那么称为矩阵的最高阶非零子式
秩的一些相关公式
秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()T r r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()m i n {(),()}r r r ≤A B A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论： 推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A , ()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
2021考研数学线性代数公式详解-矩阵
B
＝
l l I
．．．
l l －
BS
R叮 E
···
』 E 』
E
BE SE
则
B A 「
I
土
A
＋－
B
I
－－
l l
···
B A －
±
－
i
B R A A S r l ，， ＋····E寸－ V S F －BEll－－l
(2) 数与分块矩阵的乘法
II A11 A=I :
IIAsl
… AIr II
Il λ’＂A ·－11
k个
矩阵的事满足下列运算规律
AkAt=Ak+t ,(Ak)1=A*1
5. 矩阵的转盟
(1 ）定义 6
设
A
、EF＝ ，，．飞 G HYH m x n
r
t
t
－t t
t
nm向 ． ．．
12 a22 …
t t
am
am2 …
称
α 1 「
B I
n 叫
1
叫
2
－A Ta
，．‘、 a Hf－ 、‘，， n x m
＝t t t
(2）运算规律
1)结合律 λ（µ｝A=（λµ. ）A
2）分配律（λ ＋µ）A ＝ λA+µA ，λ（A+B）＝λA＋λB
3.矩阵与矩阵的乘法 (1）定义
设 A＝（马）时’B=(bij txn 则矩阵 A. B的乘积为AB=C=(cij)mxn ， 其
中cij=ail bli+ai2b2i ＋ … ＋%鸟 （i=I,2,··,m;j=1,2,···,n)
A n E’
1 I
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵的初等变
第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■初等变换的概念与性质■矩阵之间的等价关系■初等变换与矩阵乘法的关系■初等变换的应用■矩阵的秩■线性方程组的解重难点导学一、矩阵的初等变换1．初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．矩阵等价(1)定义①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（2）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（3）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个集合中形状最简单的矩阵．3．初等变换与矩阵乘法的关系（1）定理设A 与B 为m ×n 矩阵，则：①的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P ，使PA ＝B ；②的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q ，使AQ ＝B ；③A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ ＝B ．（2）初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A 是一个m ×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，等价于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，等价于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵．②方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1，P 2，…P l ，使A ＝P 1P 2…P l ．③方阵A 可逆的充分必要条件是.4．初等变换的应用当||0A ≠时,由12l A PP P = ,有11111l l P P P A E ----= 及111111l l P P P E A -----= 所以()()()1111111111111111|||l l l l l l P P P A E P P P A P P P E E A -------------== 即对n ×2n 矩阵()|A E 施行初等行变换，当把A 变成E 时，原来的E 就变成A -1．二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A～B，则R(A)=R(B).②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．2．秩的性质（1）0≤R(A m×n)≤min{m，n}（2）R(A T)=R(A)；（3）若A～B,则R(A)=R(B)；（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；（8）若A m×n B n×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.3．满秩矩阵矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．（2）若A m×n B n×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).。
向量组的秩
首页 上页 返回 下页 结束
1
铃
(一)、向量组等价 1。向量组等价的定义
（Ⅰ）A
结束
铃
∴ a4 = -3a1+0a2+ a3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例6．求向量组为 a1=(2, 4, 2) T，a 2=(1, 1, 0) T，a 3=(2, 3,1 ) T， a 4=(3, 5, 2) T的秩及它的一个极大线性无关组，并把其余向量 用此极大线性无关组线性表示 解： （1）∵A=（a1，a2，a3 ，a4） 2 1 2 3 2 1 2 3 初等行 = 4 1 3 5 0 1 1 1 =B 0 0 0 0 2 0 1 2 变换 ∴向量组a1，a 2，a 3 ， a 4的秩为2
一系列初 矩阵B， （1）可以证明：如矩阵A 等行变换 则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系 结论： ①矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系 ②矩阵的初等列变换不改变其行向量间的线性关系 （2）阶梯形矩阵B的列向量组的一个极大线性无关组是 其非0行首元对应的列向量构成的向量组
首页
上页
返回
首页
上页
返回
下页
结束
铃
最大无关组的意义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价 的．
用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向 量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向 量组来代表．
那么称为矩阵的最高阶非零子式
23
A的3阶子式只有一个 A 0,
因此 R(A)2.
B
在 B中，由于它是行阶梯形
A
2
0
0 0
2 4
1
3
0
0
0 1 0 0
3 7
5,
1
3 2 2 5
4 0
03
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
1 1 1 2
1 1 1 2
A3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
§4.3 矩阵的秩
一、子式
定义 在mn矩阵A中，任取k行与k列(km,k，n)
位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它们在
A中所处的位置次序而得到的 k阶行列式，称为 矩阵 A的 k阶子式.
例如
2 4 5 3 A3 6 4 2
4 8 17 11
D是 A的一个2阶
1 2 2 1 1
rrr42332rr22
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
5 1
r3
r4
5
r3
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
1 0
由此可见， R(A)2, R(B)3.
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
矩阵的秩课件
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
线性代数矩阵的秩
几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 秩
(a a2 a12
ij
) mn
a22
有n个m维列向量
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
~ A 初等行变换
知R( A) 3，
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 1
0 3
，
0 0 0 0 0
故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，
故 a1, a2 , a4 ,为列向量组的一个最大无关组.
事实上
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩．
定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩．
推论１ 等价的向量组的秩相等．
推论２ 设 C mn Ams Bsn ,则 R(C ) R( A), R(C ) R(B).
推论３（最大无关组的等价定义） 设向量组 B是向量组 A 的部分组，若向量组
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
3 5 2
0 0 0
R( A) 2 3,
故向量组 1, 2 , 3线性相关.
求向量组的最大无关组
例3 设矩阵
2 1 1 1 2
A
1 4 3
1 6 6
2 2 9
1 2 7
4 94
同济大学《工程数学—线性代数》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵的初等变换与线性方程组)
第3章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记一、矩阵的初等变换1．初等变换（1）定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：①对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；②以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；③把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．（2）矩阵等价①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（3）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（4）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵．2．初等变换的性质（1）定理设A与B为m×n矩阵，则：①的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B；②的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B；③A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ＝B．（2）初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．②方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…P l，使A＝P1P2…P l．③方阵A可逆的充分必要条件是.二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A 中当所有r ＋1阶子式全等于0时，所有高于r ＋1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R （A ）就是A 的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A ～B ，则()()R A R B =.②若可逆矩阵P ，Q 使PAQ ＝B ，则R （A ）＝R （B ）． 2．秩的性质（1）0R ≤(){}min ,;m n A m n ⨯≤ （2）()()T R A R A =；（3）若A ～B,则()()R A R B =；（4）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =；（5）()(){}()()()max ,,,R A R B R A B R A R B ≤≤+特别地，当B ＝b 为非零列向量时，有()()(),1R A R A b R A ≤≤+；（6）()()()R A B R A R B +≤+； （7）()()(){}min ,R AB R A R B ≤； （8）若m n n l A B ⨯⨯＝0，则()()R A R B n +≤. 3．满秩矩阵矩阵A 的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A 为n 阶矩阵，则()()R A E R A E n ++-≥. （2）若,m n n l A B C ⨯⨯=且()R A n =,则()()R B R C =. （3）设AB ＝0，若A 为列满秩矩阵，则B ＝0．三、线性方程组的解 1．解的定义设有n 个未知数m 个方程的线性方程组（3-1-1）该式可以写成以向量x 为未知元的向量方程：Ax ＝b ，其中，A 为系数矩阵，B ＝（A ，b ）称为增广矩阵，线性方程组（3-1-1）如果有解，就称它是相容的，如果无解，就称它不相容．2．解的判断（1）n 元线性方程组Ax ＝b①无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； ②有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； ③有无限多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.（2）n 元齐次线性方程组Ax ＝0有非零解的充分必要条件是()R A n <. （3）线性方程组Ax ＝b 有解的充分必要条件是()(),R A R A b =.（4）矩阵方程Ax ＝B 有解的充分必要条件是()(),R A R A B =. （5）设AB ＝C,则()()(){}min ,R C R A R B ≤．3.2 课后习题详解1．用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：解：（1）（2）（3）。
第2节 向量组的秩(全)
§2 向量组的秩回顾：矩阵的秩定义：在m×n 矩阵A中，任取k 行k 列(k≤m，k≤n),位于这些行列交叉处的k2 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A的k 阶子式。
规定：零矩阵的秩等于零。
定义：设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
结论：矩阵的秩= 矩阵中最高阶非零子式的阶数= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义1设向量组A中的一个部分组a, a2, …, a r ，满足1, a2, …, a r 线性无关；⑴a1⑵向量组A中任意r + 1个向量(如果有)都线性无关。
则称a, a2, …, a r 是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称1最大无关组)；最大无关组所含向量个数r 称为向量组A的秩，记作R(A)。
例：求矩阵的秩，并求A 的一个最高阶非零子式．21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--⎪-⎝⎭第二步求A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A 的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3 个非零行，故R (A ) = 3．21112112141121401110~46224000133697900000r A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0124211111(,,)~462367r A a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭0111011001000B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭01240111011(,,)~462001367000r A a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R (A 0) = 3，计算A 0的前3 行构成的子式21111180462-=-≠--因此这就是A 的一个最高阶非零子式。
线性代数(同济六版)知识点总结
0 a11a22...ann
副三角跟副对角相识
an1 an2 ... ann
对角行列式：
副对角行列式：
λ1 λ2
λ 1λ 2...λn
λn
6. 行列式的性质：
λ2
λ1
n ( n1 )
(1) 2 λ 1λ 2 λ n
λn
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
②互换行列式的两行（列），行列式变号。
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做 aij 的余子式，记为 Mij
代数余子式：记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理
a11 a12 (b1 j c1 j ) a1n
a21 a22 (b2 j c2 j ) a2n
an1 an2 (bnj cnj ) ann
a11 a12 b1 j a1n a11 a12 c1 j a1n
a21
a22
b2 j
a2n
a21
a22
c2 j
a2n
(3) ( A)T AT ; (4) ( AB)T BT AT .
设 A 为 n 阶方阵，如果满足
，即
，则 A 为对称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
矩阵秩的概念
定义4 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子
式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
1
1 1
2 2.
5 3 6
已知R(A)=2,求λ与μ的值.
解
A=
r2
3r1
1 0
1
3
1 2 4 4.
r3 5r1 0
8 5 4
1
r3 r2
0
0
因R( A) 2,故
1
3 5
1 4
1
2 4.
0
5 0
5,
1 0 即 1.
三、矩阵秩的性质
1. 0 R( Amn ) minm ,n.
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把它变为行阶梯形 问题：经过有限次初等变换, 矩阵的秩变吗？
定理3 若 A ~ B,则 RA RB.
线性代数判断题及其答案
线性代数判断题线性代数课程组判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ）2、行列式01111≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ）3、3阶行列式843576321的值等于行列式853472361的值. （ ） 4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ）5、行列式321332211321321321321333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ）6、行列式2211221122221111d b d b c a c a d c b a d c b a D +=++++=成立. （ ）7、行列式25434232124108684642⨯==D 成立. （ ）8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ）9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ）10、行列式25479623875156422547962356428751==D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ）12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ）13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ）14、行列式4444543225169454321111=D 是范德蒙行列式. （ ）15、克拉默法则可用于解任意的线性方程组. （ ）16、齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解. （ ）17、由n 个方程构成的n 元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解. （ ）18、行列式1694432111中第三行第二列元素的代数余子式的值为-2. （ ）19、设行列式3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则62525253332313123222121131211111=+++=a a a a a a a a a a a a D . （ ） 20、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则3222111=++c b a c b a . （ ）21、如果行列式D 有两列元素对应成比例，则0=D . （ ）22、设D 是n 阶行列式，则D 的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0，即03232223121=+++n n A a A a A a . （ ） 23、任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值. （ ） 24、任意一个矩阵都有主次对角线. （ ） 25、两个零矩阵必相等. （ ） 26、两个单位矩阵必相等. （ ）27、3阶数量矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001000000a a a a . （ ）28、若矩阵A≠0，且满足AB=AC ，则必有B=C. （ ） 29、若矩阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵. （ ）30、若矩阵A ，B 满足AB=BA ，则对任意的正整数n ，一定有（AB ）n=A n B n . （ ） 31、因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A 与B ，AB 的行列式||AB 与BA 的行列式||BA 也不相等. （ ） 32、设A 为n 阶方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2. （ ） 33、设A,B 都是三阶方阵，则B A B A +=+. （ ）34、同阶可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也可逆，且111)(---=B A AB . （ ） 35、若A ，B 都可逆，则A+B 也可逆. （ ）36、若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆. （ ） 37、若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆. （ ）38、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵. （ ） 39、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵. （ ）40、设A ，B ，C ，E 均为n 阶矩阵，若ABC=E ，可得BCA=E. （ ）41、如果A 2-6A=E ，则1-A = A-6E. ( )42、设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2531，则A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1532. ( )43、设A 是n 阶方阵，且1=A ，则115)5(---=n T A . （ ）44、分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的. （ ）45、由单位矩阵E 经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. （ ） 46、矩阵的等价就是指两个矩阵相等. （ ）47、设A 是3阶矩阵，交换矩阵A 的1，2两行相当于在矩阵A 的左侧乘以一个3阶的初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000101012E . （ ）48、对n 阶矩阵A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是相等的. （ ）49、设A 是4×5矩阵，)(A r =3，则A 中的所有3阶子式都不为0. （ ） 50、对矩阵A 施以一次初等行变换得到矩阵B ，则有)()(B r A r =. （ ） 51、若6阶矩阵A 中所有的4阶子式都为0，则4)(0<≤A r . （ ） 52、满秩矩阵一定是可逆矩阵. （ ）53、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. （ ） 54、等价的矩阵有相同的秩. （ ） 55、n 阶矩阵就是n 阶行列式. （ ）56、用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵B 中对应位置的元素相乘. （ ）57、设A 为三阶方阵且2-=A ，则=A A T 3108. （ ）58、方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积. （ ） 59、方阵A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价. （ ） 60、方阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵. （ ） 61、若|A|≠0，则|A*|≠0. ( )62、矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数. （ ）63、设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，O 为n 阶零矩阵，C 为2n 阶分块对角矩阵即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O O A C ，则C 的逆矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--O BA O C 11. （ ） 64、向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出. （ ）65、零向量可由任意向量组线性表出. （ ）66、若4321αααα，，，线性无关，则)4(21>n n ααα ，，线性相关.（ ）67、两个n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维向量的各个分量对应成比例. （ ） 68、若02211=++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性相关. （ ）69、若对任意一组不全为的数n k k k ，，， 21，都有02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα，，， 21线性无关. （ ）70、若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关，且可由向量组B ：s βββ,,,21 线性表出，则s m ≤. （ ）71、等价的向量组所含向量个数相同. （ ） 72、任意一个向量组都存在极大无关组. （ ）73、设向量组im i i ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个子组。
那么称为矩阵的最高阶非零子式
A
3 2 1
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 43
r
1 0
0 0
6 4 0 0
4 3 0 0
1 1 4 0
4
1
8 0
3
A0
3 2 1
2 2 0 6
5 6
r
1 0
5 1
0 0
6 4 0 0
1
1
4 0
因此 R(A0)3, 在A 0中,找一个3阶非零子式是比较
容易的，另外注意到，A 0 的子式都是 A的子式，所
以易求得的一个最高阶非零子式
3 2 5 32 5
3
2
6
6
0
11(1)1226
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的. ▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外
观察法也是常用的方法.
3 2 0 5 0
A
3 12
2 0 6
解 析：根据定理，为求 A的秩，只需将 A化为
行阶梯形矩阵.
3
A
ห้องสมุดไป่ตู้
3 12
2 2 0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1
r1 r2
r4 r4
1 0
43
r3 2r1 r4 3r1
0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
4
1
1121
再求 A的一个最高阶非零子式.
3
0 0
0 0
4 4
8 8
1 6 4 1 4
r4 r3 0 4 3 1 1
线代3-1
Ch3 矩阵的秩与线性方程组第一节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算21 ,,m n A k k k m k n k A k A k ×≤≤定义在矩阵中任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式一、矩阵秩的概念2010()()A r D r D A r A rank r A A +定义设在矩阵中（1）不等于的阶子式，（2）阶子式（如果存在）全等于， 则被称为矩阵的最高阶非零子式， 数称为矩阵的，记有一个所或有秩作。
().m n A r A A ×矩阵的秩是中非零子式的最高阶数()0.A O r A =⇔=规定，对于T A )1().()(A r A r T=显然有注意：).,min()()2(n m A r n m ≤×.)()3(k A r k A ≥阶子式不为零，则有一个若.)(1)4(k A r k A ≤+阶子式均为零，则的所有若50()(0()(A r A n A r A n ≠⇒==⇒<（）若满秩阵）若降秩阵）例1.174532321的秩求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A 解中，二阶子式在A ，阶子式只有一个的又A A 3∵.03221≠，且0=A .2)(=∴A r二、矩阵秩的计算3定义矩阵为称满足以下两个条件的n m ×行阶梯形矩阵：(1)每行的非零元（如果有的话）前的零元个数比其上一行这种零元个数多；(2)00如果某行全为，则下面所有行也全为110若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为，且这些所在的列的其它元素都是.行最简形矩阵0注：行阶梯形矩阵的秩即为它的非行的行数例2.00000340005213023012的秩求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=B 解行，”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵3B ∵.4阶子式全为零的所有B ∴,0400230312≠−−而.3)(=∴B r 取自非零行首非零元所在列说明.非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其1 ,m n A ×对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换化为行定理阶梯形矩阵2、经过初等变换后，矩阵的秩是否改变?()()~, 2 A B r A r B =若则定理问题：1、任一个矩阵是否可化成行阶梯形矩阵初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.阶满秩矩阵，则必有阶、分别是矩阵，而是任一设n m Q P n m A ,×2定理的推论：1推论)()()(PAQ r AQ r PA r ==2m n A ×若已知任一矩阵的标准推论形分解为r I O A PNQ P Q O O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.)(的阶数）（即单位矩阵则必有r I r A r =20314335427,()15201A r A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦例、若求解：203143542715201A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦13r 152013542720314⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1213(3)(2)r r −−15201020224010112⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦2231()2(1)r r −1520101011200000⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122224,3336k A k k k −−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦例、已知矩阵取何值时，问：k (1)()1;(2)()2;(3)() 3.r A r A r A ===解：~63334222211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=k k k k A ~)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−k k k k k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211k k k k k k；时，即得，当1)(1==A r k ；时，当2)(2=−=A r k .3)(12=≠−≠A r k k 时，且当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211~k k k k k k A 由Ch3 矩阵的秩与线性方程组第二节齐次线性方程组一、线性方程组有解的判定二、线性方程组的解法一、齐次线性方程组有解的判定条件的解．组的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵0=Ax A 问题：引例求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x解⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵A )1()2(1312−−r r ⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x ①②③②-①2×，③-①，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤消元法来解此方程组，利用Gauss⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)31()1(223−−r r ⑤-④，④得)31(−×⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)2(21−r ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=−−03420352432431x x x x x x ①⑥得，2×−行最简形矩阵⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥即得与原方程组同解的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−−,0342,0352432431x x x x x x 移项即得⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=,342,352432431x x x x x x ).,(43x x 称自由未知量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=,342,352212211c c x c c x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==.1034350122214321⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛c c x x x x 即原方程组的解为),(21可取任意实数参数c c ,01213c c x +=,10214c c x +=()0.().m n n A x r A n n r A ×=⇔<−元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩且通解中含有 个参数定理1结论：求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解00()Ax r A n=⇔=仅有解逆否命题：二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=−+−=+−−032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等变换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=321131111111A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111~.000021001011~⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−(),32<=A r 由于故方程组有非零解，且有⎩⎨⎧=+=434212x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=⇔42442342242110200111x x x x x x x x x x x x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111为什么选为非自由未知量？31,x x 选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！.12010011424321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛x x x x x x ),(42R x x ∈得方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=42442342242110200111x x x x x x x x x x x x 由例2 设有齐次线性方程组1231231232203760480x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩?,有非零解取何值时问λ解12237648A λ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠122~010008λ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠8,0λ∴=－有非解123123123402202030B x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩例、已知三阶非矩阵的每一列都是方程组的解.120B λ =（）求的值（）证明10解：（）有非解：12221311λ−∴−−12-2~0-54055λ+−12-2~0-55054λ−+12-2~0-551λ−10λ∴=当时有非解121(2)[,,]B βββ=B 0Ax =∵的每一列都是的解1230A A A βββ∴===121[,,]0A βββ∴=0AB =即0TTB A ∴=0T TA B x =即的每一列都是的解00TB x ∴=有非解B ∴=对齐次线性方程组0=Ax ()n A r =⇔;0只有零解=Ax ()n A r <⇔.0有非零解=Ax 三、小结Ch3 矩阵的秩与线性方程组第三节非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定二、非齐次线性方程组的解法一、非齐次线性方程组有解的判定条件()()m n A x b r A r A ×=⇔=有解定理1推论有解的充分必要条件是矩阵方程B AX =),()(B A r A r =定理1‘，元非齐次线性方程组对b x A n n m =×方程组有唯一解；⇔==n A r A r )()()1(方程组有无穷多解；⇔<=n A r A r )()()2(.)()()3(方程组无解⇔≠A r A r例1 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−+−=−+−.3222,2353,132432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等变换，A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−104501045011321)1(23−r 200)2()3(1312−−r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=322122351311321A结论：为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。
那么称为矩阵的最高阶非零子式
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4
r4 r3 0 4 3 1 1
0 0
0 0
0 0
4 0
08
所以 R(A)3.
大多情况下只 用初等行变换， 不用初等列变
换
例2 设
3 2 0 5 0
A 123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413,
求矩阵 A的秩，并求 A的一个最高阶非零子式.
解 析：根据定理，为求 A的秩，只需将 A化为
即两个等价矩阵的秩相等. 证明 说明 ▪根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.
1 6 4 1 4
0 4 3 1 1
0 0
12 16
9 12
7 8
1121
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
1
3
0
0
0 1 0 0
3 5,
7 1
3 2容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
0 3 2 24 0
这里的两个行列
式分别是A 和B 的
最高阶非零子式
00 4
因此 R(B)3.
说明
✓根据行列式的展开法则知，在 A中当所有 r1阶
✓对于 n阶矩阵 A，当R(A)n时， A称为满秩
矩阵；否则称为降秩矩阵.
由于 n阶矩阵 A 的 n阶子式只有一个| A ，| 当
| A | 0时，R(A)n.所以可逆矩阵的秩等于矩阵
矩阵知识点
这m n 个数称为A 的元素,简称为元。
几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于 n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵。
也称行（列）向量。
同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵： AB 同型，且对应元素相等。
记作： A = B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是 1,其它元素都是0,记作：E n （不引起混淆时，也可表示为 E ）3.正交矩阵定义6： A 是一个n 阶实矩阵，若A TA 二E ，则称A 为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则（1） A=1或 A 」1（2） A 4 = A T（3） A‘（即A ）也是正交矩阵 （4） AB 也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵=A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1,且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
矩阵311a.21 定义 由m n 个数a j i =1,2,|H ，m ； j = 1,2川n 排成的m 行n 列的数表. a i2 a 22HI HI a in 32称为a m1 a m2 HIa mnm 行n 列矩阵。
简称m n 矩阵，记作A = a i1 a 21 III 3m1a \2 a 22 III 3m1III III III IIIa \n a 2n III 3mn ；，简记为A= A =a ij ,51 21 28 ''23 m‘ 336 38 36 、 3-2 4 、 3 -2 么3 21 28」1_n 」<4 11、上述形如m 14 2这样的矩形数表叫做矩阵。
—n 4』b 22、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量印月2,…a n 称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量矩阵的运算 矩阵的加法设有两个m n 矩阵A 二和B 二$ ，那么矩阵 A 与B 的和记作A B ，规定为耳2 02 HIa n +匕 na 21 坨1^2^22III a 2n +b 2nIII IIIIII IIIa m1 +b m1a m2 *b m2IIIa mn *b mn 丿b n 丿称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为 m n 阶矩阵，m n 阶矩阵可记做凡n ，如矩阵为2灯阶矩阵，可记做*51 21 28A^ ;矩阵36<2338 36 为3 3阶矩阵，可记做 A 33。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 2 D 8 11
D是 A的一个2阶 子式，A 的2阶子 2 2
k m k n 个.
式共有 C 3 C 4 18 个.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 一般地，
二、矩阵的秩
定义 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子 式 D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于零，那么 D称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵的秩，记作 R( A) 或 r ( A) . 规定：零矩阵的秩等于0. 例1 求矩阵A 和 B 的秩.
矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也 可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩 不能清楚表明矩阵的特征. 对于 n阶矩阵 A ，当 R( A) n 时， A 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵.
| 由于 n 阶矩阵 A 的 n阶子式只有一个| A ，当 R( A) n. 所以可逆矩阵的秩等于矩阵 | A | 0时， 的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又 称降秩矩阵.
解 析：此题中矩阵 B 的前4列与 A 的列相同，如 ~ ~ ~ 果用初等行变换将 B化为行阶梯形 B ( A, b )， ~ ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形，故从 B 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 B ( A, b ) 2 3 1 2 r2 2r1 0 0 r3 2r1 0 0 r4 3r1 0 0 1 2 r2 2 r3 r2 0 0 0 0 r4 3r2 0 0
1 2 3 A 2 3 5 , 4 7 1
0 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0
矩阵，容易看出它的4阶子式 全为零，而以三个非零行的 首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
0 0 3 0 2 24 0 4
由此可见， R( A) 2, R( B ) 3.
2 2 1 1 4 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2 1 1 4 2 0 2 1 5 6 3 1 2 1 1 1 2 2 1 0 r 5 0 0 3 0 0 5 r4 r3 0 0 0 0 0 0 1
因此 R( A0 ) 3, 在 A0中,找一个3阶非零子式是比较 容易的，另外注意到， A0 的子式都是 A 的子式，所 以易求得的一个最高阶非零子式
5 3 2 3 2 6 A0 2 0 5 1 6 1
r
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
0 5 0 r r 3 2 4 1 6 1 r2 r4 3 2 3 A 2 0 1 5 3 r3 2r1 1 6 4 1 4 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
再求 A 的一个最高阶非零子式.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 1 1 2 r2 3r1 A 3 1 2 r3 5r1 5 3 6 1 2 1 1 0 3 4 4 0 8 5 4
1 2 1 1 0 3 4 4 0 8 5 4 1 2 1 1 r3 r2 0 3 4 4 0 8 1 0
§4.3 矩阵的秩
一、子式
n) 定义 在m n 矩阵A 中，任取k 行与k 列(k m, k ， 位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为 矩阵 A 的 k阶子式.
例如
2 4 5 3 A 3 6 4 2 4 8 17 11
大多情况下只 用初等行变换， 不用初等列变 换
所以 R( A) 3.
例2
设
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A , 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式. 的秩，只需将 A 化为 解 析：根据定理，为求 A 行阶梯形矩阵.
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 1 0
1 2 r 0 0 B 0 0 0 0
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 1 0
注：
把此题中的 A 看作方程组的系数矩阵， b 看作 常数项列，则B 就是增广矩阵，由 B 的行阶梯 形矩阵知，这个方程组 Ax b 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程 0 1.
四、矩阵的秩的性质
m, n}; 若A 为 m n矩阵，则 0 R( A) min{
R( AT ) R( A),
R(kA) R( A)(k 0);
若 A ~ B ，则 R( A) R( B ).
若 P、Q 可逆，则 R( PAQ) R( A);
max{ R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B), 特别地，当b为列矩阵时，有 R( A) R( A, b) R( A) 1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 证明 超过所有子块的秩之和.
由性质，有
R( A E ) R( E A) R(( A E ) ( E A)) R(2 E ) n,
而 R( E A) R( A E ), 所以
R( A E ) R( A E ) n.
例6 证
m n, 设A 为m n矩阵，B 为n m矩阵， 证明 AB 0.
3 0 0 3 3 1 0. 2 1 3
例3
1 1 1 2 A 3 1 2 , 5 3 6 已知 R( A) 2 ，求 与 的值.
设
解 析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数 的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列 A 的 3阶 式，二是用初等变换.当 R( A) 2 时， 子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面 用初等变换解答此题.
R( A B) R( A) R( B );
R( A), R( B)}; R( AB) min{
若 Amn Bnl O, 则
R( A) R( B) n.
例5
设 A 为 n 阶矩阵，证明
R( A E ) R( A E ) n.
证 因为 ( A E ) ( E A) 2 E ,
3
2
5
3 2
5
1 2
3 2 6 6 0 11 ( 1) 2 0 5 2 0 5
6 11 2 0. 2 5
说明 最高阶非零子式一般是不唯一的. 上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
这里的两个行列 式分别是 A 和 B 的 最高阶非零子式
因此 R( B ) 3.
说明 根据行列式的展开法则知，在 A中当所有 r 1阶 子式全为零时，所有高于 r 1阶的子式也全为0， 因此把 r 阶非零子式称为最高阶非零子式；
矩阵 A 的秩就是 A 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征； 当矩阵 A中有某个 s 阶子式不为0，则 R( A) s; 当矩阵 A 中所有 t 阶子式都为0，则 R( A) t;
根据性质，有
R( AB) n m,
而 AB 为 m 阶矩阵，所以
AB 0.
作业：
P78-79 2.(2)(4) (5)
三、矩阵的秩的计算
定理 说明 根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩. 若 A ~ B ，则 R( A) R( B ). 即两个等价矩阵的秩相等. 证明
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12 1 6 4 1 4 r3 3r2 0 4 3 1 1 r4 4r2 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 1 6 4 1 4 3 1 1 r4 r3 0 4 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 2 3 A 2 3 5 , 4 7 1
2 1 0 3 B 0 0 0 0 0 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0
在 A中，容易看出一个2阶 子式 1 2
D 2 3 1 0,
2 1 A 的3阶子式只有一个 A 0, 0 3 B 因此 R( A) 2. 0 0 0 0 由于它是行阶梯形 B 在 中，
因为 R( A) 2 ，故 5 0, 5, 即 1 0, 1. 说明 此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.
例4
设
求矩阵 A 及矩阵 B ( A, b)的秩.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ