基本初等函数的导数公式的推导过程
求导数公式
求导数公式24个基本求导公式可以分成三类。
第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。
最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a 不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)'=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)'=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)'=1/(1+x^2).18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
个基本初等函数的导数公式
个基本初等函数的导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数的变化率。
在微积分中，有多种基本初等函数，每种函数都有其特定的导数公式。
下面我将介绍一些常见的基本初等函数及其导数公式。
一、幂函数：幂函数是一个形如f(x)=x^n的函数，其中n是一个常数。
幂函数的导数公式为：f'(x)=n*x^(n-1)。
例如：当n=1时，f(x)=x，导数为f'(x)=1当n=2时，f(x)=x^2，导数为f'(x)=2*x。
当n=3时，f(x)=x^3，导数为f'(x)=3*x^2二、指数函数：指数函数是一个形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。
例如：当a=e(自然对数的底数)时，f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
当 a = 2 时，f(x) = 2^x，导数为 f'(x) = 2^x * ln(2)。
三、对数函数：对数函数是指以一些特定的底数为底的函数，形如 y = log_a(x)，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数。
对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如：当 a = e 时，f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1 / x。
当 a = 10 时，f(x) = log_10(x)，导数为 f'(x) = 1 / (x *ln(10))。
四、三角函数：常见的三角函数有正弦函数 (sin(x))、余弦函数 (cos(x))、正切函数 (tan(x))。
三角函数的导数公式如下：sin(x) 的导数为 cos(x)。
cos(x) 的导数为 -sin(x)。
tan(x) 的导数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为 secant 函数。
五、反三角函数：反三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数。
3.2.1常见函数的导数(1)
3.2.1/1.2.1常见函数的导数（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】1．知识目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，体会算法的思想。
2．能力目标：进一步发展学生的思维能力.3．情感目标：体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法.【教学重点】基本初等函数的导数公式．【教学难点】基本初等函数的导数公式的推导．【教学过程】一、引入：利用导数的定义求函数的导数的流程是：你能根据如此流程计算下列函数的导数吗？（1）bkxxf+=)(；（2）2)(xxf=；（3）xxf=)(．1．以上求导公式可以归纳如下：（1）()kx b'+=（,k b为常数）；（2）='C（C为常数）；（3）()x'= ；（4）2()x'= ；（5）3()x'= ；（6）1()x'=；（7）'=．2．对于基本初等函数，有下面的求导公式：（8）)('ax=___________（a为常数）；（9）()x a'=（0>a，且1≠a）；（10）(log)ax'==（0>a，且1≠a）；（11）()x e'=；（12）=')(ln x；（13）=')(sin x；（14）=')(cos x．三、课堂反馈：1．下列结论：（1）'(cos )sin x x =；（2）'(sin )cos33ππ=；（3）若21()f x x =，则'2(3)27f =-； （4）'=正确的有__________________．2．函数1y x =的图象在点1(2,)2处的切线方程为____________________．3．若直线y x b =-+是函数1y x=图象的切线，则b = ，切点坐标为 ．4．若直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则b 的值为 ．5．求下列函数的导数：（1）100y x=； （2）4x y =； （3）y =； （4）41y x=； （5）5log y x =．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．过曲线3y x -=上的点1(2,)8的切线方程为 ．2．曲线()()n f x x n N *=∈在2=x 处的导数为12，则n =______________．3．（1）曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为________________．（2）曲线()f x =(16,8)Q 处的切线方程为 ．4．函数()ln f x x =在点p 处的切线方程为1y x =-，则点p 的坐标为____________．5．函数()y f x =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．6．求过曲线x y cos =上点)21,3(πP 且与过这点的切线垂直的直线方程为 ．7．求下列函数的导数：（1）23y x =-； （2）3y x =； （3）()3xf x =； （4）()ln f x x =．8．求下列函数的导数：（1）()cos f x x =； （2）()f x = （3）()2sincos 22x xf x =； （4）12()log f x x =．9．在曲线21x y =上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135．10．（1）求曲线()x f x e =在0x =处的切线方程；（2）求曲线()ln f x x =在（2,2e ）处的切线方程．小结反思：。
基本导数四则运算法则与求导公式
基本导数四则运算法则与求导公式。
由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。
（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。
（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。
（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。
（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。
直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。
从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。
我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。
由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
导数公式
求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。
★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。
2.3 计算导数
(2) x=xo.
解 ⑵△y =(0 + ∆) − (0 )=
∆
∆
=
当∆趋于0时，得到导数
′( ) =
学而优 · 教有方
+ ( + ∆) −
2∆
−
+
+ ∆
=
∆
lim
∆→ ∆
2
+∆
=
2
(
+ )
∆.
2
−
+1.
+ ∆
=
−2
1+∆
2
(
1
+ 1) =
−2∆
1+∆
+1.
当∆趋于0时，得到导数
′(1) =
学而优 · 教有方
∆
lim
∆→ ∆
=
−
lim (
∆→ +∆
+ )= -1.
+ ∆.
高中数学
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2
例2 求函数y=f(x)= + x在下列各点处的导数:
(1) x=l；
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素养要求
1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养．
2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推
理等核心素养.
学而优 · 教有方
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探究导学
探究点1 计算函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤
例1 已知一个运动物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关
B.-
，则 f'
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln =',(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)(3) v u v u uv '+'=')((4) 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导,且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =g或()()y f u x ϕ'''=g２、 双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.可以推出下表列出的公式:在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式(1)(C)' = o(2)（时）'=小妇(3) (sinx)' = cosx(4) (cosx)' = -sinx⑸(tan x)9 = sec 2 x (6)(cot xY = -esc 2 X (7) (secx)' = sec x tan x(8) (cscx)' = -cscxcotx⑼{a x Y = a x In a(10) (e x r = e v（log“x）一 .(lnx)z =—(11)x In a(12) X1, • 、, _ 1v di v b in A ) , ------\UIvvOb A) , ------ (13)Vl-X 2(14)Vl-X 2(arctan x\ = —z、， 1(arc cot x) = 一 ---- T(15) 1 + «T(16)l + «r函数的和、差、积、商的求导法则设⑴，心心）都可导，则⑴ (w±v)/ = z/,±v z (2) ©j = C/（C 是常数）⑶ (")'=心 + “”(4)［叮V反函数求导法则若函数x = 0（）'）在某区间4内可导、单调且则它的反函数）'=/3）在对应 区间八内也可导，且dy _ 1 dx 一 dx复合函数求导法则设）' = /（"）,而u =（p （x ）且/伽）及0（x ）都可导，则复合函数y = f ［（p （x ）］的导数为dy _ dy dudx du dx或y =2.双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出・可以推出下表列出的公式：在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程"3）=0 ⑴ 求它所确定的隐函数的方法。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。
这可以通过导数的定义来证明。
假设常数函数为f(x) = C，其中C是一个常数。
导数的定义为f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，将f(x) = C代入该式，可得f'(x) = lim(h->0) [C - C]/h = 0。
2.幂函数的导数：幂函数的导数可以使用幂函数的定义和导数的定义来推导。
假设幂函数为f(x) = x^n，其中n是一个正整数。
根据导数的定义，可以计算出f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = x^n代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n -x^n]/h。
可以采用二项式定理展开分子表达式：(x+h)^n = C(n, 0)x^n + C(n, 1)x^(n-1)h + C(n, 2)x^(n-2)h^2 + ... + C(n, n-1) xh^(n-1) + h^n其中C(n,k)表示从n中选取k个元素的组合数。
因此，分子展开为[(x+h)^n-x^n]/h=C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)h+...+C(n,n-1)h^(n-1)+h^n可以观察到，在这个表达式中，只有第一项不含h，其他项都有h的幂次方。
因此，当h趋近于0时，这些含有h的幂次方都会趋近于0，只剩下第一项C(n, 1)x^(n-1)，即f'(x) = C(n, 1)x^(n-1) = nx^(n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数的导数可以通过化简导数的定义来推导。
假设指数函数为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1、对于任意实数x和x+h，有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
将f(x) = a^x代入该式，有f'(x) = lim(h->0) [a^(x+h)-a^x]/h。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则对于数学学习至关重要。本 节将深入讨论各种导数公式和运算法则，以及它们在不同领域中的应用。
常数函数的导数公式
1 公式：
常数函数的导数始终为零。
2 应用：
常数函数的导数公式可以用于求解速度恒定、变化缓慢的物理问题。
幂函数的导数公式
对数函数的导数公式
1
公式：
对数函数的导数公式是指数函数求导法则的逆运算。
2
应用：
对数函数的导数公式可以应用于解决指数增长和衰减的问题。
3
注意：
对数函数的导数公式只适用于正实数。
三角函数的导数公式
1
公式：
三角函数的导数公式是基于单位圆上的点的导数性质计算得出的。
2
应用：
三角函数的导数公式在物理学、工程学和波动学中有广泛的应用。
2 意义：
导数可以表示函数的变化率和速率。
导数与函数的单调性和凹凸性
1 单调性：
函数的导数可以判断函数 的单调性。
2 凹凸性：
函数的导数和二阶导数可 以判断函数的凹凸性。
3 应用：
导数与函数的单调性和凹 凸性在优化问题和最值问 题中具有重要作用。
1 公式：
幂函数的导数公式是基于指数函数求导法则推导而来。
2 应用：
幂函数的导数公式可以应用于描述变化速率不同的物理量之间的关系。
指数函数的导数公式
1
公式：
指数函数的导数公式与函数的底数和指数有关。
2
特殊情况：
当底数为常数<em>e</em>时，导数是函数自身。
3
应用：
指数函数的导数公式在经济学和生物学中具有广泛的应用。
第二节求导数的一般方法
第二节求导数的一般方法导数是微积分中的重要概念，求导数是微积分的基本方法之一。
下面我们将介绍求导数的一般方法。
一、基本初等函数的导数公式求导数的基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数公式可以按照以下顺序排列：1.常数函数的导数为0；2.幂函数的导数为指数乘以幂函数；3.指数函数的导数为指数乘以幂函数再乘以指数函数的倒数；4.对数函数的导数为1除以函数值的平方；5.三角函数的导数为正弦函数、余弦函数和正切函数的导数之和。
二、求导数的四则运算法则求导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
具体来说，如果两个函数分别可导，那么它们的和、差、积和商也可以求导数。
这些运算法则可以根据基本初等函数的导数公式进行推导。
三、复合函数的求导法则复合函数是指由多个基本初等函数通过四则运算得到的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则和乘法法则进行推导。
链式法则是指对于复合函数f(u)，其导数等于f'(u)乘以u的导数。
乘法法则是指对于两个可导函数f和g，它们的乘积的导数等于f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
四、高阶导数的求法高阶导数的求法可以通过重复运用一阶导数的求法进行计算。
具体来说，如果一个函数f(x)的n阶导数存在，那么它的n+1阶导数可以通过n阶导数和x的n 次方的乘积得到。
例如，一个函数f(x)的二阶导数可以通过一阶导数乘以x的一阶导数得到，再进一步可以通过基本初等函数的导数公式和四则运算法则进行计算。
五、微分学基本定理的应用微分学基本定理是指如果一个函数f(x)在某个区间内可导，那么它在这个区间内是线性的。
这个定理可以用来解决一些实际问题，例如最小二乘法估计参数等。
在应用微分学基本定理时，需要注意定理的条件和结论，以及如何使用定理来解决实际问题。
六、求导数的实际应用求导数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。
例如，在物理学中，求导数可以用来解决力学、电磁学等方面的问题；在工程学中，求导数可以用来解决优化问题、控制系统设计等方面的问题；在经济学中，求导数可以用来解决边际分析、弹性分析等方面的问题。
基本初等函数导数推导
基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。
引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。
证明：设 f(x)=C 。
f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。
学案10：1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标1.了解基本初等函数的导数公式．2.理解函数y ＝C (C 为常数)、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 的导数公式的推导过程．3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．新知提炼基本初等函数的导数公式表自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( )2．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定4．已知f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x2；(4)y ＝1x 2；(5)y ＝log 3x .方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练 1.已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．2．求下列函数的导数： (1)y ＝1x 5；(2)5x 3；(3)y ＝3x ；(4)y ＝log 2x .题型二 求函数在某点处的导数例2 (1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数； (2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数． 方法归纳求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f′(x)；(2)求f′(x0)的值．跟踪训练求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．互动探究在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．跟踪训练已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．素养提升1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．失误防范在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝e x很好记，但对于公式(log a x)′＝1x ln a(a＞0且a≠1)和(ax)′＝a x lna (a ＞0)的记忆就较难．当堂检测1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－2)＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e3．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′（2），则m ＝________．4．抛物线y ＝x 2的一条切线方程为6x －y －b ＝0，则切点坐标为________．参考答案新知提炼0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1x ln acos x －sin x 自我尝试1．(1)× (2)× (3)× 2．C 3．B 4．－32题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 [解] (1)y ′＝3x 2.(2)因为y ＝x 32，所以y ′＝32x 12＝32x .(3)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x . (4)因为y ＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x 3.(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 跟踪训练 1. 1【解析】因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.2．解：(1)y ′＝(1x 5)′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2； (3)y ′＝3x ln 3； (4)y ′＝1x ln 2. 题型二 求函数在某点处的导数例2 [解] (1)因为y ＝a x ，所以y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a .(2)因为y ＝ln x ，所以y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.方法归纳求函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求f ′(x )； (2)求f ′(x 0)的值．跟踪训练 解：f ′(x )＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x 3，所以f ′(1)＝－12×1＝－12，所以函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.题型三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ， 所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.互动探究 解：假设存在与直线PQ 垂直的切线， 因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x ′0，y ′0)，则y ′|x ＝x ′0＝2x ′0， 令2x ′0＝－1，则x ′0＝－12，y ′0＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 跟踪训练 解：设切点为(x 0，ln x 0)， 由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线为x －y ＋c ＝0，其斜率为1.所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c ＝0，所以c ＝－1.当堂检测1．D【解析】因为f ′(x )＝(1x )′＝－x －1－1＝－x －2，所以f ′(－2)＝－x －2|x ＝－2＝－14.2．A【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 3．－4【解析】f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .因为g ′(2)＝1f ′（2），所以m ＝－4.4．(3，9)【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)， 所以k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝6， 所以x 0＝3，y 0＝9， 即切点坐标为(3，9)．。
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式的推导过程一、幂函数的导数公式：考虑函数y=x^n，其中n是实数。
为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成y=x*x*...*x(n个x相乘)的形式。
然后，我们计算x处的斜率，即函数在x0处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=x^n，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ (x0 + h)^n - x0^n ] / h利用二项式定理展开，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ C(n, 0) * (x0)^(n-0) * h^0 + C(n, 1) * (x0)^(n-1) * h^1 + C(n, 2) * (x0)^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * (x0)^(n-n) * h^n ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = n * x0^(n-1)所以，幂函数 y = x^n 在任意一点 x0 的导数为 dy/dx = n *x^(n-1)。
二、指数函数的导数公式：考虑函数y=a^x，其中a是一个正实数且a≠1、为了求导数，我们可以使用极限的定义，即求函数在其中一点x0处的导数。
首先，我们将函数写成 y = e^(x * ln(a)) 的形式。
然后，我们计算 x 处的斜率，即函数在 x0 处两个极接近的点之间的变化率。
这个斜率可以通过求极限得到。
因此，对于y=a^x，我们可以使用极限计算导数：dy/dx = lim（h→0） [ a^(x0 + h) - a^x0 ] / h利用指数的性质a^(b+c)=a^b*a^c，并除以h，我们得到dy/dx = lim（h→0） [ a^x0 * a^h - a^x0 ] / h化简上式，我们可以得到：dy/dx = a^x0 * lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ]当 h 趋近于 0 时，我们可以使用极限公式 lim（h→0） [ (a^h - 1) / h ] = ln(a)。
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基本初等函数的导数公式推导过程
、幂函数f x Q* ）的导数公式推导过程命题若 f X x （ C*），则 f
推导过程
f x x f x lim
x 0
x x x lim
0x
X
0 11 2
C x C x x C x lim
0x
X
0 11 2 22
C x x C x x C x x L C x lim
0x
X
C1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x lim
x 0
1 1 2
lim C x C x
x 0
C1x 1
1
x
所以原命题得证.
、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程
sin x lim
x 0 x sin x
推导过程
f x
sin xcos x cosxsin x sin x lim x 0
cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0
cosxsin x sinx cos x 1
所以f lim cos x 0
cosx sinx 1 2sin 2丄
2
lim x 0 2sin * x cosxcos-^
2 2
2sin xsin2」
2
l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」
2 2 2
l l m0
x 2sin cos
2
l l m0 cos
x sin 2
0 时，sin
2 2，所以此时
x sin -
2
三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程
cos x lim x 0
x cosx l I m 0 l i m 0 2sin
宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2
l i m 0 2sin »
sin
x sin - 2
l i m o sin
sin x
sin x
四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程
推导过程
f x
f x x lim
x 0
cosxcos x sinxsin x cosx lim
x 0
cosxcos x cosx sinxsin x lim
x 0 cosx cos x 1 sinxsin x
2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2
lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 2
1，则 a x t 1，即x log a.且当x 0时，a
U m
t lOg a t 1
lim t 0
1
^lOg a t 1
U m
1 lOg a t 1「
若 f x a x( a >0,且 a 1)，贝U f x a x lna .
f x x lim
x 0x
x x x a a lim
x 0 x
x x x a a a lim
x 0
lim
x I
0 .所以原极限可以表示为:
1
又因为lim t 1 e,所以
t 0
1
log a e
x ln a a -
lne a x ln a
五、对数函数f x log a x ( a >0，且a 1 , x >0)
的导数公式推导过程
命题
1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 )，贝U f x ----------------------------------
x l n a 推导过程 f x
f x x f x lim
x 0
lim log a 1
t 0x
1
又因为呵1 t ： e ，所以
1 , 1 lne 1
lo g a e lim x 0
log a X x x
log a x
1 x x
lim log a x 0
x x
1 1 x x
lim x
log a x 0 x x x
1 x x x lim — log a
x 0 x x x
1 x ,
x x lim log
x 0
x x x x
1 x x X lim log a x 0
x x
x
1 x X
lim log a 1
x 0 x x
令t x 且当 x 0 时，t x
f x
0 •所以原极限可以表示为:
x x ln a xln a 所以原命题得证.
lim
x 0
lim
x 0。