三角函数、极限、等价无穷小公式
等价无穷小公式及证明
等价无穷小公式及证明在我们的数学学习中，等价无穷小可是一个非常重要的概念哦！它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多复杂问题的大门。
那什么是等价无穷小呢？简单来说，就是在某个变化过程中，两个无穷小量的比值的极限为 1 。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
咱们先来看几个常见的等价无穷小公式。
当 x 趋近于 0 时，有以下这些：tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 x²/2 ，ln(1 + x) 等价于 x ，e^x - 1 等价于 x 。
接下来咱们聊聊怎么证明这些等价无穷小公式。
就拿 sin x 和 x 来说吧，咱们可以利用泰勒公式展开。
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! -... ，当 x趋近于 0 时，后面那些高次项相对于 x 来说就可以忽略不计啦，所以sin x 就近似等于 x ，它们就是等价无穷小。
再比如说 1 - cos x 等价于 x²/2 这个公式。
我们可以利用三角函数的二倍角公式cos 2α = 1 - 2sin²α ，把 cos x 表示成 1 - 2sin²(x/2) ，那么 1 - cos x 就等于 2sin²(x/2) 。
而当 x 趋近于 0 时，sin(x/2) 等价于 x/2 ，所以 2sin²(x/2) 就等价于 2×(x/2)² = x²/2 。
我还记得我之前给学生们讲等价无穷小的时候，有个学生特别可爱。
那节课刚开始，他一脸迷茫地看着我，感觉完全被这些概念给搞晕了。
我就从最基础的例子开始讲起，慢慢引导他们。
当讲到 sin x 和 x 等价无穷小时，我在黑板上一步一步地推导，那个学生眼睛眨也不眨地盯着黑板，手里的笔不停地记着。
等到课程结束的时候，他突然兴奋地跟我说：“老师，我好像懂了！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
常用无穷小等价代换公式(一)
常用无穷小等价代换公式(一)资深创作者关于常用无穷小等价代换公式的相关公式如下：1. 零与无穷小等价零与无穷小是数学中常见的极限概念，它们之间存在等价关系。
lim x→0sin(x)x=1这个公式表示，当x趋向于0时，sin(x)x的极限等于1。
2. 指数与幂等价指数和幂的函数在某些情况下也可以等价代换。
lim x→∞(1+1x)x=exp(1)这个公式表示，当x趋向于无穷时，(1+1x )x的极限等于自然指数exp(1)。
3. 自然对数与对数等价自然对数和普通对数之间也可以进行等价代换。
lim x→0ln(1+x)x=1这个公式表示，当x趋向于0时，ln(1+x)x的极限等于1。
4. 三角函数等价不同三角函数之间也存在等价代换的关系。
lim x→01−cos(x)x2=12这个公式表示，当x趋向于0时，1−cos(x)x2的极限等于12。
5. 幂次函数等价不同幂次函数在某些情况下也可以等价代换。
lim x→0e x−1x=1这个公式表示，当x趋向于0时，e x−1x的极限等于1。
6. 三角函数与指数函数等价三角函数和指数函数之间也可以进行等价代换。
lim x→01−cos(x)x2=12这个公式表示，当x趋向于0时，1−cos(x)x2的极限等于12。
7. 对数与指数等价自然对数与指数函数之间也有等价代换关系。
lim x→∞ln(x)x=0这个公式表示，当x趋向于无穷时，ln(x)x的极限等于0。
8. 高阶无穷小等价在一些情况下，高阶无穷小之间也可以进行等价代换。
lim x→0e x−ln(1+x)−xx2=12这个公式表示，当x趋向于0时，e x−ln(1+x)−xx2的极限等于12。
这些是常见的无穷小等价代换公式及其解释说明。
通过应用这些公式，可以简化数学问题的计算，使得推导和求解过程更加简明和便捷。
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式一、三角函数三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的定义涉及到单位圆上的点和角度的概念。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
1. 正弦函数sin(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数cos(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的x坐标即为cos(x)。
3. 正切函数tan(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标与x坐标的比值即为tan(x)。
三角函数具有很多重要的性质和关系，例如：1. 周期性：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。
而tan(x)的周期则是π，即tan(x+π)=tan(x)。
2. 互余关系：sin(x)和cos(x)之间互为相反数，即sin(x)=-cos(x)，cos(x)=-sin(x)。
3. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)。
而tan(x)则是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
二、极限极限是描述函数趋于一些值的重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
极限的定义是：当自变量x的取值逐渐靠近一些值a时，函数f(x)的取值逐渐接近一些值L，这个值L就是f(x)当x趋于a时的极限。
常见的极限计算方法包括：1. 基本极限：例如lim(x→0) sin(x)/x=1，lim(x→0)(1+1/x)^x=e等。
2. 夹逼原理：如果函数f(x)在a的一些邻域内夹在两个趋于L的函数之间，那么f(x)的极限也是L。
例如lim(x→0) x^2sin(1/x)=0。
3.等价无穷小：如果lim(x→a) f(x)=0，那么lim(x→a) g(x)=0，我们可以称函数g(x)是函数f(x)的等价无穷小。
三角函数极限等价代换公式
三角函数极限等价代换公式在数学中，极限是一种重要的概念，可以描述函数在一些点或者无穷远处的行为。
在计算极限时，常常利用等价代换来简化运算，而三角函数是等价代换中常用的一种工具。
本文将介绍三角函数极限的等价代换公式，并以详细的推理和例题进行说明。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等多种类型。
我们先来介绍正弦函数和余弦函数。
1.正弦函数的极限等价代换公式：当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 的极限是 $x$，即 $\lim\limits_{x\to 0}{\sin x} = x$。
这一公式的推导可以从单位圆的定义出发。
单位圆上角度为 $x$ 的弧所对应的弦长等于 $\sin x$，当 $x$ 靠近 $0$ 时，根据单位圆的性质，弦长也趋近于弧长，而弧长正好是角度 $x$ 的弧度值，因此$\lim\limits_{x \to 0}{\sin x} = x$。
例如，计算以下极限：$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}$根据正弦函数的极限等价代换公式，我们可以将分子和分母都除以$x$，得到：$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{\sin x}{x}}{1}} = \lim\limits_{x \to0}{\frac{1}{1}} = 1$2.余弦函数的极限等价代换公式：当 $x \to 0$ 时，$\cos x$ 的极限是 $1$，即 $\lim\limits_{x \to 0}{\cos x} = 1$。
这一公式的推导可以从正弦函数的极限等价代换公式开始。
我们可以将余弦函数表示为正弦函数的平移形式：$\cos x = \sin (x +\frac{\pi}{2})$。
当 $x$ 靠近 $0$ 时，正弦函数的极限等于 $x +\frac{\pi}{2}$，因此 $\cos x$ 的极限等于 $1$。
三角函数、极限、等价无穷小公式
三角函数、极限、等价无穷小公式sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N∃（正整数），当Nn >时，恒有ε<-A xnA x nn =∞→lim 或 Axn→ )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}nx 至多有有限个点Nx x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(Ax f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x xx x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
（3） 左右极限 左极限：0>∀ε，0>∃δ，当0x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =-→)(lim 0或 Axf x f =-=-)0()(0右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(Ax f x x =+→)(lim 0或 Axf x f =+=+)0()(0极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→==（4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若Ax f x x =→)(lim，则在0x 的某邻域内0A >(0)A <⇒()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤⇒0A ≥(0)A ≤有界性：若Ax f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
(完整版)数学公式大全
三角函数公式 1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin=AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注释：xx tan 1cot =5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(•-+=+④βαβαβαtan tan 1tan -tan )tan(•+=-6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθcos sin 22sin =公式七：②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-==θθ22tan 1tan 1+- ③θθθ2tan 1tan 22tan -=④ 22cos 1sin 2θθ-= ⑤ 22cos 1cos 2θθ+=⑥ Sin 2x+cos 2x=1 ⑦ 1+tan 2x=sec 2x ⑧ 1+cot 2x=csc 2x7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±8.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-高等数学必备公式1、指数函数（4个）： 幂函数5-8（1）nm n m aa a +=⋅ （2）nm n m a aa -=（3）nmn ma a= （4）m m aa 1=- （5） nm n m xx x +=⋅2、对数函数（4个）：（1）b a ab ln ln ln += （2）b a b a ln ln ln -=（3）a b a bln ln = （4）N N e e N ln ln ==3、三角函数（10个）：（1）1cos sin 22=+x x （2）x x x cos sin 22sin = （3）x x x x x 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= （4）21cos 2sin 2x x -= （5）21cos 2cos 2xx +=（6）x x 22sec tan 1=+ （7） xx 22csc cot 1=+（8）x x csc 1sin = （9）x x sec 1cos =（10）xx cot 1tan =4、等价无穷小（11个)：（等价无穷小量只能用于乘、除法）23330sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~1~ln(1)~ 1cos ~11~20tan sin ~ tan ~ sin ~236n e nx x x x x x x x x x →-+-+-→---当时： 当时：幂函数：（1）)('c =0 （2）1)(-='μμμx x（3）211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭（4）'指数对数：（5）a a a xx ln )(=' （6）x x e e =')(（7）a x x a ln 1)(log =' （8）x x 1)(ln ='三角函数：（9）x x cos )(sin =' （10）x x sin )(cos -='（11）x x 2sec )(tan =' （12）x x 2csc )(cot -='（13）x x x tan sec )(sec =' （14）x x x cot csc )(csc -='反三角函数：（15）211)(arcsin x x -=' （16）211)(arccos x x --=' （17）211)(arctan x x +=' （18）211)cot (x x arc +-='求导法则： 设u=u(x),v=v(x)1. (u —+v )’=u ’—+v ’ 2. (cu)’=cu ’(c 为常数) 3. (uv)’=u ’v+uv ’ 4. (vu )’=2''u v uv v -幂函数：（1）⎰+=C kx kdx （2）⎰-≠++=+)1(11μμμμC x dx x（3）211dx C x x=-+⎰ （4）C =（5）C x dx x +=⎰ln 1指数函数：（6）C a a dx a xx+=⎰ln （7）⎰+=C e dx e x x三角函数：（8） ⎰+-=C x xdx cos sin （9） ⎰+=C x xdx sin cos （10） tan ln cos xdx x C =-+⎰ （11）cot ln sin xdx x C =+⎰ （12）⎰+=C x xdx x sec tan sec （13）⎰+-=C x xdx x csc cot csc （14）⎰⎰+==Cx xdx xdxtan sec cos22（15）⎰⎰+-==Cx xdx dx x cot csc sin 122（16）sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ （17）csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰（18）Cx dx x +=-⎰arcsin 112（19）arcsinx C a=+（20）Cx dx x +=+⎰arctan 112 （21）2211arctan xdx C ax a a =++⎰（22）Ca x x dx a x +++=+⎰2222ln 1 （23）Ca x x dx ax +-+=-⎰2222ln 1 （24）2211ln 2x a dx C xa a x a-=+-+⎰补充：完全平方差：222)(b ab a b a +-=- 完全平方和：222)(b ab a b a ++=+ 平方差：))((22b a b a b a +-=- 立方差：))((2233b ab a b a b a ++-=- 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+常见的三角函数值奇/偶函的班别方法：偶函数：f(-x ）= f(x) 奇函数：f(-x)= -f(x)常见的奇函数：Sinx , arcsinx , tanx , arctanx , cotx , x2n+1常见的有界函数：Sinx , cosx , arcsinx , arccosx , arctanx , arccotx极限运算法则：若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则有：1. lim [f(x)—+g(x)]=lim f(x)—+lim g(x)=A —+B 2. lim [f(x).g(x)]=lim f(x).—+lim g(x)=A .B3. 又B 不等于0，则BAx g x f x f ==)(lim )(lim g(x))(lim两个重要极限：11sin lim 0=→x x x 1)()(sin lim 0)(=−−→−→x g x g x g 推广 2.e x g e x e xx g x xx x x =+−−→−=+=+∞→∞→∞→)(11))(1(lim )1(lim )11(lim 推广；；.无穷小的比较： 设：lim α=0,lim β=01. 若lim αβ=0,则称β是比α较高价的无穷小量2. 若lim αβ=c ，（c 不等于0）,则称β是比α是同阶的无穷小量3. 若lim αβ=1,则称β是比α是等价的无穷小量4. 若lim αβ=∞,则称β是比α较低价的无穷小量抓大头公式：mm m mn n n n b x b a x a a xx xx +⋯⋯++++⋯⋯++----11101110b b a lim=｛mn m n mn b >∞<=,,0,a 0积分：1.直接积分（带公式）2.换元法：① 简单根式代换a. 方程中含nb ax +，令nb ax +=t b.方程中含ndcx b ax ++，令ndcx b ax ++=tc. 方程中含nb ax +和mb ax +，令pb ax +（其中p 为n,m 的最小公倍数）② 三角代换： a. 方程中含22a x -,令X=asint; t ⊂(-2π,2π)b. 方程中含22a x +,令X=atant; t ⊂(-2π,2π)c. 方程中含22x a -,令X=asect; t ⊂(0,2π)③ 分部积分∫uv ’ dx=uv-∫u ’v dx反（反三角函数）对幂指三,谁在后面，谁为v ’，根据v ’求出v.无穷级数：1. 等比级数：∑∞=1n n aq ，｛发散收敛,1q ,1q ≥<2. P 级数：∑∞=11n pn，｛发散收敛,1p ,1p ≤>3. 正项级数：nn n uu 10lim +→=ρ，｛判别法，无法判断，改用比较发散收敛1,1,1=><ρρρ4.比较判别法：重找一个V n （一般为p 级数），敛散性一致与，∑∑∞=∞=∞→=1n 1n n lim n n v u A nnv u5. 交错级数：)0()1(1>-∑∞=n n n n u u ，莱布尼茨判别法：｛0lim 1=∞→+≥u n n n u u ，则级数收敛。
常用的等价无穷小公式大全
常用的等价无穷小公式大全
1.当x趋向于0时，有以下等价无穷小公式：
- x ≈ sin(x) ≈ tan(x) ≈ arcsin(x) ≈ arctan(x) ≈ tanh(x) ≈ sinh(x) ≈ x
- x ≈ ln(1+x) ≈ ex - 1 ≈ ax - 1 (a为常数)
-x≈e^-x-1≈-1/x
2.当x趋向于无穷时，有以下等价无穷小公式：
- x ≈ log(x) ≈ ln(x) ≈ ex ≈ x^a (a为常数)
-x≈1+1/x≈1-1/x≈1/x
3.当x趋向于其中一固定值a时，有以下等价无穷小公式：
- (x - a) ≈ sin(x - a) ≈ tan(x - a) ≈ arcsin(x - a) ≈ arctan(x - a) ≈ tanh(x - a) ≈ sinh(x - a) ≈ x - a
- (x - a) ≈ ln(1+(x - a)) ≈ e^(x - a) - 1 ≈ a(x - a)
-(x-a)≈e^-(x-a)-1≈-1/(x-a)
4.一些常见的等价无穷小公式：
- 如果f(x)是无穷小序列，则af(x)也是无穷小序列。
-如果f(x)和g(x)均为无穷小序列，则f(x)g(x)也是无穷小序列。
- 如果f(x)是无穷小序列，并且lim(g(x)) != 0，则f(x)/g(x)也
是无穷小序列。
- 如果f(x)是无穷小序列，并且lim(h(x)) = L，则f(g(x))也是无穷小序列（其中g(x)在x趋向于其中一固定值a时有定义，且lim(g(x)) = a）。
高数上册归纳公式篇(完整)
精心整理公式篇目录一、函数与极限1.常用双曲函数2.常用等价无穷小3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式2.n阶导数公式3.4.参数方程求导公式5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理2.高阶中值定理3.部分函数使用麦克劳林公式展开4.曲率四、定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、不定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数3.牛顿-4.三角相关定积分5.6.1.2.3.七、微分方程1.可降阶方程2.变系数线性微分方程3.常系数齐次线性方程的通解4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式5.特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))2.常用等价无穷小(x→0时)3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号)2.n 阶导数公式特别地,若n =λ3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身4.参数方程求导公式5.微分近似计算(x ∆很小时)(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:(三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导)罗尔定理(端点值相等()(f a f =拉格朗日中值定理柯西中值定理(0)('≠x g ≠0)2.)n R 为余项(ξ在x 和0x 之间)令00=x ,得到麦克劳林公式3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)4.曲率四、不定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数推广得3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)(2)积分中值定理函数)a上可积[bf在],(x,a上的平均值f在][b(xf称为))(ξ4.三角相关定积分三角函数系的正交性5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分推论1(2)瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence:发散6.Γ函数(选)(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用1.平面图形面积(1)直角坐标:由曲线0ax==,y及x)(≥=xf(2)极坐标:ρ=有曲线(φ2.体积(1)绕x(2)平行截面(与x轴垂直)面积为)(xA3.弧微分公式(1)直角坐标:(2)极坐标:七、微分方程1.可降阶方程(1))()(x f y n =型n 次积分得(2))',("y x f y =型作换元'y p =得),('p x f p =得通解),(1C x p ϕ=则21),(C dx C x y +=⎰ϕ(3))',("y y f y =型作换元'y p =,),(,"p y f dxdp p dx dp p dx dp y ===得通解dx dy C y p ==),(1ϕ 则21),(C x C y dy +=⎰ϕ 2.变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程:)()('x Q y x P y =+对应齐次方程:0)('=+y x P y 原方程)()('x Q y x P y =+的通解为(2)0)(')(1=+++-y x P y x P n n若(),(21x y x y n 个线性无关解)()()(22x y C x y C x n n +++若)(*x y 为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为)(*)(x y x Y y +=3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程0"=++q py y特征方程为02=++q pr r①0>∆,两个不等实根a b r a b r 2,221∆+-=∆--=通解为x r x r e C e C y 2121+=②0=∆,两个相等实根221p r r -== 通解为x r e x C C y 1)(21+=③0<∆,一对共轭复根2,2,,21∆-=-=-=+=βαβαβαp i r i r通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=(2)高阶方程0'1)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n 特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r 对于其中的根r 的对应项①实根r一个单实根:rx Ce一个k 重实根:rx k k C x C C (121-+++②复根i r βα±=2,1一对单复根:cos (21C x C e x βα+一对k 重复根]sin )(cos )1211x x D x D D x x C k k k k ββ--+++++ 4.)的特解形式 '"qy py y =++02=++q pr r (1))()(x P e x f m x λ=)(x P m 为x 的m 次多项式 特解形式为x m k e x Q x y λ)(*=)(x Q m 是x 的m 次多项式(2)]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=)(),()2()1(x P x P n l 分别为x 的n l ,次多项式 特解形式为x m m k e x x R x x Q x y λωω]sin )(cos )([*+= },max{n l m =,)(),(x R x Q m m 为x 的m 次多项式记i z ωλ+=5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程n y x Q y x P dxdy )()(=+(1,0≠n ) 令n y z -=1,dxdy y n dx dz n--=)1( 得通解),(C x z ϕ=(2)欧拉方程作变换t e x =或x t ln =,记dtd D = 将上各式代入原方程得到此为常系数线性微分方程 可得通解),,,,(21n C C C t y ϕ= 即可得原方程通解),,,,(21n C C C x y Φ=。
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式1.$x$趋向于0时的正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式是三角函数的基本极限之一，它在很多计算和推导中经常被使用。
2.$x$趋向于0时的余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$1 - \cos{x}$与$x$之间的比值趋于0。
这个公式在求解一些特定极限时非常有用。
3.$x$趋向于0时的正切极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\tan{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特殊函数的导数时经常被使用。
4.$x$趋向于0时的反正弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\sin^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。
5.$x$趋向于0时的反余弦极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^{-1}{x}}{x} = 1$$这个公式告诉我们，当$x$趋向于0时，$\cos^{-1}{x}$与$x$之间的比值趋于1、这个公式在计算一些特定反三角函数的导数时非常有用。
通过这些公式，我们可以简化和加速一些复杂的数学计算，在求解极限、导数和积分等问题时非常有应用价值。
这些公式的证明过程比较繁琐，需要使用一些高级的数学工具和技巧，因此在这里不进行详细推导。
除了这些基本的三角函数极限等价无穷小公式之外，还有一些其他的相似公式，例如：$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2}$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{x^2} = 1$$$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} = -1$$这些公式在高等数学的课程中经常出现，学生需要注意掌握它们的应用场景和使用方法。
考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln （1+x ） ~ e x -1a x -1~x ln a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1-cos x ~21x 2增加x -sin x ~61x 3 对应 arcsin x –x ~ 61x 3 tan x –x ~ 31x 3 对应 x - arctan x ~ 31x 3二、利用泰勒公式e x = 1 + x ++！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=cos x = 1 – +！22x o （2x ） ln （1+x ）=x – +22x o （2x ） 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整版)大学用三角函数公式大全
倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1cosα/sinα=cotα=cscα/secα1+cot^2(α)=csc^2(α）tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ）tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ双曲函数sh a = [e^a-e^(-a)]/2ch a = [e^a+e^(-a)]/2th a = sin h(a)/cos h(a)sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanα三角函数的诱导公式（六公式）公式一sin(-α) = -sinαtan (-α)=-tanα公式二sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinα公式四sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosα公式六tanA= sinA/cosAtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)反三角函数公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=x-arctan1/x,arccotx类似x〉0,arctanx=π/2若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角函数求导：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(secx)'=secxtanx(cotx)'=-(cscx)^2(cscx)'=-csxcotx-x^2)(arcsinx)'=1/√(1(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)基本求导公式⑴0)(C （C 为常数）⑵1)(n n nx x ；一般地，1)(x x 。
三角函数的等价无穷小
三角函数的等价无穷小三角函数是数学中一个重要的分支，它在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
在研究三角函数的性质时，我们常常会遇到等价无穷小的概念。
等价无穷小是极限概念的一种重要应用，它描述了随着自变量趋近于某个特定值时，函数值与另一个函数值之间的关系。
在三角函数中，我们可以通过等价无穷小来描述三角函数的性质和变化规律。
当自变量趋近于零时，正弦函数和余弦函数的变化规律可以通过等价无穷小来表示。
正弦函数sin(x)的等价无穷小通常表示为x，即当x趋近于零时，sin(x)与x的差异可以忽略不计。
余弦函数cos(x)的等价无穷小通常表示为1-x^2/2，即当x趋近于零时，cos(x)与1-x^2/2的差异可以忽略不计。
利用等价无穷小，我们可以推导出三角函数的一些重要性质。
例如，当自变量趋近于零时，tan(x)的等价无穷小是x，cot(x)的等价无穷小是1/x，sec(x)的等价无穷小是1，csc(x)的等价无穷小是1/x。
这些性质在数学和物理的研究中起到了至关重要的作用。
除了正弦函数和余弦函数，其他的三角函数也可以通过等价无穷小来描述。
例如，当自变量趋近于零时，反正切函数arctan(x)的等价无穷小是x，反余切函数arccot(x)的等价无穷小是1/x，反正弦函数arcsin(x)的等价无穷小是x，反余弦函数arccos(x)的等价无穷小是1-x^2/2。
通过等价无穷小，我们可以更加深入地理解三角函数的性质和变化规律。
它不仅是三角函数研究中的一种工具，也是数学学科中极限概念的重要应用。
在解决实际问题中，等价无穷小的概念可以帮助我们简化计算，提高效率。
总之，等价无穷小是研究三角函数的重要概念之一。
它描述了函数值与另一个函数值之间的关系，帮助我们更好地理解三角函数的性质和变化规律。
在学习和应用三角函数时，我们应该深入理解并灵活运用等价无穷小的概念。
11个等价无穷小公式
11个等价无穷小公式无穷小是微积分中一个重要的概念，它在极限的计算中起着关键的作用。
无穷小可以用一种等价无穷小的概念来描述，即在某个特定条件下，两个无穷小是等价的。
下面将介绍11个等价无穷小公式，并对其含义、应用和指导意义进行详细阐述。
首先，我们介绍一些基本的无穷小公式：1. 当 x 趋于 0 时，无穷小 dx 和其自身的 n 次方 dx^n 是等价无穷小。
这个公式的含义是，当 x 接近于 0 时，与 dx 相差很小的无穷小 dx^n 的 n 次方，可以视为等价无穷小。
这个公式在计算微分的过程中经常出现，可以方便地进行近似计算。
2. 当 x 趋于无穷大时，无穷小 dx 和其自身的倒数 1/dx 是等价无穷小。
这个公式的含义是，当 x 趋于无穷大时，与 dx 相差很小的无穷小 1/dx 可以视为等价无穷小。
这个公式在计算积分的过程中经常出现，可以方便地进行近似计算。
接下来，我们介绍一些常见的等价无穷小公式：3. 当 x 趋于 0 时， sin(x) 和其自身的等价无穷小 x 是等价无穷小。
等价无穷小 x 可以视为等价无穷小。
这个公式在计算极限的过程中经常出现，可以方便地进行近似计算。
4. 当 x 趋于 0 时， tan(x) 和其自身的等价无穷小 x 是等价无穷小。
这个公式的含义是，当 x 趋近于 0 时，与 tan(x) 相差很小的等价无穷小 x 可以视为等价无穷小。
这个公式在计算极限的过程中经常出现。
5. 当 x 趋于 0 时， e^x - 1 和其自身的等价无穷小 x 是等价无穷小。
这个公式的含义是，当 x 趋近于 0 时，与 e^x - 1 相差很小的等价无穷小 x 可以视为等价无穷小。
这个公式在计算极限的过程中经常出现，可以方便地进行近似计算。
6. 当 x 趋于无穷大时， ln(x+1) 和其自身的等价无穷小 1/x 是等价无穷小。
这个公式的含义是，当 x 趋近于无穷大时，与 ln(x+1) 相差很小的等价无穷小 1/x 可以视为等价无穷小。
(完整版)大学用三角函数公式大全
倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1cosα/sinα=cotα=cscα/secα1+cot^2(α)=csc^2(α)tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ双曲函数sh a = [e^a-e^(-a)]/2ch a = [e^a+e^(-a)]/2th a = sin h(a)/cos h(a)sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanα三角函数的诱导公式（六公式）公式一sin(-α) = -sinαtan (-α)=-tanα公式二sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinα公式四sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosα公式六tanA= sinA/cosAtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)反三角函数公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角函数求导：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(secx)'=secxtanx(cotx)'=-(cscx)^2(cscx)'=-csxcotx(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
等价无穷小转换公式
等价无穷小转换公式首先，我们来介绍等价无穷小的定义。
在微积分中，无穷小是指趋于零的量。
如果两个无穷小在一些条件下表现出相同的趋势，即它们的极限为零，那么我们就可以说它们是等价的。
等价无穷小转换公式是指将一个无穷小替换为与之等价的另一个无穷小的公式。
一、常见的等价无穷小转换公式：1.当x趋于零时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以使用泰勒展开式，并且利用级数求和的特点。
(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。
(c) ln(1+x) ~ x这个公式的证明可以使用级数展开和对数的性质。
(d)e^x-1~x这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(f) a^x - 1 ~ x ln a这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。
2.当x趋于无穷时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以利用级数展开和三角函数的性质。
(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。
(c)e^x-1~x这个公式的证明可以使用级数展开和指数函数的性质。
(d) ln(1+x) ~ x这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。
(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(f)x^a/e^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。
(g)x^n/a^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。
二、这些等价无穷小转换公式的证明通常采用的方法是泰勒展开和极限定义。
对于泰勒展开，可以使用泰勒级数的公式，将函数展开成无穷级数的形式，并利用级数求和的特性来证明等价无穷小的关系。
对于极限定义，可以使用极限的定义来证明等价无穷小的关系。
对于x趋于零的情况，使用极限的定义，对于x趋于无穷的情况，使用无穷大的定义。
三角函数等价无穷小
三角函数等价无穷小
三角函数等价无穷小是数学中一个重要的概念，它在微积分和数学分析中有广泛的应用。
虽然在本文中不能使用数学公式或计算公式来描述这个概念，但我们仍然可以用生动的语言来描绘它。
让我们从一个简单的例子开始。
假设有一个角度为x的直角三角形，其中x非常小。
当x接近0时，我们可以说sin(x)等于x。
这是因为当x非常小时，正弦函数的图像与直线y=x非常接近。
所以我们可以说sin(x)是x的等价无穷小。
接下来，让我们考虑另一个例子。
假设有一个角度为x的任意三角形，其中x非常接近90度。
当x接近90度时，我们可以说cos(x)等于90度减去x。
这是因为当x接近90度时，余弦函数的图像与直线y=90-x非常接近。
所以我们可以说cos(x)是90度减去x的等价无穷小。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们都有各自的等价无穷小表达式，可以用类似的方法进行推导和描述。
三角函数等价无穷小在数学分析中有很多重要的应用。
例如，在极限计算中，我们经常需要使用三角函数的等价无穷小来求解极限。
另外，在微分学中，我们也会使用三角函数的等价无穷小来进行函数的近似计算。
总的来说，三角函数的等价无穷小是数学中一个重要而有趣的概念。
它帮助我们理解三角函数的性质，并在各种数学问题中提供了便利的计算方法。
无论是在微积分、数学分析还是其他数学领域，三角函数的等价无穷小都起着重要的作用。
希望通过本文的描述，读者对这个概念有了更深入的理解。
个等价无穷小公式
个等价无穷小公式等价无穷小公式是微积分中的重要概念之一，它在研究极限、微分和积分等方面起到了重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨一些常见的等价无穷小公式，并解释它们的含义和应用。
首先我们来定义等价无穷小。
在微积分中，函数f(x)被称为在点x=a 处的等价无穷小，如果当x接近a时，f(x)和x-a相比趋近于零。
换句话说，等价无穷小可以近似看作一个非常小的量。
等价无穷小的概念对于研究函数的变化率、极限以及微分和积分的计算都具有重要的意义。
下面是几个常见的等价无穷小公式：1. x 接近于零时，sin(x)等价于 x这个公式表明，当 x 接近于零时，sin(x) 的值可以近似为 x，即sin(x)~x。
这个等价无穷小公式在计算极限时经常用到，特别是在计算泰勒级数展开式和微分的计算中。
2. x 接近于零时，tan(x)等价于 x类似于 sin(x)，tan(x) 在 x 接近于零时可以近似为 x，即tan(x)~x。
这个等价无穷小公式在研究函数的极限和微分时非常有用。
3. x 接近于零时，1-cos(x)等价于 (1/2)x^2这个公式表示，当 x 接近于零时，1-cos(x) 的值可以近似为(1/2)x^2、这个等价无穷小公式在计算极限和微分时经常用到。
4. x 接近于零时，1/(1+cos(x))等价于 (1/2)x^2类似于上述公式，1/(1+cos(x)) 在 x 接近于零时可以近似为(1/2)x^2、这个公式在计算极限和微分时非常有用。
5. x 接近于零时，ln(1+x)等价于 x这个公式表示，当 x 接近于零时，ln(1+x) 的值可以近似为 x。
这个等价无穷小公式在计算极限和微分时经常用到。
6.x接近于零时，e^x-1等价于x类似于上述公式，e^x-1在x接近于零时可以近似为x。
这个公式在计算极限和微分时非常有用。
以上是一些常见的等价无穷小公式，它们对于研究函数的极限、微分和积分等方面起到了重要的作用。
考研数学二公式高数线代(费了好大劲)技巧归纳
·半角公式：
sin 1 cos cos 1 cos
2
2
2
2
tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
2 1 cos sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R c ·余弦定理： 2 a2 b2 2abcosC sin A sin B sin C
ln（1+ x ）= x – x2 o（ x2 ） 2
(tgx) sec2 x
(ctgx) csc2 x
(secx) sec x tgx
(cscx) cscx ctgx
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln
a
(arcsinx) 1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
M点的曲率：K lim d s0 s ds
直线：K 0;
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C dx ln(x
x2 a2
x2 a2 )C
In
2
sin n
0
xdx
2
0
c osn
xdx
n 1 n In2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln( x x2 a2 ) C
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
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三角函数的有理式积分：
s
in
x
1
2u u
2
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三角函数公式整合：两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA•CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanαtan （π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x nA x n n =∞→lim 或 A x n → )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(A x f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
（3） 左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =-→)(lim 0或 A x f x f =-=-)0()(00右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =+→)(lim 0或 A x f x f =+=+)0()(00极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→== （4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤有界性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。
例如当x →∞时，x x sin 是无界变量，但不是无穷大量。
（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；A x f x x =→)(lim 0成立的充要条件是α+=A x f )(（00(,)x x x δδ∈-+，0lim =α）（3）无穷小的比较（设 0lim =α，0lim =β）： 若lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o α；特别α称为()o αβαα+=+的主部若limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小； 若lim C βα=，则称β与α是同阶无穷小；若lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记为~βα；若lim k C βα=，（0,0>≠k C ）则称β为α的k 阶无穷小；（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim uv=∞，则称u 是比v 高阶的无穷大，记为1()o v ；特别u 称为1()u v o v v +=+的主部3. 等价无穷小的替换若同一极限过程的无穷小量αα'~，ββ'~，且limαβ''存在，则 ()()limlim ()()f x f xg x g x ααββ'='(lim 0)α=常用等价无穷小sin tan arcsin arctan ~ln(1)1e ααααααα⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩2111cos ~211~21(1)1~1~ln n n a aααααααα-+-- 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim ()(0)f f α=，αα'~，则()~()f f αα'4. 极限运算法则（设 A x f =)(lim ，B x g =)(lim ） （1） []=±)()(lim x g x f ±)(lim x f B A x g ±=)(lim （2） []=⋅)()(lim x g x f ⋅)(lim x f B A x g ⋅=)(lim特别地，[])(lim )(lim x f C x Cf =，[]=nx f )(lim []nnA x f =)(lim（3） =)()(limx g x f BAx g x f =)(lim )(lim (0≠B ) 5.准则与公式（lim 0α=，lim 0β=） 准则1：（夹逼定理）若)()()(x x f x ψϕ≤≤，则A x x ==)(lim )(lim ψϕ ⇒ A x f =)(lim准则2：（单调有界数列必有极限）若{}n x 单调，且n x M ≤（0M >），则lim n n x →∞存在（{}n x 收敛）准则3：（主部原则）()limlim ()o o αααβββ+=+； 1111121212()()lim lim ()()o o o o ∞+∞∞=∞+∞∞公式1： 0sin lim1x xx →= ⇒ sin lim1αα= 公式2： 10lim(1)1lim(1)x x n n x e n →→∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭⇒1lim(1)1lim(1)e αα∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+∞⎪⎪⎩⎭公式3： lim lim(1)eαα∞⋅∞+=，一般地，lim lim(1)ffeαα⋅+=公式4：1101100lim lim n n n n n n nm m m x x m m m mn m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m---→∞→∞-⎧<⎪+++⎪===⎨+++⎪⎪∞>⎩ 6. 几个常用极限(0,1)a a >≠ （1）1lim=∞→nn a ，1lim =∞→n n n ； （2）1lim 0=+→x x x ，lim x x x →+∞=+∞；（3）1lim x x e +→=+∞，1lim 0x x e -→=； （4）0lim ln x x +→=-∞； （5）001lim arctan 21lim arctan 2x x x x ππ+-→→⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （6）011lim 111nn q q q q q →∞⎧<⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=-⎩不存在。