7-8 边际分析、弹性分析与经济问题的最优化
边际分析法
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边际分析法公式
• 在经济学上，边际是指每单位投入所引起的产出的变化。边际分析方
法在管理经济学中有较多的应用。它主要分析企业在一定产量水平时 ，每增加一个单位的产品对总利润产生的影响。可以用以下的公式来 说明。
• 公式：边际值=△f(x)/△X
其中，X代表投入，f(x)代表产出，表现为X的函数；△表示变量。 假设基数X处在变化中，那么，每增加一个单位的投入，这个单位所引 起的产出的增量是变化的。
这个效用称为“边 际效用”。
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边际分析法的起源
3、奥地利学派概述
奥地利学派的代表人物有门格尔、维塞尔、庞巴维克，他 们都是奥地利人。
弗里德里 希.维塞尔， 门格尔的 门徒
门格尔 （创始
人）
欧根.庞巴维 克，维塞尔的 同学和好友。
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边际分析法的起源
4、奥地利学派的方法论
论战
19世纪80年代，在德 国和奥地利经济学界， 发生了关于经济学研 究方法的激烈论 战 ．论战的主要角 色是奥地利学派的创 始人门格尔和新历史 学派的领袖施穆勒， 论战的主要内容是在 经济学研究中，究竟 应该采用抽象演绎法 还是历史归纳法。
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案例三
• 国庆长假高速路免费政策导致拥堵严重的现象：国庆期间七座以下小
车免费通行高速路的政策，结果国庆第一天高速路上出现严重的交通 拥堵现象。运用边际分析法分析如下： 局限条件变化 —— 高速路收费变化为不收费； 引起的结果 —— 人们对高速路的需求量增大，高速路发生拥堵。
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称为f(x)在[x0,x0+∆x]上的平均变化率，它表示在[x0,x0+∆x]内f(x)的平均 变化速度，而f’(x0)称为f(x)在点x0处的变化率，也称为f(x)在点x0处的边 际函数值，它表示f(x)在点x0处的变化速度，即当x的改变量 ∆ x 趋于0时 ，y的相应改变量 ∆ y 与的比值的变化，当x在某一给定值附近有微小变 化时y的瞬时变化，边际的含义就是因变量关于自变量的变化率，或者 说是自变量变化一个单位时因变量的改变量.若设某经济指标y与影响指 标值的因素x之间成立函数关系式y=f(x),则称导数f’(x)为f(x)的边际函数 。
边际分析与弹性分析
解 R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0), R(150) 78750 2
R(Q) P(Q) 600 1 Q, R(150) 525 2
R(Q) (600Q 1 Q2 ) 600 Q, R(150) 600 150 450 2
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例 3 生产某种产品Q个单位时成本函数为C 200 0.05Q2， 求生产60个单位与生产80个单位该产品时的总成本、 平均成本及边际成本．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
此时，边际收益的经济含义是：
当销售量为150吨时，再销售一吨（即Q 1）所增加的
收入为450元，低于平均收益525元．
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四、利润
总利润是指总收益减去总成本． 设总利润为L，则 L L(Q) R(Q) C(Q)， L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为： L(Q) 0，即R(Q) C(Q)
例 1 函数 y x2 , y 2 x 在点 x 10处的边际函数值，
y(10) 20 它表示当 x 10时， x改变一个单位，
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二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
微积分在经济中的应用
微积分在经济中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和函数的积分。
在经济领域中，微积分也有着广泛的应用。
本文将介绍微积分在经济中的应用。
一、边际分析和最优化边际分析是微积分在经济中的一个重要应用。
它研究的是在一定范围内的最优解。
通过计算边际成本和边际收益，可以找到最优的生产量或价格，从而获得最大利润。
例如，对于一个厂商来说，如果其生产成本为每单位100元，销售价格为每单位150元，那么如果生产100单位的产品，总利润为5000元。
但如果每单位生产成本下降到80元，销售价格不变，那么生产150单位的产品可以获得最大利润7500元。
因此，厂商应该选择生产150单位的产品。
二、弹性分析弹性分析是微积分在经济中的另一个重要应用。
它研究的是函数对于自变量的敏感程度。
在经济学中，弹性分析可以帮助我们理解价格的变动对于需求和供给的影响。
例如，需求弹性和供给弹性可以帮助我们理解市场均衡价格的变动。
如果需求缺乏弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度小于价格上升的幅度，从而厂商的利润会增加。
因此，厂商可能会选择提高价格。
相反，如果需求富有弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度大于价格上升的幅度，从而厂商的利润会减少。
因此，厂商可能会选择降低价格。
三、微分方程微分方程是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述变量之间的依赖关系。
在经济领域中，微分方程可以用来描述市场均衡价格的变动。
例如，在供求定理中，我们可以建立一个微分方程来描述价格和销售量之间的关系。
如果供给函数为s(p)，需求函数为d(p)，那么我们可以建立如下微分方程：dp/dt = s(p) - d(p)其中，t表示时间，p表示价格。
该方程表示的是在时间内价格的变动量等于供给量与需求量之差。
通过求解这个微分方程，我们可以预测市场均衡价格的变动。
总之，微积分在经济中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解经济现象和解决实际问题。
边际分析在经济管理中的最优化决策应用
边际分析在经济管理中的最优化决策应用作者：贾续毅熊靖刘培森来源：《商场现代化》2017年第24期摘要：数学中导数在经济管理中的应用日益广泛，经济管理中对成本、利润、收益、产量、消费、投资等方面的分析都有边际概念。
边际分析主要从经济变量的变化率方面出发，经数值计算做出市场经济、企业单位中有关运营、销售等项目的最优化决策。
关键词：边际分析；导数；定积分；最优化；成本；经济管理经济学中的边际概念，一般是指各个经济变量的变化率，也就是把相关经济函数的导函数称为边际。
边际分析法就是利用导数研究经济学各变量边际变化情况的方法。
一、边际分析方法的引出在企业生产、营销等过程中，产品成本、产品收益、产品利润都是生产产量x的函数，分别记为C（x），R（x）和L（x）。
假定产品都能售出，则显然有：L（x）=R（x）-C （x）。
把成本函数C（x）的关于x的导函数叫做边际成本函数，记作MC（x）；收益函数关于产量x的函数称为边际收益，记为MR（x）；利润函数关于产量x的函数称为边际利润，记为ML（x）。
经济学中对边际成本MC（x）的解释为：当企业产品产量为x时，企业此时多生产一件产品时所需要付出的成本。
同样，边际收益函数MR（x）可理解为当企业产品产量为x时，此时再多生产一件产品所增收的收益，边际利润函数ML（x）理解为当企业的某产品产量为x 时，此时再多生产一件产品所额外增收的利润。
二、边际分析方法的现实化如果考虑总成本函数中的自变量x的取值情况，则x在实际市场经济活动中的取值为是自然数。
比如电脑、汽车、灯泡、手机的产量都是以一个为最小单位的。
所以在市场经济分析中，产品产量x是一个离散的量。
但通常情况下，x无论取为连续的变量还是离散的变量，两种情况下相差并不大。
故而在市场经济分析中可以认为x是连续变化的，上述数学函数概念便可相应地在市场分析中使用。
一个企业的根本目标是获得最大利润。
因此，分析企业的商品成本、销售量、收入和利润之间的关系并依此模拟出一个最优化的策略，在现代的商业形势之下显得尤为重要。
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
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三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
第四讲 边际分析与需求弹性
一、函数变化率 边际函数 二、函数的相对变化率 弹性的定义、 弹性的定义、弹性的计算公式 需求弹性
一 几个常见经济函数 1 成本函数
C (q ) = c0 + c1 (q )
其中 c0 称为固定成本，c1 (q) 为可变成本， q 为产量. 2 平均成本函数
'
生产第201件产品的利润大约为1000元 生产第201件产品的利润大约为1000元 201件产品的利润大约为1000 (2) L ′(100)=0 生产第101件产品的利润大约为0 生产第101件产品的利润大约为0元 101件产品的利润大约为 (3) L ′(1000)= - 30000 生产第1001件产品大约亏损30000元 生产第1001件产品大约亏损30000元 1001件产品大约亏损30000
'
3 即 f (101 − f (100) = 101 −1003 ≈ f ' (100 ) = 30000 )
边际函数: f ′(x) 称为 f(x) 的边际函数
一
边际成本 (1) 定义: 定义:
C (q + 1) − C (q) ≈ C′(q)
成本函数C= 的导数C 成本函数 =C(q)的导数 ′=C ′(q) 的导数 称为边际成本 生产第q+1件产品的成本大约为 C ′(q) 件产品的成本大约为 生产第
lim ∆y y ∆y x x ' lim ∆ x = ∆x→ 0 ∆ x × y = y × y x
∆y y
∆x x
的比的极限
∆x→ 0
Ey x ' = y × 称为y=f(x)在x处的弹性 记为 Ex y 需求弹性 需求函数 Q= Q(P) , 在P 处的需求弹性为 EQ P ' = Q (P) × EP Q(P)
边际分析与弹性分析
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0
x0 . f ( x 0 ) f ( x0 )
定义 一般的，若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导， Ey y / y y x x 且f ( x ) 0，则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数，简称 弹性函数.
一般情况下，总利润函L(Q )等于总收益函数 数 R(Q )与总成本函数 (Q )之差．即 C
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 边 际 成 本 决 定 入 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
这表明 f (x) 在点 x x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， y 近似改变 f ( x0 ) 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去 “近似” 二字．
定义
设函数 y f (x) 在 x 处可导，则称导数 f (x )
例3
Q ，其 P 为 设某产品的需求函数为 P 20 5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 2
解
商务数学47变化率及相对变化率在经济中的应用—边际分析与弹性分析介绍
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第四章 导数的应用§7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 7.1 函数变化率——边际函数 设函数()x f y =可导，其导函数()x f '也称为边际函数（marginal function ），记为()x Mf ，即()()x f x Mf '=.差商()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆００称为函数()x f 在()x x ,x 00∆+（或()00x ,x x ∆+）内的平均变化率（average rate of change ），它表示在()x x ,x 00∆+（或()00x ,x x ∆+）内()x f 的平均变化速度.函数()x f 在点x x =处的导数()0x f '称为()x f 在点0x x =处的变化率，也称为()x f 在点0x x =处的边际函数值，记为()0x Mf ，即()()00x f x Mf '=.它表示函数()x f 在点0x x =处的变化速度. 由于()x x f dy y 0∆'=≈∆，当1x =∆时，()0x f y '≈∆.这说明()x f 在点0x x =处，当自变量x 产生一个单位的改变时，因变量y 近似改变()0x f '个单位.以后，在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字（即直接说成“()x f 在点x x =处，当自变量x产生一个单位的改变时，因变量y改变()0x f '个单位”）.下面介绍几种常见的边际函数：7.1.1 边际成本设总成本函数（total cost function ）为()()x C C x C 10+=，其中x为产量，0C 为固定成本，()x C 1为可变成本.则平均成本函数（average cost function ）为()()()xx C C x x C x C 10+==，边际成本函数（marginal cost function ）为()x MC ()()[]()x C x C C x C 110'='+='=. 【Note 】显然，总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数；总成本、平均成本都与固定成本有关，而边际成本只与可变成本有关，与固定成本无关.由于()()()()()[]x C x C x1x x C x x C x C 2-'=-'='()()[]x C x MC x1-=，令()0x C ='，可得()Cx MC =，因此产量水平满足平均成本等于边际成本这个条件时，平均成本最低.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.边际成本（marginal cost ）为总成本的变化率，()0x C '称为当产量为0x 时的边际成本，记为()0x MC ，它表示当产量达到x 时，生产x 个单位前最后一个单位（即第x 个单位）产品所增加的成本，或生产x 个单位后增加的那个单位（即第1x 0+个单位）产品所需的成本.Example p.97） 设总成本函数()100x 30x 2.0x 001.0x C 24+++=，求边际成本函数和20x =单位时的边际成本，并且解释后者的经济意义.解 边际成本函数为()()x C x MC '= 30x 4.0x 004.03++=，20x =时的边际成本()30204.020004.020MC 3+⨯+⨯= 70=，它表示的是生产第20个或第21个单位产品时所花费的成本为70.Example p.97） 某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C （单位：元）是日产量q （单位：吨）的函数()q 50q 71000q C ++=，[]1000,0q ∈.求①生产100吨总成本及每吨成本.②由生产100吨改变到225吨时，总成本的平均变化率.③当日产量100吨时，总成本的变化率. 解①当日产量100吨时，总成本为()22001005010071000100C =+⨯+= （元）.平均成本为()()100100C 100C = 221002200==（元/吨）.②如果q 由100改变到225，则125100225q =-=∆（吨），而与此相应的总成本的增量为C∆()()112522003325100C 225C =-=-= (元).于是总成本的平均变化率为91251125q C ==∆∆（元/吨）.③()()q257q C dq q dC +='=，所以()5.9100257100C =+='（元/吨），它表示日产量为100吨时，总成本的变化率.7.1.2 边际收益设总收益函数（total revenue function ）为()x R R =，其中x为产量.则平均收益函数（average revenue function ）为()()xx R x R =，它表示在产量为x的水平时每生产（或出售）单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际收益函数（marginal revenue function ）为()x R MR '=，它表示在产量为x的水平时，再生产（或出售）一个单位产品所得到的收入. 如果用P表示商品价格，Q表示商品量（销量），价格P可以表示为商品量Q的函数()Q f P =，则总收益函数为()()Q f Q P Q Q R ⋅=⋅=，平均收益函数为()()()P Q f QQ f Q Q R Q R ==⋅==，而边际收益函数为()()()[]'⋅='=Q f Q Q R Q MR()()()()Q R Q Q R Q f Q Q f '⋅+='⋅+=.Example p.98） 设某种产品的价格P 与销售量Q 的关系是20Q10P -=（元），求销售量分别为80和150单位时的边际收益.解 总收益函数为()Q 20Q 10Q P Q R ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=20Q Q 102-=.边际收益函数为()Q MR()10Q1020Q Q 10Q R 2-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=.销售量为80和150单位时的边际收益分别是()210801080MR =-=（元/单位），()1015010150MR -=5-=（元/单位）.【Note 】从Example80，再多销售一个单位产品，将增加2元的收入；销售量为150单位时，再多销售一个单位产品，将减少5元的收入.因此，可以根据边际收益来确定在某个销售水平时，再销售产品是否在经济上合算.7.1.3 边际利润 设总成本函数为()x C ，总收益函数为()x R ，则总利润函数（total profit function ）为()()()x C x R x L -=，其中x 为产量.平均利润函数（average profit function ）为()()()x C x R x L -=，边际利润函数（marginal profitfunction ）为()()()()()()x MC x MR x C x R x L x ML -='-'='=，即边际利润为边际收益与边际成本之差.Example p.99） 某工厂每月生产x 百吨的总成本函数为()x C32x 31x 7x 11140+-+=（万元），而得到的总收益为()2x x 100x R -=（万元）.试求产量为1000吨时的边际成本、边际收益与边际利润. 解边际成本函数为()()x C x MC '=232x x 14111x 31x 7x 11140+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=，边际收益函数为()()x R x MR '= ()x 2100x x 1002-='-=，而边际利润函数为()()()x MC x MR x ML -=()()11x x 12x x 14111x 210022--=+---=.当1000x =吨，即10x =百吨时，边际成本为()7110101411110MC 2=+⨯-=（万元），边际收益为()10MR80102100=⨯-=（万元），边际利润为()()()718010MC 10MR 10ML -=-= 9=（万元）.【Note 】 由Example 10，边际收益大于边际成本，即边际利润大于零，此时再增加一百吨产品，收入将增加80万元，而成本只增加71万元，也就是将获得利润9万元，因此，当产量为10百吨时，再增加产量是合算的.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.一般地，如果边际收益大于边际成本，即()x MR ＞()x MC ，边际利润()()()x MC x MR x ML -=＞0，那么增加产量是可获利的；反之，如果边际收益小于边际成本，即()x MR ＜()x MC ，边际利润()()()x MC x MR x ML -=＜0，那么再增加产量就要减少利润甚至亏本了.因此可以想象出，企业的最优产量（即获取最大利润的产量）应当是边际收益等于边际成本时的产量. 7.1.4 边际需求消费者对某种商品的需求是多种因素决定的，商品的价格是影响需求的主要因素，如果不考虑诸如消费者的收入情况、其他代用品的价格等影响需求的因素，那么需求量Q 就可以表示为价格P的一元函数()P f Q =.边际需求（marginal demand ）是需求量Q对价格P的导数，即边际需求()P f MQ '=. 一般来说，需求函数()P f Q =是单调减少函数，因此边际需求()P f MQ '=＜.这样，在价格的某个水平0P P =处，如果再提价一个单位，需求将减少()0P f '个单位.Example p.100） 若需求函数8P 10Q 2-=，则边际需求为4PQ MQ -='=.当8P =时，2MQ 8P -==，它表示价格8P =时，若价格提高（降低）一个单位时，需求将减少（增加）2个单位.7.2 函数的弹性在经济生活中，不仅需要研究经济指标（变量）的绝对变化，而且需要研究它们的相对变化. Example p.100） 有两种商品，第一种商品的价格为10元/单位，第二种商品的价格为200元/单位，如果这两种商品的价格都上涨了2元，则第一种商品的价格相对上涨了%20，第二种商品的价格相对上涨了%1.虽然这两种商品价格的绝对增量是相同的，但对消费者而言，容易接受第二种商品的涨价，而不容易接受第一种商品的涨价. Example p.100） 商品的需求量Q是价格P的函数，一般情形Q 是P的递减函数.当商品价格为P 时，销售商为了获取更大的收益，打算提升%1，这时，需求量减少的百分数显得格外重要.如果这个百分数过大，即需求量对价格过于敏感，就有可能由于提价而使得销售商的收益减少，在这种情况下，必须考虑提价是否合适.这里涉及的就是函数的相对增量和函数的相对变化率问题.设y 是x 的函数()x f y =，则称()()x f x x f y -∆+=∆为函数在点x 处的绝对增量（absolute increment ），而称x ∆为自变量在点x 处的绝对增量.称()()()x f x f x x f y y -∆+=∆为函数在点x 处的相对增量（relative increment ），称x x ∆为自变量在点x处的相对增量. Definition 4.8（See p.101） 设函数()x f y =在点x处可导，如果函数相对增量与自变量相对增量之比的极限文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.()()[]()xx x f x f x x f lim x x y y lim 0x 0x ∆-∆+=∆∆→∆→∆存在，则称此极限值为函数()x f y =在点x处的弹性（elasticity ），记作η，或记作()x η（在经济学中也记为yx η或yxε）.即它显然是x的函数，故也称之为弹性函数（function of elasticity ）.根据x f 在点x处可导这个条件，知()()()()x f x f x x f x x f y x x y lim x x y y lim 0x 0x '⋅=⋅'=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆η.【.其实，它们还可以 ()x x f 称为平均函数（mean function 或average function ），所以,公式()()x x f dxx df =η表明：弹性函数等于边际函数与平均函数之比.函数()x f 在点x 处的弹性反映随x 的变化()x f 变化幅度的大小，也就是()x f 对x 变化反应的灵敏度.()00x ηη=表示在0x x =处，当x 产生%1的改变时，()x f 的改变幅度为%0η.函数弹性是一个没有单位的量，它与变量的测量单位无关，改变变量的测量单位，函数的弹性不会改变，因而具有可比性.Example p.101） 若某种商品的需求量Q与价格P的函数关系为()P411600P f Q ⎪⎭⎫⎝⎛==.①求需求弹性（elasticity of demand ）()P η；②当商品的价格10P =（元）时再增加%1，求该商品需求量的变化情况. 解①由弹性计算公式，需求弹性为()()()PP411600411600P P f P f P P ⎪⎭⎫⎝⎛'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⋅=η文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.P 39.141ln P 41160041ln411600P PP-≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⋅=.由于P ＞0，因此需求弹性为负数，说明商品价格P 增加%1，需求量Q 将减少P%39.1.②当价格10P =元时，需求弹性()9.131039.110-=⨯-=η，表明当价格10P =元时，若价格增加%1，则商品需求量将减少%9.13.【Note 】需求弹性（elasticity of demand ）()P η（经济学中也称其为需求价格弹性[price elasticity of demand 或demand-priceelasticity ]，可记为QP ε）刻划了某种商品的需求量Q 对价格P变动反应的灵敏程度，这对于需求分析或制定价格有非常重要的意义.一般，需求函数()P f Q =为单调减少函数，需求弹性()P η＜，为避免负号的麻烦，有时用()P η表示需求弹性.Example p.102）设总成本函数()2x 2x C 2+=，其中x为产量，求产量1x =，2x =，3x =时的成本弹性.解 成本对产量的弹性函数为()x η()()222x 4x 22x 2xx x C x C x +=+⋅='⋅=，1x =，2x =，3x =时的成本弹性分别为()4.0521412122==+⨯=η，()1882422222==+⨯=η，()38.113183432322≈=+⨯=η.【Note 】因总成本函数是产量的单调增加函数，故成本弹性大于零.若总成本函数()x C C =，则成本弹性为文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.()()()()()()x C x C xx C x C x C x C x '='='⋅=η，它恰好是边际成本与平均成本之比.①若η＞1，则()x C '＞()x C ，这时的生产规模是不合算的，减少产量对企业有利；②若1=η，则()='x C ()x C ，这时称为规模报酬固定，改变生产规模不影响企业利润；③若η＜1，则()x C '＜()x C ，这时的生产规模是合算的，增加产量对企业有利.Example p.102）设需求函数()P f Q =，其中P为价格，求总收益对价格的弹性()P ε.解 总收益函数()()P f P Q P P R R ⋅=⋅==，故总收益对价格的弹性为()P ε()()()[]()()()()P f P f P P f P Pf P Pf P P R P R P '+='⋅='⋅=()()()P 1P f P f P 1η+='⋅+=，这里()P η为需求弹性. 【Note 】注意到总收益对价格的弹性（收益弹性[elasticity of revenue ]）为()()P 1P ηε+=，QP R ⋅=且需求弹性()P η＜0，所以有如下结论：①若商品的需求弹性()P η＜1-（即()P η＞1，此时称该商品富有价格弹性需求（price-elastic demand ），则收益对价格的弹性()P ε＜0，从而()P R '＜0，这时价格上涨，收益减少；价格下跌，收益增加.②若()1P -=η（即()1P =η，此时称该商品具有单位弹性需求（unit-elastic demand ），则收益对价格的弹性()0P =ε，从而()0P R ='，可以证明，此时收益取得最大值.③若()P η＞1-（即()P η＜1，此时称该商品缺乏价格弹性需求（price- inelastic demand ），则收益对价格的弹性()P ε＞0，从而()P R '＞，这时价格上涨，收益增加；价格下跌，收益减少.Example p.103）设某商品需求函数为()2P12P f Q -==.①求需求弹性函数；②求6P =时的需求弹性；③在6P =时，若价格上涨%1，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？④P为何值时，总收益最大？文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.最大的总收益是多少？ 解 ①需求弹性函数为()()()24P P 2P 1221P P f P f P P -=--⋅='⋅=η. ②求6P =时的需求弹性为()3124666-=-=η.③因()316-=η＞1-，故在6P = 时，该商品缺乏价格弹性需求，价格上涨，收益将增加.由于收益弹性函数为()()P 1P ηε+=，故()()67.032311616≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=ηε.所以当6P =时，价格上涨%1，总收益约增加%67.0.④总收益函数为()()2P P 122P 12P P f P P R 2-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=，()P12P R -='.令()0P R ='，则得唯一驻点12P =，()72212121212R 2=-⨯=.所以当12P =时总收益最大，最大总收益为72..欢迎下载支持.。
边际分析法
边际分析法常易华电算1002 25号摘要:边际分析法是微观经济分析最常用的方法。
管理经济学最突出的特点之一,就是引入微观经济学中德边际分析法,作为管理决策的重要工具。
在经济学中,边际分析法的提出不仅为我们做出决策提供了一个有用的工具。
本文通过介绍边际分析法的基本知识,进而了解它的应用,来见证边际分析法的重要性。
关键字:边际分析法、边际值、最优化原则、重要性一:边际分析法的基本知识1、边际分析法:就是利用边际值作为决策参考依据的一种方法。
2、边际值:单位要素变化对总体影响的程度或大小。
3、管理中常用的边际值边际产量=总产量变化量/某投入要素变化量边际收入=总收入变化量/产量变化量边际成本=总成本变化量/产量变化量边际利润=总利润变化量/产量变化量= 边际收入—边际成本4、利用边际值进行管理决策优化无约束条件下最优业务量的确定最优化规则:边际值=0有约束条件下最优业务量的确定最优化规则:边际效果相等即边际效益相等,使总利润最大边际成本相等,使总成本最低管理决策优化方法>0 增加投入,增加产量边际产量=0 总产量最大,投入要素最优<0 增加投入,减少产量>0 增产增收边际收入=0 总收入最大,产量最优Q1 < 0 增产减收>0 增加产量,增加成本边际成本=0 总成本最低,产量最优Q2 <0 增加产量,降低成本>0 增产增利边际利润=0 总利润最大,产量最优Q3<0 增产减利5、学习边际分析法的意义(1)边际分析法体现了动态优化的决策思想(2)边际分析法不仅侧重于问题的解决,更侧重于问题的预防(3)边际分析法反映的是不断向管理极限迈进的管理方向。
二:边际分析法的应用1、无约束条件下最优投入量(业务量)unconstrained optimization的确定:利润最大化是企业决策考虑的根本目标。
由微积分基本原理知道:利润最大化的点在边际利润等于0的点获得。
导数的经济意义及在经济分析中的应用
导数的经济意义及在经济分析中的应用【摘要】导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析和优化分析,从而为企业经营者进行科学决策提供量化依据。
【关键词】导数边际分析弹性分析最优化分析一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。
经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。
边际概念是当x 在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。
一、导数的概念设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy 与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f’(x0),即f’(x0)==。
若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f’(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。
二、经济分析中常用的函数1、需求函数与供给函数(1)需求函数。
设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。
一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。
(2)供给函数。
站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。
一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。
2、成本函数与平均成本函数(1)成本函数。
产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。
另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
边际分析与弹性分析
L' ' (Q) 0,即R' ' (Q) C' ' (Q) 充分条件：
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R' (Q) C ' (Q) , R' ' (Q) C ' ' (Q)
（二）弹性分析
Ey x x 1.弹性定义：设y=f(x)可导，则 y' f ' ( x) Ex y f ( x) 称为y=f(x)的弹性。
例1：某企业生产一种产品，利润L(x)= 250x 5x 2 ，x 为产量，在x=10、25、30时分别求再多生产一吨产品所 带来的利润。
解： L' ( x) 250 10x
L' (10) 150, L' (25) 0, L' (30) 50
2.最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q) L(Q)取最大值必要条件：L' (Q) 0,即R' (Q) C ' (Q)
4.收益弹性
ER p p p R' ( p ) (pQ)' 1 Q' 1 (p ) Ep R (p ) pQ Q
R' (p ) Q pQ' Q(1 (p ))
பைடு நூலகம்
(1) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%, 收益增加 (1 - (P)) % ( 2) 当(p) 1 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
y
2.需求弹性：设需求函数Q=f(p)在 p处可导， 则在p处需求弹性为
EQ p ( p ) Q Ep Q
对边际分析和最优化原理的探讨
对边际分析和最优化原理的探讨内容摘要：管理决策问题往往也就是最优化问题，常用的方法就是边际分析法，但利用边际分析法对离散的点进行最优化决策分析时，往往会与实际情况产生一些冲突。
本文以无约束条件下最优业务量的确定为例，利用高等数学一阶导数和极值理论分析冲突产生的原因，并提出利用拟合曲线的统计方法处理和解决类似问题的方法。
关键词：边际分析最优化极值理论拟合曲线管理决策问题往往也就是最优化问题，而比较常用比较方便的方法就是边际分析法。
本文以无约束条件下最优业务量的确定为例对边际分析和最优化原理运用中存在的问题进行探讨。
所谓“无约束”，即产品产量、资源投入量、价格和广告费的支出等都不受限制。
在这种情况下，最优化的原则是：边际收入等于边际成本，也就是边际利润为零时，利润最大，此时的业务量为最优业务量。
问题的提出利用边际分析的方法确定最优化业务量的问题很普遍，往往类似于以下案例的形式：某农场员工在小麦地里施肥，所用的肥料数量与预期收获量之间的关系估计如表1所示。
假定肥料每公斤价格为3元，小麦每公斤的价格为1.5元。
问：每亩施肥多少公斤能使农场获利最大？根据无约束条件下最优业务量的确定原则，当边际收入等于边际成本时，施肥量为最优。
边际收入=边际收获量×小麦价格边际成本=肥料价格因此，可由此计算各种施肥数量条件下边际收入、边际成本和边际利润，如表2所示。
从表2中可知，当每亩施肥数量为50公斤时，边际收入=边际成本，边际利润为零，即每亩施肥数量50公斤为最优施肥量。
此时，总利润=总收入-总成本=1.5×480-3×50=570（元）为最大。
这是这种问题的常规解法，诸多教科书上也是这样解答的。
但我们发现，当施肥数量为40公斤的时候，总利润也是570元（总利润=总收入-总成本=1.5×460-3×40=570元），亦即利润最大，而40公斤的施肥量小于根据规则计算出的最优投入量50公斤，显然最优施肥数量应该为40公斤。
3.7边际分析、弹性分析与优化分析
（ s.t 表示满足约束条件）
由函数的极值必要条件为 L( x) 0 ，即 R( x) C( x) 0或R( x) C( x)
又由二阶充分条件 L( x) 0 ，即
R( x) C( x) 0或R( x) C( x)
此表示在生产最优状况下，边际收入等于边际成本且边际
收益的变化率小于边际成本的变化率。
例5 一个企业的总收益函数是R 4000Q 33Q2 总成本 函数是C 2Q3 3Q2 400Q 500 求最大利润 L 。
解：利润函数
L 4000Q 33Q2 (2Q3 3Q2 400Q 500) 2Q3 30Q2 3600Q 500
对 L 求一阶导数，并令其为零 L 6Q2 60Q 3600 6(Q 30)(Q 20) 0
驻点 Q1 20,Q2 30 （舍去） 求二阶导数 L 12Q 60
L(20) 12 20 60 300 0 所以当 Q 20时，利润有最大值，其值为 L(20) 2(20)3 30(20)2 3600 20 500 43500
4.7.3 弹性分析
4.7.3.1 函数弹性的概念
例2 某企业每天生产某产品Q（吨）的利润函数是 L L(Q) 5Q2 250Q（单位：千元）
试求每天生产20吨、25吨、30吨时的边际利润。
解：生产Q吨产品的边际利润为 L(Q) 10Q 250 每天生产20吨的边际利润为 L(20) 10 20 250 50
这表明每天产量为20时，再增加1吨产量，利润将增加50千元。
函数（或相对变化率），记为
E f ( x) Ey lim y / y lim y x y x .
Ex
Ex x0x / x x0 x y
y
（1）
当 | x | 的值很小时，有 Ey y x y / y Ex y x / x
03——最优化的边际分析
Increase activity Decrease activity
MB>MC NB rises NB falls
MB<MC NB falls NB rises
2019年9月24日
10
当决策者要解决无约束最大化问题时，并且 面临的是离散行动水平，那么如果MB>MC就增加 行动， MB<MC就减少行动。行动的最优水平就可 由此得到，净利润也取得了最大，行动处于最后 一个边际收益超出边际成本的水平处。
MBA / PA MBB / PB ... MBZ / PZ
并且选择的行动水平应同时满足约束条件。
2019年9月24日
23
3.有约束的最小化(Constrained Minimization)
有约束的目标函数求得其最大或最小时，目标 函数中所有行动的边际收益与价格比均相等并且满 足约束条件。
(2)
(3)
(4)
(5)
Total benefit of
activity
$0
Total cost Net benefit
of
of
activity(TC) activity(NB)
$0
$0
Marginal benefit(M
B)
--
16
2
14
16
30
6
24
14
40
11
29
10
48
20
28
8
54
30
24
2019年9月24日
5
3.无约束和有约束最优化
(Unconstrained and Constrained
Optimization)
7-8边际分析、弹性分析与经济问题的最优化-文档资料32页
1
第八节
第七章
边际分析、弹性分析与经济
问题的最优化
一、边际分析
二、弹性分析
三、经济问题的最优化
2
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f (x 0 )
边际的经济意义:当 xx0时, x 改变一个单位, y 改变
f(x0) 个单位 .
22
若两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型
因为： Q p 2 1(p 1,p 2) 0 , Q p 1 2(p 1,p 2) 0
则有： E Q 1P 2 Q 10 , E Q 2P 1 Q 20
E P 2 Q 1 P 2
E P 1 Q 2 P 1
表示当商品 A的价格不变，而商品 B 的价格上升时， 商品 A 的需求量减少；当商品 B 的价格不变，而A 的价格上升时，商品 A的需求量减少。即一种商品需
例4 设某市场牛肉的需求函数为 Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2
其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求 (1) 牛肉需求的价格偏弹性, (2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性, (3) 若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率. 解: (2) 牛肉需求的交叉价格偏弹性为
19
商品 B的价格 p2 上升，则商品 B的需求量会下降。
10
两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型
Q p 2 1(p 1,p 2) 0 , Q p 1 2(p 1,p 2) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的增加。
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与经济问题最优化
1
第八节 边际分析、弹性分析与经济 问题的最优化
一、边际分析 二、弹性分析 三、经济问题的最优化
第七章
2
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 ) 边际的经济意义:当 x x 0时, x 改变一个单位, y 改变
f y ( x0 , y0 ) 表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变, y每改变一
个单位，函数z=f(x,y)改变 f y ( x0 , y0 ) 个单位
4
例1 设Cobb-Douglas生产函数为 P(K, L) = 20K0.3L0.7。 其中P表示产量、 K表示资本、 L表示劳动。求 P’K(1,1) 及 P’L(1,1) ，并解释其含义。 解： P’K =6K-0.7L0.7 ， P’K(1, 1)= 6(1)-0.7(1)0.7 = 6 含义: P’K= 6 表示当劳动保持1个单位不变， 且当资本为1个单位时，每增加一单位的资本，产 量约增加6单位。称为资本的边际生产量。 P ,L=14K0.3L-0.3 ， P’L(1, 1)=14(1)0.3(1)-0.3 = 14 含义: P’L = 14 表示当资本保持1个单位不变， 且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产 量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。
的价格.需求量 Q
Q p
1 1
Q 2 对价格p1,p2的偏导数为边际需求函数：
2
表示乙商品的价格 p
保持不变的情况下，
1
甲商品的价格
p
1
变化时，甲商品需求量Q
的变化率，
称其为甲商品关于自身价格 p 1 的边际需求；
7
Q p
1 2
表示甲商品的价格 p
1
保持不变的情况下，
1
乙商品的价格 p 2 变化时，甲商品需求量Q
'x (20 ,50 ) 來逼近Q 用Q 是恰当的。 ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 )
6
2. 边际需求 设两种相关商品甲和乙的需求函数为：
Q ,p f p ,p 1f 1p 1 2 Q 2 2 1 2
其中 Q 1 , Q
2
p1, p 为甲，乙商品需求量，
1
2
分别表示甲和乙
9
3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
假设有两种商品 A 与 B。p1 与 p2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（p1, p2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（p1, p2）表示商品 B 的需 求函数。则函数恒有下列关系：
Q 1 p 1
0 ,
Q 2 p 2
5
例2 已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人， 2 3 2 日产量由二元函数 Q ( x , y ) 1000 x 300 y x y x y 决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人， 若增加熟练工1人，问产量增加多少？
Q (20,50) 解： 根据题意，必须求得 x
的变化率，
称其为甲商品关于相关价格 p 2 的边际需求；
Q 2 p1
Q p
2 2
Q 的边际解释可与 p
1 1
Q p
1 2
的边际解释类似.
8
3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
两种商品之间的关系:
两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。 替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另 一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪 肉和鸡蛋等。 互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的 需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、 CD机和光盘等。
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 )
1. 定义： 二元函数 z f (x, y) 的偏导数f x ( x0 , y0 )和 f y ( x0 , y0 )
分别称为 f ( x , y ) 在点(x0,y0)关于 x 和 y 的边际。 d f (x ,y x ,y ) 边际的经济意义： fx( 0) x x 0 0 0 d x f x ( x0 , y0 )表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一 个单位，函数z=f(x,y)改变 f x ( x0 , y0 ) 个单位
0 ,
即： 商品 A 的价格 p1 上升，则商品 A 的需求量会下降。
商品 B的价格 p2 上升，则商品 B的需求量会下降。
10
两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的增加。 两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量减少。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的减少。
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例3 两种商品 A 与 B，当其价格分别为 x 与 y 时 的需求函数为 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函数) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函数) 试问这两种商品为替代型还是互补型？
2 Q ' 1000 2 xy 3 x 因为, x
2 Q ' ( 20 , 50 ) 1000 2 ( 20 )( 50 ) 3 ( 20 ) 1800 x
所以, 日产大约会增加1800单位。
实际上，日产量增加的真实值为 Q ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 ) 1809
f(x 0) 个单位 .
边际的实质: 反映了一种经济变量随另一种经济变 量变化的快慢程度. 现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经 济变量变化的情况。例如, 某种品牌的电视机的销售 情况，除了受本品牌电视机的价格影响外 , 还受其他 品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推 广到多元函数的情形。 3