福师大《复变函数》网络作业

作业1一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。

（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。

（ F ）3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。

（ F ）4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 内也是常数。

（ T ）二、填空1、1Re 2n ⎡⎤⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦=；1Im 2n ⎡⎤⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。

2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++= 0 。

3、在映射2z ω=下，扇形区域0a rg ,14z z π<<<的像区域为2πarg 0<<z 。

4、若()()11n ni i +=-，则n = 。

三、计算1、 计算下列函数值：1）()n i L e ；21）、()n i L e 解： 主值()ln ln arg i i i e e i e i=+=,()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z2解： 设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为：2+i ，或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1；2）()()2222x y x i xy y --+- 。

1； 解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。

所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）()()2222x y x i xy y --+- 。

解：212,,2v 221v ,2x x y y x y y x u x v yu y x y u u v y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩==-⇒=-仅在直线12y =上可导，在复平面上处处不解析。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。

解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域2(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+3234(0,0)0,,4323f f i⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭4、已知222371(),:3C f z d C x y zζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+。

解：()2()2(371)()2(67)(1)2613f z i z z f z i z f i i πππ=++'=+'+=-+5、计算积分 1）()2311z z dz z z =--⎰；解：1）()2311z z dz z z =--⎰；2）211sin 41z z dz z π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰； 解：2sin 41z z π⎛⎫ ⎪⎝⎭-在11z +=内只有1z =-一个极点，所以令()sin 41z f z z π⎛⎫⎪⎝⎭=-，所以()()21111sin 42111z z z f z dz dz if i z z ππ+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=-+⎰⎰3）()12121zz e dz z z -=+⎰； 解:()12121zz e dz z z -=+⎰dz z z ez )1(2121+=⎰-4）()23132z dzz z -=-⎰。

解：)44(13231+-=⎰-z z z dzz3451443z z z dzz +-=⎰-四、证明：若积分路径不经过i ±，则120,14dz k k z ππ=+∈+⎰。

证明：如果积分路径不经过i ±，且不绕过，i ± 则由柯西定理得，若积分绕z=转1k 圈，则积分值为 若绕z = -i 转2k 圈，则积分值为故在一般情况下，积分值为五、证明：设v 是u 的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由： 1）,Au Bv Bu Av -+（,A B 为常数）； 2）22,u v uv -。

1）证明：2）不是的共轭调和函数证明：因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。

和不满足此条件，应该是2uv 是的共轭调和函数。

综上所述，不是的共轭调和函数。

作业2一、判断1、0(2)n n n a z ∞=-∑在z=0收敛，在z=3发散。

（ F ）2、在区域z R <内解析，且在区间（-R ，R ）取实数值的函数f(z)展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。

（ T ）3、1tan z 在圆环区域0(0)z R R <<<<+∞内不能展开成罗朗级数。

（ F）4、z=0是1tan()zf z e =的本性奇点。

（ T ）二、填空1、0(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径为 22。

2、22sin z e z 展开成z 的幂级数的收敛半径= ∞ 。

3、z=0是()sin tan f z z z =-的 3 级零点。

4、(),()f z g z 以z=a 为m 级和n 级极点，则z=a 为()()f z g z 的 m+n 级 极 点。

三、计算1、求21z 在01z =-处的泰勒展开式。

解：20111(1)(1)(11)1(1)nn n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++<⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑2、 求11:2n n z z ∞Γ=-⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭∑⎰解：112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰3、 求23()124f z z z z =+-+在z=1处的泰勒展开式。

解：当z=1时，此函数的泰勒展开式为：（z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1)4、将21()()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为罗朗级数。

解: 112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰四、若()f z 为整函数，且()lim ()max ()n r z r M r M r f z r →+∞=⎛⎫<+∞= ⎪⎝⎭，则()f z 是不高于n 次的多项式。

证明：()(),,(0,1,2,)k k k kk M r f z c z z c k r ∞==<+∞≤=∑当1k n ≥+ 时，令(1)k n pp =+≥()1()lim lim 0(1)k p n r r M r M r k n r r r →+∞→+∞=⋅=≥+当1kn ≥+时，0k c =作业3一、判断题（对的用“T ”表示，错的用“F ”表示）1、若()f z 在区域D 内单叶解析，则在D 内()0f z '=。

（ F ）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。

（ T ）3、解析函数具有保形性。

（F ）4、函数在可去奇点处的留数为0。

（ F ） 二、 填空题1、方程在单位圆6426210z z z -+-=内有 6 个根。

2、i 关于1z i -=的对称点为 x ²+(y-1)²=1 。

3、21(),:2(1)(5)(43)f z C z z z z i ==+-+-，则arg ()C f z ∆= －4 。

4、5z 在点1z i =+处的旋转角为 ，伸缩率为 20 。

三、 计算题 1、49(1)(2)(48)(50)z dzz z z z =----⎰解：设f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)]， f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)]， f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)]， 则答案为 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)] 2、204sin d πθθ+⎰解：((1222011111221214sin 81424,22lim()()4z z z z d dz dzz izz iz izz i z z i z z z z z i πθθπ==→=⋅=-++-+⎛⎫=-- ⎪=⋅ ⎪-- ⎪=-⎝⎭=⎰⎰⎰3、2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰ 解： 2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰4、求把z 平面的单位圆变为ω平面的单位圆，并使1成为不动点，使1i -变为无穷远点的线性变换()L z ω=。

解：依题意得，设z a a z e i --=1θω，因为1+i 关于单位圆的对称点为 i -11，无穷远点关于单位圆的对称点是0，211211111,11111111,011,1i z i z i i i z i z e ii i i -⋅-+-⋅-+=⇔↔+⋅---⋅=⇒<-↔-∞↔+ωωθ5、求把z 平面的单位圆 1z < 变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=，使110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：设圆周内部一点Z=a(1<a )变为w=0,点a(a ≠0)关于单位圆周1=z 对称点a a 1*=，应该变为w=0 关于单位圆周 1=w 的对称点∞ ，因此所求变换具有形式为： z a dz k az a z kw --=--=111其中 1k 为常数， 当1=z 时，1=w ，故取z=1，对应点w 满足 11111k aak w =--== 因此令为实数）ββ(1i e k =从而所求的变换为z a az ew i --=1β1<z。