第7讲.弦图.预习题目

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三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数题目与答案

正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数题⽬与答案））））））））正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数正弦函数的性质与图像【要点链接】1．正弦函数的图像(1)掌握正弦函数的图像的画法；(2)会熟练运⽤五点法画有关正弦函数的简图．y?sinx要掌握：2．对于正弦函数R；定义域为(1)(2)值域[-1，1]；2；(3)最⼩正周期3]2[2k[2kk??,2k??,],k?Z；单调增区间(4)，单调减区间2222(5)是奇函数，图像关于原点对称.同时要求会求有关正弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、单调性、周期与判断奇偶性问题.【随堂练习】3y]?sinxx?[0,2y的交点个数为（的图像与，1．）2C．2 D．3A．0B．1,0][f((x)x)f可以为（上为减函数，则为奇函数，且在2．）2f(x)x??sinxf(x)?sin．．BA f(x)?1?sinxf(x)?1?sinx．C D．1?x?siny的值域是（3）．函数226261]][[0,[0,],][0, B ．C ．．．AD 222224．下列不等式正确的是（）954sinsinsinsin()．A B．77775?sin?sin()?sin(?))?sin(?．D．C73761?x,xy?1?sinx的．函数5 ，当取得这个最⼤值时⾃变量R的最⼤值为2取值的集合是．1sin2?0?，则满⾜6．已知的．的范围为__________ 23][0,)f(x2，最⼩值为，在．上是减函数的奇函数__ 7．构造⼀个周期为22 1xsiny?? 8在长度为⼀个周期的闭区间的简图．．利⽤“五点法”画出函数2??2,?]xsinsinx?x?1,?[?y?的值域．．求函数9 44）））））））））．））））））））答案3y]x?[0,2y?sinx的图像，的图像与在同⼀坐标系内画出，1．C 2可以看出交点个数为2．,0][上为增函数；对于A，在C、D都既不是奇函数，也不是偶函数．2．B 2211113y?][0,??sinxsin?x??0??，则，⼜在根号下，则知．．3D222222?932524)sin(?sin??sin?sin(sin??sin)?sin，，4．B777777725???sin(?)??sinsin(?)?0sin(?)??sin?sin，，776637则B正确．33,kZxx2k}{yxsin1取最⼤值当5．，时，取到最⼩值222??,k?2kZ?}{xx?．此时2?15[),2[0,y]?)?[0,2?sinxxy画出在上的图像，看图可得．与6．26633x?xsin?sin?)(xf可以判断满⾜要求．7．22解：列表：8．3x2022xsiny00011111113?x?y?sin222222y作图：3 212?32x22O 1?2??22?x?,][sin],?x?[，得解：．由．922445122?)??(sinx?xy??sinx?sin?1，42?51?x?xsin y，即取最⼤值，为；时，当426?212??sinx??x?y时，，即．当取最⼩值，为224）））））））））．））））））））1?25,[]．所以函数的值域为24备选题4y??1?．函数1的最⼤值是（）xsin2?55D．5．B C．3 A．231443y4?3?1?2?sinx，则C．，选1．C ，则3sin32?x?5?]?y?sinx,x[,1?y．已知函数的图像与直线围成⼀个封闭的平⾯图形，则该222封闭图形的⾯积为（）2 D4 C．．A．2 B．S?SS?S，，．C 如图，由对称性知2y4123?2则封闭图形的⾯积与长为，宽为1的矩形的⾯积相等，则封闭图形的⾯积1?2为．SS41?5x OS?S2232余弦函数的图像与性质【要点链接】．余弦函数的图像1 掌握余弦函数的图像的画法；(1) 会熟练运⽤五点法画有关余弦函数的简图．(2)x?cosy．对于余弦函数要掌握：2R；(1)定义域为；1]值域[-1，(2)?2最⼩正周期；(3)]1)?,()?12,2kk],[2k[(2k Z?k；(4)单调增区间单调减区间y.是偶函数，图像关于轴对称(5)周期与单调性、同时要求会求有关余弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、. 判断奇偶性问题【随堂练习】x2cos1?y?1．）的值域为（3,1][?1]3,?[[?1,3][1,3]?．．A D．B．C?)sin(x?y??x）．函数2 R）（（2,0]?[],[?．是偶函数，且在上是减函数上是增函数B．是奇函数，且在A22,][?][0,上是减函数．是奇函数，且在C．是偶函数，且在上是减函数D22x?y?cos）3．函数的图像的⼀条对称轴⽅程是（）））））））））．））））））））x??x??x?x．．B．D．C A428xy?cos xsiny??的图像，这个平移可以为（．把函数的图像经过平移可以得到）4??个单位B．向右平移A．向左平移个单位22??个单位DC．向左平移．向右平移个单位1?y 5．函数___________________．的定义域为1x?2cos1?y 6．函数_______________．的值域为xcos2?x??cosy?sinx ____________________．函数7．的定义域是．判断下列函数的奇偶性：81?xxxcosf(x)?x?lg?(x)?sinxcosxf．）（1 （）2 ；1?x?y?cosx]?[0,2y?2?cosxx，9．⽤五点法作出函数，的图像，并说明它和函数?]?[0,2x的图像的关系．答案cosx?[?1,1]?2cosx?[?2,2]1?2cosx?[?1,3]．，则因为，则A 1．xcos)y?sin(x][0,上是减函数．2．，则它是偶函数，且在 C 2??x y??cosx的图像的⼀条对称轴．是画出图像可知直线3．Dxcos)?ysin(x?xsiny个单位∵，则把函数的图像向右平移4．B 22x?cosy的图像．可以得到23??cosx??0?x?12cos}Z,kx?2k??{x，那么，5．知24 23cosx?x),[?，则定义域为值为内的在⼀个周期⽽243??,k??Z}{xx?2k．411[,1][,1]3??cosxcosx?11?2?1?．，知值域为因为，则6．33])k??1,(2[2k k?Zsinx?0cosx?0，由正弦线与余弦线知，，，7．可得2?3kx2k??2?k2k??x2k??Z，那么两者的交集，其中且22]?1),(2k[2k?Z?k．，即为定义域，为2)x?f(??xxcosx?)x)?(f?x)(?x?(?)cos(?x? 1），（．8解：)(xf是奇函数．所以1,1)(?（2．）知函数的定义域为）））））））））．））））））））1?(?x)1?x??sinxcosx?lgf(?x)?sin(?x)cos(?x)?lgx?1?(?x)1x?1?x11?)sinxcosx?lg()?sinxcosx?lg?f(x??，x1?x1?)xf(是偶函数．所以xcosy?xcos2?y?的图像．9．解：在同⼀坐标系中作出与⾸先列表为3x20 22xcos 1 1 0 0 -1 xcos-1 0 0 1 -1x?2cos12231y画图为3x2?cosy? 21xy?cos2x O3 122xcosyxcosy x][0,2x，轴对称可以得到可以看出，将函数的图像关于xcosxcosyy][0,2x?[0,2x]?函数的图像，再将函数，，?][0,2?cosxx?y?2，的图像向上平移2个单位即可得到函数的图像．备选题?7??[0,)?]?f(?x)xf(x)?cosxf(且______．时，则的奇函数，若函数，是周期为1．321771?os)??c?)?f()?f?f?(?f)?(2(．1．2332333??C)f(x?y[0,1]ABC中，，若函数2．在△在上为单调递减函数，则下列命题2）正确的是（)(sinBf)(sinA)?ff(cosA)?f(cosB．A．B)B)?f(cosf)f(sinA)?f(cosB(sinA C．． DB?B0?A?C?A，则，，则2．C2222?1cosB??sin(?B)?0?sinA)(cosB(sinfA)?f．，则则2正切函数【要点链接】sinZ?,k?R,?tank. 1．正切函数的定义：（）?2cos.2．正切函数的图像：掌握正切函数的图像的画法x?tany 3．对于正切函数要掌握：}Z?xk,k,?{xR定义域为(1)；2）））））））））．））））））））R；(2)值域??)0k?k?Zk,(；(3)周期是，最⼩正周期)k?k?(?,(k?Z)k?Z；(4)在每⼀个开区间是增加的22(5)是奇函数，图像关于原点对称.同时要求会求有关余弦函数的⼀些简单组合的函数的定义域、值域与最值、单调性、周期与判断奇偶性问题.4．正切函数的诱导公式，可结合正弦函数与余弦函数的诱导公式的记忆⽅法去记忆．【随堂练习】tan2)?(1,P等于（．已知⾓的终边经过点），那么111??2B．C．D．A ．2 22),sin?P(tansin的终边必在在第三象限，则⾓( )2．若点A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限13)tan()tan(???．已知，则）3等于（2211?2?DA．2 B．．C．22xtany?图像的⼀个对称中⼼为（4．）,0)(,0)()(0, (1,0) D．．A．C．B4200?)300?cot(?405tan．5．17131713)tan(?)tan(?tan()??)tan(与6．⽐较的⼤⼩为．5445 1?y的定义域为．．函数7 x1?tanx)tan(y的定义域和单调区间．．求函数832??25?tanx?xy?tan?2aa),x?[为常数)．求函数9其中．在时的值域(42答案y?2??tan?2??可得1．B ．1x0?0tansin?sinsin??0tan?为第四象限⾓．，且知．2D ，则，则?311cottan()??tan(atn?()?tan????)? 3．A ，则，则222212．?tanyxtanxaytn,0)(的图像的⼀个对称中⼼．的图像可看出，．4A 是2）））））））））．））））））））0000001??3)045?ot3(60?6?0)36tan30?c?ot(t4?05)can?0(．5000013?60?cot45??tan(?60)?cot(?45)??tan?．217213??0??tan(?)tan(??)?tan(??)?)?tan(??．，⼜，，64544552??2?)?)?tan(?,0)x?(?tan(xtany?⽽内递增，则在，即可得．542}?Zxk,?k?x?k?{xtany?0x?1?tan，观察7．可得的图像，42}Z,kk??x?k??{x xtany?注意．的周期为，则定义域为42x??kx??k2z?zkk?，即，可得8．解：，，3223??},kx{x2kz．所以函数的定义域是3x??k??k?zk?，，由2223??5k??2k2?x?z?k解得，，33??5??Z,?2k?)(??2kk则知函数的单调区间为，且在其上为增函数．332225?x?a)?a? tanx?2a?tanx?5?(tany，9．解：??)[,x?)?[1,??tanx，∴，2422)a,a?5[5?y?a??tanx1a??，则值域为；，此时时，∴当)6,??[2a?6a?y?21x??1?tana，此时．时，当，则值域为备选题? 1．设）是第⼆象限⾓，则（cos??cos?1tansin?1sintan D．B．．C．A 2222222?k?k2kk?????Z?k．，，是第⼆象限⾓，则则1．A22241a?n?2n?t?2n k?2nnk?2n,?Z?1,n?Z当，则；当时，2224??351??2n?n2tan??时，．，则2224)xytan(的定义域是2．函数．433??,k?Zkxkx{x??Z?,?x?k}?,kZ?k?．知．2，则4244）））））））））．））））））））同步测试题A组⼀、选择题y?sinx的图像的⼀条对称轴⽅程是（1．函数）5??xx?x??x?CA．．D．B．4248sin1cos1tan1的⼤⼩关系为、( )2．、tan1?sin1?cos1sin1?tan1?cos1A．B．sin1?cos1?tan1tan1?cos1?sin1 C．D．??x?sin?x)f(?x)x)?tan(g(，则（）3．已知函数，2f(x)g(x)f(x)g(x)都是偶函数与与B．都是奇函数A．f(x)g(x)f(x)g(x)是奇函数是偶函数，是奇函数，D．．是偶函数C4．下列各式中为正值的是（）7773tan1)cot(tansin?BA．．858800230sin105cos6cos6tan．D．C1725)?)cos(?cos(sin(??)?sin(?)；；②．对于下列四个命题：①541841000004040sin?tan143?tantan138．其中正确命题的序号是（③；④）A．①③B．①④C．②③D．②④2coscos,sin2,,sintan,中能确定为正值的有（6．若是第⼀象限⾓，则）222 2个以上C．2个D．个A．0 B．1个⼆、填空题x?tany x ________轴的直线与．的图像的相邻两个交点之间的距离为7．平⾏于xtansinx|cosx|?y??．的值域是________8．函数|cosx|tanx|sinx|AB?C)?cosA,B,Ccos(ABC?4个关系式：①是．设9；的三个内⾓，有下列CBA?sinsin?C?tantan(CA?B)Asin(?B)?sin；③．；④②22．其中不正确的是______________三、解答题?2??tan．已知．10??cos2sin?）求（1；2cos?sin2212cossin．）求（211．判断以下两个命题是否正确？并加以说明．sincos??cossin；、都是第⼀象限⾓，若1 （），则tantan? sin?sin，则、都是第四象限⾓，若．）（ 25?]?[0,xbx)x?asin?(f．3，．已知12，最⼩值为1，它的最⼤值为6）））））））））．））））））））)f(x（1）求的表达式；x2)?f(x成⽴的（2）求使的值；x)(xf取最⼤值时的值．（3）求组B ⼀、选择题??0),??xcosx,(??3??)(xf)xf(R2，最⼩正周期为是定义域为1．设的函数，若?2??).?sinx,(0?x??15)(?f则）等于（422?01D CA. ．B．.22x?cosy?cosx．）的值域是（22,0]?[?1,1][[0,1]?1,0][．C． D A．B．xcosy?tanx．函数）的部分图像是（3D．C．A．B．1414)?asin(?tan(?)（4．已知，那么）15151aa|a|??D．AC．．B ．2222a1?a1?a11?a?⼆、填空题00)cos(720??x)sin(540x1?)f(x?)f(x x _____，写出满⾜的⼀个5．已知．值为00)tan(?x?270sin(?x?360)2?x)(0,2xcossinx?取值范围为成⽴的_________________．内，使6．在三、解答题3)?cos(2??)?tan(sin(??)2???)f(为第三象限⾓，且．已知7．)?sin(cot?13??cos(?)))((ff的值．；（2）若（1）化简，求5221)a?2x?acosx?(2?y2cosx)af(．设关于8的函数的最⼩值为．)f(a的表达式；（1）写出1a?f(a)y 的最⼤值．的）试确定能使2（值，并求出此时函数2）））））））））．））））））））答案A组y?sinx的图像可以看出．．C 观察1cossin??cos1?1sin1?tan1?tan1costan1?sin1?，⼜2．A ．，则444??x?sox?sin?cf(x))(x)??tanx(gx)?tan(f?x3．D 是，易判断，2)(xg是奇函数．偶函数，72373?1)cot??cot?0(tantan?tan?1cot，则为正值．，4．A 588455)?sin(???)??sin(，，则则①正确；B 5．10181018220?40?的正弦线和正切线，知④正确．画出tan2 6是第⼀象限⾓，则在⼀或三象限，则的终边在．C ⼀定为正；22?x2sin⼀定为正．轴的上⽅，则??xy?tan的图像的最⼩正周期相邻两个交点之间的距离就是7．．xx1,3}?{的终边不会落在坐标轴上，分⾓知⾓的终边在第⼀、⼆、三、四象限内，8．y1,3}{?．1、－1 ，则值域是的值分别为3、－1、－A?B?CA?B?C?A?BC，则9．①③④知，．C)?B?sincos(B?C)??cosAsin(A，，可得CA?BC)?tan?tan(A?Bcos?sin，．则①③④不正确．2232sincos??2tan1?12?(?2)．（1）．10解：4?2?2sin?2cos?tan222?1?y?x),yP(x，）设⾓的终边与单位圆的交点为，则（2221?sincos?x?cosysin?．，，那么则22??cos?2sin2222cos?2cos1??sin2sin?22??cos?sin2?72tan?1??．2?5?1tan0060?30?sinsin?cos?cos，．11．解：（1）错误，可举例，但，满⾜（2）正确，证明如下：2k???2n,0)?(??,0)?(Zn?k?Z．，设，；，，122122sinsin?,0)(?x?xsiny?sinsin?上为增函数，，∴，⽽在∵xtany???0???,0)(?x在，⼜上为增函数，则1222tantan?tantan?则，212则．21[0,1]sinx?0?a 12．，由已知可以得）知．1解：（b?)(fxa)(fx?b?0a?，当时，，minmax）））））））））．））））））））a?2,b?1f(x)?2sinx?11??3ba?b．，，，那么则f(x)?a?bf(x)?b0?a，，当时，maxmin a??2,b?3f(x)??2sinx?33?a?b?1b．，，则，那么551x]xxsinx[0,2f(x)．（2）若，则有，则，，或2666??x1x?f(x)?2sin31?2sinx?；，则）当时，由（3232sinx?(x)??f03x?2sinx?3??时，由当，则．B组??23515313f(?)s?i(??3)?fn(?)?f? B 1．．2442440,0,cosx??2,0][??y画出图像，则它值域为可得．2．D ?0.cosx?2cosx,?2?y?x?x，C．，排除D 当，知选A⽆意义，则、B排除，当3．C 24214??)aP(?1,?0a?是第三象限的⾓，则，可设其终边上⼀点为知，4．A 15a142?)sin(a1rOP则，则．152a1?0cos?(x)sin(1?8x0)xcoxssin10?x)xf(sin30??sinx?，5．，由0tcoin0?x)x)in?(xtans(?9xs2030?x值为知满⾜它的⼀个． ??5?)(,xy?cos)(0,2?sinxy在内的图像，和6．在同⼀坐标系内画出44??5),(x xsinx?cos观察图像知使取值范围为成⽴的．44cotsin??cos(??cos)f）解：（1．7．)?cotsin?(?1313sincos(?sincos()?)?cos(?)，则（2），52522222?5y??1)?()y(?1,0y?的终边上⼀点为，⼜，则可设，得6262cos?)f(6?y?2，则，则则．552aa22?cosy?1?2a?2cosx?2ax?(2a?1)?)x?2(cos1,1]??cosx[ 1）（，，8．解：222aa?y?2a?1?1?1??2?2??a时，，即当；min22aa?41y?1?1?cos2x?a 时，，即当时，；min2a1y?1??1?axcos2时，时，．当，即min2）））））））））．））））））））1,a??2,??1?2f(a)??a?2a?1,?2?a?2,则?2?2.?,a1?4a??1?)(af1a??）由（2，，得2112?)x?y?2(cos y1x?cos．有最⼤值为时，，当5 此时22备选题）1．下列函数是奇函数的是（xtan?xy)x?sin(tancos(sinx)yy?sinxtanxy?B．D．．．AC)(x)??f?tanx)??sin(tanxf(?x)?sin[tan(?x)]?sin(对于D中函数，，1．D)sin(tanxy?是奇函数．其定义域关于原点对称，则2＋a)＝(sinx－1y a??1sinxsinx．若函数2时取最⼤值，在时取得最⼩值，在a则实数）满⾜（1a1?1?a?0a0?a?1 D．A．C．B．2＋－a)y1＝(sinx1,1]?sinx?[ax?sin，函数注意，的对称轴为2．B0a??1?．由题意观察图像，则xtanx?y??cos．．函数的定义域为__________________3}Z,kx?2{x2kk0?tanxcosx?0 3可得．，则函数的图像可得，2}?kZ,2kk?2?2k?x?x?2k??Zk,?}{x{x，且，求交集222x?tany?cosx?}?Z,?k?x?2{x2kk．可得函数的定义域为2sintantan??sin? :4．求证．sintantan?sin?22?y??rOP?x),yP(x，则．4证明：设⾓，的终边上⼀点为22yy22tan?sin)(tan??sinsin)(tan??则22rx22222xry1y?y122222??sin?tan(y?)?y?y．sin?tansintan??．∴22222222rxxrrxrxsintan?sintan?）））））））））．。

弦图练习题(打印版)

弦图练习题（打印版）# 弦图练习题（打印版）## 一、基本概念题1. 定义解释：请解释什么是弦图，并简述其在数学中的重要性。

2. 图形识别：给出一个图形，请判断它是否为弦图，并说明理由。

## 二、理论应用题1. 弦图性质：弦图有哪些基本性质？请列举至少三个。

2. 弦图判定：若一个图有n个顶点，且任意两个顶点之间的距离至少为k，证明或反驳该图是弦图。

## 三、计算题1. 弦图边数：给定一个弦图，顶点数为10，求该弦图可能的最大边数。

2. 弦图的最小生成树：在一个弦图中，若已知所有顶点的权重，请找出其最小生成树，并说明计算方法。

## 四、证明题1. 弦图的闭包：证明弦图的闭包仍然是弦图。

2. 弦图的连通性：证明弦图是强连通的。

## 五、综合应用题1. 弦图的着色问题：在一个弦图中，每个顶点需要被着色，使得相邻的顶点颜色不同，求最少需要多少种颜色，并给出着色方案。

2. 弦图的最短路径：在给定的弦图中，找出从一个顶点到另一个顶点的最短路径，并证明其最短。

## 六、开放性问题1. 弦图在实际应用中的例子：请列举弦图在实际问题中的应用场景，并简述其作用。

2. 弦图的扩展研究：提出一个关于弦图的研究方向或问题，并简要说明研究的意义。

注意事项：- 请在答题前仔细阅读题目要求。

- 答题时请保持思路清晰，逻辑严密。

- 确保答案准确无误，避免出现计算错误或逻辑漏洞。

打印说明：- 本练习题为打印版，适合在纸上作答。

- 请使用清晰的字迹，保持卷面整洁。

- 如有需要，可使用图表辅助说明。

祝答题愉快！。

高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图像练习新人教A版必修4(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像练习新人教A版必修4的全部内容。

1。

4。

1 正弦函数、余弦函数的图像题号1234567891011得分答案一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．以下关于y＝sin x的图像的描述不正确的是( ）A．在[2kπ，2kπ＋2π］（k∈Z）上的图像形状相同,只是位置不同B．位于直线y＝－1与y＝1之间C．关于原点对称D．与y轴有无数个交点2．已知点错误!在余弦曲线上,则n＝( )A。

错误! B。

错误! C。

错误! D．13．函数y＝－xcos x的部分图像是（)4．函数y＝sin x的图像与函数y＝－sin x的图像关于（)A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称5．函数y＝cos x·｜tan x|错误!的大致图像是( ）图L1。

426．方程|x｜＝cos x在区间(－∞，＋∞）内（)A．没有根B．有且仅有一个实根C．有且仅有两个实根D．有无穷多个实根7．已知函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图像和直线y＝2围成了一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2π D．4π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知函数f(x ）＝3＋2cos x 的图像经过点(错误!,b)，则b ＝________．9．函数y ＝1＋sin x ，x ∈［0,2π］的图像与直线y ＝错误!的交点个数是________． 10．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝4的交点坐标为________________． 11．满足10sin x ＝x 的实数x 的个数是________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．（12分）画出函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图．13．（13分)利用平移变换和对称变换作出函数y ＝－sin x －2的简图．得分14．(5分)函数f(x)＝错误!则不等式f(x ）>错误!的解集是________________________． 15．（15分）判断方程x 2－cos x ＝0的根的个数．1．D ［解析］由题意知，该函数的图像与y轴有且只有一个交点．2．A [解析］由于点错误!在余弦曲线上，所以n＝cos错误!＝错误!.3．D [解析］因为函数y＝－xcos x是奇函数,所以它的图像关于原点对称，所以可排除A，C；当x∈错误!时，y＝－xcos x＜0，所以排除B.4．A [解析］在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图像（图略),易知它们关于x轴对称．5．C [解析］函数可化为y＝错误!观察所给图像知只有C正确．6．C [解析］在同一直角坐标系中画出函数y＝｜x｜和y＝cos x的图像(图略）,由图像可知，函数y＝|x|与y＝cos x的图像有且只有两个公共点，故原方程在(－∞,＋∞）内有且仅有两个实根．7．D ［解析］依题意，由余弦函数的图像关于点(π2,0)和点（错误!，0)成中心对称,可得y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.8．4 ［解析] b＝3＋2cos错误!＝4.9．2 ［解析］在同一直角坐标系内画出y＝1＋sin x和y＝错误!的图像（如图所示）,观察图像可得交点的个数为2.10.错误!，错误!［解析］作出函数y＝cos x＋4，x∈［0,2π］的图像（图略），知它与直线y＝4的交点坐标为错误!，错误!。

五年级思维--几何--勾股定理与弦图((思维拓展专项练习))学生版

课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

小学奥数几何模型专项课件-弦图

例题讲授
练一练1：如图，四边形ABCD是正方形，三角形BCE和三角形CDF是直角三角形，CE：CF=4:3，已知五边形ABEFD的面积是740，求三角形AEF的面积.
例题讲授
例2：如图，已知正方形的边长是10，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
练一练2：如图，已知正方形的边长是12，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
例3：如图，梯形ABCD中，上底是10厘米，下底是15厘米，将CD绕D点逆时针旋转90度，使得使得C点落于C ' 处，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
练一练3：如图，梯形ABCD的上底长是22，下底长是35，以CD为边长向外作正方形CDEF，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
例4：如图，直角三角形ABC中，AB=12，AC=8，E是BC的中点，且四边形DEFG是正方形，求正方形DEFG的面积.
例题讲授
例6：如图，长方形ABCD的边长为10，以AB、CD为斜边作直角三角形ABE、CDF，已知 AE=CF=8，BE=DF=6，求EF2.
例题讲授
练一练6：如图，已知正八边形的边长是12厘米，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
例7：如图，已知长方形的长是20厘米，宽是16厘米，求每个小正方形的面积.
巩固提升
作业5：如图，已知图中大正方形的面积是256，求图中每个小正方形的面积.
巩固提升
作业2：直角梯形ABCD中，AD=17，BE=5，已知三角形CDE是等腰直角三角形，求三角形ADE的面积.
巩固提升
作业3：如图，已知正方形的边长是12，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业4：如图，四边形ABCD是正方形，BE=12，三角形ABE和三角形BCE的面积分别是72和30，求正方形ABCD的面积.

第7讲.弦图.B版

四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是 100 平方分米，小正方形的面积是 16 平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？
16
【分析】⑴长方形的面积是 (100 16) 4 21 (平方分米)．
六年级暑假第 7 讲（B 版）
3
⑵因为100 10 10 ，16 4 4 ．所以大正方形的边长是 10 分米，小正方形的边长为 4 分米，那么长方形的短边是 (10 4) 2 3 (分米)．
3 3072
动手试试看，用有刻度的直尺和铅笔能画出多少个面积为整数且在 1 cm2 到 20 cm2 之间的正方形.
10
六年级暑假第 7 讲（B 版）
2、（1）赵爽的“勾股圆方图”（又称为赵爽“弦图”），即外弦图如右图以 a、b 为直角边（b>a），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形
的面积等于 1 ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，四边形 ABCD 是一个边长为 c 的正 2
方形，∴四边形 EFGH 是一个边长为 b-a 的正方形。
【分析】（1）构成风车外围的较长边由勾股定理可知为 13，较短边为 6，各有 4 条，故周长为 (13 +6) 4=76
（2）由内弦图可知：S1+S2=1，S3+S4=3，故面积总和为 4
如右图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积是 5 和 11，则 b 的面积为___________.
46 6 4
Hale Waihona Puke 2、用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2 的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？
【分析】根据1010 100 知这个大正方形的边长是 10cm，即长加宽是 10 cm，长方形的周长是：10×2=20 cm．

高中数学必修第一册三角函数正弦、余弦函数的图象知识点+例题+习题+解析

正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3，可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称答案 A解析由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]．解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集．解在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域．解依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________．答案 π2解析令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]．解函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________．答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．答案 4π解析如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围．解在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。

中考数学几何模型之弦图模型(解析版)

中考数学几何模型：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上，（1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点；（2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为5．【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4∴MN＝2，AB＝2∵四边形EFGH是正方形∴FO＝HO，EH∥FG∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH∴DH＝AE＝2，∴AH＝6∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5故答案为53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于6．【解答】解：（1）如图，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAG+∠BAC＝180°，∵∠EAG+∠EAQ＝180°，∴∠EAQ＝∠BAC，∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．4．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC ＝3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．【解答】解：（1）思路一、如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．①求证：AF+AB＝BC②判断FD与DC的关系并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：①∵AD＝BC，∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．②∵AF⊥AB，∴∠F AD＝90°，又∵∠DBC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，∵AF＝BD，AD＝BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD与△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△F AD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为；（直接写出结果）【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DP A＝90°，∴∠AQT＝∠DP A．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；∴，故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，由②﹣①得x＝2y﹣3③，解方程组，得（舍去），或，∴AR＝3+x＝，∴＝＝．7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．求证：2EP+AD＝2CD．【解答】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．8．提出问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（1）探索CE与BG的关系；（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG 是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为74m2．【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；（2）如图1，过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，∴∠EAH＝∠BAC，在△EHA和△BCA中，，∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG ＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝25+16+6+9+18＝74（m2）．故答案为74m2．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A 顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，∵四边形ABCD为正方形∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，故答案为：；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE＝1，BF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，∴AB＝＝；如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，∴矩形的宽为：，；（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG （点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，，∴△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB+AH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；（3）分三种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合题意．综上所述：AE的长为1或2+．。

直角三角形的性质应用(弦图)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则______________.以下是问题及答案，请对比参考:问题1：古人采用拼图的方法证明勾股定理，比较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．答：问题2：根据特殊直角三角形的三边关系，求出下列直角三角形的斜边长，并记忆背诵．答：问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，3，5，正放置的四个正方形的面积分别为则.答：直角三角形的性质应用（弦图）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图所示是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.10B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形和一个小正方形，若直角三角形较长的直角边为4，小正方形的面积为9，现向大正方形内随机撒一枚幸运小星星，则小星星落在小正方形内的概率为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图5.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A.90B.100C.110D.121答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质6.如图，四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，∠DCE=30°，若，则正方形ABCD的面积为( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF，BE分别垂直于CD（或延长线）于F，E，则EF的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质第11页共11页。

小学奥数勾股定理与弦图经典例题【三篇】

【导语】芬芳袭⼈花枝俏，喜⽓盈门捷报到。

⼼花怒放看通知，梦想实现今⽇事，喜笑颜开忆往昔，勤学苦读最美丽。

在学习中学会复习，在运⽤中培养能⼒，在总结中不断提⾼。

以下是为⼤家整理的《⼩学奥数勾股定理与弦图经典例题【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇】
　例1、如图所⽰，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的⾯积都等于1680平⽅厘⽶，阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分。

如果要在阴影部分内部放⼊⼀个尽可能⼤的圆，则这个圆的⾯积等于多少平⽅厘⽶？
【第⼆篇】
例2、如图，⾃△ABC内部⼀点P向AB、BC、CA作垂线，垂⾜依次为F、D、E，以AF、FB、BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正⽅形，这六个正⽅形的⾯积依次记为S[sub]1[/sub]、S[sub]2[/sub]、S[sub]3[/sub]、S[sub]4[/sub]、
S[sub]5[/sub]、S[sub]6[/sub]，如果S[sub]6[/sub]-S[sub]5[/sub]=2，S[sub]4[/sub]-S[sub]3[/sub]=1，那么试求S[sub]1[/sub]-
S[sub]2[/sub]的值。

【第三篇】
　例3、如图所⽰，直⾓三⾓形PQR的直⾓边为5厘⽶和9厘⽶，问图中3个正⽅形⾯积之和⽐4个三⾓形⾯积之和⼤多少？。

c1[预习]三角函数预习

高一年班数学学科学案编写人：学科带头人签字：课题三角函数课型预习课一、任意角的概念与弧度制一，角的概念1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。

按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。

射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、角的分类：(1)正角，负角，零角(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ(4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+与α终边反向的角： (21)x k απ=++终边在y=x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、题型：1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在720-︒到720︒之间与1050-︒的终边相同的角.例2:若α是第二象限的角,则2,2αα是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.例3:①写出终边在y 轴上的集合.②.α在第二象限角,试确定2,,23ααα所在的象限.二，弧度制1、弧度制的定义：l Rα=2、角度与弧度的换算公式：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:74315,330,,63ππ︒︒ （2）L R α=，211,22l r s lr r αα===的应用问题例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.例2:已知扇形弧度数为72︒,半径等于20cm ,求扇形的面积.例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.例4:121237570,750,,53ααβπβπ=-︒=︒==- ①.求出12,αα弧度,象限.②.12,ββ用角度表示出,并在720~0-︒︒之间找出，它们有相同终边的所有角.三任意角三角函数1、任意角的三角函数定义sin ,cos ,tan ,cot y x y xr r x yαααα====正弦余弦正切余切2、三角函数的定义域：三角函数定义域=)(x f sin x {}R x x ∈| =)(x f cos x {}R x x ∈|=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且2、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。

“弦图”解题例谈

“弦图”解题例谈特级教师吴乃华“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形（图1）。

早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差。

根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。

【例1】一个直角三角形的斜边长101厘米，而它的两条直角边一条比另一条短79厘米，这个三角形的面积多少平方厘米？解：“弦图”这个名称，也可以说是以四个完全一样的直角三角形的斜边为边的正方形，赵爽称它为“勾股圆方图”。

本题，如果我们想到了这个图，问题就变得十分简单了。

如右图2，我们用四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形。

大正方形的边长是101厘米，面积是：101×101＝10201（平方厘米）里面小正方形的边长恰好是两条直角边的差，其面积是：79×79＝6241（平方厘米）右图的阴影部分，正是两个正方形面积的差，也即4个这样的直角三角形面积的和。

所以这个直角三角形的面积是：（10201－6241）÷4＝990（平方厘米）。

【例2】一块正方形铁皮，从它上面剪下一个宽2分米的长条后，剩下的部分为一个面积是15平方分米的长方形（如图3a）。

剪下的长条铁皮的面积是多少平方分米？解法一：设正方形边长为x分米。

根据题意，则有x（x－2）＝15x2－2x＝15x2－2x＋12＝15＋12（x－1）2＝42x－1＝4x＝5这种方法是很难适合大多数小学生的。

解法二：假设剩下的长方形铁皮有4块，我们就可以拼成如右图3b的正方形。

把4个形状相同、大小相等的长方形这样摆放，就构成了一个“弦图”。

这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和。

2024年新高一数学初升高衔接《正弦函数、余弦函数的图像》含答案解析

第26讲正弦函数、余弦函数的图象模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

知识点 3 用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．考点一：“五点法”画正（余）弦函数的图象例1．用“五点法”作出下列函数sin 1y x =-，[0,2π]x ∈的简图：【变式1-1】（22-23高一下·河南·月考）用五点法作出函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出cos 2y x =的图象．【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =-，[]0,2πx ∈；(2)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．(3)πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦考点二：含绝对值的三角函数图象例2. 当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)sin y x =；(2)sin y x =.【变式2-1】（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数()sin f x x =-在区间[]π,π-上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【变式2-2】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【变式2-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）函数1(cos cos ),[0,2π]2y x x x =-∈的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．考点三：用正（余）弦函数的图象解不等式例3. （22-23高一下·四川南充·月考）不等式1si n ,2x <-[0,2]x πÎ的解集是（）A ．711,66ππ（）B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,66ππ（）D ．25,33ππ（）【变式3-1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式[]()1cos π,π2x x ≥∈-的解集为 .【变式3-2】（23-24高一下·广东江门·月考）在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（）A ．π,π4⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π,π,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ3π5π4244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,【变式3-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）在[]0,2π内函数()ln sin x f x ⎛= ⎝⎭的定义域是（）A ．ππ,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3π5π,43⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,3π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点四：正（余）弦函数的图象辨识例4. （23-24高一下·北京·期中）设a 是实数，则函数()sin 1axf x a=+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【变式4-1】（22-23高一下·辽宁·月考）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos 2f x x x=+的部分图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高一下·重庆·月考）函数()3sin 2x x xf x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【变式4-3】（22-23高一下·湖南长沙·期末）函数()1 sin ln1xf x xx -=⋅+的大致图象为（）A．B．C．D．考点五：与正（余）弦函数有关的交点例5. （23-24高一下·陕西·月考）（多选）函数πsin2π3y x x⎛⎫=<<⎪⎝⎭图象与直线y t=（t为常数）公共点的个数可能是（）A．0B．1C．2D．3【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数()sin f x x =与()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为.【变式5-2】（23-24高一下·辽宁盘锦·月考）若函数()sin 3sin f x x x =+在[]0,2πx ∈的图象与直线2y a =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·期末复习）在同一坐标系中，作函数sin y x =和lg y x =的图像，根据图像判断出方程sin lg x x =的解的个数为．一、单选题1．用“五点法”作2cos 2y x =的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）A ．π3π0,,π,,2π22B ．ππ3π0,,,,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ2π0,,,,63232．（23-24高二上·福建福州·月考）函数()cos 0y x x =-≥ 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（）A ．π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()π,1C ．()0,1D ．()2π,13．（22-23高一下·山西朔州·期中）函数()cos f x x =，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为（）A ．BC ．12-D ．124．（23-24高一上·浙江温州·月考）设a 为常数，且满足sin 1a x =+，且[]π,πx ∈-的x 的值只有一个，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．0或25．（23-24高一上·山东青岛·期末）当(0,2π)x ∈时，函数()sin f x x =与()|cos |g x x =的图象所有交点横坐标之和为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x xf x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题7．函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2πx ∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（）A ．1B ．2C ．4D ．68．（22-23高一下·江西抚州·期中）函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、填空题9．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点π,3b ⎛⎫⎪⎝⎭，则b =．10．（23-24高一下·山东威海·月考）方程sin tan x x =在区间3π3π,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上解的个数是．11．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若()5533cos sin 3sin cos θθθθ-<-且[)0,2πθ∈，则θ的取值范围为 .四、解答题12．用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，π5π[,33x ∈-.(3)1πsin()23y x =-在一个周期（4πT =）内的图像．13．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数()sin y x α=+，其中α为三角形的内角且满足1cos 2α=.(1)求出角α.（用弧度制表示）(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数()sin y x α=+，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中x 轴上每格的长度为π,6y 轴上每格的长度为1）x α+02πxy第26讲正弦函数、余弦函数的图象模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

直角三角形的性质应用（弦图）（人教版）（含答案）

直⾓三⾓形的性质应⽤（弦图）（⼈教版）（含答案）学⽣做题前请先回答以下问题问题1：古⼈采⽤拼图的⽅法证明勾股定理，⽐较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．问题2：根据特殊直⾓三⾓形的三边关系，求出下列直⾓三⾓形的斜边长，并记忆背诵．问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正⽅形．已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别为1，3，5，正放置的四个正⽅形的⾯积分别为则______________.以下是问题及答案，请对⽐参考:问题1：古⼈采⽤拼图的⽅法证明勾股定理，⽐较著名的是赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图，补全下列弦图．答：问题2：根据特殊直⾓三⾓形的三边关系，求出下列直⾓三⾓形的斜边长，并记忆背诵．答：问题3：如图，在直线上依次摆放着七个正⽅形．已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别为1，3，5，正放置的四个正⽅形的⾯积分别为则.答：直⾓三⾓形的性质应⽤（弦图）（⼈教版）⼀、单选题(共7道，每道14分)1.如图所⽰是⽤4个全等的直⾓三⾓形与1个⼩正⽅形镶嵌⽽成的正⽅形图案，已知⼤正⽅形的⾯积为64，⼩正⽅形的⾯积为9，若⽤x，y表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图2.如图，过正⽅形ABCD的顶点B作直线，分别过点A，C作直线的垂线，垂⾜分别为E，F．若AE=2，CF=3，则AB的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正⽅形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.10B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图4.如图，四个全等的直⾓三⾓形围成⼀个⼤正⽅形和⼀个⼩正⽅形，若直⾓三⾓形较长的直⾓边为4，⼩正⽅形的⾯积为9，现向⼤正⽅形内随机撒⼀枚幸运⼩星星，则⼩星星落在⼩正⽅形内的概率为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图5.勾股定理是⼏何中的⼀个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的⼩正⽅形和直⾓三⾓形构成的，可以⽤其⾯积关系验证勾股定理．图2是将图1放⼊矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的⾯积为( )A.90B.100C.110D.121答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直⾓三⾓形的性质6.如图，四边形ABCD为正⽅形，O为AC，BD的交点，△DCE为直⾓三⾓形，∠CED=90°，∠DCE=30°，若，则正⽅形ABCD的⾯积为( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直⾓三⾓形的性质7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF，BE分别垂直于CD（或延长线）于F，E，则EF的长为( )A.5B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直⾓三⾓形的性质。

勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库这就是一个“弦图”。

“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。

三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。

【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少？【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。

【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ的面积是多少cm2?【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，∆APB的面积是90cm2，∆CPB的面积是48cm2。

请你回答：正方形ABCD的面积是多少cm2？【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1；【例】（2009•安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是——【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图7由“弦图”变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．请回答：（ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长；（ 2）求正方形MNPQ的面积．（ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______【例】如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（）A．13 B．19 C．25 D．169【例】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）【例】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2．【例】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为cm．【例】2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则两条直角三角形的两条边的立方和等于欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习17 以弦图为背景的计算题

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题17 以弦图为背景的计算题一、单选题1．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（）A ．《周髀算经》B ．《几何原本》C ．《九章算术》D ．《孙子算经》2．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．52B ．68C ．72D ．763．下列数学著作中，记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”的是（）A．B．C．D．4．将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．4 B．8 C．2πD．165．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（）A．9 B．36C．27 D．36．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A．12B．14C．15D．1107．国际数学家大会是数学界四年一次的最高水平盛典，大会将邀请世界著名数学学者交流报告数学最新进展和成果，还将由承办国国家元首颁发世界数学最高奖——菲尔兹奖.2002年在北京召开的国际数学家大会会标图案是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图.若小正方形面积为4，大正方形面积为100，则直角三角形中较短边的长度为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图1是由5个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是5的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以9．三车魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘幑完成了《九章术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）A．《海岛算经》B．《孙子算经》C．《九章算术》D．《五经算术》10．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．811．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7 D．xy＝2412．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．24B ．52C ．61D ．7613．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（）A ．36B ．48C ．54D ．10814．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼成．若正方形EFGH 的面积为2，则正方形ABCD 和正方形MNKT 的面积之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则（a +b ）2的值是（）A ．13B ．25C ．33D ．14416．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么（a+b ）2的值为（）A ．169B ．25C ．19D ．13【答案】B 17．如图，分别以Rt ABC 三边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，若32S ，27S=，那么1S=（）A．9 B．5 C．14 D．3.518．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72 B．76 C．40 D．5219．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．29cm B．236cm C．227cm D．245cm20．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2 D．1.521．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案，下列关系式中不正确的是（）A．x2+y2=64 B．x-y=3 C．2xy+9=64 D．x+y=1122．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若14ab=，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．323．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞1)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x2+y2=49 B．x－y＝2 C．2xy+4=49 D．x+y=924．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则2EF的值是（）A．169 B．196 C．392 D．58825．如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是（）A．464 B．336 C．144 D．3626．“赵爽弦图”利用面积关系巧妙证明了勾股定理，如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab 8，小正方形的面积为 9，则大正方形的边长为（）A．9 B．6 C．5 D．427．如图，直线 l 上有三个正方形 a 、b 、c ，若 a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A ．4B ．6C ．16D ．5528．如图，四边形ABCD 中，90ABC CDA ∠=∠=︒，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（）A ．6B ．9C ．11D ．1229．如图所示，以Rt ABC ∆的三边为边向外作正方形，其面积分别为123,,S S S ，且14S =，28S =，则3S =（）A ．4B ．8C ．12D ．3230．勾股定理历史悠久，三国时期的赵爽证明了勾股定理，后人借助“赵爽弦图”，用三个正方形证明勾股定理，如图所示，B ，C ，M ，G 在同一条直线上，四边形ABCD ，四边形CEFG ，四边形AMFN 都为正方形，若五边形ABGFN 的面积为34，CM=2，则△ABM 的面积为( )A ．10B ．173C ．5D ．431．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积是（）A ．1或4B ．4C ．1D ．2或432．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（）A ．60B ．79C ．84D ．9033．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为S 1，以AB 为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 7的值为（）A ．61()2B ．71()2C ．6D ．7 34．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB ，“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A ．35B ．2425C ．45D ．122535．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm36．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b 的值为（）A ．25B ．19C ．13D ．16937．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（）A ．144B ．22C ．16D ．1338．勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<39．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．121B ．110C ．100D ．90二、填空题 40．如图，两个正方形的面积分别是118S =，212S =，则直角三角形的较短的直角边长是__________．41．cm cm ，则这个直角三角形的周长为____ .42．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.43．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设49a =，小正方形ABCD 的面积是9，则弦c 长为_______．44．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ，Rt ABC △的面积3S ．若14S =，28S =，则3S 的值为 ________ ．45．如图1是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法．如图2，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH 拼成；正方形EFGH 是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL 拼成；正方ABCD ，EFGH ，IJKL 的面积分别为1S ，2S ，3S ，分别连结AK ，BL ，CI ，DJ 并延长构成四边形MNOP ，它的面积为m ．①请用等式表示1S ，2S ，3S 之间的数量关系为：__________；②m =__________（用含1S ，3S 的代数式表示m ）．46．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．三、解答题47．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，8AB =，6AC =，90BAC ∠=︒．（2）如图2，13AB =，14AD =，2CD =，BC AD ⊥．48．阅读下面的材料，并解决问题：数学家与勾股数组定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长,,a b c 都是正整数，且满足222+=a b c ，那么数组(),,a b c 称为一组勾股数．每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究：1．我国西周数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，数组()3,4,5是世界上发现最早的一组勾股数．2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++，其中n 为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)3．柏拉图提出的勾股数公式为222,1,1a m b m c m ==-=+，其中m 为大于1的整数． (说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为()221,2a m n =-,b mn =()2212c m n =+，其中0,,m n m n >>是互质的奇数．(注：,,a b c 的相同倍数组成的一组数也是勾股数)5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为22222,,a mn b m n c m n ==-=+，其中,,m n m n >是互质且为一奇一偶的任意正整数．问题解答：()1通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知b c -=_；()2直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出；()3通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字8．49．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．50．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，所以4×12ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．51．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．52．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．。