三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα

tan （π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1. 极限的概念

（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x n

A x n n =∞

→lim 或 A x n → )(∞→n

几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21

（2）函数的极限

x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(

A x f x =∞

→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x

几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(

A x f x x =→)(lim 0

或 A x f →)( )(0x x →

几何意义：在0000(,)

(,)x x x x x δδ∈-+邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。

（3） 左右极限

左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(

A x f x x =-

→)(lim 0

或 A x f x f =-=-)0()(00

右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(

A x f x x =+

→)(lim 0

或 A x f x f =+=+)0()(00

极限存在的充要条件：0

lim ()lim ()x x x x f x A f x -+

→→== （4）极限的性质

唯一性：若A x f x x =→)(lim 0

，则A 唯一

保号性：若A x f x x =→)(lim 0

，则在0x 的某邻域内

0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤

有界性：若A x f x x =→)(lim 0

，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界

2. 无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x →∞时，x x sin 是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；

A x f x x =→)(lim 0

成立的充要条件是α+=A x f )(（00(,)x x x δδ∈-+，0lim =α）

（3）无穷小的比较（设 0lim =α，0lim =β）： 若lim

0β

α

=，

则称β是比α高阶的无穷小，记为()o α；特别α称为()o αβαα+=+的主部

若lim

β

α=∞，则称β是比α低阶的无穷小； 若lim C β

α=，则称β与α是同阶无穷小；

若lim 1β

α=，则称β与α是等价无穷小，记为~βα；

若lim k C β

α

=，（0,0>≠k C ）则称β为α的k 阶无穷小；

（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim u

v

=∞，则称u 是比v 高阶的无穷大，记为1()o v ；特别u 称为1()u v o v v +=+的主部

3. 等价无穷小的替换