一概述包括集合的基本概念、集合间的关系与运算、函数的概念与性质等。
集合与函数概念包括指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图像与性质。
基本初等函数包括函数与方程、函数模型及其应用等，通过实例探究函数的性质与应用。
函数的应用教材内容与结构过程与方法通过观察、思考、探究、归纳等活动，培养学生的数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。
知识与技能掌握集合与函数的基本概念，理解基本初等函数的图像与性质，能够运用函数知识解决一些实际问题。
情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和热情，培养学生的数学素养和审美情趣。
教学目标与要求总结归纳定期对所学知识进行总结归纳，形成知识网络，便于记忆和提取。
通过大量的练习，熟练掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
课后复习及时复习巩固所学知识，独立完成作业和练习题，加深对知识点的理解和记忆。
课前预习提前阅读教材，了解本节课的知识点和重点难点，为听课做好准备。
课中听讲认真听讲，积极思考，及时记录重要知识点和解题方法。
学习方法与建议02集合与函数概念03元素与集合的关系属于、不属于。
01集合的概念集合是由一个或多个确定的元素所构成的整体。
02集合的表示方法列举法、描述法、图像法。
集合及其表示方法集合之间的关系与运算集合之间的关系子集、真子集、相等。
集合的运算并集、交集、补集。
集合运算的性质交换律、结合律、分配律等。
函数是一种特殊的对应关系，它使得每个自变量对应唯一的因变量。
函数的概念函数的表示方法函数的三要素解析法、列表法、图像法。
定义域、值域、对应法则。
030201函数及其表示方法1 2 3单调性、奇偶性、周期性等。
函数的性质解决实际问题，如最优化问题、数学建模等。
函数的应用通过函数可以研究方程和不等式的解的性质和范围。
人教版高中数学必修4-3.1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考课件
结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式
sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2
(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)
s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2
1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin
12 13
, cos
5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
人教A版高中数学必修四课件福建省福鼎市第二中学人教版1-4三角函数的图象与性质
(2)求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π ]的最大值和
最小值.
【解析】(1)由2sinx-1≥0得sinx≥又s1i,nx≤1，
2
∴≤1 sinx≤1，
2
∴ 2k x 2k 5 k Z.
6
6
答案：［2k ，2k 5］(k Z)
【规范解答】(1)选C.由题意可得 cos x 1 0,
2
即cosx≥如1图, 可知.
2
角的终边落在与之 间的 阴影部分
33
(包括边界).
故故2k选 C. x 2k , k Z,
3
3
(2)选A.画出函数y＝sinx的草图分析，当定义域为 ［5 ,13 ］
33
数，则ω 的取值范围是()
(A)［(B)3［，0-)3，0］
2
(C)((0D，)3(］0，3］
2
【解析】选A.方法一：由题意可知ω<0,
由x∈［得,ω, x］∈
33
［ , ］. 33
又∵函数在区间［上为 减, ］函数，
33
∴解得3
2
,
3
22
1.周期函数和最小正周期 (1)周期函数：对于函数f(x)的定义域中的每一个值x，都存在 一个_非__零__常__数__T，使得_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,则称f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期. (2)最小正周期：周期函数f(x)的所有周期中，最小的一个_正__ _数__.
= 2(sin x 1)2 7 ,
48
所以当时sin，x 1
4
ymin
人教A版高中数学必修第一册第四章4-4-3不同函数增长的差异课件
[学以致用] 1．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2， 3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝ log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有 的函数关系是( )
A．f 1(x)＝x2 C．f 3(x)＝log2x
探究建构
探究1 几个函数模型增长差异的比较 探究问题1 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
22
24
26
28
210
212
214
216
2
4
8
16
32
64
128
256
y＝log2x
2
4
6
8
10
12
14
16
探究问题2 观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？
x
20
24
28
210
214
220
y＝2x
2
216
2256
21 024
216 384
21 048 576
y＝x100
1
2400
2800
21 000
21 400
22 000
提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，
而且快很多．
[新知生成] 三种函数模型的增长差异
函数 在(0，＋∞) 上的增减性 图象的变化 趋势
反思领悟 常见的函数增长特点
一次函数
一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长特点是随着自变量的增 大，函数值保持固定的增长速度，即增长速度不变
指数函数
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
高中人教版数学必修4课件：1.3公式五和公式六
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边， θ
所以原等式成立．
(2)左边＝cocsoθssπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ ＝co－s sθisninθcθotasnθθ＝－tan θ＝右边， 所以原等式成立．
三角恒等式的证明策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边， 或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
[解] 原式
＝sinc－osα2π＋－2πα··－cossinπ2＋π2－αα·co·tsa2nπ2－2πα－ α
＝cos sin
αα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.
D．cosπ2＋θ
C [sin(π＋θ)＝－sin θ；sinπ2－θ＝cos θ；
cosπ2－θ＝sin θ；cosπ2＋θ＝－sin θ.]
2．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
C [sin 95°＝cos 5°，cos 175°＝－cos 5°， 故 sin 95°＋cos 175°＝0.]
2．若 α∈π，32π，则 1－sin232π－α＝(
)
A．sin α
B．－sin α
C．cos α
D．－cos α
B [∵sin32π－α＝－cos α，
又∵α∈π，32π，∴ 1－sin232π－α＝ 1－cos2α＝|sin α|＝－sin
α.]
3．计算：sin211°＋sin279°＝
.
[解]
由
2023新教材高中数学第4章数列等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册
得aa11＋ ＋1549dd＝ ＝82， 0，
解得a1＝6145， d＝145．
故a75＝a1＋74d＝1654＋74×145＝24．
法二
∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝
20－8 60－15
＝
4 15
，∴a75＝a60＋
(75－60)d＝20＋15×145＝24． 法三 已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差 为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30 ＝－3得n＝11，故ACD正确．]
3．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8
B．12
C．16
D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝2，a5＝8，得 aa11＋ ＋d4＝ d＝2， 8， 解得a1＝0，d＝2，所以a9 ＝a1＋8d＝16．故选C．]
[跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．
[解] 由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝54，所
以首项为
5 4
，公差为
2×54－1
数列的通项公式为an＝
5 4
＋(n－1)×14＝14n＋1，故其第2 022项为a2 022＝14×2 022＋1＝1 0213．
(2)求数列{an}的通项公式． [解] 由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝n2． ∵bn＝an－1 2， ∴an＝b1n＋2＝2n＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2．
2．(变条件)将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教版必修4
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝sin26 ＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
所以
cos2α＋π4
＝
22－2245－275＝－3150
2 .
类型三 给值求角问题 【例 3】 已知 tan α ＝13，tan β ＝－17，且 α，β ∈(0，π )，
求 2α－β 的值. 解 ∵tan α ＝13>0，
∴α ∈0，π2 ，2α ∈(0，π )， ∴tan 2α ＝12－tatnanα2α ＝1－2×13132＝34>0，
系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符
号.
【训练 2】已知 cosα
＋π4 ＝35，π2 ≤α
3π <2
，求 cos2α
＋π4
的值.
解
∵π2
≤α
3π <2
，∴3π4
≤α
＋π4
7π <4
，于是可由 cosα
＋π4
＝35得到 sinα ＋π4 ＝－45.即 22cos α － 22sin α ＝35，
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝sin26 ＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
所以
cos2α＋π4
＝
22－2245－275＝－3150
2 .
类型三 给值求角问题 【例 3】 已知 tan α ＝13，tan β ＝－17，且 α，β ∈(0，π )，
求 2α－β 的值. 解 ∵tan α ＝13>0，
∴α ∈0，π2 ，2α ∈(0，π )， ∴tan 2α ＝12－tatnanα2α ＝1－2×13132＝34>0，
系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符
号.
【训练 2】已知 cosα
＋π4 ＝35，π2 ≤α
3π <2
，求 cos2α
＋π4
的值.
解
∵π2
≤α
3π <2
，∴3π4
≤α
＋π4
7π <4
，于是可由 cosα
＋π4
＝35得到 sinα ＋π4 ＝－45.即 22cos α － 22sin α ＝35，
人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)
1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系 直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直 线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图 侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//
山东省高中数学《第一章 三角函数》归纳整合课件 新人教A版必修4
轴对称图形， 对 轴对称图形，对称轴方 称轴方程是 x＝ 中心对称图 π kπ，k∈Z；中心 形，对称中 程是 x＝kπ＋2，k∈Z； 对称性 kπ 对称图形， 对称 心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋ ，0 中心 心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋ 的图象( 6
π 2x－ 的图象， 3
)． π B．向右平移 个长度单位 4 π D．向右平移 个长度单位 2
π A．向左平移 个长度单位 4 π C．向左平移 个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是 复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】 函数 f(x)＝3sin
π 2x－ 的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利 用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函 数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】 求函数 y＝ sin x＋ 解 由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2， 如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
新教材高中数学4-2-1等差数列的概念第一课时等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册
an＋an＋2(n∈N )．
[对点练清]
1．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为
()
A．26 B．29 C．39 D．52
解析：因为5，x，y，z,21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21 的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y ＋z＝39.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q， 且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.② 将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
[方法技巧] 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝a＋2 c(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差 数列的判定或有关等差中项的计算问题．如要证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝
当 n＝1 时，S1＝b1＝32，满足上式，所以 Sn＝nn＋ ＋21. 所以 an＝Sn－Sn－1＝nn＋ ＋21－n＋n 1＝n＋1 1－n1(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝S1＝b1＝32≠－12，
32，n＝1， 所以 an＝n＋1 1－n1，n≥2，
答案：ACD
3. 已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为 ________． 解析：依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m ＋n＝6，故m与n的等差中项为3. 答案：3
知识点二 等差数列的通项公式 (一)教材梳理填空
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：C
[对点练清]
1．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为
()
A．26 B．29 C．39 D．52
解析：因为5，x，y，z,21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21 的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y ＋z＝39.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q， 且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.② 将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
[方法技巧] 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝a＋2 c(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差 数列的判定或有关等差中项的计算问题．如要证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝
当 n＝1 时，S1＝b1＝32，满足上式，所以 Sn＝nn＋ ＋21. 所以 an＝Sn－Sn－1＝nn＋ ＋21－n＋n 1＝n＋1 1－n1(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝S1＝b1＝32≠－12，
32，n＝1， 所以 an＝n＋1 1－n1，n≥2，
答案：ACD
3. 已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为 ________． 解析：依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m ＋n＝6，故m与n的等差中项为3. 答案：3
知识点二 等差数列的通项公式 (一)教材梳理填空
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 答案：C
高中数学 第三单元 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课件 新人教B版必修4.pptx
1－cos α 2，
1＋cos α 2，
(S )
2
(C )
2
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
.
(T )
2
8
题型探究
9
类型一 应用半角公式求值
例1
若π2＜α＜π，且 cos α＝－35，则 sin 2α＝
25 5
.
解析 因为 cos α＝1－2sin2α2，
答案
αα
α
tan2α＝ sin cos
2α＝
sin2·2cos α
2 cos2·2cos
2α＝1＋sincoαs 2
， α
α
αα
tan
2α＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
7 答案
梳理 正弦、余弦、正切的半角公式
sin α2＝ ± cos α2＝± tan α2＝±
sin α、cos α 都可以表示成 tan 2α＝t 的“有理式”，将其代入式子中，
从而可以对式子求值.
11
跟踪训练 1
若 tan θ2＋ 1 θ＝m，则 sin θ＝
2 m
.
tan 2
解析 因为 tanθ2＋ 1 θ＝m， tan2
即tanta2θ2n＋θ2 1＝m，所以tanta2θ2n＋θ2 1＝m1 ，
所以 2sin2α2＝1－c2os α＝45，
又因为π4＜2α＜π2，所以
sinα2＝2
5
5 .
解析 10 答案
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例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：
{ | k , k Z }
（2）、终边落在y轴上的角度集合：
{ |
（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：
2
k , k Z }k { | , k Z} 4 2
典型例题
例 1. 若α是第三象限的角，问α/2 是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?
k k Z
k k Z 2
一、角的基本概念
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: (2k<<2k+ 2 , kZ) <<2k+, kZ) (2 k + 第二象限角: 2 第三象限角: (2k+<<2k+ 3 , kZ) 2 第四象限角:
高中数学必修四课件全册 （人教A版）
2018年5月11日
知识网络结构
同角公式 诱导公式
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
任意角的 三角函数
两角和与差的 三角函数 二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
弧长公式与 扇形面积公式
三角函数的 图形和性质
y A sin x
1 3
三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别
y
O
2k ,2k k Z
y y
x
3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式
y
O
x
O
x
O
x
2k k Z
各个象限的半角范围可以用下图记 忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围；
例1 α α 设α 角是第二象限且满足｜ cos ｜ cos ， 2 2 α 则 角属于(C ) A.第－象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
180 1 rad 57.30
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
1 1 2 2 S r r l r 2 2 2
n n l 2 r r 180 360
n n 2 2 S r r 360 360
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度
20 1 360 480 60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） 2
（2） 3
评析： 在解选择题或填空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断.
四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
B
2r O r A
O r
A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可 以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的 度数和弧度数. 在书写时注意不要同时 混用角度制和弧度制 1 rad 180 180 1 rad 180
2、角度与弧度的互化
2 360
180
180 , 1弧度 ( ) 57.30 5718 1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0 30 45 60 90 120
6 4
3 2
S { | k 360 , k Z} （角度制） { | 2k , k Z } （弧度制）
（1）、 95012 19 （2）、 3
129 48
例1、求在 0 到 360（ 0到2 ）范围内，与下列各角终边相同的角
1.几类特殊角的表示方法
<<2k+2, kZ 或 2k- <<2k, kZ ) (2k+ 3 2 2
②轴线角 x 轴的非负半轴: =k360º (2k)(kZ); x 轴的非正半轴: =k360º +180º (2k+)(kZ); y 轴的非负半轴: =k360º +90º (2k+ 2 )(kZ); ) 或 y 轴的非正半轴: =k360º +270º (2k+ 3 2 =k360º -90º (2k- 2 )(kZ); x 轴: =k180º (k)(kZ); 坐标轴: =k90º ( k )(kZ). 2 y 轴: =k180º +90º (k+ 2 )(kZ);
正弦型函数的图象
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含 角在内）的集合为. k 360 , k Z （4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
o
负角
的终边
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。 二、象限角： 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。 注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。 三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：