2019-2020年中考专题复习红卷_几何图形中的动点与最值问题(含答案).docx

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动点与最值题中考数学重难点专题全国通用版含答案(原卷+解析版)

OA BC 2 3 ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时， PC 2 PD2 7 ；③在运动过程中， CDP 是一个
－１－
定值；④当△ODP
为等腰三角形时，点
D
的坐标为
2
3 3
,
0
．其中正确结论的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，在 Rt
ABO
中， OBA
于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分 ABC 时，AP 的长度为（）
8
A．
13
15
B．
13
25
C．
13
32
D．
13
3．如图是函数 y x2 2x 3(0 x 4) 的图象，直线 l / / x 轴且过点 (0, m) ，将该函数在直线 l 上方的图
象沿直线 l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最
－８－
25．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，DF 与 BC 交于点 M，延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 GB 交于点 N，连接 CG. （1）求证：CD⊥CG；
1 MN
（2）若 tan∠MEN= ，求的值；
3 EM 1
（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为？请说明理由.
－５－
19．如图， ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动点，且 BPC 60 ，
⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是___．

2019-2020中考数学专题复习试卷及答案解析：几何图形的动态问题精编(含解析)

几何图形的动态问题精编1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】：分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t；②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1；③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）．故答案为：A．【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。

2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( )A. B.C.D.【答案】B【解析】：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠BDF=60°∴∠A=∠BDF又∵AE+CF=a，∴AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形．∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短∴当BE⊥AD时，BE最短在Rt△ABE中，BE==∴△BEF的周长为【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。

2020中考数学专题汇编几何最值含解析

几何最值一、选择题1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —12{答案} B{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋12，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝12，有下列结论：①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋372. 其中，正确结论的序号为（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③{答案} D{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝52—x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.（第12题）3．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动，A (0，2)，B (0，4)，连接AC 、BD ，则AC ＋BD 的最小值为( )A ．2B ．2C ．6D ．3{答案}B{解析}如图#，过点B 作BB′∥x 轴(点B′在点B 的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A 关于x 轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x 轴于点C ；在x 轴上向右截取CD ＝2，则此时AC ＋BD 的值最小，且最小值＝A′B′＝＝2．故选B ．4．（2020·南通）△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 为BC 的中点，直线l 经过点D ，过B 作BF ⊥l 于F ，过A 作AE ⊥l 于E ．求AE ＋BF 的最大值为A ．B ．2C ．2D ．3{答案}A{解析}过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∠ABC ＝60°，得BH ＝1，AH ＝，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，得AC ＝．当直线l 与AB 相交时，延长BF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，可得AE ＋BF ＝AE ＋FM ＝BM ，在Rt △AMB 中，BM ＜AB ，当直线l ⊥AB 时，最大值为2；当直线l 与AC 相交时，过点C 作CH ⊥l 于点H ，由点D 为BC 中点可证明△BFD ≌△CHD ，BF ＝CH ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC, 当直线l ⊥AC 时最大值为；所以AE ＋BF 的最大值为．5．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则BFE △周长的最小值为（）．A. 5B. 6C. 7D. 8{答案}B{解析}连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，图# 图6∵点B与点D关于AC对称，∵BF=DF，△的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，∵BFE∵正方形ABCD的边长为4，∵AD=AB=4，∵DAB=90°，∵点在上且，∵AE=3，∵DE5=，△的周长=5+1=6，∵BFE故选：B.6.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故选：B.二、填空题7．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．{答案}3－2{解析}延长AD、BC交于点P，作MH⊥PB 于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH 的最小值＝EH －EM ＝3－2.8．（2020·扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B =60° ，AB =10，BC =8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 .（第18题图）{答案} {解析}本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A 作AM ⊥BC 于M ，设EG 、DC 交于H ．∵在Rt △AMB 中，∠B =60° ，AB =10，s i n ∠B =，∴AM =，▱EFGC 中，∵DF =DE ，∴ED =，又EF =GC ，∴，∵EF ∥CG ，∴△EHD △GHC ，∴，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在EG 上，它到AB 的最短距离就是HN ，S ▱ABCD =，∴，当动点E 运动到与N 重合（见答图2），EG 最短，此时，HG ==，∴EG 的最小值= HG +NH =．因此本题答案为．（第18题答图1）（第18题答图2）9．（2020·鄂州）如图，已知直线与x 、y 轴交于A 、B 两点，的半径为1，P 为上一动点，切于Q 点．当线段长取最小值时，直线交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为______________．{答案}{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到长取最小值时P 的位置即为OP ⊥AB 时，然后画出图形，由于PM 即为P 到直线a 的距离的最大值，求出PM 长即可．解：如图，在直线上，x ＝0时，y ＝4，y ＝0时，x ＝，∴OB ＝4，OA ＝，∴tan OA OBA OB==∠， ∴∠OBA ＝30°，由切于Q 点，可知OQ ⊥PQ ， ∴PQ由于OQ ＝1，因此当OP 最小时长取最小值，此时OP ⊥AB ，∴，此时PQ ，BP∴，即∠OPQ ＝30°，若使P 到直线a 的距离最大，则最大值为PM ，且M 位于x 轴下方，过P 作PE ⊥y轴于E ，，，∴431OE =-=，∵，∴∠OPE ＝30°，∴∠EPM ＝30°＋30°＝60°，即∠EMP ＝30°，∴2PM EP ==故答案为：．10．（2020·宜宾）如图，四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝2，P 是边AB 上的动点，则PC +PD 的最小值是 5 ．【解答】解：延长CB 到C ′，使C ′B ＝CB ＝2，连接DC ′交AB 于P ．则DC ′就是PC +PD 的和的最小值．∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠PBC ′，∠ADP ＝∠C ′，∴△ADP ∽△BC ′P ，∴AP ：BP ＝AD ：BC ′＝3：2，′∴PB ＝AP ，∵AP +BP ＝AB ＝5，∴AP ＝5，BP ＝2，∴PD ＝＝＝3，PC ′＝＝＝2，∴DC ′＝PD +PC ′＝3+2＝5，∴PC +PD 的最小值是5，故答案为5．11．（2020·东营）如图，在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （其中点Q 为切点），则线段PQ 长度的最小值为．{答案}{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．连接OP 、OQ ，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知,∴当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短.∵在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，∴，，∴OA ×OB=OP ×AB ，即，∴223122PQ ．12．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP＋PE的最小值是_________．{答案}2，{解析}本题考查正方形的性质，线段最短问题．解：∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BE＝2．∵点P是对角线BD上的动点，连接PC，则PC＝PA．连接EC交BD于点P，此时AP＋PE＝AC＋PE＝EC有最小值，最小值EC2．故答案为213.（2020·永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接,,PM PN MN，则PMN周长的最小值是_________．【答案】【详解】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为PMN周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：12PP==即PMN周长的最小值．故答案为．三、解答题14．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE=DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.（第27题图1）（第27题图2）{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1）利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC =∠OAD=∠BOD即可；（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q. 先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC=CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC=∠OAD，∴OC ∥AD；（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD==AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；（第27题答图1）（第27题答图2）（第27题答图3）（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB 和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），==，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴AD=CD=BC，∴AD CD BCDQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.15.（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．16.（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【解答】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．17.（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的大小为60°．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．18.（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CF＝DE＝AD；（2）AG＝BC，理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD＝PD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PD＝m，∴BD＝PD＝m，由（1）可知：CE＝BD＝m．19.（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．【解答】解：（1）如图①，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠FBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如图②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BFC+α+β＝180°，∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，∴MN＝NK，∠MNK＝60°，∴△MNK是等边三角形，∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，∴OK＝NQ，MO＝MQ，∴△MOQ是等边三角形，∴∠QOM＝60°，∵OK＝NQ，∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，∴NQ＝OQ＝，∴线段OK长度的最小值为．.。

2019-2020学年中考数学《几何图形的动点问题》同步提分训练(有标准答案)

中考数学提分训练: 几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A. B.C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )A. B.C.6 D. 5 3.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③ D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B.C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A. 变短B. 变长 C. 不变 D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________；（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。

备战2020年中考数学一轮专项复习——动点、最值问题(压轴题)(含详细解答)

备战2020年中考数学一轮专项复习——动点、最值问题（压轴题）1．（2019眉山中考第26题 11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣94x 2+bx+c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G.过点G 作GF ⊥x 轴于点F.当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN ＝∠DBA , MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由.x2.（2019绵阳中考第24题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．3.（2019攀枝花中考第24题）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．4.已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．5.（2019绵阳中考25题）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．6．（2019资阳中考第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．7.在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．8.（2019金华中考第24题）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =142点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF .（1）如图1，若AD=BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ,求证：BD=2DO .（2）已知点G 为AF 的中点.①如图2，若AD=BD ，CE =2，求DG 的长.②若AD =6BD ,是否存在点E ,使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3DA(E )BC FFGDAE BCFG DAEBCO9.（2019资阳中考第24题13分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（2019眉山中考第26题 11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣94x 2+bx+c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G.过点G 作GF ⊥x 轴于点F.当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN ＝∠DBA , MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1）抛物线的解析式为：y ＝﹣94(x +5）(x ﹣1) ＝﹣94x 2﹣916x+920 ………………2分配方得：y ＝﹣94（x+2）2+4 ，∴顶点D 的坐标为（﹣2，4）. ………………………………3分（2）设点P 的坐标为（a ，﹣94a 2﹣916a+920）, 则PE ＝﹣94a 2﹣916a+920，PG ＝2(﹣2﹣a )＝﹣4﹣2a. ………………………………4分 ∴矩形PEFG 的周长＝2(PE+PG)＝2(﹣94a 2﹣916a+920﹣4﹣2a)＝﹣98a 2﹣968a ﹣932 ＝﹣98(a +417)2+18225 ……………………………6分 ∵﹣98＜0, ∴当a ＝﹣417时，矩形PEFG 的周长最大，此时，点P 的横坐标为﹣417.…………………… ………7分（3）存在.∵AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝∠DBA.∵∠AMN+∠DMN ＝∠MDB+∠DBA,又∵∠DMN ＝∠DBA, ∴∠AMN ＝∠MDB,∴△AMN ∽△BDM,∴MB AN ＝DBAM ………………………………………………………8分易求得：AB ＝6，AD ＝DB ＝5. △DMN 为等腰三角形有三种可能：①当MN ＝DM 时，则△AMN ≌△BDM,∴AM ＝BD ＝5, ∴AN ＝MB ＝1; ………………………………………………………9分②当DN ＝MN 时，则∠ADM ＝∠DMN ＝∠DBA,又∵∠DAM ＝∠BAD, ∴△DAM ∽△BAD,∴AD 2＝AM •BA.∴AM ＝625, BM ＝6﹣625＝611, ∵MB AN ＝DBAM , ∴ 611AN ＝5625, ∴AN ＝3655. ………………………………………………………………10分 ③DN ＝DM 不成立.∵∠DNM ＞∠DAB, 而∠DAB ＝∠DMN ，∴∠DNM ＞∠DMN ，∴DN ≠DM.综上所述，存在点M 满足要求，此时AN 的长为1或3655.………………………………………11分2.（2019绵阳中考第24题）在平面直角坐标系中，将二次函数y =ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），OA =1，经过点A 的一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，△ABD 的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE +PA 的最小值．【解析】（1）将二次函数y =ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y =a （x -1）2-2，∵OA =1，∴点A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a -2=0，∴，∴抛物线的解析式为y =，即y =．令y =0，解得x 1=-1，x 2=3，∴B （3，0），∴AB =OA +OB =4，∵△ABD 的面积为5，∴=5，∴y D=，代入抛物线解析式得，，解得x1=-2，x2=4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴=，∴S△ACE=S△AME-S△CME===，=，∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∵E（），OA=1，∴AG=1+=，EG=，∴，∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，∴PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=，∠AEG=∠HEF，∴=，∴．∴PE+PA的最小值是3．3.（2019攀枝花中考第24题）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【解析】（1）由y=x知：∠POQ=30°，当AP⊥OP时，AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=；（2）过点P作PH⊥x轴于点H、交过点A平行于x轴的直线与点G，∴∠APQ=90°，∴∠AGP+∠APG=90°，∠APG+∠QPH=90°，∴∠QPH=∠PAG，∴△PAG∽△QPH，∴tan∠PAQ====，则∠QAP=30°；（3）设：OQ=m，则AQ2=m2+4=4PQ2，①当OQ=PQ时，即PQ=OQ=m，则m2+4=4m2，解得：m=；②当PO=OQ时，同理可得：m=±（4+4）；③当PQ=OP时，同理可得：m=；故点Q的坐标为（，0）或（-，0）或（4+4，0）或（-4-4，0）或（2，0）或（-2，0）．6.已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．【解析】（1）由题意得：，∴b=2，c=3，（2）①如图1，∵点C关于直线x=1的对称点为点D，∴CD∥OA，∴3=-x2+2x+3，解得：x1=0，x2=2，∴D（2，3），∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，∴令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴B（-1，0），A（3，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y=-x+3，设F（a，-a2+2a+3），E（a，-a+3），∴EF=-a2+2a+3+a-3=-a2+3a，四边形CEDF的面积=S△EFC+S△EFD===-a2+3a=，∴当a=时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为．②当△PCQ∽△CAP时，∴∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ，∴PQ∥AC，∵C（0，3），A（3，0），∴OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，∴∠BCO=∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴，设PM=b，则CM=3b，AM=b，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线l的解析式为y=-x+n，∴，∴．∴直线l的解析式为y=-x+．5.（2019绵阳中考25题）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴，∴t，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴，∴，又∵AE=OA+OE=2+t，∴，∴EG=AE-AG=，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴，∵AF∥CD，∴，∴，∴，解得：t1=，t2=（舍去），∴EG=EH=；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S=．6．（2019资阳中考第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．8.在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，∴∠AEH＝∠CGH＝90°，∵EH＝HG，∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH．②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．∵EH∥BM，∴＝，∴＝，∴t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，∵EH∥BK，∴＝，∴＝，∴t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH 将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt △ABC 中，AC ＝＝10，∵EF ∥AB ，∴＝，∴＝，∴EF ＝（16﹣t ），∵EH ∥CN ，∴＝，∴＝，解得t ＝．综上所述，满足条件的t 的值为s 或s 或s ．8.（2019金华中考第24题）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =142点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF .（1）如图1，若AD=BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ,求证：BD=2DO .（2）已知点G 为AF 的中点.①如图2，若AD=BD ，CE =2，求DG 的长.②若AD =6BD ,是否存在点E ,使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3DA(E )BC FFGDA E BCFG DAEBC(第24题)O【解析】（1）由旋转性质得：CD =CF ，∠DCF =90°.∵△ABC 是等腰直角三角形，AD =BD . ∴∠ADO =90°，CD =BD =AD , ∴∠DCF =∠ADC . 在△ADO 和△FCO 中，ADO FCO AOD FOC AD FC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，， ∴△ADO ≌△FCO . ∴DO =CO . ∴BD =CD =2OD .（2）①如图1,分别过点D ,F 作DN ⊥BC 于点N ,FM ⊥BC 于点M ,连结BF .∴∠DNE =∠EMF =90°. 又∵∠NDE =∠MEF ,DE =EF ,∴△DNE ≌△EMF , ∴DN =EM . 又∵BD=∠ABC =45°,∴DN =EM =7, ∴BM=BC －ME －EC=5,∴MF=NE= NC －EC=5. ∴BF= ∵点D ,G 分别是AB,AF 的中点, ∴DG =12BF②过点D 作DH ⊥BC 于点H .∵AD =6BD ，AB=BD=ⅰ）当∠DEG =90°时，有如图2，3两种情况，设CE=t .∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，G FDCABE N M 图1∴点E 在线段AF 上.∴BH=DH =2,BE =14－t ，HE=BE －BH=12－t.∵△DHE ∽△ECA ，∴=DH HE EC CA ，即212=14tt -，解得6t =±∴6CE =+6CE =-ⅱ）当DG ∥BC 时，如图4.过点F 作FK ⊥BC 于点K ,延长DG 交AC 于点N ，延长AC 并截取MN=NA .连结 FM .则NC=DH =2,MC =10. 设GN=t,则FM =2t,BK=14－2t.∵△DHE ≌△EKF ， ∴KE=DH =2,KF=HE =14－2t, ∵MC=FK , ∴14－2t=10, 得t =2. ∵GN=EC =2, GN ∥EC ， ∴四边形GECN 是平行四边形. 而∠ACB =90°，∴四边形GECN 是矩形，∴∠EGN =90°.∴当EC =2时，有∠DGE =90°.图2 图3 图4FGD AEB CHFG D AE B CHFGD AE B CHN MKⅲ）当∠EDG =90°时，如图5.过点G ，F 分别作AC 的垂线，交射线AC 于点N , M ，过点E 作EK ⊥FM 于点K ，过点D 作GN 的垂线，交NG 的延长线于点P .则PN =HC =BC -HB =12, 设GN =t ，则FM =2t ，∴PG =PN -GN =12-t . 由△DHE ≌△EKF 可得：FK =2， ∴CE =KM =2t -2，∴HE =HC -CE =12-(2t -2)=14-2t ， ∴EK =HE =14-2t ,AM =AC +CM =AC +EK =14+14-2t =28-2t ，∴MN =12AM =14-t ，NC =MN -CM =t ， ∴PD =t -2，由△GPD ∽△DHE 可得：=PG PD HD HE ，即122=2142t t t---，解得11014t =-，21014t =+（舍去）.∴CE=2t-2=18214-. 所以，CE 的长为：622-,622+,2或18214-.9．（2019资阳中考第24题13分）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （3，2），且与直线y ＝﹣x +交于B 、C 两点，点B 的坐标为（4，m ）．F GD AE B CH NMKP图5（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵抛物线的解析式y＝，∴M（1，4），∵A（3，2），∴AH＝MH＝2，H（1，2）∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，∴∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，∴QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．。

(完整版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含答案)

专题 09 动点类题目图形最值问题研究题型一：矩形中的相似求解例 1.（ 2019·绍兴）如图，矩形 ABCD 中， AB=a ， BC=b ，点 M 、 N 分别在边 AB 、 CD上，点 E 、 F 分别在边 BC 、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（ 1）若 a ： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（ 2）若 a ： b 的值为 1，求 k 的最大值和最小值 .2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a ：b 的值 .AFD NMBEC题型二：二次函数中几何图形最值求解例 2.（ 2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线C : y ax 2 2x c 订交于点A（ -1,0）和点 B（ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形 MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积 S 及点 M的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线y 17F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4题型四：反比率函数中面积最值的求解例 4.（ 2018·扬州一模）如图1，反比率函数y= k（ x＞ 0）的图象经过点A（ 23， 1），射x线 AB 与反比率函数图象交于另一点B（ 1，a），射线 AC 与 y 轴交于点C，∠ BAC=75°，AD ⊥ y 轴，垂足为 D ．（1）求 k 的值；（2）求 tan∠ DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过M 作直线 l⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求△ CMN 面积的最大值．题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州）如图 1，已知抛物线 y=－ x2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan（∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M，交 y 轴于点 N，△ BMP 和△ EMN 的面积分别为m、 n，求 m－ n 的最大值 .题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（ a＞0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与x 轴交于点 A、 B（点 A 在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（ k≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（ 2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5例 7.（ 2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，点A（ 4， 0），点 B （0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且⊙M 经过 O， A， C 三点．（1）求圆心 M 的坐标；（2）若直线 AD 与⊙ M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点 B 且以圆心M 为极点的抛物线上有一动点P，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线AD 于点 E．若以 PE 为半径的⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1.（ 2019·绍兴）如图，矩形 ABCD 中， AB=a， BC=b，点 M、 N 分别在边 AB、 CD 上，点 E、 F 分别在边BC、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（1）若 a： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（2）若 a： b 的值为1，求 k 的最大值和最小值 . 2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a：b 的值.A FDNMB E C【解析】（ 1）当 a： b=1 时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥ EF ，可证 MN =EF ，即 k=1；（ 2）先确定 MN 和 EF 的取值范围，当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 的值最大，否则反之；（ 3）依照 N 是矩形极点，分两种情况谈论，即N 分别与 D 点和 C 点重合，依照不同样图形求解 .【答案】见解析.【解析】解：（ 1）当 a：b=1 时，即 AB=BC，∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 是正方形，过 F 作 FG ⊥ BC 于 G，过 M 作 MH ⊥CD 于 H，以以下图所示，A FDNMHBG E C ∵MN⊥ EF ，∴∠ NMH =∠ EFG ，∵∠ MHN =∠ FGE =90°， MH =FG ，∴△ MNH ≌△ FEG ，∴MN=EF ，即 k=1；（ 2）由题意知： b=2a，所以得： a≤EF ≤5a，2a≤MN ≤5a ,所以当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 取最大值，为 5 ；25当 MN 取最小值， EF 取最大值时， k 取最小值，为；5（ 3）以以下图所示，A F DP NMBEC连接 FN ，ME，设PE=x，则 EF =MP=3x， PF=2x，MN =3EF=9 x， PN=6x，∴PF PN PE PM又∵∠ FPN =∠ MPE，∴△ FPN∽△ EPM ，∴∠ PFN=∠ PEM，∴FN∥ ME ，①当 N 点与 D 点重合时，由FN ∥ ME 得， M 点与 B 点重合，AF（N）DP HB C （M ）E过F 作 FH ⊥ BD 于 H ，∵∠ MPE=60°，∴∠ PFH =30°，∴ PH=x ， FH = 3x ， BH=BP+PH=4x ， DH =5x ，在 Rt △ DFH 中， tan ∠FDH =3 ，5即 a:b=3;5②当 N 点与 C 点重合时，过A FDM H PBE（N ） C过点 E 作 EH ⊥ MN 于 H ，连接 EM ，则 PH =x ，EH= 3x ， CH=PC+PH =13x ，在 Rt △ ECH 中， tan ∠ECH =3 ， 13∵ ME ∥ FC ，∴∠ MEB=∠ FCB=∠ CFD ，∵∠ B=∠ D ，∴△ MEB ∽△ CFD ，∴CD FC=2,MB MECD 2BM 2 3即 a:b=BC;BC13综上所述， a:b 的值为3 或 2 3 .513题型二：二次函数中几何图形最值求解例 2.（ 2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．【解析】（ 1）将点 A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（ 2）由 △ POE ∽△ CBP 得出比率线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；（3）过点 M 作 MH ∥ y轴交 BN 于点 H ，由 S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解．【答案】见解析 .【解析】解：（ 1） ∵抛物线 y ＝ x 2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），1 b c 09 3bc ，0 解得：b 2 c，3抛物线函数关系表达式为y ＝ x 2﹣2x ﹣ 3；（ 2）由题意知： AB ＝ OA+OB ＝ 4，在正方形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ 90°， PC ⊥ BE ， ∴∠ OPE+∠ CPB ＝ 90°，∠CPB +∠ PCB ＝ 90°， ∴∠ OPE ＝∠ PCB ，又∵∠ EOP ＝ ∠ PBC ＝ 90°，∴△ POE ∽△ CBP ，∴BC OP ，BP OE∴4 x ， 3 xOE2∴OE ＝1x 2 3x1 x 3 9 ，44 216当 x3时，即 OP =3时线段 OE 长有最大值，最大值为9 ．2216（3）存在．如图，过点 M 作 MH ∥y 轴交 BN 于点 H ，∴N 点坐标为（ 0，﹣ 3），设直线 BN 的解析式为 y ＝kx+b ，3k b 0 ∴，b3∴直线 BN 的解析式为y ＝x ﹣ 3，设 M （ m ， m 2﹣2m ﹣ 3），则 H （ m ， m ﹣ 3）， ∴MH ＝ m ﹣ 3﹣（ m 2 ﹣2m ﹣3）＝﹣ m 2+3 m ，∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝11 m 2m 2 3m3 27 ，2228∴a ＝ 3时， △ MBN 的面积有最大值，最大值是27，此时 M 点的坐标为（ 3，15）．2824题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线 C : y ax 2 2xc 订交于点 A （ -1,0）和点 B （ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA 、MB 为相邻的两边作平行四边的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点 F ，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y17 F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）把 A （ -1,0），B （ 2,3）代入抛物线得：a 2 c 04a 4 c 3解得a 1c 3∴抛物线的函数表达式为：y=－x 2+2x+3（ 2）∵ A （ -1,0）， B （ 2,3），∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，以以下图所示，过 M 作 MN ∥ y 轴交 AB 于 N ，设 M(m,－ m 2+2m+3)， N(m,m+1) ，（ -1＜ m ＜2）∴MN =－ m 2+m+2，∴S △△△ 1x A ) MNABM =S AMN +S BMN = ( x B2∴S △ ABM =1( m 2 m 2)33 (m 1 ) 227 ，22 28∴当1 时， △ ABM 的面积有最大值 27，而 S □MANB△ ABM27 ，此时1 7 m8=2S=M (, )242 2（ 3）存在，点 F (1,15)4原由以下：抛物线极点为D ，则 D （ 1,4），则极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，174 4设 F (1, n) 、 P(x, x 22x 3) ，设 P 到直线 y的距离为 PG.4则 PG=17( x 2 2 x3) x 22x 5 ，44∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF ，∴当 P 与极点 D 重合时，也有 PG=PF .此时 PG= 1，即极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，44 41∴PF =DF = ，∴ F (1,15) ，4∵PG=PF ，∴PG 2=PF 2， ∵ PF 2( x 1)2(15x 2 2x 3)2( x 1)2(x 22x3 )244PG 2( x 22x 5) 2(15 43)25)2∴ (x 1)2x 2 2x 3)2 ( x 1)2( x 2 2 x (x 22x44 4整理化简可得 0x=0，∴当 F (1,15) 时，无论 x 取任何实数，均有 PG=PF .4题型四：反比率函数中面积最值的求解k例 4.（ 2018·扬州一模）如图 1，反比率函数 y= x （ x ＞ 0）的图象经过点 A （2 3， 1），射线 AB 与反比率函数图象交于另一点 B （ 1， a ），射线 AC 与 y 轴交于点 C ，∠ BAC=75°，AD ⊥y 轴，垂足为 D ．（1）求 k 的值；（2）求 tan ∠ DAC 的值及直线 AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过 M 作直线 l ⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N ，连接 CM ，求 △ CMN 面积的最大值．11【答案】见解析.【解析】解：（ 1）∵将 A（2 3 ， 1）代入反比率函数y＝k ，x∴k＝ 2 3 ；（2）由（ 1）知，反比率函数解析式为y＝2 3，x∵点 B（ 1， a）在反比率函数y＝23 的图象上，x∴a＝ 2 3 ，∴点 B（ 1， 2 3 ）过 B 作 BE⊥ AD 于 E，以以下图所示，则AE＝BE ＝2 3 ﹣1．∴∠ ABE＝∠ BAE＝45°又∵∠ BAC＝75°，∴∠ DAC ＝30°3∴DC ＝ tan30°·AD＝ 2 3 ＝ 2，∴OC＝ 1，即 C（ 0，﹣ 1）设直线 AC 的解析式为y＝kx+b12∴ 2 3kb 1 ，b1解得k3 3 b1∴直线 AC 的解析式为 y ＝ 3 x ﹣ 13（ 3）设 M （ m ，2 3）， N （ m ， 3m ﹣ 1）m3则 MN ＝2 3－（3 m ﹣ 1）＝2 3﹣ 3 m+1，m3 m 3∴S △CMN ＝ 1 （23 ﹣ 3 m+1） m ＝﹣ m 2+ m+2m 3＝﹣3（ m ﹣ 3 ） 2+ 9 3628当 m ＝3时， △ CMN 的面积有最大值，最大值为9 3 .28题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州）如图 1，已知抛物线 y=－ x 2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan （∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E ，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M ，交 y 轴于点 N ， △ BMP 和 △ EMN 的面积分别为 m 、 n ，求 m － n 的最大值 .【答案】见解析 .2【解析】解：（ 1）把点（ 1，0），（﹣ 3， 0）代入 y ＝﹣ x +bx+c ，得，0 1 b c ， 0 9 3bc解得 b ＝﹣ 2， c ＝ 3，2 2，∴y ＝﹣ x ﹣ 2x+3 ＝－（ x+1） +4∴此抛物线解析式为： y ＝﹣ x 2﹣2x+3，极点 C 的坐标为（﹣ 1， 4）；13（2）由（ 1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣ 1，设抛物线对称轴与x 轴交于点 H ， H （﹣ 1， 0），在 Rt △ CHO 中， CH ＝4， OH ＝ 1，∴ t an ∠COH ＝ CH＝4，OH∵∠ COH ＝ ∠ CAO+∠ ACO ，∴当 ∠ ACO ＝ ∠ CDO 时，tan （ ∠CAO+∠CDO ）＝ tan ∠ COH ＝ 4，以以下图所示，当点 D 在对称轴左侧时，∵∠ ACO ＝∠ CDO ， ∠ CAO ＝∠ CAO ，∴△ AOC ∽△ ACD ，∴ AC AO ，AD AC∵AC ＝ 2 5 ， AO ＝ 1，∴AD ＝ 20， OD ＝ 19，∴D （﹣ 19， 0）；当点 D 在对称轴右侧时，点D 关于直线 x ＝ 1 的对称点 D'的坐标为（ 17， 0），∴点 D 的坐标为（﹣ 19，0）或（ 17， 0）；（ 3）设 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3），设直线 PA 的解析式为： y=kx+b ，将 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3）， A （ 1， 0）代入 y ＝ kx+b ，ak ba 2 2a 3 k b，解得， k ＝﹣ a ﹣ 3， b ＝ a+3 ，∴ y ＝（﹣ a ﹣ 3） x+a+3，当 x ＝ 0 时， y ＝ a+3，∴ N （ 0，a+3），14以以下图所示，∵m=S △ BPM ＝ S △BPA ﹣ S 四边形 BMNO ﹣ S △AON ， n=S △EMN ＝ S △EBO ﹣ S 四边形 BMNO ，∴m － n ＝ S △BPA ﹣ S △EBO ﹣ S △AON＝ 1×4×（﹣ a 2﹣ 2a+3）﹣ 1 ×3×3﹣ 1×1×（ a+3） 2 2 2＝﹣ 2（ a+ 9 ） 2+ 81，8 32 ∴当 a ＝﹣ 9 时， m － n 有最大值81.832题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax 2（ a ＞0）的图象向右平移1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A 、 B （点 A在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b （ k ≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点 C ，且与抛物线的另一个交点为D ， △ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 △ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）由平移知，平移后获取的抛物线解析式为y=a （ x-1）2 -2，∵OA=1，15∴点 A 的坐标为（ -1，0），代入抛物线的解析式得， 4a-2=0 ，得： a= 1，2∴抛物线的解析式为 y1 x 1 21 x2 x3 ．2 ，即 y222令 y=0，解得 x 1=-1 ， x 2 =3，∴B （ 3，0），∴AB =OA +OB=4，∵△ ABD 的面积为 5，1∴S △ ABD = AB ·y D =5∴ y D = 5，25 1 x 2 x 3 ，解得 x 1=-2， x 2=4，2225∴D （ 4，），设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ，∴ 4kb5k12 ，2 ，解得：k b 0b1 2∴直线 AD 的解析式为： y=1x+ 1 . 2 2（ 2）过点 E 作 EM ∥y 轴交 AD 于 M ，以以下图所示，设 E （ a ， 1a 2－ a － 3 ）， M （a ， 1 a+ 1），2 2 2 2∴ME = － 1a 2+ 3a+2 ，2 2∴S △ ACE =S △ AME － S △CME =－ 1 （ a 2－ 3a － 4） =－ 1 （ a － 3 ） 2+25，44 2 1616∴当 a= 3 时， △ ACE 的面积有最大值，最大值是25，此时 E 点坐标为（ 3 ， 15 ）．21628（ 3）作 E 关于 x 轴的对称点 F ，连接 EF 交 x 轴于点 G ，过点 F 作 FH ⊥ AE 于点 H ，交轴于点 P ，∴AG = 5 ， EG = 15，2 8AG 4 ∴,EG3∵∠ AGE=∠ AHP =90° ∴sin ∠= PHEG 3EAGAE，AP53∴PH = AP ，∵E 、 F 关于 x 轴对称，∴PE =PF ，3∴PE + 5 AP=FP+HP=FH ，此时 FH 最小，∵ E F =15， ∠AEG =∠ HEF ，4∴sin ∠ AEG=sin ∠ HEF =AGFH4 AEAE 5∴FH =3．即 PE+ 3PA 的最小值是3． 5例 7.（ 2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系 xoy 中， O 为坐标原点，点A （ 4， 0），点 B（ 0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C ，且 ⊙M 经过 O ， A ， C 三点．（ 1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若直线 AD 与 ⊙ M 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心 M 为极点的抛物线上有一动点 P ，过点 P 作 PE ∥ y 轴，交直线 AD于点 E ．若以 PE 为半径的 ⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．17【答案】见解析．【解答】解：（ 1）∵ AC 为△ ABO 的中线，点B（ 0，4），∴点 C（0， 2），∵点 A（ 4， 0），点M 为线段 AC 的中点，即 M（ 2， 1）；（2）∵⊙P 与直线 AD ，则∠ CAD ＝ 90°，设∠ CAO＝α，则∠ CAO＝∠ ODA＝∠ PEH ＝α，tan∠ CAO＝OC1αα5， cosα＝25 ，OA2＝ tan ，则 sin＝55AC＝ 10 ，则 CD＝AC＝ 10，sin则 D （ 0，﹣ 8），设直线 AD 的解析式为： y＝ mx+n：b8得：，解得： k=2， b=－ 8，4k b 0直线 AD的表达式为： y＝2x﹣ 8；（3）抛物线的表达式为：y＝ a（ x﹣ 2）2+1，3将点 B 坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝3x2﹣ 3x+4，41过点 P 作 PH ⊥ EF，则 EH ＝EF＝ 2 5 ，18(完满版)2020年中考数学动向问题图形最值问题研究(含答案) 21 / 21 cos ∠PEH ＝ EH cos 2 5PE 5得： PE ＝ 5，设点 P （ x ， 3 x 2﹣ 3x+4），则点 E （ x ，2x ﹣ 8），4则 PE ＝ 3 x 2﹣ 3x+4 ﹣ 2x+8＝5，4解得 x ＝ 14 或 2（舍），3则点 P （ 14 ， 19 ）．3 3 19。

2019年中考真题几何最值分类汇编(PDF版含解析)

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(2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长；
2
(3)当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cos∠OAD 的值.
第 26 题图
第 26 题备用图
【解题过程】（1）如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E.
（3）过点 P 作 PG∥CQ 交 AC 于点 G，则△APG 是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝ 1 AG．∵PG∥CQ，∴∠ 2
PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝ 1 GC．∴DE＝ 1 AC＝3．
2
2
（4）连接 AM，∵△ABC 为等边三角形，点 M 是 BC 的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得 AM＝3 3 ．由折叠，
∴OD= 1 AD=3.∴点 C 的坐标为(2， 3 2 3 ). 2
(2)∵M 为 AD 的中点，
∴DM=3， S△DCM
6 .又∵ S四边形OMCD

21 2
，∴
S△ODM

9 2
，∴
Sห้องสมุดไป่ตู้OAD
9.
设
OA=x，OD=y，则

x
2

1 2
xy
y2 9
36
，∴
x2

y2

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2019 中考试题分类汇编
以同样的速度沿 BC 延长线方向匀速运动．当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设运动时间为 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE．（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；

2019年中考数学复习动点最值问题压轴题考点突破训练(有答案)

2019年中考数学复习动点、最值问题压轴题考点突破训练一、选择题1. 如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为( )A ．2 3B ．2 5C ． 3D ． 52. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为( ) A ．(－3，0) B ．(－6，0)C.(－32，0) D ．(－52，0)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( ) A ．20 cm B ．18 cm C ．2 5 cm D ．3 2 cm4. 已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 平分∠CAB ，交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE ＋EF 的最小值为( ) A.403 B.154 C.245D ．66. 如图，点A(a ，3)，B(b ，1)都在双曲线y ＝3x 上，点C ，D 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为( ) A ．5 2 B ．6 2 C ．210＋2 2 D ．8 27. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，求在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为( )A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2二、填空题8. 如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝2.若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB ＝∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为______________.9. 如图，在△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5 cm/s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__________s 时，以C 点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．10. 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM ，ON 上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA ＝23； ②C ，O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2；其中正确的是______________．(填序号)11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为________________．12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为_____________________．13. 如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为________________．14. 在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q 分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________．三、解答题15. 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，求PF2＋PG2的最小值。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型【含答案】

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKING PLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【详解】ABCD为矩形，∴=AB DCS S又=PAB PCD∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，+的值最小，连接AC，交MN与点P，此时PC PD+====且PC PD AC故【针对训练】1．（湖北中考真题试卷）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为（）A B C．1D．2C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ，QF=2BQ， ∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12，即点M到AB的距离为1 2，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C，2．（2017·江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB 方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

2020年中考数学复习动点最值专题

动点最值专题动点最值专题近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。

通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。

刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。

捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。

安徽省2019年中考数学二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题(含答案)

题型二　选择压轴题之几何图形最值问题类型一　线段最值问题1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为( )A.1.2B. 1.3C.1.4D. 2.4第1题图第2题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )A. B. 4 C. D. 51252453. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 的最小值是( )A.3B. 2C.4D. 5第3题图第4题图 4. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PB ＋PC 的最小值是( )12 A. B. C.3 D. ＋33323235. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P 是AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值为( )A.4B. 5C.6D. 7 第5题图第6题图 6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为( )A.2 B. 4 C.2 D. 455337. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，点M ，点N 分别在边BC ，CD 上，则△AMN 周长的最小值为( )A.3B. 4C.2＋6D. 11777第7题图第8题图8. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是( )A.(0，1)B. (0，2)C.(0，3)D. (0，4)9. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A.4B. 10C.8D. 2037第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP ＋BP 的最小值为( )12A. B. 6 C.2 D. 4371711. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，动点F 在边BC 上运动，连接AF ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为( )A.2B. 4C.2－3D. 2－41313第11题图第12题图12. 如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是( )A.30°B. 45°C.60°D. 90°13. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 、B 、C 的坐标分别为A (，0)、3B (3，0)、C (0，5)，点D 在第一象限内，且∠ADB ＝60°，则线段CD 的长的最小值是( )3A.2－2B. 2－2C.2－2D. 2－23571014. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )A.3B.C.D. 26535 第14题图第15题图　第16题图15. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且CE ＝DF ，连接AE 、BF ，交于点G ，连接DG ，则DG 的最小值为( )A.－1B. －1C.D. 353516. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是以点A 为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为( )A.8B. 7C.6D. 5类型二　面积最值问题(拓展)1. 如图，点E 为边长为4的等边△ABC 的BC 边上一动点(点E 不与B 、C 重合)，以AE 为边作等边△AEF ，则△AEF 面积的最小值是( )A.2B. 4C.D. 333第1题图　第2题图 2. (2017合肥蜀山区模拟)如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是( )A.2B. 4C.2D. 4223. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且CE ＋CF ＝8，若sin ∠ABD ＝，BD ＝20，则△AEF 的面积的最小值为( )45A.24 B. 46 C.64 D. 96第3题图第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝4，点P 是菱形ABCD 内或边上的2一点，且∠DAP ＋∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为( )A.4 B. 8－ C.4－2 D. 8－8252322参考答案类型一　线段最值问题1. A2. C3. A4. B5. B6. B7. B8. D9. D　10. A　11. D　12. D　13. C　14. B　15. B　16. B类型二　面积最值问题(拓展)1. D2. D3. B4. D。

2020年中考数学二轮专项复习——四边形、动点、最值问题压轴题型(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项复习——四边形、动点、最值问题压轴题型1、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是。

解：【分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，依据△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于线段AF的长．如图，连接CP，由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长，【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．2、【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是．【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连结AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是．解：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC．∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴四边形CDEF的面积＝S△ACD＝▱ABCD的面积＝4；故答案为：4；探究：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO＝CO AC＝2.5，BO＝BD＝5，∠AOD＝90°，∴AB＝AC＝，∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，在△AOE于△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∵AC⊥BD，∴S四边形ABFE＝S△ABC＝AC•BO＝××5＝．应用：延长AC到E使CE＝AC＝3，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠E＝∠BAC＝90°，∴DE＝，∴S△ABD＝S△ADE＝AE•DE＝×6×2＝6．故答案为：63、如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C 沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为．【分析】首先证明DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．构建方程即可；②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件；【解答】解：由题意DE＝EC＝EC′＝1，∴DC′＜1+1∴DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．∵AE＝AE，AD＝AC′，DE＝DC′，∴△ADE≌△AC′E，∴∠ADE＝∠AC′E＝90°，∵∠C＝∠FC′E＝90°，∴∠AC′E+∠FC′E＝180°，∴A、C′、F共线，设CF＝x，则BF＝2﹣x，AF＝2+x，在Rt△ABF中，22+（2﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝．②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件，此时CF＝1．综上所述，满足条件的CF的长为或1．故答案为或1．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．4、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB ⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝，BC＝，AC＝；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA＝4，OC＝8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC＝4，AB＝8，由折叠知，CD＝AD，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝8﹣AD，根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，即：AD2＝16+（8﹣AD）2，∴AD＝5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2＝16+y2，DP2＝16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP＝AD，∴16+y2＝25，∴y＝±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP＝DP，∴16+y2＝16+（y﹣5）2，∴y＝，∴P（0，），Ⅲ、AD＝DP，25＝16+（y﹣5）2，∴y＝2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD＝5，由折叠知，AE＝AC＝2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE＝＝，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC＝∠ABC＝90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN＝，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH＝，AH＝，∴OH＝，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．5、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．（1）求证：△OBP与△OPA相似；（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵AB是过点P的切线，∴AB⊥OP，∴∠OPB＝∠OPA＝90°；（1分）∴在Rt△OPB中，∠1+∠3＝90°，又∵∠BOA＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；（1分）在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO．（2分）（2）∵OP⊥AB，且PA＝PB，∴OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分线，∴点P到x、y轴的距离相等；（1分）又∵点P在第一象限，∴设点P（x，x）（x＞0），∵圆的半径为2，∴OP＝，解得x＝或x＝﹣（舍去），（2分）∴P点坐标是（，）．（1分）（3）存在；①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ＝90°，∵OP＝OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，∴∠BOQ＝∠BOP＝45°，∴∠AOP＝45°，设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），（2分）∵OP＝2代入得，解得x＝，∴Q点坐标是（﹣，）；（1分）②如图示OPAQ为平行四边形，同理可得Q点坐标是（，﹣）．（1分）6、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在D的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动（如图4）当∠ACB＝时，CF⊥BC（点C，F 重合除外）？（3）若AC＝4，BC＝3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．解：（1）CF⊥BD，CF＝BD，理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF＝90°，AD＝AF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∴∠B＝∠ACF，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图2，由正方形ADEF得：AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC．∴∠DAB＝∠FAC．又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS）．∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°．∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴CF⊥BD；（2）当∠BCA＝45°时，CF⊥BD；理由如下：如图3，过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，∵∠ACB＝45°，∴△AGC等腰直角三角形，∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°，∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC；故答案为：45°；（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，如图4所示：∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴△ACQ是等腰直角三角形，∴AQ＝CQ＝4．设CD＝x，则DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△AQD∽△DCP，∴＝，即＝．解得：CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+1．∵0＜x≤3，∴当x＝1时，CP有最大值1，即线段CP长的最大值为1．7、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（与点O不重合），作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG．（1）求证：AH＝BE；（2）试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；（3）若OG⊥CG，BG＝2，求S△OGC的值．解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°．∴∠GAE＝∠OBE，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），∴AH＝BE．（2）解：∠AGO的度数为定值，理由如下：∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，∴△AOH∽△BGH，∴＝，∴＝，∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，∴∠AGO＝∠ABO＝45°，即∠AGO的度数为定值．（3）解：∵∠ABC＝90°，AF⊥BE，∴∠BAG＝∠FBG，∠AGB＝∠BGF＝90°，∴△ABG∽△BFG，∴＝，∴AG•GF＝BG2＝20，∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH＝∠GOH＝∠GBF．∵∠AOB＝∠BGF＝90°，∴∠AOG＝∠GFC，∵∠AGO＝45°，CG⊥GO，∴∠AGO＝∠FGC＝45°．∴△AGO∽△CGF，∴＝，∴GO•CG＝AG•GF＝20．∴S△OGC＝CG•GO＝10．8、已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）DE的长为．（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC在Rt△DCE中，DE＝＝＝5 故答案为5．（2）若△ABP与△DCE全等∴BP＝CE或AP＝CE当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒∴求当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等．（3）若△PDE为等腰三角形则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE∴PC＝CE＝3∵BP＝BC﹣CP＝3∴t＝＝3当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE∴BP＝9﹣5＝4∴t＝＝4当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC∴PD＝3+PC在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2∴PC＝∵BP＝BC﹣PC∴BP＝∴t＝＝综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形．9、在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3（1）直接写出点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；（2）由条件可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；（3）当OD为边时，则MO＝OD＝5或MD＝OD＝5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN＝OD可求得N点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标．【解答】解：（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，∵BC＝3，OA＝6，∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，∴OC＝6，∴B（3，6）；（2）由OD＝5可知D（0，5），∵B（3，6），OE＝2BE，∴E（2，4），设直线DE的解析式是y＝kx+b把D（0，5）E（2，4）代入得，∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD，∵M在直线DE上，∴设M（t，﹣t+5），①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，当t＝0时，M与D重合，舍去，∴M（4，3），∴N（4，8）；②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5，∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，当t＝2时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去，∴M（﹣2，+5），∴N（﹣2，）；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，∴点M在直线y＝2.5上，在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5，∴M（5，2.5），∵M、N关于y轴对称，∴N（﹣5，2.5），综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、菱形的性质、分类讨论及方程思想．在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．10、如图1，已知正方形ABCD的边长为6，E是CD边上一点（不与点C重合），以CE为边在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，连接BF、BD、FD．计算：（1）当点E与点D重合时，△BDF的面积为；当点E为CD的中点时，△BDF的面积为．证明：（2）当E是CD边上任意一点（不与点C重合）时，猜想S△BDF与S正方形ABCD之间的关系，并证明你的猜想；运用：（3）如图2，设BF与CD相交于点H，若△DFH的面积为，求正方形CEFG的边长．解：计算：（1）∵当点E与点D重合时，∴CE＝CD＝6，∵四边形ABCD，四边形CEFG是正方形，∴DF＝CE＝AD＝AB＝6，∴S△BDF＝×DF×AB＝18，如图，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形；∴∠CBD＝∠GCF＝45°，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD＝×36＝18，故答案为：18，18；证明：（2）S△BDF＝S正方形ABCD，理由：连接CF．∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，∴∠CBD＝∠GCF＝45°，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD；运用：（3）如图2，∵S△BDF＝S正方形ABCD＝×36＝18，且S△BDF＝S△BDH+S△DFH，∴S△BDH＝18﹣＝，∴×DH×6＝，∴DH＝，∴S△BDH＝××EF＝，∴EF＝4∴正方形CEFG的边长为4．11、已知如图，点C、D在线段AF上，AD＝CD＝CF，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB∥EF．（1）若BC＝2，AB＝2，求BD的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形．（1）解：∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵AD＝CD，∴BD＝AC＝；（2）证明：∵AD＝CD＝CF，∴DF＝AC＝2，∵∠DEF＝90°，∴CE＝DF＝，∴BD＝CE，∵AB∥EF，∴∠A＝∠F，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（AAS），∴BC＝ED，∵BD＝CE，∴四边形BCED是平行四边形．12、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．（1）证明：∵EF垂直平分AM，∴AE＝EM，OA＝OM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，∴△AOF≌△MOE（AAS）．∴OF＝OE．∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝EM．∴四边形AEMF是菱形；（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，∴BM＝2OH，AM＝2OA，∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．设BM＝x，则AM＝18﹣x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴BM＝8，AM＝10．∴OA＝AM＝5，设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴AE＝EM＝在Rt△AOE中，EO＝＝＝．∵OP∥EM，∴＝＝1，∴AP＝PE，∴OP＝EM＝，∵PE＝AE＝，∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．。

初三数学中考复习动点或最值问题专题训练及答案

初三数学中考复习动点或最值问题专题复习训练题一、选择题1．如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 32．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53)D ．(3，2)5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝34，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A．18 cm2B．12 cm2C．9 cm2D．3 cm26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD ⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是( C )A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．8．如图，已知点A 是双曲线y ＝6x 在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x 上运动，则k 的值是9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．10．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是__6__．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B 的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC 向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为3)_____．13. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__4__．三、解答题14．如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×(－1)2＋b ×(－1)－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－258)(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎨⎧b ＝2，32a ＋b ＝－258，解得a ＝－4112，b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，0)。

2019-2020总复习之中考数学几何压轴专题,中考几何专题训练及参考答案

1．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．2．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．3．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．4．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．5．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH＝BD；（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．6．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q 以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝3cm，∠EAD＝45°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．7．（14分）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH 的长．8．（10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD 的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．1．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．2.【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．3.【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．4.【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．5.【分析】（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH＝∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH＝CF，由线段垂直平分线的性质得出AF＝CF，得出BH＝AF，AD＝DF+AF＝DF+BH，由直角三角形的性质得出AD＝BD，即可得出结论；（2）同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：连接CF，如图①所示：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，∴AD＝BD，∴DF+BH＝BD；（2）解：图②猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∴DF+BH＝BD；图③猜想结论：DF+BH＝BD；理由如下：同（1）可证：AD＝DF+AF＝DF+BH，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，∴AD＝BD，∴DF+BH＝BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6.【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：3，45（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm ∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4（3）当0＜x≤2时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD∴PQ＝AP∵PQ＝cm∴x＝∴x＝当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD∴四边形MPFD是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2+MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝∵△＜0∴方程无解当3＜x≤时，∵PQ2＝CP2+CQ2，∴＝1+（7﹣2x）2，∴x＝综上所述：x＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．7.【解答】问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，∵MN是AE的垂直平分线，∴AQ＝QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），∴∠AQH＝∠QEI，∴∠AQH+∠EQI＝90°，∴∠AQE＝90°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，∵AO＝OD，∠AOD＝90°，∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD 延长线于点H，连接PC，∵点P在BD上，∴AP＝PC，在△APB和△CPB中，，∴△APB≌△CPB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，∵∠BCD＝∠MP A＝90°，∴∠PCN＝∠AMP，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠PNC，∴PC＝PN，∴AP＝PN，∴∠PNA＝45°，∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在△PGN和△NHP'中，，∴△PGN≌△NHP'（ASA），∴PG＝NH，GN＝P'H，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠PDG＝45°，易得PG＝GD，∴GN＝DH，∴DH＝P'H，∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，∴点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，∵点S为AD的中点，∴DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴＝＝3，∴QE＝AE＝，∴AQ＝AE+QE＝，∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝＝，AC'＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'F A，∴△AFC'∽△MAB'，∴＝＝，解得：AF＝，∴DF＝4﹣＝，∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴＝，即＝，解得：FP＝，∴FH＝FP＝．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．8.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，求得∠BAE＝∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，求得∠EPD＝90°，得到DE＝3，AB＝6，求得BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，根据相似三角形的性质得到PD＝，PB＝根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°．∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠DAC，在△ABE与△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°，∴∠CPF＝90°，∴BP⊥CD；（2）在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∵∠PDB＝∠ADC，∴∠BPD＝∠CAB＝90°，∴∠EPD＝90°，BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．∵BC＝6，AD＝3，∴DE＝3，AB＝6，∴BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，∵△BDP∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴PD＝，PB＝∴PE＝3﹣＝，∴△PDE的面积＝××＝．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．。

2019-2020年中考数学压轴题全揭秘资料专题31 动态几何之单动点形成的最值问题

2019-2020年中考数学压轴题全揭秘资料专题31 动态几何之单动点形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。

本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

一.应用几何公理定理求最值问题原创模拟预测题1. 如图，在Rt△AOB中，OA =4，∠B=300，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为▲ ．∴当PO⊥AB时，线段PQ最短。

此时，∵在Rt△AOB中，OA =4，∠B=300，∴OA=。

∴在Rt△OBP 中，OP=12OB=。

∴PQ ===。

原创模拟预测题2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （ 1，0），B （2，1），点P 在y 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是 ▲ ．原创模拟预测题3. 如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OA =，点P 是⊙O 上的一个动点，那么当∠AOP 与∠APO 的和最小时，∠OAP 的值是【】A.90°B.60°C. 45°D.30°二.应用轴对称的性质求最值问题原创模拟预测题4.如图，已知直线a∥b∥c，且a与b之间的距离为3，且b与c之间的距离为1，点A到直线a的距离为2，点B到直线c的距离为3，AB=a上找一点M，在直线c上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= ▲ ．原创模拟预测题5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC 的最小值为▲ ，此时点P的坐标为▲ 。

河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题19动点问题与几何图形综合题型含解析

专题19 动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为( ).A．4 B．C．7 D．8【答案】D.【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，根据勾股定理得：PE=5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE=12MN=3，则AP的最大值为：AE+PE=3+5=8，故选D．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE =23AC ，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时，则线段 AF 的最小值是 .【答案】22. 【解析】解：先确定F 点的轨迹，过E 作的直线BC 的平行线，分别过D 、F 作该平行线的垂线，垂足为G ，H ，如图所示，由折叠性质，知△DEG ≌△EFH ，∴EH =DG ，∵△ABC 是等边三角形，AE =2，CE =1，∴DG =CE ·sin60°=2，即EH 为定值，∴点F 落在直线FH 上，且FH ⊥BC ，根据垂线段最短，当AF ⊥FH 时，AF 的值最小，如下图所示，过A 作AN ⊥FH ，延长AC 交FH 于点M ，BAN 的长即为所求线段AF 的最小值，∵EH =DG，∠AMN =30°， ∴EM =2EH∴AM，∴AN =12AM，【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝43x ﹣4与抛物线y ＝43x 2+bx +c 交于坐标轴上两点A 、C ，抛物线与x 轴另一交点为点B ；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D 在直线AC 下方的抛物线上，如图2，作DM ⊥直线AC ，垂足为点M ，是否存在点D ，使△CDM 中某个角恰好是∠ACO 的一半？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）在y ＝43x ﹣4中，当x ＝0， y ＝﹣4，即C （0，﹣4）；当y ＝0， x ＝3，即A （3，0）；B NM把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，∴抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）存在，作∠ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH⊥AC于点H，则CH＝CO＝4，OP＝PH，设OP＝PH＝x，则PA＝3﹣x，∵OC＝4，OA＝3，∴AC＝5，AH＝1，在Rt△PHA中，PH2+AH2＝AP2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝43，∴tan∠PCH＝tan∠PCO=13，①过点D作DG⊥x轴于点G，过点M作ME∥x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．设M（m，43m﹣4），则ME＝m，FG＝OE＝4﹣43m，CE＝43m，可得：△CEM∽△MFD，①当∠DCM=12∠ACO时，可得：3CE ME CM MF DF DM===，即MF =49m ，DF =13m ， ∴DG =DF +GF =13m +4﹣43m =4－m ，EF =EM +FM =139m ，即点D (139m , m －4)，将其坐标代入y ＝43x 283-x －4得： 2413813443939m m m ⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得：m =0（舍）或m =1179676， ∴D 点横坐标为：139m =13152. ②当∠MDC ＝12∠ACO ＝∠PCH 时，同理可得：MF ＝4m ，DF ＝3m ，∴EF ＝EM +MF ＝m +4m ＝5m ，DG ＝DF +FG ＝3m ﹣43m +4＝53m +4， ∴D （5m ，﹣53m ﹣4）， ∴﹣53m ﹣4=()()24855433m m ⨯-⨯-，解得m ＝0（舍去）或m ＝720, 此时D 点横坐标为：5m =74；综上所述，点D 横坐标为13152或74．【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (0,1)，B （9,10）代入y =13x 2+bx +c 得： 127810c b c =⎧⎨++=⎩，解得：12c b =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的解析式为：y =13x 2－2x +1. （2）由y =13x 2－2x +1知，抛物线的对称轴是x =3， ∵AC ∥x 轴，A (0,1)，∴A 与C 关于对称轴对称，C (6,0)，AC =6由A (0,1),B (9,10)得直线AB 的解析式为：y =x +1，设P （m ，13m 2－2m +1），则E (m ，m +1)， ∴PE =－13m 2+3m ， ∴S 四边形AECP =S △AEC +S △APC =12·AC ·EF +12·AC ·PF =12×6×（－13m 2+3m ）l=298124m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m =92时，四边形AECP 的面积取最大值814，此时点P (92，54-). （3）存在，点Q 坐标为（4,1）或（－3,1）.由y =13x 2－2x +1知点P (3, -2)， ∴PF =3，CF =3，∴∠PCF =45°，同理，∠EAF =45°，即∠PCF =∠EAF ，由勾股定理得：AB =AC =6，PC =设Q （n ，1），①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ PC AC AB=，即66n -=t =4，即Q (4,1).②当△CQP ∽△ABC 时，CQ PC AB AC=，=，解得：t =－3，即Q (－3,1).综上所述，符合题意的点Q 坐标为：(4,1)或(－3,1).1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线3944y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；抛物线294y ax bx =++（a ≠0）过A ，B 两点，与x 轴交于另一点C (-1，0)，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图2，直线AB 与抛物线的对称轴相交于点F ，点P 在坐标轴上，且点P 到直线 BD ，DF 的距离相等，请直接写出点P 的坐标．图1 图2【答案】见解析. 【解析】解：（1）在3944y x =-+中，当x =0时，y =94；当y =0时，x =3，即A (3，0)，B (0，94)，将A (3，0)，C (－1，0)代入294y ax bx =++得： 99304904a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：2339424y x x =-++. （2）过点E 作EM ⊥x 轴交AB 于M ，过E 作EN ⊥AB 于N ，点E 到AB 的距离为EN ，可得△ENM ∽△AOB ， ∴EN EM OA AB=, 在Rt △AOB 中，OA =3，OB =94，由勾股定理得：AB =154，∴1534EN EM =，即EN =45EM ，设E （m ，2339424m m -++），M （m ，3944m -+），则EM =2339424m m -++－（3944m -+）=23944m m -+， ∴EN =45EM =2439544m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=233275220m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m =32时，E 到直线AB 的距离的最大值为2720. （3）∵点P 到直线BD ，DF 的距离相等，∴点P 在∠BDF 或∠BDF 邻补角的平分线上，如图所示，由2339424y x x =-++知D 点坐标为（1,3）， ∵B （0，94）， ∴BD =54， ∵DP 平分∠BDF ，∴∠BDP =∠PDF ，∵DF ∥y 轴，∴∠BPD =∠PDF ，∴∠BPD=∠BDP,∴BD=DP，∴P(0,1),设直线PD的解析式为：y=kx+n，∴n=1，k+n=3，即直线PD的解析式为：y=2x+1，当y=0时，x=12 -，∴当P在∠BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（12-，0）；同理可得：当P在∠BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,72）或（7，0），综上所述，点P的坐标为：（0,1），（12-，0），（0,72），（7，0）.2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C. 点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当∠PBA= 12∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y=x-4经过点B，C，∴B(4，0),C(0,－4),将B(4，0),C(0,－4)代入y=ax2+5x+c得：c=－4，a=－1，（2）抛物线解析式为：y=－x2+5x－4，过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，设P(m, －m2+5m－4)，∵△PBD的面积等于△BDC面积的一半，∴PH=12OC=2，即－m2+5m－4=2，或－m2+5m－4=－2，解得：m=2或m=3或m或m，∵0<m<4，∴m=2或m=3或m（3）y=－x+4或y=（2）x8，理由如下：①当点P在x轴上方时，此时由∠PBA= 12∠CBP可得：∠PBA=∠ABC=45°，可得直线BP的解析式为：y=－x+4；②当点P在x轴下方时，此时∠PBA= 13∠ABC=15°，∠CBP=30°，设直线BP交y轴于点Q，过点Q作QE⊥BC于E，如图所示，设Q(0,m)，则OQ=－m，QC=4+m，∴QE=CE=2（4+m），BE（4+m），∵CE+BE，（4+m）（4+m）解得：m8，即Q（0，8），由B（4,0），可得直线BP的解析式为：y=（2）x8，综上所述，直线BP的解析式为：y=－x+4或y=（2）x8.3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =12x －2与x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ， ∴B (4,0),C (0,－2),∵B 、C 在抛物线y =12x 2+bx +c 上， ∴8402b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：b =32-，c =－2，即抛物线解析式为：y =12x 232-x －2. （2）过点D 作DF ⊥x 轴于F ，交BC 于E ，∴D (m ,12m 232-m －2)，E (m ，12m －2)，F (m ，0)，其中0<m <4， ∴DE =12-m 2+2m ， ∵DM ⊥BC ，∴∠DME =∠BFD =90°，∴∠BOC =∠DME =90°，∴△OBC ∽△MDE ， ∴DM OB DE BC =,即DM OB DE BC =∴DM=)2255m --+，∵<0，∴当m=2时，DM4.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D(2，m)在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，∴40 16440a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：a=-1，b=3，即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4. （2）∵抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C ∴C（0,4），∵D(2,m)在抛物线上，∴m=6，即D(2,6),S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD= 12×4×2+12×4×6=16，即四边形OCDB的面积为16.（322，理由如下：∵EFGH为正方形，∴EF=EH，设E(n，-n2+3n+4)，则F(3-n，-n2+3n+4)，∵抛物线的对称轴为x=32，∴n>32,∴n－（3-n）=-n2+3n+4或n－（3-n）=-（-n2+3n+4），解得：n或n(舍)或n或n(舍)∴边长EF=2n-3，得：EF22.5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（1，0）代入y＝﹣3x+c，得：c＝3，即B（0，3），将A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0，c=3，解得：b =-2，c =3，∴抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）连接OP ，抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，设P （m ，﹣m 2﹣2m +3），其中m ＜﹣1， S △PAB ＝S △POB +S △ABO ﹣S △POA ，∵S △PAB ＝2S △AOB ，∴S △POB ﹣S △POA ＝S △ABO ， ∴()2111312313222m m m ⨯⨯--⨯⨯--+=⨯⨯，解得：m =－2或m =3（舍），即P 点坐标为（－2,3）.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于A 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，﹣2）．已知点E （m ，0）是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ．交BC 于点F ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF ，PF 的长度比为1：2时，请求出m 的值；（3）是否存在这样的m ，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A （﹣1，0）、C （0，﹣2）代入y ＝12x 2+bx +c 得： 2102c b c =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：b =32-，c =－2， ∴抛物线的表达式为：y ＝12x 232-x ﹣2；（2）在y ＝12x 232-x ﹣2中，当y =0时，x =－1或x =4，即B (4,0),设直线BC 的解析式为：y ＝kx +n ，将点C （0，﹣2）、B (4,0)代入y ＝kx +n ，得： 2420n k =-⎧⎨-=⎩，解得：212n k =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴直线BC 的表达式为：y ＝12x ﹣2， ∵E （m ，0），∴P (m ，12m 232-m ﹣2)，F (m ，12m ﹣2) ①当E 在线段AO 上时，EF >PF ，不符合题意；②当E 在线段OB 上时，EF =2－12m ，PF =12m ﹣2－（12m 232-m ﹣2）=－12m 2+2m ， ∵2EF =PF ，∴2（2－12m ）=－12m 2+2m ，解得：m =2或m =4，∵E 不与A 、B 重合，∴m ≠4，即m =2；（3）∵A （﹣1，0）、C （0，﹣2）、B (4,0),∴AB 2=25，AC 2=5，BC 2=20，∴AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 是直角三角形，当△BEP 与△ABC 相似，则∠EPB ＝∠CAB 或∠EPB ＝∠ABC ，∴tan ∠EPB ＝tan ∠CAB ，或tan ∠EPB ＝tan ∠ABC ，①当tan ∠EPB ＝tan ∠CAB 时，即：24213222m m m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝0或4（舍去），②当tan ∠EPB ＝tan ∠ABC ，即：241132222m m m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝3或4（舍去），综上所述，m 的值为0或3．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y ＝﹣x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴∴点E 的纵坐标为2，∵点E 在直线y ＝﹣x 上，∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得： 93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）∵OC =CE =2，∴∠ECO =∠CEO =45°，∵PG ⊥x 轴，PH ⊥EO ，∴∠PGH =45°，即△PGH 为等腰直角三角形，P (m ，224233m m --+)，G （m ，﹣m ）， ∴lPG=2（224233m m --++m ）＝214m ⎫++⎪⎝⎭∵3-<0， ∴当m =－14时，l. 8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA =QA ？【答案】见解析．【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，∴c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，∴a=16，b=56-，c=0抛物线解析式为y=16x256-x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）由（1）知BC=10，AC=5，OA=5，OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t，∵AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，即2t=10﹣t，解得：t=103，即当运动时间为103s时，PA=QA.9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0， y＝5，当y＝0， x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时， x＝﹣1或5，∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴∠OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，∴CD″∥x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC．点D 在函数图象上，CD∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图 1，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．（3）如图 2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上，∴抛物线的对称轴为：x=1，即b=－2，∵OB=OC，C(0，c)，∴B(-c,0)，即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3，即b=-2，c=-3，（2）抛物线的解析式为：y= x2-2x-3，可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3),则直线BE的解析式为：y=2x-6，设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)，∵F’在直线BE上，∴m=－2，即F(0，－2).(3)存在，理由如下：过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，设点P(x，0)，由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为：y=x－3 则M(x，x-3)，N(x,x2-2x-3)，AP=x+1，PM=3-x，PN= -x2+2x+3∵S△PQN=S△APM，∴PN·DQ=AP·PM，∴（-x2+2x+3）DQ=(x+1)(3-x)，即DQ=1，①当点D在直线PN右侧时，D(x，x2-4),Q(x+1,x2-4)，则DN=|2x-1|,在Rt△DNQ中，由勾股定理得：NQ2=(2x-1)2+12=4212x⎛⎫-⎪⎝⎭+1,当x=12时，NQ取最小值，此时Q(32，154-)；②当点Q在直线PN的左侧时，由对称性求得：此时Q(12，154-)；11.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B 在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P从点A AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B点横坐标为3，在y=x+1上，∴B（3，4），∵A点在y=x+1上，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得：10934b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4（2）①过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由题意得：E （﹣1+t ，0），Q （3﹣2t ，0），∴EQ =4﹣3t ，PE =t∵∠PQE +∠NQC =90°，∠PQE +∠EPQ =90°，∴∠EPQ =∠NQC ，∴△PQE ∽△QNC ， ∴12PQ PE NQ CQ ==, ∴S 矩形PQNM =PQ •NQ =2PQ 2∵PQ 2=PE 2+EQ 2∴S =20t 2﹣36t +18 =26162055t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当t =65时，S 最小为165. ②由①知：△PQE ∽△QNC ，C （3﹣2t ，0），P （﹣1+t ，t ），∴NC =2QO =8﹣6t ，∴N （3，8﹣6t ），∴M （3t ﹣1，8﹣5t ），（i ）当M 在抛物线上时，可得：8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得：t或t；（ii）当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，（iii）当N在抛物线上时，8﹣6t=4，∴t=23，综上所述，当t2，23时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3,1），（3,0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是【答案】14-≤b≤1.【解析】解：当点A与点N重合时，MN⊥AC，B、M、N共线，∵N（3，1）∴b=1；当点A与点M重合时，延长NM交y轴于E，易知∠CAN=∠BAE，即tan∠CAN=tan∠BAE，∴11252BE=，∴BE=54，即b=14-，∴b的取值范围是:14-≤b≤1.。

2019届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题练及答案

2019 届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题练及答案2019 届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题复习训练题一、选择题1．如图，正△ ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l ⊥ AB ，且△ ABC 与△ A ′BC ′对于直线 l 对称， D 为线段 BC ′上一动点，则 AD ＋CD 的最小值是 ( )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 322．如图，直线 y ＝3x ＋ 4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B ，点 C ， D 分别为线段 AB ，OB的中点，点 P 为 OA 上一动点， PC ＋ PD 值最小时点 P 的坐标为 ( )3 5A ．( －3，0) B．( －6， 0) C．( －2，0) D ．( －2，0)2 2 2 2的最小值是 ( )3．已知 a ≥ 2，m － 2am ＋2＝ 0，n － 2an ＋2 ＝0，则 (m － 1) ＋ (n － 1) A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，点 B 的坐标为 (3 ，4) ，D 是 OA的中点，点 E 在 AB 上，当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为 ( )45A ．(3 ，1) B．(3，3) C ．(3 ，3) D ．(3 ，2)5．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， tanC＝3， AB ＝ 6 cm. 动点 P 从点 A 开始沿边 AB向 4点 B 以 1 cm/s 的速度挪动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度挪动．若P ，Q 两点分别从 A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△ PBQ 的最大面积是 ( )1D，点 E 在 P 的右边，且 PE＝ 1，连结时，P 停止运动．在整个运动过程中，CE.P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 抵达点 B 图中暗影部分面积 S1＋ S2的大小变化状况是 ( )A．向来减小 B ．向来不变 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小二、填空题7．如图，正方形 ABCD的边长是 8，P 是 CD上的一点，且 PD 的长为 2， M是其对角线AC上的一个动点，则 DM＋MP的最小值是 ___ _ ．68．如图，已知点 A 是双曲线 y ＝x在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以 AB为边作等边三角形ABC，点 C 在第四象限内，且跟着点 A 的运动，k点 C 的地点也在不停变化，但点C一直在双曲线y＝x上运动，则 k 的值是 ___.9．如图，在 Rt △ABC中，∠ A＝ 90°， AB＝AC，BC＝20，DE 是△ ABC的中位线，点 M 是边 BC上一点， BM＝ 3，点 N是线段 MC上的一个动点，连结 DN，ME，DN与 ME订交于点 O.若△ OMN是直角三角形，则DO的长是 __．︵10．如图，边长为 4 的正方形 ABCD内接于点 O，点 E 是AB上的一动点 ( 不与 A，B 重合 ) ，︵点 F 是BC上的一点，连结 OE，OF，分别与 AB， BC交于点 G， H，且∠ EOF＝ 90°，有以下结论：︵︵①AE＝BF；②△ OGH是等腰直角三角形；③四边形 OGBH的面积跟着点 E 地点的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4＋ 2. 此中正确的选项是 ____．(把你以为正确结论的序号都填上)11.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1， 0) ， B(1 －a，0) ，C(1＋a，0)(a ＞ 0) ，点P 在以 D(4，4) 为圆心， 1 为半径的圆上运动，且一直知足∠ BPC＝90°，则 a 的最大值是__ __ ．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B 的坐标分别为 (8 ， 0) ，(0 ，23) ， C是AB的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连结次垂直时，点P 的坐标为 ________ D，动点 P 从点 D 出发，沿 DC向点 C匀速运BP， EC.当 BP所在直线与 EC所在直线第一．13.如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A 的坐标为 ( － 1， 0) ，∠ABO＝30°，线段 PQ的端点 P 从点 O出发，沿△ OBA的边按 O→B→A→O运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，假如 PQ＝ 3，那么当点 P 运动一周时，点Q运动的总行程为 __ __ ．三、解答题14．如图，抛物线y＝1x2＋ bx－ 2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A( －1，20) ．(1)求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；(2) 点 M是 x 轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．【分析】2019 届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题复习训练题一、选择题1．如图，正△ ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l ⊥ AB ，且△ ABC 与△ A ′BC ′对于直线 l 对称， D 为线段 BC ′上一动点，则 AD ＋CD 的最小值是 ( A )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 322．如图，直线 y ＝3x ＋ 4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B ，点 C ， D 分别为线段 AB ，OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点， PC ＋ PD 值最小时点 P 的坐标为 ( C )A ．( －3，0) B．( －6， 0) C．( － 3，0) D．( －5，0)222 2 2 2的最小值是 ( A )3．已知 a ≥ 2，m － 2am ＋ 2＝ 0， n －2an ＋ 2＝ 0，则 (m － 1) ＋ (n － 1) A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，点 B 的坐标为 (3 ，4) ，D 是 OA的中点，点 E 在 AB 上，当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为 ( B )45A ．(3 ，1) B．(3，3) C ．(3 ，3) D ．(3 ，2)5．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， tanC＝3， AB ＝ 6 cm. 动点 P 从点 A 开始沿边 AB向 4点 B 以 1 cm/s 的速度挪动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度挪动．若P ，Q 两点分别从 A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△ PBQ 的最大面积是 ( C )4A．18 cm 2B．12 cm2C．9 cm2D．3 cm26．如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 4，BC＝2.P 是 AB 边上一动点， PD⊥ AC于点D，点 E 在 P 的右边，且 PE＝ 1，连结 CE.P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 抵达点 B 时， P 停止运动．在整个运动过程中，图中暗影部分面积S1＋S2的大小变化状况是( C )A．向来减小 B ．向来不变 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小二、填空题7．如图，正方形 ABCD的边长是 8，P 是 CD上的一点，且 PD 的长为 2， M是其对角线AC上的一个动点，则 DM＋MP的最小值是 ___10__．68．如图，已知点 A 是双曲线 y ＝x在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以 AB为边作等边三角形ABC，点 C 在第四象限内，且跟着点 A 的运动，k点 C 的地点也在不停变化，但点 C 一直在双曲线y＝x上运动，则 k 的值是 __－ 36__.9．如图，在 Rt △ABC中，∠ A＝ 90°， AB＝AC，BC＝20，DE 是△ ABC的中位线，点 M 是边 BC上一点， BM＝ 3，点 N是线段 MC上的一个动点，连结 DN，ME，DN与 ME订交于25 50点 O.若△ OMN是直角三角形，则DO的长是 __ 6或13__．︵10．如图，边长为 4 的正方形 ABCD内接于点 O，点 E 是AB上的一动点 ( 不与 A，B 重合 ) ，︵点 F 是BC上的一点，连结OE，OF，分别与 AB， BC交于点 G， H，且∠ EOF＝ 90°，有以下结论：︵︵①AE＝BF；②△ OGH是等腰直角三角形；③四边形 OGBH的面积跟着点 E 地点的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4＋ 2. 此中正确的选项是 __①② __． ( 把你以为正确结论的序号都填上)11.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1， 0) ， B(1 －a，0) ，C(1＋a，0)(a ＞ 0) ，点P 在以 D(4，4) 为圆心， 1 为半径的圆上运动，且一直知足∠ BPC＝90°，则 a 的最大值是__6__．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B 的坐标分别为 (8 ， 0) ，(0 ，23) ， C是AB的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为动，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连结D，动点 P 从点 D 出发，沿 DC向点 C匀速运BP， EC.当 BP所在直线与 EC所在直线第一次垂直时，点P 的坐标为 ____(1 ，3)_____ ．13.如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A 的坐标为 ( － 1， 0) ，∠ABO＝30°，线段 PQ的端点 P 从点 O出发，沿△ OBA的边按 O→B→A→O运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，假如 PQ＝ 3，那么当点 P 运动一周时，点Q运动的总行程为 __4__．三、解答题14．如图，抛物线y＝1x2＋ bx－ 2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A( －1，20) ．(1)求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；(2)点 M是 x 轴上的一个动点，当△ DCM的周长最小时，求点 M的坐标．1 2 1 2解： (1) ∵点 A(－ 1， 0) 在抛物线 y＝2x ＋ bx －2 上，∴2×( －1) ＋ b× ( － 1) － 2＝0，3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 25解得 b＝－2，∴抛物线的分析式为y＝2x －2x－ 2，∵ y＝2x －2x－ 2＝2(x －2) －8 ，325∴极点 D 的坐标为 ( 2，－8 )(2)作出点 C 对于 x 轴的对称点对称性及两点之间线段最短可知，C′，则 C′ (0 ， 2) ，连结 C′ D 交 x 轴于点 M，依据轴CD必定，当 MC＋ MD的值最小时，△ CDM的周长最小，b＝ 2，41设直线 C′ D的分析式为 y＝ ax＋ b(a ≠ 0) ，则3 25 解得 a＝－， b＝ 2，∴2a＋b＝－8，1241 41 24 24y C′D＝－12x＋ 2，当 y＝ 0 时，－12x＋ 2＝ 0，则 x＝41，∴ M(41， 0)。

2020年中考复习《最值问题》压轴综合(含答案)

2020年中考复习《最值问题》压轴综合[中考真题]（2019·无锡）如图，在ABC ∆中，54,5,===∆BC AC ABABC ,D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为B[思路解析]过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ．由AB=AC=5，BC[考点提炼] 类型一：代数最值解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1. 利用绝对值求最值； 2. 运用配方法求最值；3. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4. 建立函数模型求最值；5. 利用基本不等式求最值；6. 构造几何模型求最值. 类型二：几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点； 2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短；3．数形结合法，比如图形面积问题．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．[例题精讲]【例1】利用配方法求最值设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是．【答案】-1【例2】利用判别式法求最值设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．【答案】98 注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得．【例3】利用基本不等式求最值某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 【答案】（1）y=874998500000++x x ；（2）2000天.注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+．以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立．【例4】利用函数模型求最值如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2．(1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【答案】（1）S=-3x 2+24x （8x 314<≤）；（2）AB=5m ；（3）3246max =S .能围成，围法：长10m ，宽324m.【例5】构造几何模型求最值求代数式4)3(122+-++x x 最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则221)0(+-x 可以看成点P 与点A（0，1）的距离，222)3(+-x 可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．∴原代数式的最小值为32.【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．【答案】5注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例7】利用定理或公理求最值（1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为．【答案】102（2）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．【答案】5（3）如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13-【答案】C（4）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是 .【答案】71（5）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【答案】3【例8】数形结合求最值1、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+62、综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC 解析式为y ＝kx ﹣6 ∴3k ﹣6＝0，解得：k ＝2 ∴直线BC ：y ＝2x ﹣6 ∴y D ＝2×﹣6＝﹣5∴D （，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F 设E （t ，t 2﹣t ﹣6）（0＜t ＜3），则F （t ，2t ﹣6） ∴EF ＝2t ﹣6﹣（t 2﹣t ﹣6）＝﹣t 2+3t∴S △BCE ＝S △BEF +S △CEF ＝EF •BG +EF •OG ＝EF （BG +OG ）＝EF •OB ＝×3（﹣t 2+3t ）＝﹣（t ﹣）2+∴当t ＝时，△BCE 面积最大∴y E ＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E 坐标为（，﹣）时，△BCE 面积最大，最大值为．[举一反三] 1、若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6【答案】B2、正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411yx+的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．2 【答案】C3、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．14 【答案】B4、如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+ 【答案】A5、当－2≤x≤l 时，二次函数()22y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为（） A. 74- B. 3或3- C. 2或3- D. 2或3或74-【答案】C6、如图，点P （-1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（） A 10 B 8 C 6 D 不能确定【答案】B7、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为．【答案】863- 8、若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为【答案】19、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.10、已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D ⊥AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．11、如图，抛物线()21y x 312=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD.求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）()32,0-，()32,0 ，()3,1- ；（2）证明略；（3）（5，1）；（3，1）或1913,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

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