数值代数及其发展

数值代数及其发展

数科院07（1）班金怡07211117

数值代数是研究代数问题的数值计算方法及其有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究也涉及工程设计方面的应用。可以说相当一部分计算数学的问题最终都会归结问线性代数方程的求解问题，或者是举证的特征值与特征向量的计算问题。可以说数值代数是一门理论性和实际应用性都很强的学科。并且随着计算机技术的快速发展，能够进行数值计算的实际问题的维数不断提高，相应的数值计算方法也在不断地该进或更新。因此，对于从事科学计算的大学生甚至工程技术人员来说，系统的了解和掌握数值代数的基本理论和方法，特别是近代发展起来的比较成熟的新型算法是至关重要的。

数值代数这门课给我们系统介绍了矩阵论基础、线性方程组的迭代解法、带状现行方程组的直接解法、特殊线性方程组的递推解法、矩阵特征值问题的解答及线性矩阵方程的迭代解法等问题。不过就我国来说，我国的数值代数研究问题处于不太繁荣的状态，主要表现在研究课题比较陈旧，与科技前沿工作脱节，和国际上的研究课题没有接轨；研究缺乏以自己的计算实践为依据；研究力量也比较分散，所有的科学家没有一起进行有组织的有针对性的研究。

数值代数在近50年来取得了大量的研究成果。仅Higham的著作就列出了1134 篇参考文献, 而这些仅仅是与数值算法稳定性及精度分析有关的部分主要参考文献。数字电子计算机的问世为求解数学问题提供了有力的现代工具。计算机容量有限和字长有限使得数值计算过程中舍入误差几乎不可避免, 而且只能求得数学模型的近似解。从20世纪40年代末开始, 数值代数的研究沿两个方向蓬勃展开。一方面是数值方法研究, 其重点是线性代数方程组和代数特征值问题的求解。Gauss消去法和Jacobi方法被发展和完善；Lanczos于1950 年提出了Lanczos 方法；D.Young提出了SOR 迭代方法；Kublanovskaya和Francis各自独立地于1961 年发表了QR 方法；Householder把镜面反射发展为矩阵计算的基本工具。另一方面是Givens和Wilkinson等一批数值代数专家着力研究舍入误差对算法及计算结果的影响, 引入了向后误差分析方法, 取得一系列结果。J.H.Wilkinson出版了他的名著, 既标志着研究的第一阶段的结束, 也是新一阶段研究的开始。

从60 年代中期开始, 数值代数界的主要兴趣是已有算法的理论分析, 主要

集中于如何有效地使用QR方法。提出了上Hessenberg化技巧以减少计算量；提出位移技术以提高收敛速度。Wilkinson于1968 年对具Wilkinson位移的QR方法证明有全局收敛性且收敛阶至少是2。然而, 直到今日, 关于QR方法仍未建立完整的收敛理论。正是这一困难问题促使数值代数界转向其它研究, 并于1970 年前后取得开拓性进展。首先,G.W.Stewart 于1970 年开始研究广义特征值问题

Ax= Bx的扰动理论, 并使用了投影尺度；C.C.Paige于1971 年在他的博士论文中使Lanczos方法“起死回生”,掀起了大型稀疏问题的研究浪潮；Peters和Wilkinson 合作对广义特征值问题的数值方法研究；Moler和Stewart合作把QR

方法推广到广义特征值问题上进而提出了QZ方法。这几项里程碑式的工作, 使得数值代数界整个70 年代的研究兴趣集中于大型稀疏计算和广义特征值问题。1979年, Van Dooren 在线性系统理论与设计中为奇异束广义特征值问题找到了深刻的应用背景, 并提出Schur分解的推广。这项工作一直影响至今:一方面, 数值代数界的研究兴趣开始从经典课题转移到其它交叉领域；另一方面也激励一部分学者在70 年代创立的研究方向上深入研究。

我国数值代数研究起步较晚, 可以说, 开始于1979 年, 从事一些经典领域的研究。70 年代末到80 年代中期,孙继广先生在矩阵扰动分析方面发表了一系列的研究论文。其中, 以投影几何思想为基础的广义特征值问题扰动理论达到了世界领先水平。孙继广还对含参数矩阵特征值的局部性质做了深入研究, 他同叶强合作深入探讨了代数特征值逆问题的几乎处处不可解性。进入九十年代, 他受Higham工作的启发, 深入研究了最佳向后扰动理论, 取得了举世瞩目的成果。曹志浩先生对广义特征值问题的数值方法进行了广泛研究；蒋尔雄先生给出了具位移QR方法完整的收敛速度分析。不过就我国来说，我国的数值代数研究问题处于不太繁荣的状态，主要表现在研究课题比较陈旧，与科技前沿工作脱节，和国际上的研究课题没有接轨；研究缺乏以自己的计算实践为依据；研究力量也比较分散，所有的科学家没有一起进行有组织的有针对性的研究。

通过这一学期的学习，我深刻地体会到了数值代数对我们数学专业学生的作用，同时也看到了它在具体的实际问题中的广泛应用。数值代数对于工程计算，及数值估计方面都有极大的用处。学好这门课，对我们今后的学习和工作都会产生不可估量的作用！